From c771727f3d404d7d79f36b3871e540a8539edfcf Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: runterer <r.unterer@gmx.ch>
Date: Sat, 30 Apr 2022 22:03:05 +0200
Subject: wip copying my handwritten stuff to LaTex

---
 buch/papers/zeta/Makefile.inc              |   7 +-
 buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex | 165 +++++++++++++++++++++++++++++
 buch/papers/zeta/einleitung.tex            |  11 ++
 buch/papers/zeta/main.tex                  |  32 ++----
 buch/papers/zeta/teil0.tex                 |  22 ----
 buch/papers/zeta/teil1.tex                 |  55 ----------
 buch/papers/zeta/teil2.tex                 |  40 -------
 buch/papers/zeta/teil3.tex                 |  40 -------
 buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex            |  53 +++++++++
 9 files changed, 239 insertions(+), 186 deletions(-)
 create mode 100644 buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
 create mode 100644 buch/papers/zeta/einleitung.tex
 delete mode 100644 buch/papers/zeta/teil0.tex
 delete mode 100644 buch/papers/zeta/teil1.tex
 delete mode 100644 buch/papers/zeta/teil2.tex
 delete mode 100644 buch/papers/zeta/teil3.tex
 create mode 100644 buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex

(limited to 'buch/papers/zeta')

diff --git a/buch/papers/zeta/Makefile.inc b/buch/papers/zeta/Makefile.inc
index 11c7697..14babe2 100644
--- a/buch/papers/zeta/Makefile.inc
+++ b/buch/papers/zeta/Makefile.inc
@@ -7,8 +7,7 @@ dependencies-zeta =						\
 	papers/zeta/packages.tex					\
 	papers/zeta/main.tex					\
 	papers/zeta/references.bib				\
-	papers/zeta/teil0.tex					\
-	papers/zeta/teil1.tex					\
-	papers/zeta/teil2.tex					\
-	papers/zeta/teil3.tex
+	papers/zeta/einleitung.tex					\
+	papers/zeta/analytic_continuation.tex					\
+    papers/zeta/zeta_gamma.tex \
 
diff --git a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
new file mode 100644
index 0000000..943647a
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
@@ -0,0 +1,165 @@
+\section{Analytische Fortsetzung} \label{zeta:section:analytische_fortsetzung}
+\rhead{Analytische Fortsetzung}
+
+%TODO missing Text
+
+\subsection{Fortsetzung auf $\Re(s) > 0$} \label{zeta:subsection:auf_bereich_ge_0}
+Zuerst definieren die Dirichletsche Etafunktion als
+\begin{equation}\label{zeta:equation:eta}
+    \eta(s)
+    =
+    \sum_{n=1}^{\infty}
+    \frac{(-1)^{n-1}}{n^s},
+\end{equation}
+wobei die Reihe bis auf die alternierenden Vorzeichen die selbe wie in der Zetafunktion ist.
+Diese Etafunktion konvergiert gemäss dem Leibnitz-Kriterium im Bereich $\Re(s) > 0$, da dann die einzelnen Glieder monoton fallend sind.
+
+Wenn wir es nun schaffen, die sehr ähnliche Zetafunktion mit der Etafunktion auszudrücken, dann haben die gesuchte Fortsetzung.
+Die folgenden Schritte zeigen, wie man dazu kommt:
+\begin{align}
+    \zeta(s)
+    &=
+    \sum_{n=1}^{\infty}
+    \frac{1}{n^s} \label{zeta:align1}
+    \\
+    \frac{1}{2^{s-1}}
+    \zeta(s)
+    &=
+    \sum_{n=1}^{\infty}
+    \frac{2}{(2n)^s} \label{zeta:align2}
+    \\
+    \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right)
+    \zeta(s)
+    &=
+    \frac{1}{1^s}
+    \underbrace{-\frac{2}{2^s} + \frac{1}{2^s}}_{-\frac{1}{2^s}}
+    + \frac{1}{3^s}
+    \underbrace{-\frac{2}{4^s} + \frac{1}{4^s}}_{-\frac{1}{4^s}}
+    \ldots
+    && \text{\eqref{zeta:align1}} - \text{\eqref{zeta:align2}}
+    \\
+    &= \eta(s)
+    \\
+    \zeta(s)
+    &=
+    \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right)^{-1} \eta(s).
+\end{align}
+
+\subsection{Fortsetzung auf ganz $\mathbb{C}$} \label{zeta:subsection:auf_ganz}
+Für die Fortsetzung auf den Rest von $\mathbb{C}$, verwenden wir den Zusammenhang von Gamma- und Zetafunktion aus \ref{zeta:section:zusammenhang_mit_gammafunktion}.
+Wir beginnen damit, die Gammafunktion für den halben Funktionswert zu berechnen als
+\begin{equation}
+    \Gamma \left( \frac{s}{2} \right)
+    =
+    \int_0^{\infty} t^{\frac{s}{2}-1} e^{-t} dt.
+\end{equation}
+Nun substituieren wir $t$ mit $t = \pi n^2 x$ und $dt=\pi n^2 dx$ und erhalten
+\begin{align}
+    \Gamma \left( \frac{s}{2} \right)
+    &=
+    \int_0^{\infty}
+    (\pi n^2)^{\frac{s}{2}}
+    x^{\frac{s}{2}-1}
+    e^{-\pi n^2 x}
+    dx
+    && \text{Division durch } (\pi n^2)^{\frac{s}{2}}
+    \\
+    \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}} n^s}
+    &=
+    \int_0^{\infty}
+    x^{\frac{s}{2}-1}
+    e^{-\pi n^2 x}
+    dx
+    && \text{Zeta durch Summenbildung } \sum_{n=1}^{\infty}
+    \\
+    \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}}
+    \zeta(s)
+    &=
+    \int_0^{\infty}
+    x^{\frac{s}{2}-1}
+    \sum_{n=1}^{\infty}
+    e^{-\pi n^2 x}
+    dx. \label{zeta:equation:integral1}
+\end{align}
+Die Summe kürzen wir ab als $\psi(x) = \sum_{n=1}^{\infty} e^{-\pi n^2 x}$.
+%TODO Wieso folgendes -> aus Fourier Signal
+Es gilt
+\begin{equation}\label{zeta:equation:psi}
+    \psi(x)
+    =
+    - \frac{1}{2}
+    + \frac{\psi\left(\frac{1}{x} \right)}{\sqrt{x}}
+    + \frac{1}{2 \sqrt{x}}.
+\end{equation}
+
+Zunächst teilen wir nun das Integral aus \eqref{zeta:equation:integral1} auf als
+\begin{equation}\label{zeta:equation:integral2}
+    \int_0^{\infty}
+    x^{\frac{s}{2}-1}
+    \psi(x)
+    dx
+    =
+    \int_0^{1}
+    x^{\frac{s}{2}-1}
+    \psi(x)
+    dx
+    +
+    \int_1^{\infty}
+    x^{\frac{s}{2}-1}
+    \psi(x)
+    dx,
+\end{equation}
+wobei wir uns nun auf den ersten Teil konzentrieren werden.
+Dabei setzen wir das Wissen aus \eqref{zeta:equation:integral2} ein und erhalten
+\begin{align}
+    \int_0^{1}
+    x^{\frac{s}{2}-1}
+    \psi(x)
+    dx
+    &=
+    \int_0^{1}
+    x^{\frac{s}{2}-1}
+    \left(
+    - \frac{1}{2}
+    + \frac{\psi\left(\frac{1}{x} \right)}{\sqrt{x}}
+    + \frac{1}{2 \sqrt{x}}.
+    \right)
+    dx
+    \\
+    &=
+    \int_0^{1}
+    x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+    \psi \left( \frac{1}{x} \right)
+    + \frac{1}{2}
+    \left(
+    x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+    -
+    x^{\frac{s}{2}-1}
+    \right)
+    dx
+    \\
+    &=
+    \int_0^{1}
+    x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+    \psi \left( \frac{1}{x} \right)
+    dx
+    + \frac{1}{2}
+    \int_0^1
+    x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+    -
+    x^{\frac{s}{2}-1}
+    dx.
+\end{align}
+Dabei kann das zweite integral gelöst werden als
+\begin{equation}
+    \frac{1}{2}
+    \int_0^1
+    x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+    -
+    x^{\frac{s}{2}-1}
+    dx
+    =
+    \frac{1}{s(s-1)}.
+\end{equation}
+
+
diff --git a/buch/papers/zeta/einleitung.tex b/buch/papers/zeta/einleitung.tex
new file mode 100644
index 0000000..3b70531
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/zeta/einleitung.tex
@@ -0,0 +1,11 @@
+\section{Einleitung} \label{zeta:section:einleitung}
+\rhead{Einleitung}
+
+Die Riemannsche Zetafunktion ist für alle komplexe $s$ mit $\Re(s) > 1$ definiert als
+\begin{equation}\label{zeta:equation1}
+    \zeta(s)
+    =
+    \sum_{n=1}^{\infty}
+    \frac{1}{n^s}.
+\end{equation}
+
diff --git a/buch/papers/zeta/main.tex b/buch/papers/zeta/main.tex
index 1d9e059..e0ea8e1 100644
--- a/buch/papers/zeta/main.tex
+++ b/buch/papers/zeta/main.tex
@@ -3,34 +3,16 @@
 %
 % (c) 2020 Hochschule Rapperswil
 %
-\chapter{Thema\label{chapter:zeta}}
-\lhead{Thema}
+\chapter{Riemannsche Zetafunktion\label{chapter:zeta}}
+\lhead{Riemannsche Zetafunktion}
 \begin{refsection}
-\chapterauthor{Hans Muster}
+\chapterauthor{Raphael Unterer}
 
-Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes
-\begin{itemize}
-\item
-Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt.
-Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet.
-\item
-Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende
-Optionen werden gelöscht. 
-Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen.
-\item
-Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. 
-Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen
-in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt 
-anzuwenden.
-\item 
-Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren
-Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern.
-\end{itemize}
+%TODO Einleitung
 
-\input{papers/zeta/teil0.tex}
-\input{papers/zeta/teil1.tex}
-\input{papers/zeta/teil2.tex}
-\input{papers/zeta/teil3.tex}
+\input{papers/zeta/einleitung.tex}
+\input{papers/zeta/zeta_gamma.tex}
+\input{papers/zeta/analytic_continuation.tex}
 
 \printbibliography[heading=subbibliography]
 \end{refsection}
diff --git a/buch/papers/zeta/teil0.tex b/buch/papers/zeta/teil0.tex
deleted file mode 100644
index 56c0b1b..0000000
--- a/buch/papers/zeta/teil0.tex
+++ /dev/null
@@ -1,22 +0,0 @@
-%
-% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 0\label{zeta:section:teil0}}
-\rhead{Teil 0}
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua \cite{zeta:bibtex}.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum.
-Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum
-dolor sit amet.
-
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum.  Stet clita
-kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit
-amet.
-
-
diff --git a/buch/papers/zeta/teil1.tex b/buch/papers/zeta/teil1.tex
deleted file mode 100644
index 4017ee8..0000000
--- a/buch/papers/zeta/teil1.tex
+++ /dev/null
@@ -1,55 +0,0 @@
-%
-% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 1
-\label{zeta:section:teil1}}
-\rhead{Problemstellung}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo.
-Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit
-aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione
-voluptatem sequi nesciunt
-\begin{equation}
-\int_a^b x^2\, dx
-=
-\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b
-=
-\frac{b^3-a^3}3.
-\label{zeta:equation1}
-\end{equation}
-Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet,
-consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora
-incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem.
-
-Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis
-suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur?
-Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit
-esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum
-fugiat quo voluptas nulla pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{zeta:subsection:finibus}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}.
-
-Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio
-\ref{zeta:section:loesung}.
-Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil
-impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis
-voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus
-\ref{zeta:section:folgerung}.
-Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum
-necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et
-molestiae non recusandae.
-Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis
-voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus
-asperiores repellat.
-
-
diff --git a/buch/papers/zeta/teil2.tex b/buch/papers/zeta/teil2.tex
deleted file mode 100644
index 9e8a96e..0000000
--- a/buch/papers/zeta/teil2.tex
+++ /dev/null
@@ -1,40 +0,0 @@
-%
-% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 2 
-\label{zeta:section:teil2}}
-\rhead{Teil 2}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{zeta:subsection:bonorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
-
-
diff --git a/buch/papers/zeta/teil3.tex b/buch/papers/zeta/teil3.tex
deleted file mode 100644
index 6610cc3..0000000
--- a/buch/papers/zeta/teil3.tex
+++ /dev/null
@@ -1,40 +0,0 @@
-%
-% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 3
-\label{zeta:section:teil3}}
-\rhead{Teil 3}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{zeta:subsection:malorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
-
-
diff --git a/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex b/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex
new file mode 100644
index 0000000..59c8744
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex
@@ -0,0 +1,53 @@
+\section{Zusammenhang mit Gammafunktion} \label{zeta:section:zusammenhang_mit_gammafunktion}
+\rhead{Zusammenhang mit Gammafunktion}
+
+Dieser Abschnitt stellt die Verbindung zwischen der Gamma- und der Zetafunktion her.
+
+%TODO ref Gamma
+Wenn in der Gammafunkion die Integrationsvariable $t$ substituieren mit $t = nu$ und $dt = n du$, dann können wir die Gleichung umstellen und erhalten den Zusammenhang mit der Zetafunktion
+\begin{align}
+    \Gamma(s)
+    &=
+    \int_0^{\infty} t^{s-1} e^{-t} dt
+    \\
+    &=
+    \int_0^{\infty} n^{s\cancel{-1}}u^{s-1} e^{-nu} \cancel{n}du
+    &&
+    \text{Division durch }n^s
+    \\
+    \frac{\Gamma(s)}{n^s}
+    &=
+    \int_0^{\infty} u^{s-1} e^{-nu}du
+    &&
+    \text{Zeta durch Summenbildung } \sum_{n=1}^{\infty}
+    \\
+    \Gamma(s) \zeta(s)
+    &=
+    \int_0^{\infty} u^{s-1}
+    \sum_{n=1}^{\infty}e^{-nu}
+    du.
+    \label{zeta:equation:zeta_gamma1}
+\end{align}
+Die Summe über $e^{-nu}$ können wir als geometrische Reihe schreiben und erhalten
+\begin{align}
+    \sum_{n=1}^{\infty}e^{-u^n}
+    &=
+    \sum_{n=0}^{\infty}e^{-u^n}
+    -
+    1
+    \\
+    &=
+    \frac{1}{1 - e^{-u}} - 1
+    \\
+    &=
+    \frac{1}{e^u - 1}.
+\end{align}
+Wenn wir dieses Resultat einsetzen in \eqref{zeta:equation:zeta_gamma1} und durch $\Gamma(s)$ teilen, erhalten wir
+\begin{equation}\label{zeta:equation:zeta_gamma_final}
+    \zeta(s)
+    =
+    \frac{1}{\Gamma(s)}
+    \int_0^{\infty}
+    \frac{u^{s-1}}{e^u -1}
+    du.
+\end{equation}
-- 
cgit v1.2.1


From e26f12668c78fab5f0d8c5c9625396fd34970c82 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: runterer <r.unterer@gmx.ch>
Date: Sat, 30 Apr 2022 22:39:22 +0200
Subject: Erster Entwurf der analytischen Fortsetzung geschrieben

---
 buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex | 107 +++++++++++++++++++++++++++--
 1 file changed, 103 insertions(+), 4 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/zeta')

diff --git a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
index 943647a..f5de6e7 100644
--- a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
+++ b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
@@ -110,7 +110,7 @@ Zunächst teilen wir nun das Integral aus \eqref{zeta:equation:integral1} auf al
     dx,
 \end{equation}
 wobei wir uns nun auf den ersten Teil konzentrieren werden.
-Dabei setzen wir das Wissen aus \eqref{zeta:equation:integral2} ein und erhalten
+Dabei setzen wir das Wissen aus \eqref{zeta:equation:psi} ein und erhalten
 \begin{align}
     \int_0^{1}
     x^{\frac{s}{2}-1}
@@ -148,9 +148,9 @@ Dabei setzen wir das Wissen aus \eqref{zeta:equation:integral2} ein und erhalten
     x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
     -
     x^{\frac{s}{2}-1}
-    dx.
+    dx. \label{zeta:equation:integral3}
 \end{align}
-Dabei kann das zweite integral gelöst werden als
+Dabei kann das zweite Integral gelöst werden als
 \begin{equation}
     \frac{1}{2}
     \int_0^1
@@ -161,5 +161,104 @@ Dabei kann das zweite integral gelöst werden als
     =
     \frac{1}{s(s-1)}.
 \end{equation}
-
+Das erste Integral aus \eqref{zeta:equation:integral3} mit $\psi \left(\frac{1}{x} \right)$ ist nicht lösbar in dieser Form.
+Deshalb substituieren wir $x = \frac{1}{u}$ und $dx = -\frac{1}{u^2}du$.
+Die untere Integralgrenze wechselt ebenfalls zu $x_0 = 0 \rightarrow u_0 = \infty$.
+Dies ergibt
+\begin{align}
+    \int_{\infty}^{1}
+    {\frac{1}{u}}^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+    \psi(u)
+    \frac{-du}{u^2}
+    &=
+    \int_{1}^{\infty}
+    {\frac{1}{u}}^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+    \psi(u)
+    \frac{du}{u^2}
+    \\
+    &=
+    \int_{1}^{\infty}
+    x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)}
+    \psi(x)
+    dx,
+\end{align}
+wobei wir durch Multiplikation mit $(-1)$ die Integralgrenzen tauschen dürfen.
+Es ist zu beachten das diese Grenzen nun identisch mit den Grenzen des zweiten Integrals von \eqref{zeta:equation:integral2} sind.
+Wir setzen beide Lösungen ein in Gleichung \eqref{zeta:equation:integral3} und erhalten
+\begin{equation}
+    \int_0^{1}
+    x^{\frac{s}{2}-1}
+    \psi(x)
+    dx
+    =
+    \int_{1}^{\infty}
+    x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)}
+    \psi(x)
+    dx,
+    +
+    \frac{1}{s(s-1)}.
+\end{equation}
+Dieses Resultat setzen wir wiederum ein in \eqref{zeta:equation:integral2}, um schlussendlich
+\begin{align}
+    \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}}
+    \zeta(s)
+    &=
+    \int_0^{1}
+    x^{\frac{s}{2}-1}
+    \psi(x)
+    dx
+    +
+    \int_1^{\infty}
+    x^{\frac{s}{2}-1}
+    \psi(x)
+    dx
+    \nonumber
+    \\
+    &=
+    \frac{1}{s(s-1)}
+    +
+    \int_{1}^{\infty}
+    x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)}
+    \psi(x)
+    dx,
+    +
+    \int_1^{\infty}
+    x^{\frac{s}{2}-1}
+    \psi(x)
+    dx
+    \\
+    &=
+    \frac{1}{s(s-1)}
+    +
+    \int_{1}^{\infty}
+    \left(
+    x^{-\frac{s}{2}-\frac{1}{2}}
+    +
+    x^{\frac{s}{2}-1}
+    \right)
+    \psi(x)
+    dx
+    \\
+    &=
+    \frac{-1}{s(1-s)}
+    +
+    \int_{1}^{\infty}
+    \left(
+    x^{\frac{1-s}{2}}
+    +
+    x^{\frac{s}{2}}
+    \right)
+    \frac{\psi(x)}{x}
+    dx,
+\end{align}
+zu erhalten.
+Wenn wir dieses Resultat genau anschauen, erkennen wir dass sich nichts verändert wenn $s$ mit $1-s$ ersetzt wird.
+Somit haben wir die analytische Fortsetzung gefunden als
+\begin{equation}\label{zeta:equation:functional}
+    \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}}
+    \zeta(s)
+    =
+    \frac{\Gamma \left( \frac{1-s}{2} \right)}{\pi^{\frac{1-s}{2}}}
+    \zeta(1-s).
+\end{equation}
 
-- 
cgit v1.2.1


From 2041283fe8afc6c80451208e239913f52f767d93 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: runterer <r.unterer@gmx.ch>
Date: Sat, 30 Apr 2022 22:46:13 +0200
Subject: minor fix

---
 buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex | 4 ++--
 1 file changed, 2 insertions(+), 2 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/zeta')

diff --git a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
index f5de6e7..bb95b92 100644
--- a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
+++ b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
@@ -194,7 +194,7 @@ Wir setzen beide Lösungen ein in Gleichung \eqref{zeta:equation:integral3} und
     \int_{1}^{\infty}
     x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)}
     \psi(x)
-    dx,
+    dx
     +
     \frac{1}{s(s-1)}.
 \end{equation}
@@ -220,7 +220,7 @@ Dieses Resultat setzen wir wiederum ein in \eqref{zeta:equation:integral2}, um s
     \int_{1}^{\infty}
     x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)}
     \psi(x)
-    dx,
+    dx
     +
     \int_1^{\infty}
     x^{\frac{s}{2}-1}
-- 
cgit v1.2.1


From a28b0e8a16564e78aaecc299526fa8bb96964e0e Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: runterer <r.unterer@gmx.ch>
Date: Sat, 14 May 2022 18:21:13 +0200
Subject: corrections to zeta_gamma

---
 buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex | 53 ++++++++++++++++++++++++-----------------
 1 file changed, 31 insertions(+), 22 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/zeta')

diff --git a/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex b/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex
index 59c8744..bed4262 100644
--- a/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex
+++ b/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex
@@ -1,38 +1,47 @@
-\section{Zusammenhang mit Gammafunktion} \label{zeta:section:zusammenhang_mit_gammafunktion}
-\rhead{Zusammenhang mit Gammafunktion}
+\section{Zusammenhang mit der Gammafunktion} \label{zeta:section:zusammenhang_mit_gammafunktion}
+\rhead{Zusammenhang mit der Gammafunktion}
 
-Dieser Abschnitt stellt die Verbindung zwischen der Gamma- und der Zetafunktion her.
+In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie sich die Zetafunktion durch die Gammafunktion $\Gamma(s)$ ausdrücken lässt.
+Dieser Zusammenhang der Art $\zeta(s) = f(\Gamma(s))$ wird später für die Herleitung der analytischen Fortsetzung gebraucht.
 
 %TODO ref Gamma
-Wenn in der Gammafunkion die Integrationsvariable $t$ substituieren mit $t = nu$ und $dt = n du$, dann können wir die Gleichung umstellen und erhalten den Zusammenhang mit der Zetafunktion
-\begin{align}
+Wir erinnern uns an die Definition der Gammafunktion in \ref{buch:rekursion:gamma:integralbeweis}
+\begin{equation*}
+    \Gamma(s)
+    =
+    \int_0^{\infty} t^{s-1} e^{-t} \,dt,
+\end{equation*}
+wobei die Notation an die Zetafunktion angepasst ist.
+Durch die Substitution von $t$ mit $t = nu$ und $dt = n\,du$ wird daraus
+\begin{align*}
     \Gamma(s)
     &=
-    \int_0^{\infty} t^{s-1} e^{-t} dt
-    \\
+    \int_0^{\infty} n^{s-1}u^{s-1} e^{-nu} n \,du \\
     &=
-    \int_0^{\infty} n^{s\cancel{-1}}u^{s-1} e^{-nu} \cancel{n}du
-    &&
-    \text{Division durch }n^s
-    \\
+    \int_0^{\infty} n^s u^{s-1} e^{-nu} \,du.
+\end{align*}
+Durch Division mit durch $n^s$ ergibt sich die Quotienten
+\begin{equation*}
     \frac{\Gamma(s)}{n^s}
-    &=
-    \int_0^{\infty} u^{s-1} e^{-nu}du
-    &&
-    \text{Zeta durch Summenbildung } \sum_{n=1}^{\infty}
-    \\
+    =
+    \int_0^{\infty} u^{s-1} e^{-nu} \,du,
+\end{equation*}
+welche sich zur Zetafunktion summieren
+\begin{equation}
+    \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\Gamma(s)}{n^s}
+    =
     \Gamma(s) \zeta(s)
-    &=
+    =
     \int_0^{\infty} u^{s-1}
     \sum_{n=1}^{\infty}e^{-nu}
-    du.
+    \,du.
     \label{zeta:equation:zeta_gamma1}
-\end{align}
+\end{equation}
 Die Summe über $e^{-nu}$ können wir als geometrische Reihe schreiben und erhalten
 \begin{align}
-    \sum_{n=1}^{\infty}e^{-u^n}
+    \sum_{n=1}^{\infty}\left(e^{-u}\right)^n
     &=
-    \sum_{n=0}^{\infty}e^{-u^n}
+    \sum_{n=0}^{\infty}\left(e^{-u}\right)^n
     -
     1
     \\
@@ -42,7 +51,7 @@ Die Summe über $e^{-nu}$ können wir als geometrische Reihe schreiben und erhal
     &=
     \frac{1}{e^u - 1}.
 \end{align}
-Wenn wir dieses Resultat einsetzen in \eqref{zeta:equation:zeta_gamma1} und durch $\Gamma(s)$ teilen, erhalten wir
+Wenn wir dieses Resultat einsetzen in \eqref{zeta:equation:zeta_gamma1} und durch $\Gamma(s)$ teilen, erhalten wir %TODO formulieren als Satz
 \begin{equation}\label{zeta:equation:zeta_gamma_final}
     \zeta(s)
     =
-- 
cgit v1.2.1


From 8f643765aa134d48da27f161890f07038d2223f3 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: runterer <r.unterer@gmx.ch>
Date: Sat, 14 May 2022 22:17:18 +0200
Subject: Alle einfachen Korrekturen umgesetzt

---
 buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex | 108 ++++++++++++++++++-----------
 buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex            |   2 +-
 2 files changed, 68 insertions(+), 42 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/zeta')

diff --git a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
index bb95b92..5e09e42 100644
--- a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
+++ b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
@@ -14,8 +14,8 @@ Zuerst definieren die Dirichletsche Etafunktion als
 wobei die Reihe bis auf die alternierenden Vorzeichen die selbe wie in der Zetafunktion ist.
 Diese Etafunktion konvergiert gemäss dem Leibnitz-Kriterium im Bereich $\Re(s) > 0$, da dann die einzelnen Glieder monoton fallend sind.
 
-Wenn wir es nun schaffen, die sehr ähnliche Zetafunktion mit der Etafunktion auszudrücken, dann haben die gesuchte Fortsetzung.
-Die folgenden Schritte zeigen, wie man dazu kommt:
+Wenn wir es nun schaffen, die sehr ähnliche Zetafunktion durch die Etafunktion auszudrücken, dann haben die gesuchte Fortsetzung.
+Zuerst wiederholen wir zweimal die Definition der Zetafunktion \eqref{zeta:equation1}, wobei wir sie einmal durch $2^{s-1}$ teilen
 \begin{align}
     \zeta(s)
     &=
@@ -26,8 +26,10 @@ Die folgenden Schritte zeigen, wie man dazu kommt:
     \zeta(s)
     &=
     \sum_{n=1}^{\infty}
-    \frac{2}{(2n)^s} \label{zeta:align2}
-    \\
+    \frac{2}{(2n)^s}. \label{zeta:align2}
+\end{align}
+Durch Subtraktion der beiden Gleichungen \eqref{zeta:align1} minus \eqref{zeta:align2}, ergibt sich
+\begin{align}
     \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right)
     \zeta(s)
     &=
@@ -36,14 +38,15 @@ Die folgenden Schritte zeigen, wie man dazu kommt:
     + \frac{1}{3^s}
     \underbrace{-\frac{2}{4^s} + \frac{1}{4^s}}_{-\frac{1}{4^s}}
     \ldots
-    && \text{\eqref{zeta:align1}} - \text{\eqref{zeta:align2}}
-    \\
-    &= \eta(s)
     \\
+    &= \eta(s).
+\end{align}
+Dies ist die Fortsetzung auf den noch unbekannten Bereich $0 < \Re(s) < 1$
+\begin{equation}
     \zeta(s)
-    &=
+    :=
     \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right)^{-1} \eta(s).
-\end{align}
+\end{equation}
 
 \subsection{Fortsetzung auf ganz $\mathbb{C}$} \label{zeta:subsection:auf_ganz}
 Für die Fortsetzung auf den Rest von $\mathbb{C}$, verwenden wir den Zusammenhang von Gamma- und Zetafunktion aus \ref{zeta:section:zusammenhang_mit_gammafunktion}.
@@ -61,7 +64,7 @@ Nun substituieren wir $t$ mit $t = \pi n^2 x$ und $dt=\pi n^2 dx$ und erhalten
     (\pi n^2)^{\frac{s}{2}}
     x^{\frac{s}{2}-1}
     e^{-\pi n^2 x}
-    dx
+    \,dx
     && \text{Division durch } (\pi n^2)^{\frac{s}{2}}
     \\
     \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}} n^s}
@@ -69,7 +72,7 @@ Nun substituieren wir $t$ mit $t = \pi n^2 x$ und $dt=\pi n^2 dx$ und erhalten
     \int_0^{\infty}
     x^{\frac{s}{2}-1}
     e^{-\pi n^2 x}
-    dx
+    \,dx
     && \text{Zeta durch Summenbildung } \sum_{n=1}^{\infty}
     \\
     \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}}
@@ -79,7 +82,7 @@ Nun substituieren wir $t$ mit $t = \pi n^2 x$ und $dt=\pi n^2 dx$ und erhalten
     x^{\frac{s}{2}-1}
     \sum_{n=1}^{\infty}
     e^{-\pi n^2 x}
-    dx. \label{zeta:equation:integral1}
+    \,dx. \label{zeta:equation:integral1}
 \end{align}
 Die Summe kürzen wir ab als $\psi(x) = \sum_{n=1}^{\infty} e^{-\pi n^2 x}$.
 %TODO Wieso folgendes -> aus Fourier Signal
@@ -97,82 +100,103 @@ Zunächst teilen wir nun das Integral aus \eqref{zeta:equation:integral1} auf al
     \int_0^{\infty}
     x^{\frac{s}{2}-1}
     \psi(x)
-    dx
+    \,dx
     =
+    \underbrace{
     \int_0^{1}
     x^{\frac{s}{2}-1}
     \psi(x)
-    dx
+    \,dx
+    }_{I_1}
     +
+    \underbrace{
     \int_1^{\infty}
     x^{\frac{s}{2}-1}
     \psi(x)
-    dx,
+    \,dx
+    }_{I_2}
+    =
+    I_1 + I_2,
 \end{equation}
-wobei wir uns nun auf den ersten Teil konzentrieren werden.
-Dabei setzen wir das Wissen aus \eqref{zeta:equation:psi} ein und erhalten
+wobei wir uns nun auf den ersten Teil $I_1$ konzentrieren werden.
+Dabei setzen wir die Definition von $\psi(x)$ aus \eqref{zeta:equation:psi} ein und erhalten
 \begin{align}
+    I_1
+    =
     \int_0^{1}
     x^{\frac{s}{2}-1}
     \psi(x)
-    dx
+    \,dx
     &=
     \int_0^{1}
     x^{\frac{s}{2}-1}
     \left(
     - \frac{1}{2}
     + \frac{\psi\left(\frac{1}{x} \right)}{\sqrt{x}}
-    + \frac{1}{2 \sqrt{x}}.
+    + \frac{1}{2 \sqrt{x}}
     \right)
-    dx
+    \,dx
     \\
     &=
     \int_0^{1}
     x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
     \psi \left( \frac{1}{x} \right)
     + \frac{1}{2}
-    \left(
+    \biggl(
     x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
     -
     x^{\frac{s}{2}-1}
-    \right)
-    dx
+    \biggl)
+    \,dx
     \\
     &=
+    \underbrace{
     \int_0^{1}
     x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
     \psi \left( \frac{1}{x} \right)
-    dx
-    + \frac{1}{2}
+    \,dx
+    }_{I_3}
+    +
+    \underbrace{
+    \frac{1}{2}
     \int_0^1
     x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
     -
     x^{\frac{s}{2}-1}
-    dx. \label{zeta:equation:integral3}
+    \,dx
+    }_{I_4}. \label{zeta:equation:integral3}
 \end{align}
-Dabei kann das zweite Integral gelöst werden als
+Dabei kann das zweite Integral $I_4$ gelöst werden als
 \begin{equation}
+    I_4
+    =
     \frac{1}{2}
     \int_0^1
     x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
     -
     x^{\frac{s}{2}-1}
-    dx
+    \,dx
     =
     \frac{1}{s(s-1)}.
 \end{equation}
-Das erste Integral aus \eqref{zeta:equation:integral3} mit $\psi \left(\frac{1}{x} \right)$ ist nicht lösbar in dieser Form.
+Das erste Integral $I_3$ aus \eqref{zeta:equation:integral3} mit $\psi \left(\frac{1}{x} \right)$ ist nicht lösbar in dieser Form.
 Deshalb substituieren wir $x = \frac{1}{u}$ und $dx = -\frac{1}{u^2}du$.
 Die untere Integralgrenze wechselt ebenfalls zu $x_0 = 0 \rightarrow u_0 = \infty$.
 Dies ergibt
 \begin{align}
+    I_3
+    =
     \int_{\infty}^{1}
-    {\frac{1}{u}}^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+    \left(
+    \frac{1}{u}
+    \right)^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
     \psi(u)
     \frac{-du}{u^2}
     &=
     \int_{1}^{\infty}
-    {\frac{1}{u}}^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+    \left(
+    \frac{1}{u}
+    \right)^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
     \psi(u)
     \frac{du}{u^2}
     \\
@@ -180,21 +204,23 @@ Dies ergibt
     \int_{1}^{\infty}
     x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)}
     \psi(x)
-    dx,
+    \,dx,
 \end{align}
 wobei wir durch Multiplikation mit $(-1)$ die Integralgrenzen tauschen dürfen.
 Es ist zu beachten das diese Grenzen nun identisch mit den Grenzen des zweiten Integrals von \eqref{zeta:equation:integral2} sind.
 Wir setzen beide Lösungen ein in Gleichung \eqref{zeta:equation:integral3} und erhalten
 \begin{equation}
+    I_1
+    =
     \int_0^{1}
     x^{\frac{s}{2}-1}
     \psi(x)
-    dx
+    \,dx
     =
     \int_{1}^{\infty}
     x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)}
     \psi(x)
-    dx
+    \,dx
     +
     \frac{1}{s(s-1)}.
 \end{equation}
@@ -206,12 +232,12 @@ Dieses Resultat setzen wir wiederum ein in \eqref{zeta:equation:integral2}, um s
     \int_0^{1}
     x^{\frac{s}{2}-1}
     \psi(x)
-    dx
+    \,dx
     +
     \int_1^{\infty}
     x^{\frac{s}{2}-1}
     \psi(x)
-    dx
+    \,dx
     \nonumber
     \\
     &=
@@ -220,12 +246,12 @@ Dieses Resultat setzen wir wiederum ein in \eqref{zeta:equation:integral2}, um s
     \int_{1}^{\infty}
     x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)}
     \psi(x)
-    dx
+    \,dx
     +
     \int_1^{\infty}
     x^{\frac{s}{2}-1}
     \psi(x)
-    dx
+    \,dx
     \\
     &=
     \frac{1}{s(s-1)}
@@ -237,7 +263,7 @@ Dieses Resultat setzen wir wiederum ein in \eqref{zeta:equation:integral2}, um s
     x^{\frac{s}{2}-1}
     \right)
     \psi(x)
-    dx
+    \,dx
     \\
     &=
     \frac{-1}{s(1-s)}
@@ -249,7 +275,7 @@ Dieses Resultat setzen wir wiederum ein in \eqref{zeta:equation:integral2}, um s
     x^{\frac{s}{2}}
     \right)
     \frac{\psi(x)}{x}
-    dx,
+    \,dx,
 \end{align}
 zu erhalten.
 Wenn wir dieses Resultat genau anschauen, erkennen wir dass sich nichts verändert wenn $s$ mit $1-s$ ersetzt wird.
@@ -261,4 +287,4 @@ Somit haben wir die analytische Fortsetzung gefunden als
     \frac{\Gamma \left( \frac{1-s}{2} \right)}{\pi^{\frac{1-s}{2}}}
     \zeta(1-s).
 \end{equation}
-
+%TODO Definitionen und Gleichungen klarer unterscheiden
diff --git a/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex b/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex
index bed4262..49fea74 100644
--- a/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex
+++ b/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex
@@ -5,7 +5,7 @@ In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie sich die Zetafunktion durch die Gammafunkt
 Dieser Zusammenhang der Art $\zeta(s) = f(\Gamma(s))$ wird später für die Herleitung der analytischen Fortsetzung gebraucht.
 
 %TODO ref Gamma
-Wir erinnern uns an die Definition der Gammafunktion in \ref{buch:rekursion:gamma:integralbeweis}
+Wir erinnern uns an die Definition der Gammafunktion in \eqref{buch:rekursion:gamma:integralbeweis}
 \begin{equation*}
     \Gamma(s)
     =
-- 
cgit v1.2.1


From 5fa246097347d82af591aa186f1b7fe32fbd1cf3 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Runterer <37069007+Runterer@users.noreply.github.com>
Date: Mon, 16 May 2022 15:35:30 +0200
Subject: added tikz -> kudos nic

---
 buch/papers/zeta/continuation_overview.tikz.tex | 17 +++++++++++++++++
 1 file changed, 17 insertions(+)
 create mode 100644 buch/papers/zeta/continuation_overview.tikz.tex

(limited to 'buch/papers/zeta')

diff --git a/buch/papers/zeta/continuation_overview.tikz.tex b/buch/papers/zeta/continuation_overview.tikz.tex
new file mode 100644
index 0000000..03224ff
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/zeta/continuation_overview.tikz.tex
@@ -0,0 +1,17 @@
+\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=0.9cm, scale=2,
+    dot/.style={fill, circle, inner sep=0, minimum size=0.1cm}]
+
+    \draw[->] (-2,0) -- (-1,0) node[dot]{} node[anchor=north]{$-1$} -- (0,0) node[anchor=north west]{$0$} -- (1,0) node[anchor=north west]{$1$} -- (2,0) node[anchor=west]{Re$(s)$};
+
+    \draw[->] (0,-1.2) -- (0,1.2) node[anchor=south]{Im$(s)$};
+    \begin{scope}[yscale=0.1]
+        \draw[] (1,-1) -- (1,1);
+    \end{scope}
+
+    \begin{scope}[]
+        \fill[opacity=0.2, red] (-1.8,1) rectangle (0, -1);
+        \fill[opacity=0.2, blue] (0,1) rectangle (1, -1);
+        \fill[opacity=0.2, green] (1,1) rectangle (1.8, -1);
+    \end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
\ No newline at end of file
-- 
cgit v1.2.1


From 14b48dfeb636fe25b0745a2ab617cc5d307c06e6 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: runterer <r.unterer@gmx.ch>
Date: Thu, 26 May 2022 20:38:30 +0200
Subject: =?UTF-8?q?tikz=20und=20eulerprodukt=20hinzugef=C3=BCgt?=
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---
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(limited to 'buch/papers/zeta')

diff --git a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
index 5e09e42..408a1f7 100644
--- a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
+++ b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
@@ -1,7 +1,26 @@
 \section{Analytische Fortsetzung} \label{zeta:section:analytische_fortsetzung}
 \rhead{Analytische Fortsetzung}
 
-%TODO missing Text
+Die analytische Fortsetzung der Riemannschen Zetafunktion ist äusserst interessant.
+Sie ermöglicht die Berechnung von $\zeta(-1)$ und weiterer spannender Werte.
+So liegen zum Beispiel unendlich viele Nullstellen der Zetafunktion bei $\Re(s) = 0.5$.
+Diese sind relevant für die Primzahlverteilung und sind Gegenstand der Riemannschen Vermutung.
+
+Es werden zwei verschiedene Fortsetzungen benötigt.
+Die erste erweitert die Zetafunktion auf $\Re(s) > 0$.
+Die zweite verwendet eine Spiegelung an der $\Re(s) = 0.5$ Linie und erschliesst damit die ganze komplexe Ebene.
+Eine grafische Darstellung dieses Plans ist in Abbildung \ref{zeta:fig:continuation_overview} zu sehen.
+\begin{figure}
+    \centering
+    \input{papers/zeta/continuation_overview.tikz.tex}
+    \caption{
+        Die verschiedenen Abschnitte der Riemannschen Zetafunktion. 
+        Die originale Definition von \eqref{zeta:equation1} ist im grünen Bereich gültig.
+        Für den blauen Bereich gilt \eqref{zeta:equation:fortsetzung1}.
+        Um den roten Bereich zu bekommen verwendet die Funktionalgleichung \eqref{zeta:equation:functional} eine Spiegelung an $\Re(s) = 0.5$.
+    }
+    \label{zeta:fig:continuation_overview}
+\end{figure}
 
 \subsection{Fortsetzung auf $\Re(s) > 0$} \label{zeta:subsection:auf_bereich_ge_0}
 Zuerst definieren die Dirichletsche Etafunktion als
@@ -42,7 +61,7 @@ Durch Subtraktion der beiden Gleichungen \eqref{zeta:align1} minus \eqref{zeta:a
     &= \eta(s).
 \end{align}
 Dies ist die Fortsetzung auf den noch unbekannten Bereich $0 < \Re(s) < 1$
-\begin{equation}
+\begin{equation} \label{zeta:equation:fortsetzung1}
     \zeta(s)
     :=
     \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right)^{-1} \eta(s).
diff --git a/buch/papers/zeta/continuation_overview.tikz.tex b/buch/papers/zeta/continuation_overview.tikz.tex
index 03224ff..836ab1d 100644
--- a/buch/papers/zeta/continuation_overview.tikz.tex
+++ b/buch/papers/zeta/continuation_overview.tikz.tex
@@ -1,12 +1,13 @@
 \begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=0.9cm, scale=2,
     dot/.style={fill, circle, inner sep=0, minimum size=0.1cm}]
 
-    \draw[->] (-2,0) -- (-1,0) node[dot]{} node[anchor=north]{$-1$} -- (0,0) node[anchor=north west]{$0$} -- (1,0) node[anchor=north west]{$1$} -- (2,0) node[anchor=west]{Re$(s)$};
+    \draw[->] (-2,0) -- (-1,0) node[dot]{} node[anchor=north]{$-1$} -- (0,0) node[anchor=north west]{$0$} -- (0.5,0) node[anchor=north west]{$0.5$}-- (1,0) node[anchor=north west]{$1$} -- (2,0) node[anchor=west]{$\Re(s)$};
 
-    \draw[->] (0,-1.2) -- (0,1.2) node[anchor=south]{Im$(s)$};
+    \draw[->] (0,-1.2) -- (0,1.2) node[anchor=south]{$\Im(s)$};
     \begin{scope}[yscale=0.1]
         \draw[] (1,-1) -- (1,1);
     \end{scope}
+    \draw[dotted] (0.5,-1) -- (0.5,1);
 
     \begin{scope}[]
         \fill[opacity=0.2, red] (-1.8,1) rectangle (0, -1);
@@ -14,4 +15,4 @@
         \fill[opacity=0.2, green] (1,1) rectangle (1.8, -1);
     \end{scope}
 
-\end{tikzpicture}
\ No newline at end of file
+\end{tikzpicture}
diff --git a/buch/papers/zeta/euler_product.tex b/buch/papers/zeta/euler_product.tex
new file mode 100644
index 0000000..a6ed512
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/zeta/euler_product.tex
@@ -0,0 +1,85 @@
+\section{Eulerprodukt} \label{zeta:section:eulerprodukt}
+\rhead{Eulerprodukt}
+
+Das Eulerprodukt stellt die Verbindung der Zetafunktion und der Primzahlen her.
+Diese Verbindung ist sehr wichtig, da durch sie eine Aussage zur Primzahlverteilung gemacht werden kann.
+Die Verteilung der Primzahlen ist Gegenstand der Riemannschen Vermutung, welche eines der grössten ungelösten Probleme der Mathematik ist.
+
+\begin{satz}
+    Für alle Zahlen $s$ mit $\Re(s) > 1$ ist die Zetafunktion identisch mit dem unendlichen Eulerprodukt
+    \begin{equation}\label{zeta:eq:eulerprodukt}
+        \zeta(s)
+        =
+        \sum_{n=1}^\infty
+        \frac{1}{n^s}
+        =
+        \prod_{p \in P}
+        \frac{1}{1-p^{-s}}
+    \end{equation}
+    wobei $P$ die Menge aller Primzahlen darstellt.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+    Der Beweis startet mit dem Eulerprodukt und stellt dieses so um, dass die Zetafunktion erscheint.
+    Als erstes ersetzen wir die Faktoren durch geometrische Reihen
+    \begin{equation}
+        \prod_{i=1}^{\infty}
+        \frac{1}{1-p^{-s}}
+        =
+        \prod_{p \in P}
+        \sum_{k_i=0}^{\infty}
+        \left(
+        \frac{1}{p_i^s}
+        \right)^{k_i}
+        =
+        \prod_{p \in P}
+        \sum_{k_i=0}^{\infty}
+        \frac{1}{p_i^{s k_i}},
+    \end{equation}
+    dabei iteriert der Index $i$ über alle Primzahlen $p_i$.
+    Durch Ausschreiben der Multiplikation und Ausklammern der Summen erhalten wir
+    \begin{align}
+        \prod_{p \in P}
+        \sum_{k_i=0}^{\infty}
+        \frac{1}{p_i^{s k_i}}
+        &=
+        \sum_{k_1=0}^{\infty}
+        \frac{1}{p_1^{s k_1}}
+        \sum_{k_2=0}^{\infty}
+        \frac{1}{p_2^{s k_2}}
+        \ldots
+        \nonumber \\
+        &=
+        \sum_{k_1=0}^{\infty}
+        \sum_{k_2=0}^{\infty}
+        \ldots
+        \left(
+        \frac{1}{p_1^{k_1}}
+        \frac{1}{p_2^{k_2}}
+        \ldots
+        \right)^s.
+        \label{zeta:equation:eulerprodukt2}
+    \end{align}
+    Der Fundamentalsatz der Arithmetik (Primfaktorzerlegung) besagt, dass jede beliebige Zahl $n \in \mathbb{N}$ durch eine eindeutige Primfaktorzerlegung beschrieben werden kann
+    \begin{equation}
+        n = \prod_i p_i^{k_i} \quad \forall \quad n \in \mathbb{N}.
+    \end{equation}
+    Jeder Summand der Summen in \eqref{zeta:equation:eulerprodukt2} ist somit eine Zahl $n$.
+    Da die Summen alle möglichen Kombinationen von Exponenten und Primzahlen in \eqref{zeta:equation:eulerprodukt2} enthält haben wir
+    \begin{equation}
+        \sum_{k_1=0}^{\infty}
+        \sum_{k_2=0}^{\infty}
+        \ldots
+        \left(
+        \frac{1}{p_1^{k_1}}
+        \frac{1}{p_2^{k_2}}
+        \ldots
+        \right)^s
+        =
+        \sum_{n=1}^\infty
+        \frac{1}{n^s}
+        =
+        \zeta(s)
+    \end{equation}
+\end{proof}
+
diff --git a/buch/papers/zeta/main.tex b/buch/papers/zeta/main.tex
index e0ea8e1..caddace 100644
--- a/buch/papers/zeta/main.tex
+++ b/buch/papers/zeta/main.tex
@@ -11,6 +11,7 @@
 %TODO Einleitung
 
 \input{papers/zeta/einleitung.tex}
+\input{papers/zeta/euler_product.tex}
 \input{papers/zeta/zeta_gamma.tex}
 \input{papers/zeta/analytic_continuation.tex}
 
diff --git a/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex b/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex
index 49fea74..db41676 100644
--- a/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex
+++ b/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex
@@ -2,9 +2,8 @@
 \rhead{Zusammenhang mit der Gammafunktion}
 
 In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie sich die Zetafunktion durch die Gammafunktion $\Gamma(s)$ ausdrücken lässt.
-Dieser Zusammenhang der Art $\zeta(s) = f(\Gamma(s))$ wird später für die Herleitung der analytischen Fortsetzung gebraucht.
+Dieser Zusammenhang der Art $\zeta(s) = f(\Gamma(s))$ ist nicht nur interessant, er wird später auch für die Herleitung der analytischen Fortsetzung gebraucht.
 
-%TODO ref Gamma
 Wir erinnern uns an die Definition der Gammafunktion in \eqref{buch:rekursion:gamma:integralbeweis}
 \begin{equation*}
     \Gamma(s)
@@ -51,12 +50,12 @@ Die Summe über $e^{-nu}$ können wir als geometrische Reihe schreiben und erhal
     &=
     \frac{1}{e^u - 1}.
 \end{align}
-Wenn wir dieses Resultat einsetzen in \eqref{zeta:equation:zeta_gamma1} und durch $\Gamma(s)$ teilen, erhalten wir %TODO formulieren als Satz
+Wenn wir dieses Resultat einsetzen in \eqref{zeta:equation:zeta_gamma1} und durch $\Gamma(s)$ teilen, erhalten wir den gewünschten Zusammenhang
 \begin{equation}\label{zeta:equation:zeta_gamma_final}
     \zeta(s)
     =
     \frac{1}{\Gamma(s)}
     \int_0^{\infty}
     \frac{u^{s-1}}{e^u -1}
-    du.
+    du \qed
 \end{equation}
-- 
cgit v1.2.1


From 7459c95431d89576126a6a0007238592a4f5f033 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: runterer <r.unterer@gmx.ch>
Date: Fri, 27 May 2022 20:10:13 +0200
Subject: Minor improvements

---
 buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex | 26 ++++++++++++++------------
 1 file changed, 14 insertions(+), 12 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/zeta')

diff --git a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
index 408a1f7..40424e0 100644
--- a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
+++ b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
@@ -14,7 +14,7 @@ Eine grafische Darstellung dieses Plans ist in Abbildung \ref{zeta:fig:continuat
     \centering
     \input{papers/zeta/continuation_overview.tikz.tex}
     \caption{
-        Die verschiedenen Abschnitte der Riemannschen Zetafunktion. 
+        Die verschiedenen Abschnitte der Riemannschen Zetafunktion.
         Die originale Definition von \eqref{zeta:equation1} ist im grünen Bereich gültig.
         Für den blauen Bereich gilt \eqref{zeta:equation:fortsetzung1}.
         Um den roten Bereich zu bekommen verwendet die Funktionalgleichung \eqref{zeta:equation:functional} eine Spiegelung an $\Re(s) = 0.5$.
@@ -76,33 +76,35 @@ Wir beginnen damit, die Gammafunktion für den halben Funktionswert zu berechnen
     \int_0^{\infty} t^{\frac{s}{2}-1} e^{-t} dt.
 \end{equation}
 Nun substituieren wir $t$ mit $t = \pi n^2 x$ und $dt=\pi n^2 dx$ und erhalten
-\begin{align}
+\begin{equation}
     \Gamma \left( \frac{s}{2} \right)
-    &=
+    =
     \int_0^{\infty}
     (\pi n^2)^{\frac{s}{2}}
     x^{\frac{s}{2}-1}
     e^{-\pi n^2 x}
-    \,dx
-    && \text{Division durch } (\pi n^2)^{\frac{s}{2}}
-    \\
+    \,dx.
+\end{equation}
+Analog zum Abschnitt \ref{zeta:section:zusammenhang_mit_gammafunktion} teilen wir durch $(\pi n^2)^{\frac{s}{2}}$
+\begin{equation}
     \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}} n^s}
-    &=
+     =
     \int_0^{\infty}
     x^{\frac{s}{2}-1}
     e^{-\pi n^2 x}
-    \,dx
-    && \text{Zeta durch Summenbildung } \sum_{n=1}^{\infty}
-    \\
+    \,dx,
+\end{equation}
+und finden Zeta durch die Summenbildung $\sum_{n=1}^{\infty}$
+\begin{equation}
     \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}}
     \zeta(s)
-    &=
+    =
     \int_0^{\infty}
     x^{\frac{s}{2}-1}
     \sum_{n=1}^{\infty}
     e^{-\pi n^2 x}
     \,dx. \label{zeta:equation:integral1}
-\end{align}
+\end{equation}
 Die Summe kürzen wir ab als $\psi(x) = \sum_{n=1}^{\infty} e^{-\pi n^2 x}$.
 %TODO Wieso folgendes -> aus Fourier Signal
 Es gilt
-- 
cgit v1.2.1


From 42a5955183a1bc0678158c61fd6189c39d305697 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: runterer <r.unterer@gmx.ch>
Date: Fri, 27 May 2022 23:29:56 +0200
Subject: added poissonsche summenformel

---
 buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex | 176 ++++++++++++++++++++++++++++-
 1 file changed, 171 insertions(+), 5 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/zeta')

diff --git a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
index 40424e0..0ccc116 100644
--- a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
+++ b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
@@ -106,15 +106,65 @@ und finden Zeta durch die Summenbildung $\sum_{n=1}^{\infty}$
     \,dx. \label{zeta:equation:integral1}
 \end{equation}
 Die Summe kürzen wir ab als $\psi(x) = \sum_{n=1}^{\infty} e^{-\pi n^2 x}$.
-%TODO Wieso folgendes -> aus Fourier Signal
-Es gilt
+Im Abschnitt \ref{zeta:subsec:poisson_summation} wird die poissonsche Summenformel $\sum f(n) = \sum F(n)$ bewiesen.
+In unserem Problem ist $f(n) =  e^{-\pi n^2 x}$ und die zugehörige Fouriertransformation $F(n)$ ist
+\begin{equation}
+    F(n)
+    =
+    \mathcal{F}
+    (
+    e^{-\pi n^2 x}
+    )
+    =
+    \frac{1}{\sqrt{x}}
+    e^{\frac{-n^2 \pi}{x}}.
+\end{equation}
+Dadurch ergibt sich
 \begin{equation}\label{zeta:equation:psi}
-    \psi(x)
+    \sum_{n=-\infty}^{\infty}
+    e^{-\pi n^2 x}
     =
+    \frac{1}{\sqrt{x}}
+    \sum_{n=-\infty}^{\infty}
+    e^{\frac{-n^2 \pi}{x}},
+\end{equation}
+wobei wir die Summen so verändern müssen, dass sie bei $n=1$ beginnen und wir $\psi(x)$ erhalten als
+\begin{align}
+    2
+    \sum_{n=1}^{\infty}
+    e^{-\pi n^2 x}
+    +
+    1
+    &=
+    \frac{1}{\sqrt{x}}
+    \left(
+    2
+    \sum_{n=1}^{\infty}
+    e^{\frac{-n^2 \pi}{x}}
+    +
+    1
+    \right)
+    \\
+    2
+    \psi(x)
+    +
+    1
+    &=
+    \frac{1}{\sqrt{x}}
+    \left(
+    2
+    \psi\left(\frac{1}{x}\right)
+    +
+    1
+    \right)
+    \\
+    \psi(x)
+    &=
     - \frac{1}{2}
     + \frac{\psi\left(\frac{1}{x} \right)}{\sqrt{x}}
-    + \frac{1}{2 \sqrt{x}}.
-\end{equation}
+    + \frac{1}{2 \sqrt{x}}.\label{zeta:equation:psi}
+\end{align}
+Diese Gleichung wird später wichtig werden.
 
 Zunächst teilen wir nun das Integral aus \eqref{zeta:equation:integral1} auf als
 \begin{equation}\label{zeta:equation:integral2}
@@ -309,3 +359,119 @@ Somit haben wir die analytische Fortsetzung gefunden als
     \zeta(1-s).
 \end{equation}
 %TODO Definitionen und Gleichungen klarer unterscheiden
+
+\subsection{Poissonsche Summenformel} \label{zeta:subsec:poisson_summation}
+
+Der Beweis für Gleichung \ref{zeta:equation:psi} folgt direkt durch die poissonsche Summenformel.
+Um diese zu beweisen, berechnen wir zunächst die Fourierreihe der Dirac Delta Funktion.
+
+\begin{lemma}
+    Die Fourierreihe der periodischen Dirac Delta Funktion $\sum \delta(x - 2\pi k)$ ist
+    \begin{equation} \label{zeta:equation:fourier_dirac}
+        \sum_{k=-\infty}^{\infty}
+        \delta(x - 2\pi k)
+        =
+        \frac{1}{2\pi}
+        \sum_{n=-\infty}^{\infty}
+        e^{i n x}.
+    \end{equation}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+    Eine Fourierreihe einer beliebigen periodischen Funktion $f(x)$ berechnet sich als
+    \begin{align}
+        f(x)
+        &=
+        \sum_{n=-\infty}^{\infty}
+        c_n
+        e^{i n x} \\
+        c_n
+        &=
+        \frac{1}{2\pi}
+        \int_{-\pi}^{\pi}
+        f(x)
+        e^{-i n x}
+        \, dx.
+    \end{align}
+    Wenn $f(x)=\delta(x)$ eingesetz wird ergeben sich konstante Koeffizienten
+    \begin{equation}
+        c_n
+        =
+        \frac{1}{2\pi}
+        \int_{-\pi}^{\pi}
+        \delta(x)
+        e^{-i n x}
+        \, dx
+        =
+        \frac{1}{2\pi},
+    \end{equation}
+    womit die sehr einfache Fourierreihe der Dirac Delta Funktion berechnet wäre.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Poissonsche Summernformel]
+    Die Summe einer Funktion $f(n)$ über alle ganzen Zahlen $n$ ist äquivalent zur Summe ihrer Fouriertransformation $F(k)$ über alle ganzen Zahlen $k$
+    \begin{equation}
+        \sum_{n=-\infty}^{\infty}
+        f(n)
+        =
+        \sum_{k=-\infty}^{\infty}
+        F(k).
+    \end{equation}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+    Wir schreiben die Summe über die Fouriertransformation aus
+    \begin{align}
+        \sum_{k=-\infty}^{\infty}
+        F(k)
+        &=
+        \sum_{k=-\infty}^{\infty}
+        \int_{-\infty}^{\infty}
+        f(x)
+        e^{-i 2\pi x k}
+        \, dx
+        \\
+        &=
+        \int_{-\infty}^{\infty}
+        f(x)
+        \underbrace{
+        \sum_{k=-\infty}^{\infty}
+        e^{-i 2\pi x k}
+        }_{\text{\eqref{zeta:equation:fourier_dirac}}}
+        \, dx,
+    \end{align}
+    und verwenden die Fouriertransformation der Dirac Funktion aus \eqref{zeta:equation:fourier_dirac}
+    \begin{align}
+        \sum_{k=-\infty}^{\infty}
+        e^{-i 2\pi x k}
+        &=
+        2 \pi
+        \sum_{k=-\infty}^{\infty}
+        \delta(-2\pi x - 2\pi k)
+        \\
+        &=
+        \frac{2 \pi}{2 \pi}
+        \sum_{k=-\infty}^{\infty}
+        \delta(x + k).
+    \end{align}
+    Wenn wir dies einsetzen und erhalten wir den gesuchten Beweis für die poissonsche Summenformel
+    \begin{equation}
+        \sum_{k=-\infty}^{\infty}
+        F(k)
+        =
+        \int_{-\infty}^{\infty}
+        f(x)
+        \sum_{k=-\infty}^{\infty}
+        \delta(x + k)
+        \, dx
+        =
+        \sum_{k=-\infty}^{\infty}
+        \int_{-\infty}^{\infty}
+        f(x)
+        \delta(x + k)
+        \, dx
+        =
+        \sum_{k=-\infty}^{\infty}
+        f(k).
+    \end{equation}
+\end{proof}
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