From 429329b73e6f33c2e1f5cf23178095311e10bd5a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "samuel.niederer" Date: Mon, 15 Aug 2022 21:48:22 +0200 Subject: use latex style arrows --- buch/papers/kra/images/multi_mass_spring.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/kra/images/multi_mass_spring.tex b/buch/papers/kra/images/multi_mass_spring.tex index f255cc8..f31db4c 100644 --- a/buch/papers/kra/images/multi_mass_spring.tex +++ b/buch/papers/kra/images/multi_mass_spring.tex @@ -5,7 +5,7 @@ \tikzstyle{mass}=[line width=0.6,red!30!black,fill=red!40!black!10,rounded corners=1,top color=red!40!black!20,bottom color=red!40!black!10,shading angle=20] \tikzstyle{spring}=[line width=0.8,blue!7!black!80,snake=coil,segment amplitude=5,line cap=round] -\begin{tikzpicture}[scale=2] +\begin{tikzpicture}[scale=2, >=latex] \newcommand{\ticks}[3] { % x, y coordinates -- cgit v1.2.1 From 3c5d4fdb477d6a8e13c798ec2637cb08bbd21033 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "samuel.niederer" Date: Mon, 15 Aug 2022 22:15:54 +0200 Subject: use latex style arrow --- buch/papers/kra/images/phase_space.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/kra/images/phase_space.tex b/buch/papers/kra/images/phase_space.tex index cd51ea4..be445ca 100644 --- a/buch/papers/kra/images/phase_space.tex +++ b/buch/papers/kra/images/phase_space.tex @@ -8,7 +8,7 @@ } } -\begin{tikzpicture}[scale=0.6] +\begin{tikzpicture}[scale=0.6, >=latex] % p(t=0) = 0, q(t=0) = A, max(p) = mwA \tikzmath{ \axh = 5.2; -- cgit v1.2.1 From 7741ac8b2c6ab763085df9602bf9af4cefa1ff43 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Thu, 18 Aug 2022 11:35:51 +0200 Subject: Added revision remarks to source of fourier example. --- buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 11 ++++++++++- 1 file changed, 10 insertions(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index a72c562..fd1659f 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -5,12 +5,16 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\subsection{Wärmeleitung in einem Homogenen Stab} +\subsection{Fourierreihe als Lösung des Sturm-Liouville-Problems +(Wärmeleitung)} In diesem Abschnitt wird das Problem der Wärmeleitung in einem homogenen Stab betrachtet und wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung dieses physikalischen Phänomenes auftritt. +% TODO: u is dependent on 2 variables (t, x) +% TODO: mention initial conditions u(0, x) + Zunächst wird ein eindimensionaler homogener Stab der Länge $l$ und Wärmeleitkoeffizient $\kappa$ betrachtet. Es ergibt sich für das Wärmeleitungsproblem @@ -355,6 +359,9 @@ wie auch mit isolierten Enden -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}. \end{equation} +% TODO: infinite base vectors and fourier series +\subsubsection{TODO: Auf Anzahl Lösungen und Fourierreihe eingehen} + % % Lösung von X(x), Teil: Koeffizienten a_n und b_n mittels skalarprodukt. % @@ -642,6 +649,8 @@ ergibt. Dieses Resultat kann nun mit allen vorhergehenden Resultaten zusammengesetzt werden um die vollständige Lösung für das Stab-Problem zu erhalten. +% TODO: elaborate + \subsubsection{Lösung für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur} \[ \begin{aligned} -- cgit v1.2.1 From d65bf90a7e01a26407f7891cea3831bf43029a40 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Thu, 18 Aug 2022 11:48:45 +0200 Subject: Added some structure hints and subsections. --- buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 5 +++++ 1 file changed, 5 insertions(+) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index fd1659f..ea84d46 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -362,6 +362,11 @@ wie auch mit isolierten Enden % TODO: infinite base vectors and fourier series \subsubsection{TODO: Auf Anzahl Lösungen und Fourierreihe eingehen} +% TODO: check ease of reading +\subsubsection{Berechnung der Koeffizienten} + +% TODO: move explanation A/B -> a_n/b_n to fourier subsection + % % Lösung von X(x), Teil: Koeffizienten a_n und b_n mittels skalarprodukt. % -- cgit v1.2.1 From 6045f3002a4dd4f214a8b4c66786a0d9916084ac Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Fri, 19 Aug 2022 13:40:41 +0200 Subject: Minor correction. --- buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index ea84d46..4992150 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -24,7 +24,7 @@ die partielle Differentialgleichung \frac{\partial u}{\partial t} = \kappa \frac{\partial^{2}u}{{\partial x}^{2}}, \end{equation} -wobei der Stab in diesem Fall auf der $X$-Achse im Intervall $[0,l]$ liegt. +wobei der Stab in diesem Fall auf der $x$-Achse im Intervall $[0,l]$ liegt. Da diese Differentialgleichung das Problem allgemein für einen homogenen Stab beschreibt, werden zusätzliche Bedingungen benötigt, um beispielsweise -- cgit v1.2.1 From e76aafb88c04a26d22417b65ba959cc899f00be1 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: haddoucher Date: Fri, 19 Aug 2022 16:00:49 +0200 Subject: Einleitung ein wenig korrigiert --- buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex | 53 ++++++---------------- .../sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex | 12 ++--- 2 files changed, 19 insertions(+), 46 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex index d497622..f58baf9 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex @@ -22,32 +22,24 @@ als \end{equation} geschrieben werden kann, dann wird diese Gleichung als Sturm-Liouville-Gleichung bezeichnet. \end{definition} -Alle homogene 2. Ordnung lineare gewöhnliche Differentialgleichungen können in die Form der Gleichung \ref{eq:sturm-liouville-equation} umgeformt werden. +Alle homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen 2. Ordnung können in die Form der Gleichung \eqref{eq:sturm-liouville-equation} umgewandelt werden. \subsection{Randbedingungen\label{sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}} -Wenn von der Funktion $y(x)$ die Werte $x$ des jeweiligen Randes des Definitionsbereiches anzunehmen sind, also +Geeignete Randbedingungen sind erforderlich, um die Lösungen einer Differentialgleichung genau zu bestimmen. +Die Sturm-Liouville-Gleichung mit homogenen Randbedingungen des dritten Typs \begin{equation} - y(a) = y(b) = 0, + \begin{aligned} + \label{eq:randbedingungen} + k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\ + k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0. + \end{aligned} \end{equation} -so spricht man von einer Dirichlet-Randbedingung\footnote{Die Dirichlet-Randbedingung oder auch Randbedingung des ersten Typs genannt ist nach dem deutschen Mathematiker Peter Gstav Lejeune Dirichlet benannt. Sie findet Anwendung auf gewöhnliche oder patielle Differentialgleichungen und gibt mit der Bedingung die Werte an, die für die abgeleitete Lösung innerhalb der Domänengrenze gelten.}, und von einer Neumann-Randbedingung\footnote{Die Neumann-Randbedingung oder auch Randbedingung des zweiten Typs genannt, ist nach dem deutschen Mathematiker Carl Neumann benannt. Sie legt die Werte fest, die eine Lösung entlang der Domänengrenze annehmen muss, wenn eine gewöhnliche oder partielle Differentialgleichung gestellt wird.} spricht man, wenn -\begin{equation} - y'(a) = y'(b) = 0 -\end{equation} -ergibt. +ist das klassische Sturm-Liouville-Problem. -Die Sturm-Liouville-Theorie besagt, dass, wenn man die Sturm-Liouville-Gleichung mit den homogenen Randbedingungen des dritten Typs\footnote{Die Randbedingung des dritten Typs, oder Robin-Randbedingungen (benannt nach dem französischen mathematischen Analytiker und angewandten Mathematiker Victor Gustave Robin), wird genannt, wenn sie einer gewöhnlichen oder partiellen Differentialgleichung auferlegt wird, so sind die Spezifikationen einer Linearkombination der Werte einer Funktion sowie die Werte ihrer Ableitung am Rande des Bereichs} -\begin{equation} -\begin{aligned} - \label{eq:randbedingungen} - k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\ - k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0 -\end{aligned} -\end{equation} -kombiniert, dann bekommt man das klassische Sturm-Liouville-Problem. \subsection{Eigenwertproblem} -Die Gleichungen \ref{eq:sturm-liouville-equation} hat die Form eines Eigenwertproblems -Wenn bei der Sturm-Liouville-Gleichung \ref{eq:sturm-liouville-equation} alles konstant bleibt, aber der Wert von $\lambda$ sich ändert, erhält man eine andere Eigenfunktion, weil man eine andere gewöhnliche Differentialgleichung löst; +Die Gleichungen \eqref{eq:sturm-liouville-equation} hat die Form eines Eigenwertproblems. +Wenn bei der Sturm-Liouville-Gleichung \eqref{eq:sturm-liouville-equation} alles konstant bleibt, aber der Wert von $\lambda$ sich ändert, erhält man eine andere Eigenfunktion, weil man eine andere gewöhnliche Differentialgleichung löst; der Parameter $\lambda$ wird als Eigenwert bezeichnet. Es ist genau das gleiche Prinzip wie bei den Matrizen, andere Eigenwerte ergeben andere Eigenvektoren. Es besteht eine Korrespondenz zwischen den Eigenwerten und den Eigenvektoren. @@ -67,14 +59,13 @@ Somit ergibt die Gleichung \subsection{Koeffizientenfunktionen} Die Funktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ werden als Koeffizientenfunktionen mit ihren freien Variablen $x$ bezeichnet. Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion oder Dichtefunktion bezeichnet. -Es gibt zwei verschiedene Sturm-Liouville-Probleme: das reguläre Sturm-Liouville-Problem und das singuläre Sturm-Liouville-Problem. -Die Funktionen für das reguläre und das singuläre Sturm-Liouville-Problem sind nicht dieselben. +Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen haben einen grossen Einfluss auf die Lösbarkeit des Sturm-Liouville-Problems. % %Kapitel mit "Das reguläre Sturm-Liouville-Problem" % -\subsection{Das reguläre Sturm-Liouville-Problem\label{sub:reguläre_sturm_liouville_problem}} +\subsection{Das reguläre oder singuläre Sturm-Liouville-Problem\label{sub:reguläre_sturm_liouville_problem}} Damit es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem handelt, müssen einige Bedingungen beachtet werden. \begin{definition} \label{def:reguläres_sturm-liouville-problem} @@ -84,30 +75,14 @@ Damit es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem handelt, müssen einige \item Die Funktionen $p(x), p'(x), q(x)$ und $w(x)$ müssen stetig und reell sein. \item sowie müssen in einem endlichen Intervall $[a,b]$ integrierbar sein. \item $p(x)$ und $w(x)$ sind $>0$. - \item Es gelten die Randbedingungen \ref{eq:randbedingungen}, wobei $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$. + \item Es gelten die Randbedingungen \eqref{eq:randbedingungen}, wobei $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$. \end{itemize} \end{definition} Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem geht es darum, wichtige Eigenschaften der Eigenfunktionen beschreiben zu können, ohne sie genau zu kennen. -% -%Kapitel mit "Das singuläre Sturm-Liouville-Problem" -% -\subsection{Das singuläre Sturm-Liouville-Problem\label{sub:singuläre_sturm_liouville_problem}} -Von einem singulären Sturm-Liouville-Problem spricht man, wenn die Bedingungen des regulärem Problem nicht erfüllt sind. -\begin{definition} - \label{def:singulär_sturm-liouville-problem} - \index{singuläres Sturm-Liouville-Problem} -Es handelt sich um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem, wenn: - \begin{itemize} - \item wenn sein Definitionsbereich auf dem Intervall $[ \ a,b] \ $ unbeschränkt ist oder - \item wenn die Koeffizienten an den Randpunkten Singularitäten haben. - \end{itemize} -\end{definition} -Allerdings kann nur eine der Bedingungen nicht erfüllt sein, so dass es sich bereits um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt. - \begin{beispiel} Das Randwertproblem \begin{equation} diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex index 3817dc0..c304632 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex @@ -41,29 +41,27 @@ ist die gleiche wie $w(x)$ und erfüllt die Bedingung. \subsubsection*{Randwertproblem} Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$. Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $[ -1,1 ]$ orthogonal verhalten, sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt. -Beim einsetzen in die Randbedingung \ref{eq:randbedingungen}, erhält man +Beim einsetzen in die Randbedingung \eqref{eq:randbedingungen}, erhält man \begin{equation} \begin{aligned} - k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0 + k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0\\ k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0. \end{aligned} \end{equation} -Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome (siehe \label{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}). -Es gibt zwei Arten von Tschebyscheff Polynome: die erste Art $T_n(x)$ und die zweite Art $U_n(x)$. -Jedoch beachtet man in diesem Kapitel nur die Tschebyscheff Polynome erster Art (\ref{eq:tschebyscheff-polynome}). +Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome (siehe \ref{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}). Die Funktion $y(x)$ wird nun mit der Funktion $T_n(x)$ ersetzt und für die Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=2$. Somit erhält man \begin{equation} \begin{aligned} k_a T_2(-1) + h_a T_{2}'(-1) &= k_a = 0\\ k_b T_2(1) + h_b T_{2}'(1) &= k_b = 0. -\end{aligned} + \end{aligned} \end{equation} Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab kann man, damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, können beliebige $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden. Somit ist erneut gezeigt, dass die Randbedingungen der Tschebyscheff-Polynome auf die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden Lösungen orthogonal sind. \begin{beispiel} - Die Gleichung \ref{eq:skalar-sturm-liouville} mit $y_m = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$ ergibt + Die Gleichung \eqref{eq:skalar-sturm-liouville} mit $y_m = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$ ergibt \[ \int_{-1}^{1} w(x) x (2x^2-1) dx = 0. \] -- cgit v1.2.1 From 89713bfdec5519956942a81e52ba11ed742730e0 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Fri, 19 Aug 2022 16:10:08 +0200 Subject: Commit before merging and revising all work. --- buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 9 +++++++++ 1 file changed, 9 insertions(+) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index bef8a39..7ac2d92 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -4,10 +4,19 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % + + \section{Eigenschaften von Lösungen \label{sturmliouville:section:solution-properties}} \rhead{Eigenschaften von Lösungen} + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% OLD section %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +% \section{OLD: Eigenschaften von Lösungen} +% \label{sturmliouville:section:solution-properties}} +% \rhead{Eigenschaften von Lösungen} + Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines Sturm-Liouville-Problems diskutiert und aufgezeigt, wie diese Eigenschaften zustande kommen. -- cgit v1.2.1 From ceb14483a272c5e78f43baf858312d0f6d45d39b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Fri, 19 Aug 2022 16:13:05 +0200 Subject: Commiting again. (Some changes weren't captured.) --- buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex index 3817dc0..f0e6860 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex @@ -48,7 +48,7 @@ Beim einsetzen in die Randbedingung \ref{eq:randbedingungen}, erhält man k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0. \end{aligned} \end{equation} -Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome (siehe \label{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}). +Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome (siehe \ref{sub:tschebyscheff-polynome}). Es gibt zwei Arten von Tschebyscheff Polynome: die erste Art $T_n(x)$ und die zweite Art $U_n(x)$. Jedoch beachtet man in diesem Kapitel nur die Tschebyscheff Polynome erster Art (\ref{eq:tschebyscheff-polynome}). Die Funktion $y(x)$ wird nun mit der Funktion $T_n(x)$ ersetzt und für die Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=2$. -- cgit v1.2.1 From 122c15094eb58f62ff8fac3e97d85dcdd5fcddc1 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com> Date: Fri, 19 Aug 2022 16:59:11 +0200 Subject: Reformatted code to comply with guidelines. --- buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex | 99 ++++++++++++++-------- .../sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex | 61 +++++++------ 2 files changed, 101 insertions(+), 59 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex index f58baf9..324fa8f 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex @@ -5,9 +5,18 @@ % \section{Was ist das Sturm-Liouville-Problem\label{sturmliouville:section:teil0}} \rhead{Einleitung} -Das Sturm-Liouville-Problem wurde benannt nach dem schweizerisch-französischen Mathematiker und Physiker Jacques Charles Fran\c{c}ois Sturm und dem französischen Mathematiker Joseph Liouville. -Gemeinsam haben sie in der mathematischen Physik die Sturm-Liouville-Theorie entwickelt und gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen, jedoch verwendet man die Theorie öfters bei der Lösung von partiellen Differentialgleichungen. -Normalerweise betrachtet man für das Strum-Liouville-Problem eine gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung, und wenn es sich um eine partielle Differentialgleichung handelt, kann man sie in mehrere gewöhnliche Differentialgleichungen umwandeln. Wie z. B. den Separationsansatz, die partielle Differentialgleichung mit mehreren Variablen. +Das Sturm-Liouville-Problem wurde benannt nach dem schweizerisch-französischen +Mathematiker und Physiker Jacques Charles Fran\c{c}ois Sturm und dem +französischen Mathematiker Joseph Liouville. +Gemeinsam haben sie in der mathematischen Physik die Sturm-Liouville-Theorie +entwickelt und gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen, +jedoch verwendet man die Theorie öfters bei der Lösung von partiellen +Differentialgleichungen. +Normalerweise betrachtet man für das Strum-Liouville-Problem eine gewöhnliche +Differentialgleichung 2. Ordnung, und wenn es sich um eine partielle +Differentialgleichung handelt, kann man sie in mehrere gewöhnliche +Differentialgleichungen umwandeln. Wie z. B. den Separationsansatz, die +partielle Differentialgleichung mit mehreren Variablen. \begin{definition} \index{Sturm-Liouville-Gleichung}% @@ -18,14 +27,21 @@ Wenn die lineare homogene Differentialgleichung als \begin{equation} \label{eq:sturm-liouville-equation} - \frac{d}{dx}\lbrack p(x) \frac{dy}{dx} \rbrack + \lbrack q(x) + \lambda w(x) \rbrack y = 0 + \frac{d}{dx}\lbrack p(x) \frac{dy}{dx} \rbrack + \lbrack q(x) + + \lambda w(x) \rbrack y + = + 0 \end{equation} -geschrieben werden kann, dann wird diese Gleichung als Sturm-Liouville-Gleichung bezeichnet. +geschrieben werden kann, dann wird diese Gleichung als Sturm-Liouville-Gleichung +bezeichnet. \end{definition} -Alle homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen 2. Ordnung können in die Form der Gleichung \eqref{eq:sturm-liouville-equation} umgewandelt werden. +Alle homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen 2. Ordnung können +in die Form der Gleichung \eqref{eq:sturm-liouville-equation} umgewandelt +werden. \subsection{Randbedingungen\label{sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}} -Geeignete Randbedingungen sind erforderlich, um die Lösungen einer Differentialgleichung genau zu bestimmen. +Geeignete Randbedingungen sind erforderlich, um die Lösungen einer +Differentialgleichung genau zu bestimmen. Die Sturm-Liouville-Gleichung mit homogenen Randbedingungen des dritten Typs \begin{equation} \begin{aligned} @@ -38,17 +54,24 @@ ist das klassische Sturm-Liouville-Problem. \subsection{Eigenwertproblem} -Die Gleichungen \eqref{eq:sturm-liouville-equation} hat die Form eines Eigenwertproblems. -Wenn bei der Sturm-Liouville-Gleichung \eqref{eq:sturm-liouville-equation} alles konstant bleibt, aber der Wert von $\lambda$ sich ändert, erhält man eine andere Eigenfunktion, weil man eine andere gewöhnliche Differentialgleichung löst; +Die Gleichungen \eqref{eq:sturm-liouville-equation} hat die Form eines +Eigenwertproblems. +Wenn bei der Sturm-Liouville-Gleichung \eqref{eq:sturm-liouville-equation} alles +konstant bleibt, aber der Wert von $\lambda$ sich ändert, erhält man eine andere +Eigenfunktion, weil man eine andere gewöhnliche Differentialgleichung löst; der Parameter $\lambda$ wird als Eigenwert bezeichnet. -Es ist genau das gleiche Prinzip wie bei den Matrizen, andere Eigenwerte ergeben andere Eigenvektoren. +Es ist genau das gleiche Prinzip wie bei den Matrizen, andere Eigenwerte ergeben +andere Eigenvektoren. Es besteht eine Korrespondenz zwischen den Eigenwerten und den Eigenvektoren. Das gleiche gilt auch beim Sturm-Liouville-Problem, und zwar \begin{equation} \lambda \overset{Korrespondenz}\leftrightarrow y. \end{equation} -Die Theorie besagt, wenn $y_m$, $y_n$ Eigenfuktionen des Sturm-Liouville-Problems sind, die verschiedene Eigenwerte $\lambda_m$, $\lambda_n$ ($\lambda_m \neq \lambda_n$) entsprechen, so sind $y_m$, $y_n$ orthogonal zu y - +Die Theorie besagt, wenn $y_m$, $y_n$ Eigenfuktionen des +Sturm-Liouville-Problems sind, die verschiedene Eigenwerte $\lambda_m$, +$\lambda_n$ ($\lambda_m \neq \lambda_n$) entsprechen, so sind $y_m$, $y_n$ +orthogonal zu y - dies gilt für das Intervall (a,b). Somit ergibt die Gleichung \begin{equation} @@ -57,31 +80,38 @@ Somit ergibt die Gleichung \end{equation} \subsection{Koeffizientenfunktionen} -Die Funktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ werden als Koeffizientenfunktionen mit ihren freien Variablen $x$ bezeichnet. -Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion oder Dichtefunktion bezeichnet. -Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen haben einen grossen Einfluss auf die Lösbarkeit des Sturm-Liouville-Problems. +Die Funktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ werden als Koeffizientenfunktionen mit +ihren freien Variablen $x$ bezeichnet. +Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion +oder Dichtefunktion bezeichnet. +Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen haben einen grossen Einfluss auf +die Lösbarkeit des Sturm-Liouville-Problems. % %Kapitel mit "Das reguläre Sturm-Liouville-Problem" % -\subsection{Das reguläre oder singuläre Sturm-Liouville-Problem\label{sub:reguläre_sturm_liouville_problem}} -Damit es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem handelt, müssen einige Bedingungen beachtet werden. +\subsection{Das reguläre oder singuläre Sturm-Liouville-Problem +\label{sub:reguläre_sturm_liouville_problem}} +Damit es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem handelt, müssen einige +Bedingungen beachtet werden. \begin{definition} \label{def:reguläres_sturm-liouville-problem} \index{regläres Sturm-Liouville-Problem} Die Bedingungen für ein reguläres Sturm-Liouville-Problem sind: \begin{itemize} - \item Die Funktionen $p(x), p'(x), q(x)$ und $w(x)$ müssen stetig und reell sein. - \item sowie müssen in einem endlichen Intervall $[a,b]$ integrierbar sein. + \item Die Funktionen $p(x), p'(x), q(x)$ und $w(x)$ müssen stetig und + reell sein. + \item sowie müssen in einem endlichen Intervall $[a,b]$ integrierbar + sein. \item $p(x)$ und $w(x)$ sind $>0$. - \item Es gelten die Randbedingungen \eqref{eq:randbedingungen}, wobei $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$. + \item Es gelten die Randbedingungen \eqref{eq:randbedingungen}, wobei + $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$. \end{itemize} \end{definition} -Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem geht es darum, wichtige Eigenschaften der Eigenfunktionen beschreiben zu können, ohne sie genau zu kennen. - - - +Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem geht es darum, wichtige +Eigenschaften der Eigenfunktionen beschreiben zu können, ohne sie genau zu +kennen. \begin{beispiel} Das Randwertproblem @@ -92,8 +122,11 @@ Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem geht es darum, wichtige Eigenschaft \end{aligned} \end{equation} ist kein reguläres Sturm-Liouville-Problem. - Wenn man die Gleichung in die Sturm-Liouville Form umformen, dann ergeben die Koeffizientenfunktionen $p(x) = w(x) = x$ und $q(x) = -m^2/x$. - Schaut man jetzt die Bedingungen im Kapitel \ref{sub:reguläre_sturm_liouville_problem} an und vergleicht diese unseren Koeffizientenfunktionen, so erkennt man einige Probleme: + Wenn man die Gleichung in die Sturm-Liouville Form umformen, dann ergeben + die Koeffizientenfunktionen $p(x) = w(x) = x$ und $q(x) = -m^2/x$. + Schaut man jetzt die Bedingungen im + Kapitel~\ref{sub:reguläre_sturm_liouville_problem} an und vergleicht diese + unseren Koeffizientenfunktionen, so erkennt man einige Probleme: \begin{itemize} \item $p(x)$ und $w(x)$ sind nicht positiv, wenn $x = 0$ ist. \item $q(x)$ ist nicht kontinuierlich, wenn $x = 0$ ist. @@ -101,11 +134,11 @@ Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem geht es darum, wichtige Eigenschaft \end{itemize} \end{beispiel} -Verwendet man das reguläre Sturm-Liouville-Problem, obwohl eine oder beide Bedingungen nicht erfüllt sind, dann ist es schwierig zu sagen, ob die Lösung eindeutige Ergebnisse hat. -Es ist schwierig, Kriterien anzuwenden, da die Formulierungen z. B. in der Lösungsfunktion liegen. -Ähnlich wie bei der Fourier-Reihe gegenüber der Fourier-Transformation gibt es immer noch eine zugehörige Eigenfunktionsentwicklung, und zwar die Integraltransformation sowie gibt es weiterhin verallgemeinerte Eigenfunktionen. - - - - - +Verwendet man das reguläre Sturm-Liouville-Problem, obwohl eine oder beide +Bedingungen nicht erfüllt sind, dann ist es schwierig zu sagen, ob die Lösung +eindeutige Ergebnisse hat. +Es ist schwierig, Kriterien anzuwenden, da die Formulierungen z. B. in der +Lösungsfunktion liegen. +Ähnlich wie bei der Fourier-Reihe gegenüber der Fourier-Transformation gibt es +immer noch eine zugehörige Eigenfunktionsentwicklung, und zwar die +Integraltransformation sowie gibt es weiterhin verallgemeinerte Eigenfunktionen. diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex index c304632..cad71d7 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex @@ -4,9 +4,11 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\subsection{Sind Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander?\label{sub:tschebyscheff-polynome}} +\subsection{Sind Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander? +\label{sub:tschebyscheff-polynome}} \subsubsection*{Definition der Koeffizientenfunktion} -Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgeliste, und zwar mit +Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die +Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgeliste, und zwar mit \begin{align*} w(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ p(x) &= \sqrt{1-x^2} \\ @@ -15,15 +17,25 @@ Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfun Da die Sturm-Liouville-Gleichung \begin{equation} \label{eq:sturm-liouville-equation-tscheby} - \frac{d}{dx} (\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx}) + (0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}) y = 0 + \frac{d}{dx} (\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx}) + + (0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}) y + = + 0 \end{equation} -nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage, ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt. +nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage, +ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt. \subsubsection*{regulär oder singulär?} -Für das reguläre Problem laut der Definition \ref{def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und $w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein --- und sie sind es auch. -Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art mit Hilfe von Hyperbelfunktionen +Für das reguläre Problem laut der +Definition~\ref{def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion +$p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und +$w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein --- und sie sind es auch. +Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art mit Hilfe +von Hyperbelfunktionen \begin{equation} - T_n(x) = \cos n (\arccos x) + T_n(x) + = + \cos n (\arccos x) \end{equation}. Für $x>1$ und $x<-1$ sehen die Polynome wie folgt aus: \begin{equation} @@ -31,7 +43,8 @@ Für $x>1$ und $x<-1$ sehen die Polynome wie folgt aus: (-1)^n \cosh (n \arccos (-x)), & x<-1 \end{array}\right. \end{equation}, jedoch ist die Orthogonalität nur auf dem Intervall $[ -1, 1]$ sichergestellt. -Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)$ und $w(x)>0$ sein müssen. +Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)$ und $w(x)>0$ sein +müssen. Die Funktion \begin{equation*} p(x)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} @@ -40,7 +53,8 @@ ist die gleiche wie $w(x)$ und erfüllt die Bedingung. \subsubsection*{Randwertproblem} Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$. -Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $[ -1,1 ]$ orthogonal verhalten, sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt. +Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $[ -1,1 ]$ orthogonal verhalten, +sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt. Beim einsetzen in die Randbedingung \eqref{eq:randbedingungen}, erhält man \begin{equation} \begin{aligned} @@ -48,8 +62,10 @@ Beim einsetzen in die Randbedingung \eqref{eq:randbedingungen}, erhält man k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0. \end{aligned} \end{equation} -Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome (siehe \ref{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}). -Die Funktion $y(x)$ wird nun mit der Funktion $T_n(x)$ ersetzt und für die Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=2$. +Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome +(siehe \ref{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}). +Die Funktion $y(x)$ wird nun mit der Funktion $T_n(x)$ ersetzt und für die +Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=2$. Somit erhält man \begin{equation} \begin{aligned} @@ -57,24 +73,17 @@ Somit erhält man k_b T_2(1) + h_b T_{2}'(1) &= k_b = 0. \end{aligned} \end{equation} -Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab kann man, damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, können beliebige $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden. -Somit ist erneut gezeigt, dass die Randbedingungen der Tschebyscheff-Polynome auf die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden Lösungen orthogonal sind. +Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab kann man, +damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, können beliebige +$h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden. +Somit ist erneut gezeigt, dass die Randbedingungen der Tschebyscheff-Polynome +auf die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden +Lösungen orthogonal sind. \begin{beispiel} - Die Gleichung \eqref{eq:skalar-sturm-liouville} mit $y_m = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$ ergibt + Die Gleichung \eqref{eq:skalar-sturm-liouville} mit $y_m = T_1(x)$ und + $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$ ergibt \[ \int_{-1}^{1} w(x) x (2x^2-1) dx = 0. \] \end{beispiel} - - - - - - - - - - - - -- cgit v1.2.1 From 8f4f84434acdf37f425df36902e1f0f9be137cc9 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "samuel.niederer" Date: Fri, 19 Aug 2022 21:55:57 +0200 Subject: correct cite order --- buch/papers/kra/einleitung.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/kra/einleitung.tex b/buch/papers/kra/einleitung.tex index cde2e66..0503742 100644 --- a/buch/papers/kra/einleitung.tex +++ b/buch/papers/kra/einleitung.tex @@ -11,4 +11,4 @@ Als Riccati Gleichung werden auch Matrixgleichungen der Form \label{kra:equation:matrixriccati} \dot{X}(t) = C + DX(t) - X(t)A -X(t)BX(t) \end{equation} -bezeichnet, welche aufgrund ihres quadratischen Terms eine gewisse Ähnlichkeit aufweisen \cite{kra:ethz} \cite{kra:riccati}. +bezeichnet, welche aufgrund ihres quadratischen Terms eine gewisse Ähnlichkeit aufweisen \cite{kra:riccati} \cite{kra:ethz}. -- cgit v1.2.1 From 51b817632fbd9633efeba81e7f457a70f74248cd Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "samuel.niederer" Date: Fri, 19 Aug 2022 21:56:35 +0200 Subject: correct typographic errors --- buch/papers/kra/anwendung.tex | 76 +++++++++++++++++++++++-------------------- 1 file changed, 40 insertions(+), 36 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/kra/anwendung.tex b/buch/papers/kra/anwendung.tex index 6383984..6390d4f 100644 --- a/buch/papers/kra/anwendung.tex +++ b/buch/papers/kra/anwendung.tex @@ -2,23 +2,24 @@ \rhead{Anwendung} \newcommand{\dt}[0]{\frac{d}{dt}} -Die Matrix-Riccati Differentialgleichung findet unter anderem Anwendung in der Regelungstechnik beim RQ- und RQG-Regler oder aber auch beim Kalmanfilter. -Im folgenden Abschnitt möchten wir uns an einem Beispiel anschauen wie wir mit Hilfe der Matrix-Riccati Differentialgleichung (\ref{kra:equation:matrixriccati}) ein Feder-Masse-System untersuchen können \cite{kra:riccati}. +Die Matrix-Riccati Differentialgleichung findet unter anderem Anwendung in der Regelungstechnik beim RQ- und RQG-Regler oder aber auch beim Kalman-Filter. +Im folgenden Abschnitt möchten wir uns an einem Beispiel anschauen wie wir mit Hilfe der Matrix-Riccati-Differentialgleichung (\ref{kra:equation:matrixriccati}) ein Feder-Masse-System untersuchen können \cite{kra:riccati}. \subsection{Feder-Masse-System} -Die einfachste Form eines Feder-Masse-Systems ist dargestellt in Abbildung \ref{kra:fig:simple_mass_spring}. -Es besteht aus einer reibungsfrei gelagerten Masse $m$ ,welche an eine Feder mit der Federkonstante $k$ gekoppelt ist. +Die einfachste Form eines Feder-Masse-Systems ist dargestellt in Abbildung~\ref{kra:fig:simple_mass_spring}. +Es besteht aus einer reibungsfrei gelagerten Masse $m$, welche an eine Feder mit der Federkonstante $k$ gekoppelt ist. Die im System wirkenden Kräfte teilen sich auf in die auf dem hookeschen Gesetz basierenden Rückstellkraft $F_R = k \Delta_x$ und der auf dem Aktionsprinzip basierenden Kraft $F_a = am = \ddot{x} m$. Das Kräftegleichgewicht fordert $F_R = F_a$ woraus folgt, dass \begin{equation*} - k \Delta_x = \ddot{x} m \Leftrightarrow \ddot{x} = \frac{k \Delta_x}{m} + k \Delta_x = \ddot{x} m \Leftrightarrow \ddot{x} = \frac{k \Delta_x}{m}. \end{equation*} Die Funktion die diese Differentialgleichung löst, ist die harmonische Schwingung \begin{equation} - x(t) = A \cos(\omega_0 t + \Phi), \quad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} + x(t) = A \cos(\omega_0 t + \varphi), \quad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}. \end{equation} \begin{figure} + \centering % move image to standalone because the physics package is % incompatible with underbrace \includegraphics{papers/kra/images/simple.pdf} @@ -27,6 +28,7 @@ Die Funktion die diese Differentialgleichung löst, ist die harmonische Schwingu \label{kra:fig:simple_mass_spring} \end{figure} \begin{figure} + \centering \input{papers/kra/images/multi_mass_spring.tex} \caption{Feder-Masse-System mit zwei Massen und drei Federn.} \label{kra:fig:multi_mass_spring} @@ -36,29 +38,29 @@ Die Funktion die diese Differentialgleichung löst, ist die harmonische Schwingu Die Bewegung der Masse $m$ kann mit Hilfe der hamiltonschen Mechanik im Phasenraum untersucht werden. Die hamiltonschen Gleichungen verwenden dafür die verallgemeinerten Ortskoordinaten $q = (q_{1}, q_{2}, ..., q_{n})$ und die verallgemeinerten Impulskoordinaten $p = (p_{1}, p_{2}, ..., p_{n})$, wobei der Impuls definiert ist als $p_k = m_k \cdot v_k$. -Liegen keine zeitabhängigen Zwangsbedingungen vor, so entspricht die Hamitlon-Funktion der Gesamtenergie des Systems \cite{kra:hamilton}. +Liegen keine zeitabhängigen Zwangsbedingungen vor, so entspricht die Hamilton-Funktion der Gesamtenergie des Systems \cite{kra:hamilton}. Im Falle des einfachen Feder-Masse-Systems, Abbildung \ref{kra:fig:simple_mass_spring}, setzt sich die Hamilton-Funktion aus kinetischer und potentieller Energie zusammen. \begin{equation} - \label{kra:harmonischer_oszillator} + \label{kra:equation:harmonischer_oszillator} \begin{split} - \mathcal{H}(q, p) &= T(p) + V(q) = E \\ - &= \underbrace{\frac{p^2}{2m}}_{E_{kin}} + \underbrace{\frac{k q^2}{2}}_{E_{pot}} + H(q, p) &= T(p) + V(q) = E \\ + &= \underbrace{\frac{p^2}{2m}}_{\displaystyle{E_{kin}}} + \underbrace{\frac{k q^2}{2}}_{\displaystyle{E_{pot}}} \end{split} \end{equation} Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen liefern \cite{kra:kanonischegleichungen} \begin{equation} - \label{kra:hamilton:bewegungsgleichung} - \dot{q_{k}} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k} + \label{kra:equation:bewegungsgleichung} + \dot{q_{k}} = \frac{\partial H}{\partial p_k} \qquad - \dot{p_{k}} = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k} + \dot{p_{k}} = -\frac{\partial H}{\partial q_k}, \end{equation} daraus folgt \[ \dot{q} = \frac{p}{m} \qquad - \dot{p} = -kq + \dot{p} = -kq. \] -in Matrixschreibweise erhalten wir also +In Matrixschreibweise erhalten wir also \[ \begin{pmatrix} \dot{q} \\ @@ -73,10 +75,11 @@ in Matrixschreibweise erhalten wir also q \\ p \end{pmatrix} + . \] Für das erweiterte Federmassesystem, Abbildung \ref{kra:fig:multi_mass_spring}, können wir analog vorgehen. Die kinetische Energie setzt sich nun aus den kinetischen Energien der einzelnen Massen $m_1$ und $m_2$ zusammen. -Die Potentielle Energie erhalten wir aus der Summe der kinetischen Energien der einzelnen Federn mit den Federkonstanten $k_1$, $k_c$ und $k_2$. +Die potentielle Energie erhalten wir aus der Summe der kinetischen Energien der einzelnen Federn mit den Federkonstanten $k_1$, $k_c$ und $k_2$. \begin{align*} \begin{split} T &= T_1 + T_2 \\ @@ -85,19 +88,19 @@ Die Potentielle Energie erhalten wir aus der Summe der kinetischen Energien der \\ \begin{split} V &= V_1 + V_c + V_2 \\ - &= \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2} + &= \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2}. \end{split} \end{align*} Die Hamilton-Funktion ist also \begin{align*} \begin{split} - \mathcal{H} &= T + V \\ - &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2} + H &= T + V \\ + &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2} \end{split} \end{align*} -Die Bewegungsgleichungen \ref{kra:hamilton:bewegungsgleichung} liefern +Die Bewegungsgleichungen \eqref{kra:equation:bewegungsgleichung} liefern \begin{align*} - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k} & = \dot{q_k} + \frac{\partial H}{\partial p_k} & = \dot{q_k} \Rightarrow \left\{ \begin{alignedat}{2} @@ -106,18 +109,18 @@ Die Bewegungsgleichungen \ref{kra:hamilton:bewegungsgleichung} liefern \end{alignedat} \right. \\ - -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k} & = \dot{p_k} + -\frac{\partial H}{\partial q_k} & = \dot{p_k} \Rightarrow \left\{ \begin{alignedat}{2} \dot{p_1} &= -(\frac{2k_1q_1}{2} - \frac{2k_c(q_2-q_1)}{2}) &&= -q_1(k_1+k_c) + q_2k_c \\ - \dot{p_1} &= -(\frac{2k_c(q_2-q_1)}{2} - \frac{2k_2q_2}{2}) &&= q_1k_c - (k_c + k_2) + \dot{p_1} &= -(\frac{2k_c(q_2-q_1)}{2} - \frac{2k_2q_2}{2}) &&= q_1k_c - (k_c + k_2). \end{alignedat} \right. \end{align*} In Matrixschreibweise erhalten wir \begin{equation} - \label{kra:hamilton:multispringmass} + \label{kra:equation:hamilton-multispringmass} \begin{pmatrix} \dot{q_1} \\ \dot{q_2} \\ @@ -153,7 +156,7 @@ In Matrixschreibweise erhalten wir \begin{pmatrix} Q \\ P \\ - \end{pmatrix} + \end{pmatrix}. \end{equation} \subsection{Phasenraum} @@ -161,22 +164,23 @@ Der Phasenraum erlaubt die eindeutige Beschreibung aller möglichen Bewegungszus Die Phasenraumdarstellung eignet sich somit sehr gut für die systematische Untersuchung der Feder-Masse-Systeme. \subsubsection{Harmonischer Oszillator} -Die Hamiltonfunktion des harmonischen Oszillators \ref{kra:harmonischer_oszillator} führt auf eine Lösung der Form +Die Hamiltonfunktion des harmonischen Oszillators \eqref{kra:equation:harmonischer_oszillator} führt auf eine Lösung der Form \begin{equation*} - q(t) = A \cos(\omega_0 T + \Phi), \quad p(t) = -m \omega_0 A \sin(\omega_0 t + \Phi) + q(t) = A \cos(\omega_0 T + \Phi), \quad p(t) = -m \omega_0 A \sin(\omega_0 t + \Phi), \end{equation*} die Phasenraumtrajektorien bilden also Ellipsen mit Zentrum $q=0, p=0$ und Halbachsen $A$ und $m \omega A$. -Abbildung \ref{kra:fig:phasenraum} zeigt Phasenraumtrajektorien mit den Energien $E_{x \in \{A, B, C, D\}}$ und verschiedenen Werten von $\omega$. +Abbildung~\ref{kra:fig:phasenraum} zeigt Phasenraumtrajektorien mit den Energien $E_{x \in \{A, B, C, D\}}$ und verschiedenen Werten von $\omega$. \begin{figure} + \centering \input{papers/kra/images/phase_space.tex} \caption{Phasenraumdarstellung des einfachen Feder-Masse-Systems.} \label{kra:fig:phasenraum} \end{figure} \subsubsection{Erweitertes Feder-Masse-System} -Wir intressieren uns nun dafür wie der Phasenwinkel $U = PQ^{-1}$ von der Zeit abhängt, +Wir interessieren uns nun dafür, wie der Phasenwinkel $U = PQ^{-1}$ von der Zeit abhängt, wir suchen also die Grösse $\Theta = \dt U$. -Ersetzten wir in der Gleichung \ref{kra:hamilton:multispringmass} die Matrix $G$ mit $\tilde{G}$ so erhalten wir +Ersetzten wir in der Gleichung \eqref{kra:equation:hamilton-multispringmass} die Matrix $G$ mit $\tilde{G}$ so erhalten wir \begin{equation} \dt \begin{pmatrix} @@ -189,13 +193,13 @@ Ersetzten wir in der Gleichung \ref{kra:hamilton:multispringmass} die Matrix $G$ A & B \\ C & D \end{pmatrix} - }_{\tilde{G}} + }_{\displaystyle{\tilde{G}}} \begin{pmatrix} Q \\ P - \end{pmatrix} + \end{pmatrix}. \end{equation} -Mit einsetzten folgt +Ausgeschrieben folgt \begin{align*} \dot{Q} = AQ + BP \\ \dot{P} = CQ + DP @@ -204,12 +208,12 @@ Mit einsetzten folgt \begin{split} \dt U &= \dot{P} Q^{-1} + P \dt Q^{-1} \\ &= (CQ + DP) Q^{-1} - P (Q^{-1} \dot{Q} Q^{-1}) \\ - &= C\underbrace{QQ^{-1}}_\text{I} + D\underbrace{PQ^{-1}}_\text{U} - P(Q^{-1} (AQ + BP) Q^{-1}) \\ - &= C + DU - \underbrace{PQ^{-1}}_\text{U}(A\underbrace{QQ^{-1}}_\text{I} + B\underbrace{PQ^{-1}}_\text{U}) \\ + &= C\underbrace{QQ^{-1}}_\text{$I$} + D\underbrace{PQ^{-1}}_\text{$U$} - P(Q^{-1} (AQ + BP) Q^{-1}) \\ + &= C + DU - \underbrace{PQ^{-1}}_\text{$U$}(A\underbrace{QQ^{-1}}_\text{$I$} + B\underbrace{PQ^{-1}}_\text{$U$}) \\ &= C + DU - UA - UBU \end{split} \end{equation} -was uns auf die Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} führt. +was uns auf die Matrix-Riccati Gleichung \eqref{kra:equation:matrixriccati} führt. % @TODO Einfluss auf anfangsbedingungen, plots? % @TODO Fazit ? -- cgit v1.2.1 From f4d8100eff505891e91729ce314d6cfd5dfcbadf Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "samuel.niederer" Date: Fri, 19 Aug 2022 21:57:08 +0200 Subject: apply corrections --- buch/papers/kra/loesung.tex | 31 +++++++++++++++++-------------- 1 file changed, 17 insertions(+), 14 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/kra/loesung.tex b/buch/papers/kra/loesung.tex index 4e0da1c..dbbb7f6 100644 --- a/buch/papers/kra/loesung.tex +++ b/buch/papers/kra/loesung.tex @@ -7,47 +7,50 @@ Es gibt aber Spezialfälle, in denen sich die Gleichung vereinfachen lässt und Diese wollen wir im folgenden Abschnitt genauer anschauen. \subsubsection{Fall 1: Konstante Koeffizienten} -Sind die Koeffizienten $f(x), g(x), h(x)$ Konstanten, so lässt sich die DGL separieren und reduziert sich auf die Lösung des Integrals \ref{kra:equation:case1_int}. +Im Fall von konstanten Koeffizienten $f(x), g(x), h(x)$, wird die Gleichung \eqref{kra:equation:riccati} zu \begin{equation} - y' = fy^2 + gy + h + y' = fy^2 + gy + h. \end{equation} +Durch Ausschreiben des Differentialquotienten \begin{equation} \frac{dy}{dx} = fy^2 + gy + h \end{equation} +erkennt man, dass die DGL separierbar ist. Die Lösung findet man nun durch die Berechnung des Integrals \begin{equation} \label{kra:equation:case1_int} - \int \frac{dy}{fy^2 + gy + h} = \int dx + \int \frac{dy}{fy^2 + gy + h} = \int dx. \end{equation} \subsubsection{Fall 2: Bekannte spezielle Lösung} -Kennt man eine spezielle Lösung $y_p$ so kann die riccatische DGL mit Hilfe einer Substitution auf eine lineare Gleichung reduziert werden. +Kennt man eine spezielle Lösung $y_p$, so kann die riccatische DGL mit Hilfe einer Substitution auf eine lineare Gleichung reduziert werden. Wir wählen als Substitution \begin{equation} \label{kra:equation:substitution} - z = \frac{1}{y - y_p} + z = \frac{1}{y - y_p}, \end{equation} -durch Umstellen von \ref{kra:equation:substitution} folgt +durch Umstellen von \eqref{kra:equation:substitution} folgt \begin{equation} y = y_p + \frac{1}{z^2} \label{kra:equation:backsubstitution} \end{equation} \begin{equation} - y' = y_p' - \frac{1}{z^2}z' + y' = y_p' - \frac{1}{z^2}z', \end{equation} -mit Einsetzten in die DGL \ref{kra:equation:riccati} folgt +mit Einsetzten in die DGL \eqref{kra:equation:riccati} resultiert \begin{equation} y_p' - \frac{1}{z^2}z' = f(x)(y_p + \frac{1}{z}) + g(x)(y_p + \frac{1}{z})^2 + h(x) \end{equation} \begin{equation} - -z^{2}y_p' + z' = -z^2\underbrace{(y_{p}f(x) + g(x)y_p^2 + h(x))}_{y_p'} - z(f(x) + 2y_{p}g(x)) - g(x) + -z^{2}y_p' + z' = -z^2\underbrace{(y_{p}f(x) + g(x)y_p^2 + h(x))}_{\displaystyle{y_p'}} - z(f(x) + 2y_{p}g(x)) - g(x) \end{equation} -was uns direkt auf eine lineare Differentialgleichung 1.Ordnung führt. +was uns direkt auf die lineare Differentialgleichung 1. Ordnung \begin{equation} z' = -z(f(x) + 2y_{p}g(x)) - g(x) \end{equation} -Diese kann nun mit den Methoden zur Lösung von linearen Differentialgleichungen 1.Ordnung gelöst werden. -Durch die Rücksubstitution \ref{kra:equation:backsubstitution} erhält man dann die Lösung von \ref{kra:equation:riccati}. +führt. +Diese kann nun mit den Methoden zur Lösung von linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung gelöst werden. +Durch die Rücksubstitution \eqref{kra:equation:backsubstitution} erhält man dann die Lösung von \eqref{kra:equation:riccati}. -\subsection{Matrix-Riccati Differentialgleichung} \label{kra:loesung:riccati} +\subsection{Matrix-Riccati-Differentialgleichung} \label{kra:loesung:riccati} % Lösung matrix riccati -Die Lösung der Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} erhalten wir nach \cite{kra:kalmanisae} folgendermassen +Die Lösung der Matrix-Riccati-Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} erhalten wir nach \cite{kra:kalmanisae} folgendermassen \begin{equation} \label{kra:matrixriccati-solution} \begin{pmatrix} -- cgit v1.2.1 From 578b2428f3e2a1be020de0254c6e1e679aca1957 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com> Date: Sat, 20 Aug 2022 15:00:08 +0200 Subject: Added hints for revised structure. --- buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 17 +++++++++++++++-- buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex | 11 +++++++++++ 2 files changed, 26 insertions(+), 2 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index 7ac2d92..6085e75 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -10,6 +10,19 @@ \label{sturmliouville:section:solution-properties}} \rhead{Eigenschaften von Lösungen} +% TODO: +% state goal +% use only what is necessary +% make sure it is easy enough to understand (sentences as shot as possible) +% -> Eigenvalue problem with matrices only +% -> prepare reader for following examples +% +% order: +% 1. Eigenvalue problems with matrices +% 2. Sturm-Liouville is an Eigenvalue prolem +% 3. Sturm-Liouville operator (selfadjacent) +% 4. Spektralsatz (brief) +% 5. Base of orthonormal functions %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% OLD section %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% @@ -21,7 +34,7 @@ Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines Sturm-Liouville-Problems diskutiert und aufgezeigt, wie diese Eigenschaften zustande kommen. -Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in +Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} betrachtet wurde, noch etwas genauer angeschaut. Es wird also im Folgenden @@ -85,7 +98,7 @@ des Sturm-Liouville-Problems orthogonal zueinander sind bezüglich des Skalarprodukts, in dem $L_0$ selbstadjungiert ist. Erfüllt also eine Differenzialgleichung die in -Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und +Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und erfüllen die Randbedingungen der Differentialgleichung die Randbedingungen des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits geschlossen werden, dass die Lösungsfunktion des Problems eine Linearkombination aus orthogonalen diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex index 324fa8f..62d9509 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex @@ -3,6 +3,17 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % + +% TODO: +% order: +% 1. State goal of showing examples in intro +% 2. Show Sturm-Liouville form +% 3. Explain boundary conditions as necessary in regards to examples +% (make singular property brief) +% +% Remove Eigenvaluedecomposition -> is discussed in properties of solutions +% Check for readability + \section{Was ist das Sturm-Liouville-Problem\label{sturmliouville:section:teil0}} \rhead{Einleitung} Das Sturm-Liouville-Problem wurde benannt nach dem schweizerisch-französischen -- cgit v1.2.1 From 59c0b79063b76b84f64203685bfdb2768a69b984 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com> Date: Sun, 21 Aug 2022 23:48:29 +0200 Subject: Started revised draft of solution properties. --- buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 64 ++++++++++++++++++++++------ 1 file changed, 52 insertions(+), 12 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index 6085e75..4ab5e62 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -5,11 +5,6 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % - -\section{Eigenschaften von Lösungen -\label{sturmliouville:section:solution-properties}} -\rhead{Eigenschaften von Lösungen} - % TODO: % state goal % use only what is necessary @@ -19,16 +14,59 @@ % % order: % 1. Eigenvalue problems with matrices -% 2. Sturm-Liouville is an Eigenvalue prolem -% 3. Sturm-Liouville operator (selfadjacent) -% 4. Spektralsatz (brief) +% 2. Sturm-Liouville is an Eigenvalue problem +% 3. Sturm-Liouville operator (self-adjacent) +% 4. Spectral theorem (brief) % 5. Base of orthonormal functions +\section{Eigenschaften von Lösungen +\label{sturmliouville:section:solution-properties}} +\rhead{Eigenschaften von Lösungen} + +Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines +Sturm-Liouville-Problems diskutiert. +Im wesendlichen wird darauf eingegangen, wie die Orthogonalität der Lösungen +zustande kommt. +Dazu wird zunächst das Eigenwertproblem für Matrizen wiederholt und angeschaut +unter welchen Voraussetzungen die Lösungen orthogonal sind. +Dann wird gezeigt, dass das Sturm-Liouville-Problem auch ein Eigenwertproblem +dieser Art ist und es wird auf au die Orthogononalität der Lösungsfunktion +geschlossen. + +\subsection{Eigenwertprobleme mit Matrizen} + +Das Eigenwertprobelm +\[ + A v + = + \lambda v +\] +für die $n \times n$-Matrix $A$, dem Eigenwert $\lambda$ und dem Eigenvektor $v$ +in der linearen Algebra wird häufig im Zusammenhang mit +Matrixzerlegungen diskutiert. + +Mittels Spektralsatzes kann zum Beispiel geschlossen werden, dass wenn +\[ + + = + +\] +gilt, die Matrix A symmetrisch (und somit selbstadjungiert) ist und somit eine +Orthonormalbasis aus Eigenvektoren besitzt. +In aneren Worten: durch diese Eigenschaft ist gegeben, dass A diagonalisierbar +ist und alle Eigenvektoren orthogonal zueinander sind. + +\subsection{} + + %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% OLD section %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -% \section{OLD: Eigenschaften von Lösungen} -% \label{sturmliouville:section:solution-properties}} -% \rhead{Eigenschaften von Lösungen} +\iffalse + +\section{OLD: Eigenschaften von Lösungen +%\label{sturmliouville:section:solution-properties} +} +\rhead{Eigenschaften von Lösungen} Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines Sturm-Liouville-Problems diskutiert und aufgezeigt, wie diese Eigenschaften @@ -102,4 +140,6 @@ Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und erfüllen die Randbedingungen der Differentialgleichung die Randbedingungen des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits geschlossen werden, dass die Lösungsfunktion des Problems eine Linearkombination aus orthogonalen -Basisfunktionen ist. \ No newline at end of file +Basisfunktionen ist. + +\fi -- cgit v1.2.1 From db90beb875d89142f7a54dea1d0b78ac0ec573db Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Mon, 22 Aug 2022 16:11:36 +0200 Subject: Added some changes to TODOs. --- buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 4 ++-- buch/papers/sturmliouville/main.tex | 5 +++++ 2 files changed, 7 insertions(+), 2 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index 4ab5e62..882b938 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -47,9 +47,9 @@ Matrixzerlegungen diskutiert. Mittels Spektralsatzes kann zum Beispiel geschlossen werden, dass wenn \[ - + \langle Av, w \rangle = - + \langle v, Aw \rangle \] gilt, die Matrix A symmetrisch (und somit selbstadjungiert) ist und somit eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren besitzt. diff --git a/buch/papers/sturmliouville/main.tex b/buch/papers/sturmliouville/main.tex index 4b5b8af..3b12905 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/main.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/main.tex @@ -9,6 +9,11 @@ \begin{refsection} \chapterauthor{Réda Haddouche und Erik Löffler} +% TODO: leser Übersicht geben +% -> Repetition: Was ist Sturm-Liouville-Problem +% -> Eigenschaften der Lösungen +% -> Beispiele erwähnen + \input{papers/sturmliouville/einleitung.tex} %einleitung "was ist das sturm-liouville-problem" \input{papers/sturmliouville/eigenschaften.tex} -- cgit v1.2.1 From c9b4b7146d216cea89daa380260be9d29718ea05 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Mon, 22 Aug 2022 17:07:24 +0200 Subject: Added new text to solution properties. --- buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 44 ++++++++++++++++++++++++---- buch/papers/sturmliouville/main.tex | 2 +- 2 files changed, 40 insertions(+), 6 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index 882b938..5cb7a29 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -26,7 +26,7 @@ Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines Sturm-Liouville-Problems diskutiert. Im wesendlichen wird darauf eingegangen, wie die Orthogonalität der Lösungen -zustande kommt. +zustande kommt, damit diese später bei den Beispielen verwendet werden kann. Dazu wird zunächst das Eigenwertproblem für Matrizen wiederholt und angeschaut unter welchen Voraussetzungen die Lösungen orthogonal sind. Dann wird gezeigt, dass das Sturm-Liouville-Problem auch ein Eigenwertproblem @@ -34,8 +34,8 @@ dieser Art ist und es wird auf au die Orthogononalität der Lösungsfunktion geschlossen. \subsection{Eigenwertprobleme mit Matrizen} - -Das Eigenwertprobelm +% TODO +Das Eigenwertproblem \[ A v = @@ -51,13 +51,47 @@ Mittels Spektralsatzes kann zum Beispiel geschlossen werden, dass wenn = \langle v, Aw \rangle \] -gilt, die Matrix A symmetrisch (und somit selbstadjungiert) ist und somit eine +gilt, die Matrix A symmetrisch (und somit selbstadjungiert) ist und deshalb eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren besitzt. In aneren Worten: durch diese Eigenschaft ist gegeben, dass A diagonalisierbar ist und alle Eigenvektoren orthogonal zueinander sind. -\subsection{} +\subsection{Das Sturm-Liouville-Problem als Eigenwertproblem} +Wie in Kapitel (??) bereits eingeführt, kann das Sturm-Liouville-Problem als +Eigenwertproblem geschrieben werden, indem der Operator +\[ + L + = + \frac{1}{w(x)}\left( -\frac{d}{dx}p(x) \frac{d}{dx} + q(x)\right) +\] +eingeführt wird. +Mit diesem Operator kann nun +\[ + (p(x)y'(x))' + q(x)y(x) + = + \lambda w(x) y(x) +\] +umgeschrieben werden zu +\[ + L y + = + \lambda y. +\] + +\subsection{Orthogonalität der Lösungsfunktionen} + +Nun wird das Eigenwertproblem weiter angeschaut. +Um auf die Orthogonalität der Lösungsfunktion zu schliessen, wird dafür der +Operator $L$ genauer betrachtet. +Analog zur Matrix $A$ aus Abschnitt (??) kann auch für $L$ gezeigt werden, +dass dieser Operator selbstadjungiert ist, also dass +\[ + \langle L v, w\rangle + = + \langle v, L w\rangle +\] +gilt. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% OLD section %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% diff --git a/buch/papers/sturmliouville/main.tex b/buch/papers/sturmliouville/main.tex index 3b12905..d77e068 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/main.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/main.tex @@ -9,7 +9,7 @@ \begin{refsection} \chapterauthor{Réda Haddouche und Erik Löffler} -% TODO: leser Übersicht geben +% TODO: Leser Übersicht geben % -> Repetition: Was ist Sturm-Liouville-Problem % -> Eigenschaften der Lösungen % -> Beispiele erwähnen -- cgit v1.2.1 From de0167a088a0b0a449dd47b0ab289b054605c115 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: haddoucher Date: Mon, 22 Aug 2022 17:14:06 +0200 Subject: Update einleitung.tex --- buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex index 62d9509..4582c95 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex @@ -38,7 +38,7 @@ Wenn die lineare homogene Differentialgleichung als \begin{equation} \label{eq:sturm-liouville-equation} - \frac{d}{dx}\lbrack p(x) \frac{dy}{dx} \rbrack + \lbrack q(x) + + \frac{d}{dx} (p(x) \frac{dy}{dx}) + \lbrack q(x) + \lambda w(x) \rbrack y = 0 -- cgit v1.2.1 From d2a613407668270cc0a57e2f979ed849ad5ad0ec Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Mon, 22 Aug 2022 17:54:39 +0200 Subject: Minor changes. --- buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 5 ++++- 1 file changed, 4 insertions(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index 5cb7a29..19fda59 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -35,7 +35,7 @@ geschlossen. \subsection{Eigenwertprobleme mit Matrizen} % TODO -Das Eigenwertproblem +Das Eigenwertproblem \[ A v = @@ -58,6 +58,8 @@ ist und alle Eigenvektoren orthogonal zueinander sind. \subsection{Das Sturm-Liouville-Problem als Eigenwertproblem} +% TODO: check L for errors (- sign) + Wie in Kapitel (??) bereits eingeführt, kann das Sturm-Liouville-Problem als Eigenwertproblem geschrieben werden, indem der Operator \[ @@ -92,6 +94,7 @@ dass dieser Operator selbstadjungiert ist, also dass \langle v, L w\rangle \] gilt. +Wie in Kapitel (??) bereits gezeigt %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% OLD section %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -- cgit v1.2.1 From bff57008758a94a9ee104773e8faed9c6ab806b8 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: haddoucher Date: Tue, 23 Aug 2022 14:08:06 +0200 Subject: Update einleitung.tex --- buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex | 46 ++++++++----------------------- 1 file changed, 11 insertions(+), 35 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex index 4582c95..4ed3752 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex @@ -38,8 +38,8 @@ Wenn die lineare homogene Differentialgleichung als \begin{equation} \label{eq:sturm-liouville-equation} - \frac{d}{dx} (p(x) \frac{dy}{dx}) + \lbrack q(x) + - \lambda w(x) \rbrack y + \frac{d}{dx} (p(x) \frac{dy}{dx}) + (q(x) + + \lambda w(x)) y = 0 \end{equation} @@ -50,6 +50,8 @@ Alle homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen 2. Ordnung können in die Form der Gleichung \eqref{eq:sturm-liouville-equation} umgewandelt werden. +Damit es sich um ein Sturm-Liouville-Problem handelt, benötigt es noch die Randbedingung, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird. + \subsection{Randbedingungen\label{sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}} Geeignete Randbedingungen sind erforderlich, um die Lösungen einer Differentialgleichung genau zu bestimmen. @@ -64,39 +66,15 @@ Die Sturm-Liouville-Gleichung mit homogenen Randbedingungen des dritten Typs ist das klassische Sturm-Liouville-Problem. -\subsection{Eigenwertproblem} -Die Gleichungen \eqref{eq:sturm-liouville-equation} hat die Form eines -Eigenwertproblems. -Wenn bei der Sturm-Liouville-Gleichung \eqref{eq:sturm-liouville-equation} alles -konstant bleibt, aber der Wert von $\lambda$ sich ändert, erhält man eine andere -Eigenfunktion, weil man eine andere gewöhnliche Differentialgleichung löst; -der Parameter $\lambda$ wird als Eigenwert bezeichnet. -Es ist genau das gleiche Prinzip wie bei den Matrizen, andere Eigenwerte ergeben -andere Eigenvektoren. -Es besteht eine Korrespondenz zwischen den Eigenwerten und den Eigenvektoren. -Das gleiche gilt auch beim Sturm-Liouville-Problem, und zwar -\begin{equation} - \lambda \overset{Korrespondenz}\leftrightarrow y. -\end{equation} - -Die Theorie besagt, wenn $y_m$, $y_n$ Eigenfuktionen des -Sturm-Liouville-Problems sind, die verschiedene Eigenwerte $\lambda_m$, -$\lambda_n$ ($\lambda_m \neq \lambda_n$) entsprechen, so sind $y_m$, $y_n$ -orthogonal zu y - -dies gilt für das Intervall (a,b). -Somit ergibt die Gleichung -\begin{equation} - \label{eq:skalar-sturm-liouville} - \int_{a}^{b} w(x)y_m y_n = 0. -\end{equation} - -\subsection{Koeffizientenfunktionen} +\subsection{Koeffizientenfunktionen\label{sub:koeffizientenfunktionen}} Die Funktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ werden als Koeffizientenfunktionen mit ihren freien Variablen $x$ bezeichnet. +Diese Funktionen erhält man, indem man eine Differentialgleichung in die Sturm-Liouville-Form bringt. Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion oder Dichtefunktion bezeichnet. -Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen haben einen grossen Einfluss auf -die Lösbarkeit des Sturm-Liouville-Problems. +Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen sowie andere Bedingungen haben einen großen Einfluss auf die Lösbarkeit des Sturm-Liouville-Problems und werden im nächsten Kapitel diskutiert. + + % %Kapitel mit "Das reguläre Sturm-Liouville-Problem" @@ -120,9 +98,7 @@ Bedingungen beachtet werden. $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$. \end{itemize} \end{definition} -Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem geht es darum, wichtige -Eigenschaften der Eigenfunktionen beschreiben zu können, ohne sie genau zu -kennen. +Werden diese Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem. \begin{beispiel} Das Randwertproblem @@ -136,7 +112,7 @@ kennen. Wenn man die Gleichung in die Sturm-Liouville Form umformen, dann ergeben die Koeffizientenfunktionen $p(x) = w(x) = x$ und $q(x) = -m^2/x$. Schaut man jetzt die Bedingungen im - Kapitel~\ref{sub:reguläre_sturm_liouville_problem} an und vergleicht diese + Kapitel~\ref{sub:reguläre_sturm_liouville_problem} an und vergleicht diese mit unseren Koeffizientenfunktionen, so erkennt man einige Probleme: \begin{itemize} \item $p(x)$ und $w(x)$ sind nicht positiv, wenn $x = 0$ ist. -- cgit v1.2.1 From 4185d85a5f36bb2f8e67c1342c12d45cf9fd67d5 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com> Date: Tue, 23 Aug 2022 14:16:24 +0200 Subject: Eigenvalueproblem for matrices explained. --- buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 38 ++++++++++++++++------------ 1 file changed, 22 insertions(+), 16 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index 19fda59..b143b6e 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -28,33 +28,39 @@ Sturm-Liouville-Problems diskutiert. Im wesendlichen wird darauf eingegangen, wie die Orthogonalität der Lösungen zustande kommt, damit diese später bei den Beispielen verwendet werden kann. Dazu wird zunächst das Eigenwertproblem für Matrizen wiederholt und angeschaut -unter welchen Voraussetzungen die Lösungen orthogonal sind. +unter welchen Voraussetzungen die Lösungen dieses Problems orthogonal sind. Dann wird gezeigt, dass das Sturm-Liouville-Problem auch ein Eigenwertproblem dieser Art ist und es wird auf au die Orthogononalität der Lösungsfunktion geschlossen. -\subsection{Eigenwertprobleme mit Matrizen} -% TODO -Das Eigenwertproblem +\subsection{Eigenwertprobleme mit symmetrischen Matrizen} + +% TODO: intro + +Angenomen es sei eine reelle, symmetrische $n \times n$-Matrix $A$ gegeben. +Dass $A$ symmetrisch ist, bedeutet, dass \[ - A v + \langle Av, w \rangle = - \lambda v + \langle v, Aw \rangle \] -für die $n \times n$-Matrix $A$, dem Eigenwert $\lambda$ und dem Eigenvektor $v$ -in der linearen Algebra wird häufig im Zusammenhang mit -Matrixzerlegungen diskutiert. +für $v, w \in \mathbb{R}^n$ erfüllt ist. -Mittels Spektralsatzes kann zum Beispiel geschlossen werden, dass wenn +Für reelle, symmetrische Matrizen zeigt dies auch direkt, dass die Matrix +selbstadjungiert ist. +Das ist wichtig, da der Spektralsatz~\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki} +für selbstadjungierte Matrizen formuliert ist. + +Dieser sagt nun aus, dass die Matrix $A$ diagonalisierbar ist. +In anderen Worten bilden die Eigenvektoren $v_i \in \mathbb{R}^n$ des +Eigenwertproblems \[ - \langle Av, w \rangle + A v_i = - \langle v, Aw \rangle + \lambda_i v_i + \qquad \lambda_i \in \mathbb{R} \] -gilt, die Matrix A symmetrisch (und somit selbstadjungiert) ist und deshalb eine -Orthonormalbasis aus Eigenvektoren besitzt. -In aneren Worten: durch diese Eigenschaft ist gegeben, dass A diagonalisierbar -ist und alle Eigenvektoren orthogonal zueinander sind. +eine Orthogonalbasis. \subsection{Das Sturm-Liouville-Problem als Eigenwertproblem} -- cgit v1.2.1 From a2b36b7f9a4e4324ef827a6fdeb3e598e2b6fa6f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com> Date: Tue, 23 Aug 2022 14:59:24 +0200 Subject: Finished revised draft of solution properties. --- buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 42 ++++++++++++++++++---------- 1 file changed, 28 insertions(+), 14 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index b143b6e..948217a 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -33,7 +33,8 @@ Dann wird gezeigt, dass das Sturm-Liouville-Problem auch ein Eigenwertproblem dieser Art ist und es wird auf au die Orthogononalität der Lösungsfunktion geschlossen. -\subsection{Eigenwertprobleme mit symmetrischen Matrizen} +\subsection{Eigenwertprobleme mit symmetrischen Matrizen +\label{sturmliouville:section:eigenvalue-problem-matrix}} % TODO: intro @@ -64,43 +65,56 @@ eine Orthogonalbasis. \subsection{Das Sturm-Liouville-Problem als Eigenwertproblem} -% TODO: check L for errors (- sign) - -Wie in Kapitel (??) bereits eingeführt, kann das Sturm-Liouville-Problem als -Eigenwertproblem geschrieben werden, indem der Operator +In Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} wurde bereits +der Operator \[ L = \frac{1}{w(x)}\left( -\frac{d}{dx}p(x) \frac{d}{dx} + q(x)\right) \] -eingeführt wird. -Mit diesem Operator kann nun +eingeführt. +Dieser wird nun verwendet um die Differenzialgleichung \[ (p(x)y'(x))' + q(x)y(x) = \lambda w(x) y(x) \] -umgeschrieben werden zu -\[ +in das Eigenwertproblem +\begin{equation} + \label{sturmliouville:eigenvalue-problem} L y = \lambda y. -\] +\end{equation} +umzuschreiben. \subsection{Orthogonalität der Lösungsfunktionen} -Nun wird das Eigenwertproblem weiter angeschaut. +Nun wird das Eigenwertproblem~\eqref{sturmliouville:eigenvalue-problem} näher +angeschaut. Um auf die Orthogonalität der Lösungsfunktion zu schliessen, wird dafür der Operator $L$ genauer betrachtet. -Analog zur Matrix $A$ aus Abschnitt (??) kann auch für $L$ gezeigt werden, -dass dieser Operator selbstadjungiert ist, also dass +Analog zur Matrix $A$ aus +Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:eigenvalue-problem-matrix} kann auch für +$L$ gezeigt werden, dass dieser Operator selbstadjungiert ist, also dass \[ \langle L v, w\rangle = \langle v, L w\rangle \] gilt. -Wie in Kapitel (??) bereits gezeigt +Wie in Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits +gezeigt, ist dies durch die Randbedingungen des Sturm-Liouville-Problems +sicher gestellt. + +Um nun über den Spektralsatz auf die Orthogonalität der Lösungsfunktion $y$ zu +schliessen, muss der Operator $L$ ein sogenannter \"kompakter Operator\" sein. +Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem ist diese für $L$ gegeben und wird +im Weiteren nicht näher diskutiert. + +Es kann nun also dank dem Spektralsatz darauf geschlossen werden, dass die +Lösungsfunktion $y$ eises regulären Sturm-Liouville-Problems eine +Linearkombination aus orthogonalen Basisfunktionen sein muss. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% OLD section %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -- cgit v1.2.1 From 18c6aa18da3ea994e9fd8075bc308eab0ed0dd41 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com> Date: Tue, 23 Aug 2022 15:10:56 +0200 Subject: Corrected quotation marks. --- buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index 948217a..7c52a5c 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -108,7 +108,7 @@ gezeigt, ist dies durch die Randbedingungen des Sturm-Liouville-Problems sicher gestellt. Um nun über den Spektralsatz auf die Orthogonalität der Lösungsfunktion $y$ zu -schliessen, muss der Operator $L$ ein sogenannter \"kompakter Operator\" sein. +schliessen, muss der Operator $L$ ein sogenannter ''kompakter Operator'' sein. Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem ist diese für $L$ gegeben und wird im Weiteren nicht näher diskutiert. -- cgit v1.2.1 From 905073fc0febc0af8aa43e58868b98f4f33b98fa Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com> Date: Tue, 23 Aug 2022 15:46:42 +0200 Subject: Corrected all labels to comply with guidelines. --- buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex | 2 +- buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 10 ++--- buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex | 45 +++++++++++++--------- .../sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex | 16 ++++---- .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 4 +- 5 files changed, 43 insertions(+), 34 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex b/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex index 94082cf..c0a6e8f 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex @@ -4,7 +4,7 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % \section{Beispiele -\label{sturmliouville:section:examples}} +\label{sturmliouville:sec:examples}} \rhead{Beispiele} % Fourier: Erik work diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index 7c52a5c..d8e2112 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -20,7 +20,7 @@ % 5. Base of orthonormal functions \section{Eigenschaften von Lösungen -\label{sturmliouville:section:solution-properties}} +\label{sturmliouville:sec:solution-properties}} \rhead{Eigenschaften von Lösungen} Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines @@ -34,7 +34,7 @@ dieser Art ist und es wird auf au die Orthogononalität der Lösungsfunktion geschlossen. \subsection{Eigenwertprobleme mit symmetrischen Matrizen -\label{sturmliouville:section:eigenvalue-problem-matrix}} +\label{sturmliouville:sec:eigenvalue-problem-matrix}} % TODO: intro @@ -81,7 +81,7 @@ Dieser wird nun verwendet um die Differenzialgleichung \] in das Eigenwertproblem \begin{equation} - \label{sturmliouville:eigenvalue-problem} + \label{sturmliouville:eq:eigenvalue-problem} L y = \lambda y. @@ -90,12 +90,12 @@ umzuschreiben. \subsection{Orthogonalität der Lösungsfunktionen} -Nun wird das Eigenwertproblem~\eqref{sturmliouville:eigenvalue-problem} näher +Nun wird das Eigenwertproblem~\eqref{sturmliouville:eq:eigenvalue-problem} näher angeschaut. Um auf die Orthogonalität der Lösungsfunktion zu schliessen, wird dafür der Operator $L$ genauer betrachtet. Analog zur Matrix $A$ aus -Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:eigenvalue-problem-matrix} kann auch für +Abschnitt~\ref{sturmliouville:sec:eigenvalue-problem-matrix} kann auch für $L$ gezeigt werden, dass dieser Operator selbstadjungiert ist, also dass \[ \langle L v, w\rangle diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex index 4ed3752..2552574 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex @@ -32,12 +32,12 @@ partielle Differentialgleichung mit mehreren Variablen. \begin{definition} \index{Sturm-Liouville-Gleichung}% Wenn die lineare homogene Differentialgleichung -\begin{equation} +\[ \frac{d^2y}{dx^2} + a(x)\frac{dy}{dx} + b(x)y = 0 -\end{equation} +\] als \begin{equation} - \label{eq:sturm-liouville-equation} + \label{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} \frac{d}{dx} (p(x) \frac{dy}{dx}) + (q(x) + \lambda w(x)) y = @@ -47,18 +47,20 @@ geschrieben werden kann, dann wird diese Gleichung als Sturm-Liouville-Gleichung bezeichnet. \end{definition} Alle homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen 2. Ordnung können -in die Form der Gleichung \eqref{eq:sturm-liouville-equation} umgewandelt -werden. +in die Form der Gleichung \eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} +umgewandelt werden. -Damit es sich um ein Sturm-Liouville-Problem handelt, benötigt es noch die Randbedingung, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird. +Damit es sich um ein Sturm-Liouville-Problem handelt, benötigt es noch die +Randbedingung, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird. -\subsection{Randbedingungen\label{sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}} +\subsection{Randbedingungen +\label{sturmliouville:sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}} Geeignete Randbedingungen sind erforderlich, um die Lösungen einer Differentialgleichung genau zu bestimmen. Die Sturm-Liouville-Gleichung mit homogenen Randbedingungen des dritten Typs \begin{equation} \begin{aligned} - \label{eq:randbedingungen} + \label{sturmliouville:eq:randbedingungen} k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\ k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0. \end{aligned} @@ -66,26 +68,28 @@ Die Sturm-Liouville-Gleichung mit homogenen Randbedingungen des dritten Typs ist das klassische Sturm-Liouville-Problem. -\subsection{Koeffizientenfunktionen\label{sub:koeffizientenfunktionen}} +\subsection{Koeffizientenfunktionen +\label{sturmliouville:sub:koeffizientenfunktionen}} Die Funktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ werden als Koeffizientenfunktionen mit ihren freien Variablen $x$ bezeichnet. -Diese Funktionen erhält man, indem man eine Differentialgleichung in die Sturm-Liouville-Form bringt. +Diese Funktionen erhält man, indem man eine Differentialgleichung in die +Sturm-Liouville-Form bringt. Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion oder Dichtefunktion bezeichnet. -Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen sowie andere Bedingungen haben einen großen Einfluss auf die Lösbarkeit des Sturm-Liouville-Problems und werden im nächsten Kapitel diskutiert. - - +Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen sowie andere Bedingungen haben +einen großen Einfluss auf die Lösbarkeit des Sturm-Liouville-Problems und werden +im nächsten Kapitel diskutiert. % %Kapitel mit "Das reguläre Sturm-Liouville-Problem" % \subsection{Das reguläre oder singuläre Sturm-Liouville-Problem -\label{sub:reguläre_sturm_liouville_problem}} +\label{sturmliouville:sub:reguläre_sturm_liouville_problem}} Damit es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem handelt, müssen einige Bedingungen beachtet werden. \begin{definition} - \label{def:reguläres_sturm-liouville-problem} + \label{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} \index{regläres Sturm-Liouville-Problem} Die Bedingungen für ein reguläres Sturm-Liouville-Problem sind: \begin{itemize} @@ -94,11 +98,13 @@ Bedingungen beachtet werden. \item sowie müssen in einem endlichen Intervall $[a,b]$ integrierbar sein. \item $p(x)$ und $w(x)$ sind $>0$. - \item Es gelten die Randbedingungen \eqref{eq:randbedingungen}, wobei + \item Es gelten die Randbedingungen + \eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen}, wobei $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$. \end{itemize} \end{definition} -Werden diese Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem. +Werden diese Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um ein singuläres +Sturm-Liouville-Problem. \begin{beispiel} Das Randwertproblem @@ -112,8 +118,9 @@ Werden diese Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um ein singuläres S Wenn man die Gleichung in die Sturm-Liouville Form umformen, dann ergeben die Koeffizientenfunktionen $p(x) = w(x) = x$ und $q(x) = -m^2/x$. Schaut man jetzt die Bedingungen im - Kapitel~\ref{sub:reguläre_sturm_liouville_problem} an und vergleicht diese mit - unseren Koeffizientenfunktionen, so erkennt man einige Probleme: + Kapitel~\ref{sturmliouville:sub:reguläre_sturm_liouville_problem} an und + vergleicht diese mit unseren Koeffizientenfunktionen, so erkennt man einige + Probleme: \begin{itemize} \item $p(x)$ und $w(x)$ sind nicht positiv, wenn $x = 0$ ist. \item $q(x)$ ist nicht kontinuierlich, wenn $x = 0$ ist. diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex index cad71d7..18e6198 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex @@ -5,15 +5,15 @@ % \subsection{Sind Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander? -\label{sub:tschebyscheff-polynome}} +\label{sturmliouville:sub:tschebyscheff-polynome}} \subsubsection*{Definition der Koeffizientenfunktion} Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgeliste, und zwar mit \begin{align*} w(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ p(x) &= \sqrt{1-x^2} \\ - q(x) &= 0 -\end{align*}. + q(x) &= 0. +\end{align*} Da die Sturm-Liouville-Gleichung \begin{equation} \label{eq:sturm-liouville-equation-tscheby} @@ -27,7 +27,7 @@ ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt. \subsubsection*{regulär oder singulär?} Für das reguläre Problem laut der -Definition~\ref{def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion +Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und $w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein --- und sie sind es auch. Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art mit Hilfe @@ -55,7 +55,8 @@ ist die gleiche wie $w(x)$ und erfüllt die Bedingung. Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$. Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $[ -1,1 ]$ orthogonal verhalten, sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt. -Beim einsetzen in die Randbedingung \eqref{eq:randbedingungen}, erhält man +Beim einsetzen in die Randbedingung \eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen}, +erhält man \begin{equation} \begin{aligned} k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0\\ @@ -81,8 +82,9 @@ auf die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden Lösungen orthogonal sind. \begin{beispiel} - Die Gleichung \eqref{eq:skalar-sturm-liouville} mit $y_m = T_1(x)$ und - $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$ ergibt + Die Gleichung \eqref{eq:skalar-sturm-liouville} mit + $y_m = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$ + ergibt \[ \int_{-1}^{1} w(x) x (2x^2-1) dx = 0. \] diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index 4992150..356e259 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -161,8 +161,8 @@ $p(x)$ benötigt. Dazu wird die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} mit der -Sturm-Liouville-Form~\eqref{eq:sturm-liouville-equation} verglichen, was zu -$p(x) = 1$ führt. +Sturm-Liouville-Form~\eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} +verglichen, was zu $p(x) = 1$ führt. Werden nun $p(x)$ und die Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant} -- cgit v1.2.1 From 3aba88ca005ce951e8052d41d1cb4b448971c3ad Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: canuel Date: Tue, 23 Aug 2022 16:19:51 +0200 Subject: chapter about recurrence relation of Legendre Associated Functions and Spherical Harmonics --- buch/papers/kugel/packages.tex | 4 +- buch/papers/kugel/proofs.tex | 2 +- buch/papers/kugel/references.bib | 9 ++ buch/papers/kugel/spherical-harmonics.tex | 166 ++++++++++++++++++++++++++++-- 4 files changed, 169 insertions(+), 12 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/kugel/packages.tex b/buch/papers/kugel/packages.tex index ead7653..c02589f 100644 --- a/buch/papers/kugel/packages.tex +++ b/buch/papers/kugel/packages.tex @@ -16,5 +16,5 @@ \node[gray, anchor = center] at ({#1 / 2}, {#2 / 2}) {\Huge \ttfamily \bfseries TODO}; \end{tikzpicture}} -\DeclareMathOperator{\sphlaplacian}{\nabla^2_{\mathit{S}}} -\DeclareMathOperator{\surflaplacian}{\nabla^2_{\partial \mathit{S}}} +\DeclareMathOperator{\sphlaplacian}{\nabla^2_{S}} +\DeclareMathOperator{\surflaplacian}{\nabla^2_{\partial S}} diff --git a/buch/papers/kugel/proofs.tex b/buch/papers/kugel/proofs.tex index 143caa8..4fbef26 100644 --- a/buch/papers/kugel/proofs.tex +++ b/buch/papers/kugel/proofs.tex @@ -166,7 +166,7 @@ \end{proof} -\begin{lemma} +\begin{lemma}\label{kugel:lemma:sol_associated_leg_eq} If $Z_n(z)$ is a solution of the Legendre equation \eqref{kugel:eqn:legendre}, then \begin{equation*} diff --git a/buch/papers/kugel/references.bib b/buch/papers/kugel/references.bib index e5d6452..e3c0f85 100644 --- a/buch/papers/kugel/references.bib +++ b/buch/papers/kugel/references.bib @@ -17,6 +17,15 @@ file = {Submitted Version:/Users/npross/Zotero/storage/SN4YUNQC/Carvalhaes and de Barros - 2015 - The surface Laplacian technique in EEG Theory and.pdf:application/pdf}, } +@article{implementation, + title = {New Implementation of Legendre Polynomials for Solving Partial Differential Equations}, + issn = {272767969}, + url = {https://www.researchgate.net/publication/272767969_New_Implementation_of_Legendre_Polynomials_for_Solving_Partial_Differential_Equations}, + shorttitle = {Implementation og Legendre Polynom}, + date = {2013-12}, + author = {Ali Davari, Abozar Ahmadi} +} + @video{minutephysics_better_2021, title = {A Better Way To Picture Atoms}, url = {https://www.youtube.com/watch?v=W2Xb2GFK2yc}, diff --git a/buch/papers/kugel/spherical-harmonics.tex b/buch/papers/kugel/spherical-harmonics.tex index 72f7402..7dcb461 100644 --- a/buch/papers/kugel/spherical-harmonics.tex +++ b/buch/papers/kugel/spherical-harmonics.tex @@ -313,22 +313,20 @@ obtain the \emph{associated Legendre functions}. The functions \begin{equation} P^m_n (z) = (1-z^2)^{\frac{m}{2}}\frac{d^{m}}{dz^{m}} P_n(z) - = \frac{1}{2^n n!}(1-z^2)^{\frac{m}{2}}\frac{d^{m+n}}{dz^{m+n}}(1-z^2)^n + = \frac{1}{2^n n!}(1-z^2)^{\frac{m}{2}}\frac{d^{m+n}}{dz^{m+n}}(1-z^2)^n, \quad |m| Date: Wed, 24 Aug 2022 08:30:28 +0200 Subject: Corrections in solution properties. --- buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 35 +++++++++++++++------------- 1 file changed, 19 insertions(+), 16 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index d8e2112..cef276b 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -23,14 +23,14 @@ \label{sturmliouville:sec:solution-properties}} \rhead{Eigenschaften von Lösungen} -Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines +Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösung eines Sturm-Liouville-Problems diskutiert. -Im wesendlichen wird darauf eingegangen, wie die Orthogonalität der Lösungen -zustande kommt, damit diese später bei den Beispielen verwendet werden kann. +Im wesentlichen wird darauf eingegangen, wie die Orthogonalität der Lösungen +zustande kommt, damit diese später in den Beispielen verwendet werden kann. Dazu wird zunächst das Eigenwertproblem für Matrizen wiederholt und angeschaut unter welchen Voraussetzungen die Lösungen dieses Problems orthogonal sind. Dann wird gezeigt, dass das Sturm-Liouville-Problem auch ein Eigenwertproblem -dieser Art ist und es wird auf au die Orthogononalität der Lösungsfunktion +dieser Art ist und es wird auf au die Orthogonalität der Lösungsfunktionen geschlossen. \subsection{Eigenwertprobleme mit symmetrischen Matrizen @@ -44,16 +44,17 @@ Dass $A$ symmetrisch ist, bedeutet, dass \langle Av, w \rangle = \langle v, Aw \rangle + \qquad + v, w \in \mathbb{R}^n \] -für $v, w \in \mathbb{R}^n$ erfüllt ist. +erfüllt ist. Für reelle, symmetrische Matrizen zeigt dies auch direkt, dass die Matrix selbstadjungiert ist. Das ist wichtig, da der Spektralsatz~\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki} -für selbstadjungierte Matrizen formuliert ist. - -Dieser sagt nun aus, dass die Matrix $A$ diagonalisierbar ist. -In anderen Worten bilden die Eigenvektoren $v_i \in \mathbb{R}^n$ des +für selbstadjungierte Matrizen formuliert ist. Dieser sagt nun aus, dass die +Matrix $A$ diagonalisierbar ist. +In anderen Worten bilden die Eigenvektoren $v_i \in \mathbb{R}^n$ des Eigenwertproblems \[ A v_i @@ -104,13 +105,15 @@ $L$ gezeigt werden, dass dieser Operator selbstadjungiert ist, also dass \] gilt. Wie in Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits -gezeigt, ist dies durch die Randbedingungen des Sturm-Liouville-Problems -sicher gestellt. - -Um nun über den Spektralsatz auf die Orthogonalität der Lösungsfunktion $y$ zu -schliessen, muss der Operator $L$ ein sogenannter ''kompakter Operator'' sein. -Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem ist diese für $L$ gegeben und wird -im Weiteren nicht näher diskutiert. +gezeigt, ist dies durch die +Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen} des +Sturm-Liouville-Problems sicher gestellt. + +Um nun über den Spektralsatz~\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki} auf die +Orthogonalität der Lösungsfunktion $y$ zu schliessen, muss der Operator $L$ ein +sogenannter ''kompakter Operator'' sein. +Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem ist diese Eigenschaft für $L$ +gegeben und wird im Weiteren nicht näher diskutiert. Es kann nun also dank dem Spektralsatz darauf geschlossen werden, dass die Lösungsfunktion $y$ eises regulären Sturm-Liouville-Problems eine -- cgit v1.2.1 From f18756ab84dcbbee2c2fc03e241cd10ac63b78df Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Wed, 24 Aug 2022 08:53:51 +0200 Subject: Added chapter intro. --- buch/papers/sturmliouville/main.tex | 9 +++++++++ 1 file changed, 9 insertions(+) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/main.tex b/buch/papers/sturmliouville/main.tex index d77e068..a36e85a 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/main.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/main.tex @@ -14,6 +14,15 @@ % -> Eigenschaften der Lösungen % -> Beispiele erwähnen +In diesem Kapitel wird zunächst nochmals ein Überblick über das +Sturm-Liouville-Problem und dessen Randbedingungen gegeben. +Dann wird ein Zusammenhang zwischen reellen symmetrischen Matrizen und +dem Sturm-Liouville-Operator $L$ hergestellt, um auf die Orthogonalität der +Lösungsfunktionen zu schliessen. +Zuletzt wird anhand von zwei Beispielen gezeigt, dass durch das +Sturm-Liouville-Problem die Eigenschaften der Lösungen bereits vor dem +vollständingen Lösen der Beispiele bekannt sind. + \input{papers/sturmliouville/einleitung.tex} %einleitung "was ist das sturm-liouville-problem" \input{papers/sturmliouville/eigenschaften.tex} -- cgit v1.2.1 From 0fca0c9be53d155cec883384d72ced8832736ec3 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Wed, 24 Aug 2022 11:40:46 +0200 Subject: First part of fourier example revised. --- buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex | 1 - buch/papers/sturmliouville/main.tex | 1 - .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 93 ++++++++++++++-------- 3 files changed, 58 insertions(+), 37 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex b/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex index c0a6e8f..4df5619 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex @@ -5,7 +5,6 @@ % \section{Beispiele \label{sturmliouville:sec:examples}} -\rhead{Beispiele} % Fourier: Erik work \input{papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex} diff --git a/buch/papers/sturmliouville/main.tex b/buch/papers/sturmliouville/main.tex index a36e85a..99a043d 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/main.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/main.tex @@ -9,7 +9,6 @@ \begin{refsection} \chapterauthor{Réda Haddouche und Erik Löffler} -% TODO: Leser Übersicht geben % -> Repetition: Was ist Sturm-Liouville-Problem % -> Eigenschaften der Lösungen % -> Beispiele erwähnen diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index 356e259..8e3be72 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -5,31 +5,31 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\subsection{Fourierreihe als Lösung des Sturm-Liouville-Problems -(Wärmeleitung)} +\subsection{Wärmeleitung in homogenem Stab} +\rhead{Wärmeleitung in homogenem Stab} In diesem Abschnitt wird das Problem der Wärmeleitung in einem homogenen Stab betrachtet und wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung dieses physikalischen Phänomenes auftritt. -% TODO: u is dependent on 2 variables (t, x) -% TODO: mention initial conditions u(0, x) - Zunächst wird ein eindimensionaler homogener Stab der Länge $l$ und -Wärmeleitkoeffizient $\kappa$ betrachtet. -Es ergibt sich für das Wärmeleitungsproblem -die partielle Differentialgleichung +Wärmeleitkoeffizient $\kappa$ betrachtet dessen initiale Wärmeverteilung durch +$u(t=0, x)$ gegeben ist. +Es ergibt sich für das Wärmeleitungsproblem die partielle Differentialgleichung \begin{equation} \label{sturmliouville:eq:example-fourier-heat-equation} - \frac{\partial u}{\partial t} = - \kappa \frac{\partial^{2}u}{{\partial x}^{2}}, + \frac{\partial u(t, x)}{\partial t} = + \kappa \frac{\partial^{2}u(t, x)}{{\partial x}^{2}}, \end{equation} wobei der Stab in diesem Fall auf der $x$-Achse im Intervall $[0,l]$ liegt. -Da diese Differentialgleichung das Problem allgemein für einen homogenen -Stab beschreibt, werden zusätzliche Bedingungen benötigt, um beispielsweise -die Lösung für einen Stab zu finden, bei dem die Enden auf konstanter -Tempreatur gehalten werden. +Damit die Sturm-Liouville-Theorie auf das +Problem~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-heat-equation} angewendet +werden kann, werden noch Randbedingungen benötigt, welche in Kürze +vorgestellt werden. +Aus physikalischer Sicht geben diese Randbedingungen vor, ob die Enden des +Stabes thermisch isoliert sind oder ob sie auf konstanter Temperatur gehalten +werden. % % Randbedingungen für Stab mit konstanten Endtemperaturen @@ -56,8 +56,10 @@ als Randbedingungen. \subsubsection{Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden} -Bei isolierten Enden des Stabes können beliebige Temperaturen für $x = 0$ und -$x = l$ auftreten. In diesem Fall ist es nicht erlaubt, dass Wärme vom Stab +Bei isolierten Enden des Stabes können grundsätzlich beliebige Temperaturen für +$x = 0$ und $x = l$ auftreten. +Die einzige Einschränkung liefert die Anfangsbedingung $u(0, x)$. +Im Fall des isolierten Stabes ist es nicht erlaubt, dass Wärme vom Stab an die Umgebung oder von der Umgebung an den Stab abgegeben wird. Aus der Physik ist bekannt, dass Wärme immer von der höheren zur tieferen @@ -82,15 +84,16 @@ als Randbedingungen. \subsubsection{Lösung der Differenzialgleichung} -Da die Lösungsfunktion von zwei Variablen abhängig ist, wird als Lösungsansatz -die Separationsmethode verwendet. +Da die Lösungsfunktion $u$ von zwei Variablen abhängig ist, wird die +Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-heat-equation} zunächst +mittels Separation in zwei gewöhnliche Differentialgleichungen überführt. Dazu wird \[ u(t,x) = T(t)X(x) \] -in die partielle +in die partielle Differenzialgleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-heat-equation} eingesetzt. Daraus ergibt sich @@ -136,9 +139,12 @@ Erfüllen die Randbedingungen des Stab-Problems auch die Randbedingungen des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits die Aussage getroffen werden, dass alle Lösungen für die Gleichung in $x$ orthogonal sein werden. -Da die Bedingungen des Stab-Problem nur Anforderungen an $x$ stellen, können -diese direkt für $X(x)$ übernomen werden. Es gilt also $X(0) = X(l) = 0$. -Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen also die Gleichungen +Da die Bedingungen des Stab-Problems nur Anforderungen an $x$ stellen, können +diese direkt für $X(x)$ übernomen werden. +Es gilt also beispielsweise wegen +\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant}, +dass $X(0) = X(l) = 0$. +Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen nun also die Gleichungen \begin{equation} \begin{aligned} \label{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen} @@ -156,18 +162,32 @@ erfüllt sein und es muss ausserdem \end{equation} gelten. -Um zu verifizieren, ob die Randbedingungen erfüllt sind, wird zunächst -$p(x)$ -benötigt. +Um zu verifizieren, ob die Randbedingungen erfüllt sind, werden also die +Koeffizientenfunktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ benötigt. Dazu wird die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} mit der Sturm-Liouville-Form~\eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} -verglichen, was zu $p(x) = 1$ führt. +verglichen, was zu +\[ +\begin{aligned} + p(x) &= 1 \\ + q(x) &= 0 \\ + w(x) &= 1 +\end{aligned} +\] +führt. + +Diese können bereits auf die Bedingungen in +Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} geprüft +werden. +Es ist schnell ersichtlich, dass die ersten drei Kriterien erfüllt sind. +Werden nun auch noch die Randbedingungen erfüllt, handelt es sich also um ein +reguläres Sturm-Liouville-Problem. -Werden nun $p(x)$ und die +Es werden nun $p(x)$ und die Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant} -in \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen} eigesetzt, erhält -man +in \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen} eigesetzt und man +erhält \[ \begin{aligned} k_a y(0) + h_a y'(0) &= h_a y'(0) = 0 \\ @@ -181,17 +201,20 @@ erfüllt sein und da $y(0) = 0$ und $y(l) = 0$ sind, können belibige $k_a \neq und $k_b \neq 0$ gewählt werden. Somit ist gezeigt, dass die Randbedingungen des Stab-Problems für Enden auf -konstanter Temperatur auch die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen und -alle daraus reultierenden Lösungen orthogonal sind. +konstanter Temperatur auch die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen. +Daraus folg zunächst, dass es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem +handelt und weiter, dass alle daraus reultierenden Lösungen orthogonal sind. Analog dazu kann gezeit werden, dass die Randbedingungen für einen Stab mit -isolierten Enden ebenfalls die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen und +isolierten +Enden~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} +ebenfalls die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen und somit auch zu orthogonalen Lösungen führen. % % Lösung von X(x), Teil mu % -\subsubsection{Lösund der Differentialgleichung in $x$} +\subsubsection{Lösung der Differentialgleichung in $x$} Als erstes wird auf die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} eingegangen. Aufgrund der Struktur der Gleichung @@ -316,7 +339,7 @@ Durch alanoges Vorgehen kann nun auch das Problem mit isolierten Enden gelöst werden. Setzt man nun die Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} -in $X^{\prime}$ ein, beginnend für $x = 0$. Es ergibt sich +in $X^{\prime}$ ein, beginnend für $x = 0$, ergibt sich \[ X^{\prime}(0) = @@ -351,7 +374,7 @@ und somit \] Es ergibt sich also sowohl für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur -wie auch mit isolierten Enden +wie auch für den Stab mit isolierten Enden \begin{equation} \label{sturmliouville:eq:example-fourier-mu-solution} \mu -- cgit v1.2.1 From a966f864bde5198499f4066d2c1c97d44e51cb02 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: haddoucher Date: Wed, 24 Aug 2022 12:55:52 +0200 Subject: Korrekturen Wurde einiges korrigiert. Heute abend wirds noch einmal durchgelesen. --- buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex | 59 +++++++------- .../sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex | 92 +++++++++++----------- 2 files changed, 74 insertions(+), 77 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex index 2552574..08e25f2 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex @@ -15,19 +15,20 @@ % Check for readability \section{Was ist das Sturm-Liouville-Problem\label{sturmliouville:section:teil0}} -\rhead{Einleitung} +\rhead{Was ist das Sturm-Liouville-Problem} Das Sturm-Liouville-Problem wurde benannt nach dem schweizerisch-französischen Mathematiker und Physiker Jacques Charles Fran\c{c}ois Sturm und dem französischen Mathematiker Joseph Liouville. Gemeinsam haben sie in der mathematischen Physik die Sturm-Liouville-Theorie -entwickelt und gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen, -jedoch verwendet man die Theorie öfters bei der Lösung von partiellen +entwickelt. +Dies gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen, +jedoch verwendet man die Theorie beim lösen von partiellen Differentialgleichungen. -Normalerweise betrachtet man für das Strum-Liouville-Problem eine gewöhnliche -Differentialgleichung 2. Ordnung, und wenn es sich um eine partielle -Differentialgleichung handelt, kann man sie in mehrere gewöhnliche -Differentialgleichungen umwandeln. Wie z. B. den Separationsansatz, die -partielle Differentialgleichung mit mehreren Variablen. +Man betrachtet für das Strum-Liouville-Problem eine gewöhnliche +Differentialgleichung 2. Ordnung. +Wenn es sich um eine partielle +Differentialgleichung handelt, kann man sie mittels Separation in mehrere gewöhnliche +Differentialgleichungen umwandeln. \begin{definition} \index{Sturm-Liouville-Gleichung}% @@ -43,7 +44,7 @@ als = 0 \end{equation} -geschrieben werden kann, dann wird diese Gleichung als Sturm-Liouville-Gleichung +geschrieben werden kann, dann wird die Gleichung \eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} als Sturm-Liouville-Gleichung bezeichnet. \end{definition} Alle homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen 2. Ordnung können @@ -51,7 +52,7 @@ in die Form der Gleichung \eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} umgewandelt werden. Damit es sich um ein Sturm-Liouville-Problem handelt, benötigt es noch die -Randbedingung, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird. +Randbedingung, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird. \subsection{Randbedingungen \label{sturmliouville:sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}} @@ -62,7 +63,7 @@ Die Sturm-Liouville-Gleichung mit homogenen Randbedingungen des dritten Typs \begin{aligned} \label{sturmliouville:eq:randbedingungen} k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\ - k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0. + k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0 \end{aligned} \end{equation} ist das klassische Sturm-Liouville-Problem. @@ -70,21 +71,21 @@ ist das klassische Sturm-Liouville-Problem. \subsection{Koeffizientenfunktionen \label{sturmliouville:sub:koeffizientenfunktionen}} -Die Funktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ werden als Koeffizientenfunktionen mit -ihren freien Variablen $x$ bezeichnet. +Die Funktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ werden als Koeffizientenfunktionen +bezeichnet. Diese Funktionen erhält man, indem man eine Differentialgleichung in die -Sturm-Liouville-Form bringt. +Sturm-Liouville-Form bringt und dann die Koeffizientenfunktionen vergleicht. Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion oder Dichtefunktion bezeichnet. Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen sowie andere Bedingungen haben einen großen Einfluss auf die Lösbarkeit des Sturm-Liouville-Problems und werden -im nächsten Kapitel diskutiert. +im nächsten Kapitel diskutiert. % %Kapitel mit "Das reguläre Sturm-Liouville-Problem" % -\subsection{Das reguläre oder singuläre Sturm-Liouville-Problem +\subsection{Das reguläre und singuläre Sturm-Liouville-Problem \label{sturmliouville:sub:reguläre_sturm_liouville_problem}} Damit es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem handelt, müssen einige Bedingungen beachtet werden. @@ -94,8 +95,8 @@ Bedingungen beachtet werden. Die Bedingungen für ein reguläres Sturm-Liouville-Problem sind: \begin{itemize} \item Die Funktionen $p(x), p'(x), q(x)$ und $w(x)$ müssen stetig und - reell sein. - \item sowie müssen in einem endlichen Intervall $[a,b]$ integrierbar + reell sein + \item sowie in einem endlichen Intervall $[a,b]$ integrierbar sein. \item $p(x)$ und $w(x)$ sind $>0$. \item Es gelten die Randbedingungen @@ -103,36 +104,32 @@ Bedingungen beachtet werden. $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$. \end{itemize} \end{definition} -Werden diese Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um ein singuläres +Wird eine oder mehrere dieser Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem. \begin{beispiel} Das Randwertproblem \begin{equation} \begin{aligned} - x^2y'' + xy' + (\lambda^2x^2 - m^2)y &= 0, 01$ und $x<-1$ sehen die Polynome wie folgt aus: -\begin{equation} - T_n(x) = \left\{\begin{array}{ll} \cosh (n \arccos x), & x > 1\\ - (-1)^n \cosh (n \arccos (-x)), & x<-1 \end{array}\right. -\end{equation}, -jedoch ist die Orthogonalität nur auf dem Intervall $[ -1, 1]$ sichergestellt. -Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)$ und $w(x)>0$ sein -müssen. -Die Funktion -\begin{equation*} - p(x)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} -\end{equation*} -ist die gleiche wie $w(x)$ und erfüllt die Bedingung. +Zunächst werden jedoch die Randbedingungen betrachtet. \subsubsection*{Randwertproblem} Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$. -Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $[ -1,1 ]$ orthogonal verhalten, -sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt. -Beim einsetzen in die Randbedingung \eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen}, +Die Randwerte setzt man $a = -1$ und $b = 1$. +Beim Einsetzen in die Randbedingung \eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen}, erhält man \begin{equation} -\begin{aligned} - k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0\\ - k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0. -\end{aligned} + \begin{aligned} + k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0\\ + k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0. + \end{aligned} \end{equation} Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome (siehe \ref{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}). Die Funktion $y(x)$ wird nun mit der Funktion $T_n(x)$ ersetzt und für die -Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=2$. +Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=0$. Somit erhält man \begin{equation} \begin{aligned} - k_a T_2(-1) + h_a T_{2}'(-1) &= k_a = 0\\ - k_b T_2(1) + h_b T_{2}'(1) &= k_b = 0. + k_a T_0(-1) + h_a T_{0}'(-1) &= k_a = 0\\ + k_b T_0(1) + h_b T_{0}'(1) &= k_b = 0. \end{aligned} \end{equation} Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab kann man, -damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, können beliebige +damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, beliebige $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden. -Somit ist erneut gezeigt, dass die Randbedingungen der Tschebyscheff-Polynome -auf die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden -Lösungen orthogonal sind. +Es wird also erneut gezeigt, dass die Randbedingungen $[-1,1]$, +die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen. + +\subsubsection*{regulär oder singulär?} +Für das reguläre Problem muss laut der +Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} die funktion +$p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und +$w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein. +Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art +\begin{equation} + T_n(x) + = + \cos n (\arccos x). +\end{equation} +Die nächste Bedingung, laut der Definition \ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem}, beinhaltet, dass die Funktion $p(x)$ und $w(x)>0$ sein +müssen. +Die Funktion +\begin{equation*} + p(x)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} +\end{equation*} +ist die gleiche wie $w(x)$ und erfüllt die Bedingung. + + \begin{beispiel} - Die Gleichung \eqref{eq:skalar-sturm-liouville} mit - $y_m = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$ + Die Gleichung + \[ + \int_{a}^{b} w(x) y_m y_n = 0 + \] + + mit + $y_m(x) = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$ ergibt \[ \int_{-1}^{1} w(x) x (2x^2-1) dx = 0. -- cgit v1.2.1 From 4d49e23d6382999ed696c403c46a6b8290ca2f72 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "samuel.niederer" Date: Wed, 24 Aug 2022 21:52:46 +0200 Subject: einarbeitung der Korrekturen --- buch/papers/kra/anwendung.tex | 22 +++++++++++++++++----- buch/papers/kra/loesung.tex | 40 +++++++++++++++++++++++++++++++--------- 2 files changed, 48 insertions(+), 14 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/kra/anwendung.tex b/buch/papers/kra/anwendung.tex index 6390d4f..704de43 100644 --- a/buch/papers/kra/anwendung.tex +++ b/buch/papers/kra/anwendung.tex @@ -6,6 +6,7 @@ Die Matrix-Riccati Differentialgleichung findet unter anderem Anwendung in der R Im folgenden Abschnitt möchten wir uns an einem Beispiel anschauen wie wir mit Hilfe der Matrix-Riccati-Differentialgleichung (\ref{kra:equation:matrixriccati}) ein Feder-Masse-System untersuchen können \cite{kra:riccati}. \subsection{Feder-Masse-System} +\label{kra:subsection:feder-masse-system} Die einfachste Form eines Feder-Masse-Systems ist dargestellt in Abbildung~\ref{kra:fig:simple_mass_spring}. Es besteht aus einer reibungsfrei gelagerten Masse $m$, welche an eine Feder mit der Federkonstante $k$ gekoppelt ist. Die im System wirkenden Kräfte teilen sich auf in die auf dem hookeschen Gesetz basierenden Rückstellkraft $F_R = k \Delta_x$ und der auf dem Aktionsprinzip basierenden Kraft $F_a = am = \ddot{x} m$. @@ -35,6 +36,7 @@ Die Funktion die diese Differentialgleichung löst, ist die harmonische Schwingu \end{figure} \subsection{Hamilton-Funktion} +\label{kra:subsection:hamilton-funktion} Die Bewegung der Masse $m$ kann mit Hilfe der hamiltonschen Mechanik im Phasenraum untersucht werden. Die hamiltonschen Gleichungen verwenden dafür die verallgemeinerten Ortskoordinaten $q = (q_{1}, q_{2}, ..., q_{n})$ und die verallgemeinerten Impulskoordinaten $p = (p_{1}, p_{2}, ..., p_{n})$, wobei der Impuls definiert ist als $p_k = m_k \cdot v_k$. @@ -95,7 +97,7 @@ Die Hamilton-Funktion ist also \begin{align*} \begin{split} H &= T + V \\ - &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2} + &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2} \end{split} \end{align*} Die Bewegungsgleichungen \eqref{kra:equation:bewegungsgleichung} liefern @@ -160,7 +162,14 @@ In Matrixschreibweise erhalten wir \end{equation} \subsection{Phasenraum} -Der Phasenraum erlaubt die eindeutige Beschreibung aller möglichen Bewegungszustände eines mechanischen Systems durch einen Punkt. +\subsubsection{Motivation} +Die Beschreibung eines klassischen physikalischen Systems führt in der Newtonschen-Mechanik, wie wir in \ref{kra:subsection:feder-masse-system} gesehen haben, auf eine DGL 2. Ordung der Dimension $n$. +Zur Betrachung des Systems verwenden wir dabei den Konfigurationsraum, ein Raum $\mathbb{R}^n$, bei dem ein einziger Punkt die Position aller $n$ Teilchen festlegt. +Der Nachteil des Konfigurationsraums ist dabei, dass dieser nur die Positionen der Teilchen widerspiegelt. +Um den Zustand eines Systems vollständig zu beschreiben, muss man aber nicht nur wissen wo sich die Teilchen zu einem bestimmten Zeitpunkt befinden, sondern auch wie sie sich bewegen. + +Im Gegensatz dazu führt die Beschreibung des Systems mit Hilfe der Hamilton-Mechanik \ref{kra:subsection:hamilton-funktion}, auf eine DGL 1. Ordnung der Dimension $2n$. +Die Betrachtung erfolgt im einem Raum $\mathbb{R}^{2n}$, bei dem ein einzelner Punkt den Bewegungszustand vollständig beschreibt, dem sogennanten Phasenraum. Die Phasenraumdarstellung eignet sich somit sehr gut für die systematische Untersuchung der Feder-Masse-Systeme. \subsubsection{Harmonischer Oszillator} @@ -205,6 +214,7 @@ Ausgeschrieben folgt \dot{P} = CQ + DP \end{align*} \begin{equation} + \label{kra:equation:feder-masse-riccati-matrix} \begin{split} \dt U &= \dot{P} Q^{-1} + P \dt Q^{-1} \\ &= (CQ + DP) Q^{-1} - P (Q^{-1} \dot{Q} Q^{-1}) \\ @@ -213,7 +223,9 @@ Ausgeschrieben folgt &= C + DU - UA - UBU \end{split} \end{equation} -was uns auf die Matrix-Riccati Gleichung \eqref{kra:equation:matrixriccati} führt. +was uns direkt auf die Matrix-Riccati Gleichung \eqref{kra:equation:matrixriccati} führt. +Wir sehen das sich die Dimension der DGL reduziert, dabei aber gleichzeitig der Grad erhöht. -% @TODO Einfluss auf anfangsbedingungen, plots? -% @TODO Fazit ? +\subsection{Fazit} +Wir haben gezeigt wie wir ein Federmassesystem mit Hilfe der Hamilton-Funktion Beschreiben und im Phasenraum untersuchen können. +Ausserdem haben wir gesehen, dass sich bei der Entstehung der Riccati-Gleichung \eqref{kra:equation:feder-masse-riccati-matrix} die Dimension auf Kosten des Grades reduziert wird. \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/kra/loesung.tex b/buch/papers/kra/loesung.tex index dbbb7f6..18ac853 100644 --- a/buch/papers/kra/loesung.tex +++ b/buch/papers/kra/loesung.tex @@ -49,8 +49,33 @@ Diese kann nun mit den Methoden zur Lösung von linearen Differentialgleichungen Durch die Rücksubstitution \eqref{kra:equation:backsubstitution} erhält man dann die Lösung von \eqref{kra:equation:riccati}. \subsection{Matrix-Riccati-Differentialgleichung} \label{kra:loesung:riccati} -% Lösung matrix riccati -Die Lösung der Matrix-Riccati-Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} erhalten wir nach \cite{kra:kalmanisae} folgendermassen +Im Folgenden wollen wir uns anschauen wie die Matrix-Riccati-DGL entsteht und wie sie gelöst werden kann. +Der Ausgangspunkt bildet die Matrix-Differentialgleichung +\begin{equation} + \label{kra:equation:matrix-dgl} + \begin{pmatrix} + \dot{X}(t) \\ + \dot{Y}(t) + \end{pmatrix} + = + \underbrace{ + \begin{pmatrix} + A & B \\ + C & D + \end{pmatrix} + }_{\displaystyle{H}}, +\end{equation} +mit den allgemeinen quadratischen Matrizen $A, B, C$ und $D$ welche zusammen die sogennante Hamilonsche-Matrix bilden. +Betrachten wir das Verhältniss von $Y$ zu $X$ +\[ + P(t) = Y(t)X^{-1} +\] +und deren Ableitung $\dot{P}(t)$, so erhalten wir die Riccati-Matrix-DGL +\[ + \dot{P}(t) = C + DU - UA - UBU. +\] + +Die Lösung erhalten wir dann mit \begin{equation} \label{kra:matrixriccati-solution} \begin{pmatrix} @@ -61,7 +86,7 @@ Die Lösung der Matrix-Riccati-Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} erhalt \Phi(t_0, t) \begin{pmatrix} I(t) \\ - U_0(t) + P_0(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} @@ -70,11 +95,11 @@ Die Lösung der Matrix-Riccati-Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} erhalt \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I(t) \\ - U_0(t) + P_0(t) \end{pmatrix} \end{equation} \begin{equation} - U(t) = + P(t) = \begin{pmatrix} \Phi_{21}(t_0, t) + \Phi_{22}(t_0, t) \end{pmatrix} @@ -83,7 +108,4 @@ Die Lösung der Matrix-Riccati-Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} erhalt \end{pmatrix} ^{-1} \end{equation} -wobei $\Phi(t, t_0)$ die sogenannte Zustandsübergangsmatrix ist. -\begin{equation} - \Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)} -\end{equation} +wobei $\Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)}$ die sogenannte Zustandsübergangsmatrix von \eqref{kra:equation:matrix-dgl} ist \cite{kra:kalmanisae}. -- cgit v1.2.1 From 2ea641baa5990d5439f8e626618d5ff0968f61ba Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com> Date: Thu, 25 Aug 2022 12:48:21 +0200 Subject: Revision of fourier example done. --- .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 101 ++++++++++++++------- 1 file changed, 68 insertions(+), 33 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index 8e3be72..2104645 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -321,8 +321,8 @@ Es bleibt noch nach $\beta$ aufzulösen: \[ \begin{aligned} \sin(\beta l) &= 0 \\ - \beta l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N} \\ - \beta &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N} + \beta l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N}_0 \\ + \beta &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}_0 \end{aligned} \] @@ -364,8 +364,8 @@ Es folgt nun \[ \begin{aligned} \sin(\alpha l) &= 0 \\ - \alpha l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N} \\ - \alpha &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N} + \alpha l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N}_0 \\ + \alpha &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}_0 \end{aligned} \] und somit @@ -382,24 +382,32 @@ wie auch für den Stab mit isolierten Enden -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}. \end{equation} -% TODO: infinite base vectors and fourier series -\subsubsection{TODO: Auf Anzahl Lösungen und Fourierreihe eingehen} +\subsubsection{Fourierreihe als Lösung} -% TODO: check ease of reading -\subsubsection{Berechnung der Koeffizienten} - -% TODO: move explanation A/B -> a_n/b_n to fourier subsection - -% -% Lösung von X(x), Teil: Koeffizienten a_n und b_n mittels skalarprodukt. -% +Das Resultat~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-mu-solution} gibt nun +wegen der neuen Variablen $n \in \mathbb{N}_0$ vor, dass es potentiell +unendlich viele Lösungen gibt. +Dies bedeutet auch, dass es nicht ein $A$ und ein $B$ gibt, sondern einen +Koeffizienten für jede Lösungsfunktion. +Wir schreiben deshalb den Lösungsansatz zur Linearkombination +\[ + X(x) + = + \sum_{n = 0}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + + + \sum_{n = 0}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) +\] +aus allen möglichen Lösungen um. -Bisher wurde über die Koeffizienten $A$ und $B$ noch nicht viel ausgesagt. -Zunächst ist wegen vorhergehender Rechnung ersichtlich, dass es sich bei -$A$ und $B$ nicht um einzelne Koeffizienten handelt. -Stattdessen können die Koeffizienten für jedes $n \in \mathbb{N}$ -unterschiedlich sein. -Die Lösung $X(x)$ wird nun umgeschrieben zu +Als nächstes werden noch die Summanden für $n = 0$ aus den Summen herausgezogen, +da +\[ + \begin{aligned} + a_0 \cos\left(\frac{0 \pi}{l}\right) &= a_0 \\ + b_0 \sin\left(\frac{0 \pi}{l}\right) &= 0 + \end{aligned} +\] +gilt endet man somit bei \[ X(x) = @@ -409,10 +417,33 @@ Die Lösung $X(x)$ wird nun umgeschrieben zu + \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right). \] +Dies ist die allgemeine Fourierreihe, welche unsere Stab-Probleme löst. +Wie zuvor bereits erwähnt, wissen wir dass sämtliche Lösungsfunktionen +orthogonal zueinander sind, da es sich hier um die Lösung eines +Sturm-Liouville-Problems handelt. +Es gilt also +\[ +\begin{aligned} + \int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{n \pi}{l}x\right) + \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx + &= 0 \qquad n \neq m \\ + \int_{-l}^{l}\sin\left(\frac{n \pi}{l}x\right) + \sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx + &= 0 \qquad n \neq m \\ + \int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{n \pi}{l}x\right) + \sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx + &= 0. +\end{aligned} +\] + +\subsubsection{Berechnung der Fourierkoeffizienten} + +% +% Lösung von X(x), Teil: Koeffizienten a_n und b_n mittels skalarprodukt. +% -Um eine eindeutige Lösung für $X(x)$ zu erhalten werden noch weitere -Bedingungen benötigt. -Diese sind die Startbedingungen oder $u(0, x) = X(x)$ für $t = 0$. +Um eine eindeutige Lösung für $X(x)$ zu erhalten wird nun die initiale +Wärmeverteilung oder $u(0, x) = X(x)$ für $t = 0$ benötigt. Es gilt also nun die Gleichung \begin{equation} \label{sturmliouville:eq:example-fourier-initial-conditions} @@ -479,8 +510,8 @@ gerade, respektive ungerade auf $[-l, l]$ fortsetzen: \end{aligned} \] -Die Konsequenz davon ist, dass nun das Resultat der Integrale um den Faktor zwei -skalliert wurde, also gilt nun +Diese Funktionen wurden gerade so gewählt, dass nun das Resultat der Integrale +um den Faktor zwei skalliert wurde, also gilt \[ \begin{aligned} \int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx @@ -587,7 +618,7 @@ $ \sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right) $ gezeigt werden, dass gilt. Etwas anders ist es allerdings bei $a_0$. -Wie der Name bereits suggeriert, handelt es sich hierbei um den Koeffizienten +Wie zuvor bereits erwähnt, handelt es sich hierbei um den Koeffizienten zur Basisfunktion $\cos\left(\frac{0 \pi}{l}x\right)$ beziehungsweise der konstanten Funktion $1$. Um einen Ausdruck für $a_0$ zu erhalten, wird wiederum auf beiden Seiten @@ -615,14 +646,14 @@ Skalarprodukt mit der konstanten Basisfunktion $1$ gebildet: \] Hier fallen nun alle Terme, die $\sin$ oder $\cos$ beinhalten weg, da jeweils -über ein Vielfaches der Periode integriert wird. +über ein ganzzahliges Vielfaches der Periode integriert wird. Es bleibt also noch \[ 2\int_{0}^{l}u(0, x)dx = - a_0 \int_{-l}^{l}dx + a_0 \int_{-l}^{l}dx, \] -, was sich wie folgt nach $a_0$ auflösen lässt: +was sich wie folgt nach $a_0$ auflösen lässt: \[ \begin{aligned} 2\int_{0}^{l}u(0, x)dx @@ -651,13 +682,19 @@ Es bleibt also noch \subsubsection{Lösung der Differentialgleichung in $t$} Zuletzt wird die zweite Gleichung der Separation~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-t} betrachtet. -Diese wird über das charakteristische Polynom +Dazu betrachtet man das charakteristische Polynom \[ \lambda - \kappa \mu = 0 \] -gelöst. +der Gleichung +\[ + T^{\prime}(t) - \kappa \mu T(t) + = + 0 +\] +und löst dieses. Es ist direkt ersichtlich, dass $\lambda = \kappa \mu$ gelten muss, was zur Lösung @@ -677,8 +714,6 @@ ergibt. Dieses Resultat kann nun mit allen vorhergehenden Resultaten zusammengesetzt werden um die vollständige Lösung für das Stab-Problem zu erhalten. -% TODO: elaborate - \subsubsection{Lösung für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur} \[ \begin{aligned} -- cgit v1.2.1 From 2053717fd33afc91d07e00b2d36cb97e3ad0a156 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com> Date: Thu, 25 Aug 2022 13:38:43 +0200 Subject: Minor changes. --- buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex | 3 ++- 1 file changed, 2 insertions(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex index 08e25f2..4701b8a 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex @@ -1,5 +1,6 @@ % % einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung +% Author: Réda Haddouche % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % @@ -7,7 +8,7 @@ % TODO: % order: % 1. State goal of showing examples in intro -% 2. Show Sturm-Liouville form +% 2. Show Sturm-Liouville form % 3. Explain boundary conditions as necessary in regards to examples % (make singular property brief) % -- cgit v1.2.1 From a2a2826f4def7a43570e521e9ad9b5b653f34456 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com> Date: Thu, 25 Aug 2022 13:40:26 +0200 Subject: Recommiting, something went wrong last time. --- buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex | 1 + 1 file changed, 1 insertion(+) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex index 8f673a5..b247441 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex @@ -1,5 +1,6 @@ % % tschebyscheff_beispiel.tex +% Author: Réda Haddouche % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -- cgit v1.2.1 From 4241483d86a2803e284f734af690d88c0d1f6dfe Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: haddoucher Date: Thu, 25 Aug 2022 16:59:37 +0200 Subject: korrigiert Tschebyscheff-Polynome und Einleitung --- buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex | 24 ++++++------ .../sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex | 44 ++++++++++++++-------- 2 files changed, 40 insertions(+), 28 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex index 08e25f2..6c5fb59 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex @@ -21,14 +21,11 @@ Mathematiker und Physiker Jacques Charles Fran\c{c}ois Sturm und dem französischen Mathematiker Joseph Liouville. Gemeinsam haben sie in der mathematischen Physik die Sturm-Liouville-Theorie entwickelt. -Dies gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen, -jedoch verwendet man die Theorie beim lösen von partiellen -Differentialgleichungen. -Man betrachtet für das Strum-Liouville-Problem eine gewöhnliche -Differentialgleichung 2. Ordnung. +Dieses gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen oder +partielle Differentialgleichung. Wenn es sich um eine partielle -Differentialgleichung handelt, kann man sie mittels Separation in mehrere gewöhnliche -Differentialgleichungen umwandeln. +Differentialgleichung handelt, kann man sie mittels Separation in +mehrere gewöhnliche Differentialgleichungen umwandeln. \begin{definition} \index{Sturm-Liouville-Gleichung}% @@ -52,7 +49,7 @@ in die Form der Gleichung \eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} umgewandelt werden. Damit es sich um ein Sturm-Liouville-Problem handelt, benötigt es noch die -Randbedingung, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird. +Randbedingungen, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird. \subsection{Randbedingungen \label{sturmliouville:sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}} @@ -77,9 +74,9 @@ Diese Funktionen erhält man, indem man eine Differentialgleichung in die Sturm-Liouville-Form bringt und dann die Koeffizientenfunktionen vergleicht. Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion oder Dichtefunktion bezeichnet. -Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen sowie andere Bedingungen haben +Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen haben einen großen Einfluss auf die Lösbarkeit des Sturm-Liouville-Problems und werden -im nächsten Kapitel diskutiert. +im nächsten Abschnitt diskutiert. % %Kapitel mit "Das reguläre Sturm-Liouville-Problem" @@ -130,6 +127,7 @@ Sturm-Liouville-Problem. \end{itemize} \end{beispiel} -Verwendet man das reguläre Sturm-Liouville-Problem, obwohl eine oder mehrere -Bedingungen nicht erfüllt sind, dann ist es schwierig zu sagen, ob die Lösung -eindeutig ist. +Bei einem regulärem Problem, besteht die Lösung nur aus Eigenvektoren. +Handelt es sich um ein singuläres Problem, so besteht die Lösung im Allgemeinen +nicht mehr nur aus Eigenvektoren. + diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex index 8f673a5..dfc6798 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex @@ -7,6 +7,13 @@ \subsection{Tschebyscheff-Polynome \label{sturmliouville:sub:tschebyscheff-polynome}} \rhead{Tschebyscheff-Polynome} +In diesem Unterkapitel wird anhand der +Tschebyscheff-Differentialgleichung~\eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:dgl} gezeigt, dass die Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander sind. +Zu diesem Zweck werden die Koeffizientenfunktionen nochmals dargestellt, so dass +überprüft werden kann, ob die Randbedingungen erfüllt werden können. +Sobald feststeht, ob das Problem regulär oder singulär ist, zeigt eine +kleine Rechnung, dass die Lösungen orthogonal sind. + \subsubsection*{Definition der Koeffizientenfunktion} Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgelistet: @@ -34,8 +41,8 @@ Beim Einsetzen in die Randbedingung \eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen}, erhält man \begin{equation} \begin{aligned} - k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0\\ - k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0. + k_a y(-1) + h_a p(-1) y'(-1) &= 0\\ + k_b y(1) + h_b p(1) y'(-1) &= 0. \end{aligned} \end{equation} Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome @@ -45,17 +52,16 @@ Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=0$. Somit erhält man \begin{equation} \begin{aligned} - k_a T_0(-1) + h_a T_{0}'(-1) &= k_a = 0\\ - k_b T_0(1) + h_b T_{0}'(1) &= k_b = 0. + k_a T_0(-1) + h_a p(-1) T_{0}'(-1) &= k_a = 0\\ + k_b T_0(1) + h_b p(1) T_{0}'(1) &= k_b = 0. \end{aligned} \end{equation} -Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab kann man, +Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab können, damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, beliebige $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden. -Es wird also erneut gezeigt, dass die Randbedingungen $[-1,1]$, -die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen. +Es wurde somit gezeigt, dass die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt sind. -\subsubsection*{regulär oder singulär?} +\subsubsection*{Handelt es sich um ein reguläres oder Singuläres Problem?} Für das reguläre Problem muss laut der Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} die funktion $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und @@ -73,19 +79,27 @@ Die Funktion p(x)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \end{equation*} ist die gleiche wie $w(x)$ und erfüllt die Bedingung. - +Es zeigt sich also, dass $p(x)$, $p'(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ +die Bedingungen erfüllen. +Da auch die Randbedingungen erfüllt sind, handelt es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem. \begin{beispiel} - Die Gleichung + In diesem Beispiel wird zuletzt die Orthogonalität der Lösungsfunktion + illustriert. + Dazu verwendet man das Skalarprodukt \[ - \int_{a}^{b} w(x) y_m y_n = 0 + \int_{a}^{b} w(x) y_m y_n = 0. \] - - mit - $y_m(x) = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$ + Eigesetzt ergibt dies $y_m(x) = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$, sowie $a=-1$ und $b = 1$ ergibt \[ - \int_{-1}^{1} w(x) x (2x^2-1) dx = 0. + \begin{aligned} + \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} x (2x^2-1) dx &= + \lbrack - \frac{\sqrt{1-x^2}(2x^2+1)}{3}\rbrack_{-1}^{1}\\ + &= 0. + \end{aligned} \] + Somit ist gezeigt, dass $T_1(x)$ und $T_2(x)$ orthogonal sind. + Analog kann Orthogonalität für alle $y_n(x)$ und $y_m(x)$ mit $n \ne m$ gezeigt werden. \end{beispiel} -- cgit v1.2.1 From a1a9823fa9396d39d77b11d0c77b62df09a3bac8 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com> Date: Thu, 25 Aug 2022 21:38:04 +0200 Subject: Some corrections in intro and chebyshev example. --- buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex | 26 +++++++--------------- .../sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex | 13 ++++++----- 2 files changed, 15 insertions(+), 24 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex index b2d01f0..2299c3c 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex @@ -5,16 +5,6 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -% TODO: -% order: -% 1. State goal of showing examples in intro -% 2. Show Sturm-Liouville form -% 3. Explain boundary conditions as necessary in regards to examples -% (make singular property brief) -% -% Remove Eigenvaluedecomposition -> is discussed in properties of solutions -% Check for readability - \section{Was ist das Sturm-Liouville-Problem\label{sturmliouville:section:teil0}} \rhead{Was ist das Sturm-Liouville-Problem} Das Sturm-Liouville-Problem wurde benannt nach dem schweizerisch-französischen @@ -22,10 +12,9 @@ Mathematiker und Physiker Jacques Charles Fran\c{c}ois Sturm und dem französischen Mathematiker Joseph Liouville. Gemeinsam haben sie in der mathematischen Physik die Sturm-Liouville-Theorie entwickelt. -Dieses gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen oder -partielle Differentialgleichung. -Wenn es sich um eine partielle -Differentialgleichung handelt, kann man sie mittels Separation in +Diese gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen. +Handelt es sich um eine partielle +Differentialgleichung, kann man sie mittels Separation in mehrere gewöhnliche Differentialgleichungen umwandeln. \begin{definition} @@ -42,8 +31,9 @@ als = 0 \end{equation} -geschrieben werden kann, dann wird die Gleichung \eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} als Sturm-Liouville-Gleichung -bezeichnet. +geschrieben werden kann, dann wird die +Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} als +Sturm-Liouville-Gleichung bezeichnet. \end{definition} Alle homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen 2. Ordnung können in die Form der Gleichung \eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} @@ -102,8 +92,8 @@ Bedingungen beachtet werden. $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$. \end{itemize} \end{definition} -Wird eine oder mehrere dieser Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um ein singuläres -Sturm-Liouville-Problem. +Wird eine oder mehrere dieser Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um +ein singuläres Sturm-Liouville-Problem. \begin{beispiel} Das Randwertproblem diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex index 5ede99d..5fb3a0c 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex @@ -9,9 +9,10 @@ \label{sturmliouville:sub:tschebyscheff-polynome}} \rhead{Tschebyscheff-Polynome} In diesem Unterkapitel wird anhand der -Tschebyscheff-Differentialgleichung~\eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:dgl} gezeigt, dass die Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander sind. +Tschebyscheff-Differentialgleichung~\eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:dgl} +gezeigt, dass die Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander sind. Zu diesem Zweck werden die Koeffizientenfunktionen nochmals dargestellt, so dass -überprüft werden kann, ob die Randbedingungen erfüllt werden können. +überprüft werden kann, ob die Randbedingungen erfüllt werden. Sobald feststeht, ob das Problem regulär oder singulär ist, zeigt eine kleine Rechnung, dass die Lösungen orthogonal sind. @@ -43,7 +44,7 @@ erhält man \begin{equation} \begin{aligned} k_a y(-1) + h_a p(-1) y'(-1) &= 0\\ - k_b y(1) + h_b p(1) y'(-1) &= 0. + k_b y(1) + h_b p(1) y'(1) &= 0. \end{aligned} \end{equation} Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome @@ -62,7 +63,7 @@ damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, beliebige $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden. Es wurde somit gezeigt, dass die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt sind. -\subsubsection*{Handelt es sich um ein reguläres oder Singuläres Problem?} +\subsubsection*{Handelt es sich um ein reguläres oder singuläres Problem?} Für das reguläre Problem muss laut der Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} die funktion $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und @@ -92,8 +93,8 @@ Da auch die Randbedingungen erfüllt sind, handelt es sich um ein reguläres Stu \[ \int_{a}^{b} w(x) y_m y_n = 0. \] - Eigesetzt ergibt dies $y_m(x) = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$, sowie $a=-1$ und $b = 1$ - ergibt + mit $y_m(x) = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$, sowie $a=-1$ und $b = 1$. + Eigesetzt ergibt dies \[ \begin{aligned} \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} x (2x^2-1) dx &= -- cgit v1.2.1 From 41ce2627d6ad8179498107414c7b456219db13b2 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com> Date: Thu, 25 Aug 2022 21:40:36 +0200 Subject: Removed some TODO's. --- buch/papers/sturmliouville/main.tex | 4 ---- 1 file changed, 4 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/main.tex b/buch/papers/sturmliouville/main.tex index 99a043d..887e085 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/main.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/main.tex @@ -9,10 +9,6 @@ \begin{refsection} \chapterauthor{Réda Haddouche und Erik Löffler} -% -> Repetition: Was ist Sturm-Liouville-Problem -% -> Eigenschaften der Lösungen -% -> Beispiele erwähnen - In diesem Kapitel wird zunächst nochmals ein Überblick über das Sturm-Liouville-Problem und dessen Randbedingungen gegeben. Dann wird ein Zusammenhang zwischen reellen symmetrischen Matrizen und -- cgit v1.2.1 From 08f2fa49aebb5880f5b510196f693f4cb68d439d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com> Date: Thu, 25 Aug 2022 22:36:30 +0200 Subject: Final corrections before pull request. --- buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 87 +--------------------- .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 67 +++++++++-------- 2 files changed, 37 insertions(+), 117 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index cef276b..8616172 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -116,90 +116,5 @@ Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem ist diese Eigenschaft für $L$ gegeben und wird im Weiteren nicht näher diskutiert. Es kann nun also dank dem Spektralsatz darauf geschlossen werden, dass die -Lösungsfunktion $y$ eises regulären Sturm-Liouville-Problems eine +Lösungsfunktion $y$ eines regulären Sturm-Liouville-Problems eine Linearkombination aus orthogonalen Basisfunktionen sein muss. - -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% OLD section %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% - -\iffalse - -\section{OLD: Eigenschaften von Lösungen -%\label{sturmliouville:section:solution-properties} -} -\rhead{Eigenschaften von Lösungen} - -Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines -Sturm-Liouville-Problems diskutiert und aufgezeigt, wie diese Eigenschaften -zustande kommen. - -Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in -Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} betrachtet -wurde, noch etwas genauer angeschaut. -Es wird also im Folgenden -\[ - L_0 - = - -\frac{d}{dx}p(x)\frac{d}{dx} -\] -zusammen mit den Randbedingungen -\[ - \begin{aligned} - k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\ - k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0 - \end{aligned} -\] -verwendet. -Wie im Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits -gezeigt, resultieren die Randbedingungen aus der Anforderung den Operator $L_0$ -selbsadjungiert zu machen. -Es wurde allerdings noch nicht darauf eingegangen, welche Eigenschaften dies -für die Lösungen des Sturm-Liouville-Problems zur Folge hat. - -\subsubsection{Exkurs zum Spektralsatz} - -Um zu verstehen welche Eigenschaften der selbstadjungierte Operator $L_0$ in -den Lösungen hervorbringt, wird der Spektralsatz benötigt. - -Dieser wird in der linearen Algebra oft verwendet um zu zeigen, dass eine Matrix -diagonalisierbar ist, beziehungsweise dass eine Orthonormalbasis existiert. - -Im Fall einer gegebenen $n\times n$-Matrix $A$ mit reellen Einträgen wird dazu -zunächst gezeigt, dass $A$ selbstadjungiert ist, also dass -\[ - \langle Av, w \rangle - = - \langle v, Aw \rangle -\] -für $ v, w \in \mathbb{R}^n$ gilt. -Ist dies der Fall, kann die Aussage des Spektralsatzes -\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki} verwended werden. -Daraus folgt dann, dass eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert, -wenn $A$ nur Eigenwerte aus $\mathbb{R}$ besitzt. - -Dies ist allerdings nicht die Einzige Version des Spektralsatzes. -Unter anderen gibt es den Spektralsatz für kompakte Operatoren -\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki}, welcher für das -Sturm-Liouville-Problem von Bedeutung ist. -Welche Voraussetzungen erfüllt sein müssen, um diese Version des -Satzes verwenden zu können, wird hier aber nicht diskutiert und kann bei den -Beispielen in diesem Kapitel als gegeben betrachtet werden. -Grundsätzlich ist die Aussage in dieser Version dieselbe, wie bei den Matrizen, -also dass für ein Operator eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert, -falls er selbstadjungiert ist. - -\subsubsection{Anwendung des Spektralsatzes auf $L_0$} - -Der Spektralsatz besagt also, dass, weil $L_0$ selbstadjungiert ist, eine -Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert. -Genauer bedeutet dies, dass alle Eigenvektoren, beziehungsweise alle Lösungen -des Sturm-Liouville-Problems orthogonal zueinander sind bezüglich des -Skalarprodukts, in dem $L_0$ selbstadjungiert ist. - -Erfüllt also eine Differenzialgleichung die in -Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und -erfüllen die Randbedingungen der Differentialgleichung die Randbedingungen -des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits geschlossen werden, dass die -Lösungsfunktion des Problems eine Linearkombination aus orthogonalen -Basisfunktionen ist. - -\fi diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index 2104645..0ef1072 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -9,11 +9,12 @@ \rhead{Wärmeleitung in homogenem Stab} In diesem Abschnitt wird das Problem der Wärmeleitung in einem homogenen Stab -betrachtet und wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung dieses -physikalischen Phänomenes auftritt. +betrachtet, angeschaut wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung +dieses physikalischen Phänomenes auftritt und hergeleitet wie die Fourierreihe +als Lösung des Problems zustande kommt. Zunächst wird ein eindimensionaler homogener Stab der Länge $l$ und -Wärmeleitkoeffizient $\kappa$ betrachtet dessen initiale Wärmeverteilung durch +Wärmeleitkoeffizient $\kappa$ betrachtet, dessen initiale Wärmeverteilung durch $u(t=0, x)$ gegeben ist. Es ergibt sich für das Wärmeleitungsproblem die partielle Differentialgleichung \begin{equation} @@ -58,7 +59,7 @@ als Randbedingungen. Bei isolierten Enden des Stabes können grundsätzlich beliebige Temperaturen für $x = 0$ und $x = l$ auftreten. -Die einzige Einschränkung liefert die Anfangsbedingung $u(0, x)$. +Die einzige Einschränkung liefert die initiale Wärmeverteilung $u(0, x)$. Im Fall des isolierten Stabes ist es nicht erlaubt, dass Wärme vom Stab an die Umgebung oder von der Umgebung an den Stab abgegeben wird. @@ -144,6 +145,7 @@ diese direkt für $X(x)$ übernomen werden. Es gilt also beispielsweise wegen \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant}, dass $X(0) = X(l) = 0$. + Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen nun also die Gleichungen \begin{equation} \begin{aligned} @@ -162,7 +164,7 @@ erfüllt sein und es muss ausserdem \end{equation} gelten. -Um zu verifizieren, ob die Randbedingungen erfüllt sind, werden also die +Um zu verifizieren, dass die Randbedingungen erfüllt sind, werden also die Koeffizientenfunktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ benötigt. Dazu wird die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} mit der @@ -186,8 +188,8 @@ reguläres Sturm-Liouville-Problem. Es werden nun $p(x)$ und die Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant} -in \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen} eigesetzt und man -erhält +des Stab-Problems in \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen} +eigesetzt und man erhält \[ \begin{aligned} k_a y(0) + h_a y'(0) &= h_a y'(0) = 0 \\ @@ -203,7 +205,7 @@ und $k_b \neq 0$ gewählt werden. Somit ist gezeigt, dass die Randbedingungen des Stab-Problems für Enden auf konstanter Temperatur auch die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen. Daraus folg zunächst, dass es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem -handelt und weiter, dass alle daraus reultierenden Lösungen orthogonal sind. +handelt und weiter, dass alle daraus resultierenden Lösungen orthogonal sind. Analog dazu kann gezeit werden, dass die Randbedingungen für einen Stab mit isolierten Enden~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} @@ -285,14 +287,15 @@ Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends und \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} benötigt. -Da die Koeffizienten $A$ und $B$, sowie die Parameter $\alpha$ uns $\beta$ im -allgemeninen ungleich $0$ sind, müssen die Randbedingungen durch die +Da die Koeffizienten $A$ und $B$, sowie die Parameter $\alpha$ und $\beta$ im +allgemeinen ungleich $0$ sind, müssen die Randbedingungen durch die trigonometrischen Funktionen erfüllt werden. Es werden nun die Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant} für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur in die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} eingesetzt. + Betrachten wir zunächst die Bedingung für $x = 0$. Dies fürht zu \[ @@ -315,7 +318,6 @@ sich B \sin(\beta l) = 0. \] - $\beta$ muss also so gewählt werden, dass $\sin(\beta l) = 0$ gilt. Es bleibt noch nach $\beta$ aufzulösen: \[ @@ -335,11 +337,11 @@ Ausserdem ist zu bemerken, dass dies auch gleich $-\alpha^{2}$ ist. Da aber $A = 0$ gilt und der Summand mit $\alpha$ verschwindet, ist dies keine Verletzung der Randbedingungen. -Durch alanoges Vorgehen kann nun auch das Problem mit isolierten Enden gelöst +Durch analoges Vorgehen kann nun auch das Problem mit isolierten Enden gelöst werden. -Setzt man nun die +Setzt man die Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} -in $X^{\prime}$ ein, beginnend für $x = 0$, ergibt sich +in $X^{\prime}$ ein, beginnend mit $x = 0$, ergibt sich \[ X^{\prime}(0) = @@ -358,7 +360,7 @@ folgt nun = 0. \] -Wiedrum muss über die $\sin$-Funktion sicher gestellt werden, dass der +Wiederum muss über die $\sin$-Funktion sicher gestellt werden, dass der Ausdruck den Randbedingungen entspricht. Es folgt nun \[ @@ -385,7 +387,7 @@ wie auch für den Stab mit isolierten Enden \subsubsection{Fourierreihe als Lösung} Das Resultat~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-mu-solution} gibt nun -wegen der neuen Variablen $n \in \mathbb{N}_0$ vor, dass es potentiell +wegen der neuen Variablen $n \in \mathbb{N}_0$ vor, dass es potenziell unendlich viele Lösungen gibt. Dies bedeutet auch, dass es nicht ein $A$ und ein $B$ gibt, sondern einen Koeffizienten für jede Lösungsfunktion. @@ -399,15 +401,15 @@ Wir schreiben deshalb den Lösungsansatz zur Linearkombination \] aus allen möglichen Lösungen um. -Als nächstes werden noch die Summanden für $n = 0$ aus den Summen herausgezogen, -da +Als nächstes werden noch die Summanden für $n = 0$ aus den Summen herausgezogen. +Da \[ \begin{aligned} a_0 \cos\left(\frac{0 \pi}{l}\right) &= a_0 \\ b_0 \sin\left(\frac{0 \pi}{l}\right) &= 0 \end{aligned} \] -gilt endet man somit bei +gilt, endet man somit bei \[ X(x) = @@ -483,13 +485,13 @@ gebildet: Bevor diese Form in die Integralform umgeschrieben werden kann, muss überlegt sein, welche Integralgrenzen zu verwenden sind. In diesem Fall haben die $\sin$ und $\cos$ Terme beispielsweise keine ganze -Periode im Intervall $x \in [0, l]$ für ungerade $n$ und $m$. +Periode im Intervall $x \in [0, l]$ für ungerade $n$ und ungerade $m$. Um die Skalarprodukte aber korrekt zu berechnen, muss über ein ganzzahliges Vielfaches der Periode der trigonometrischen Funktionen integriert werden. Dazu werden die Integralgrenzen $-l$ und $l$ verwendet und es werden ausserdem neue Funktionen $\hat{u}_c(0, x)$ für die Berechnung mit Cosinus und $\hat{u}_s(0, x)$ für die Berechnung mit Sinus angenomen, welche $u(0, t)$ -gerade, respektive ungerade auf $[-l, l]$ fortsetzen: +gerade, respektive ungerade auf $[-l, 0]$ fortsetzen: \[ \begin{aligned} \hat{u}_c(0, x) @@ -511,21 +513,22 @@ gerade, respektive ungerade auf $[-l, l]$ fortsetzen: \] Diese Funktionen wurden gerade so gewählt, dass nun das Resultat der Integrale -um den Faktor zwei skalliert wurde, also gilt +um den Faktor zwei skalliert wurde. +Es gilt also \[ -\begin{aligned} \int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx - &= + = 2\int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx - \\ +\] +und +\[ \int_{-l}^{l}\hat{u}_s(0, x)\sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx - &= + = 2\int_{0}^{l}u(0, x)\sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx. -\end{aligned} \] -Zunächst wird nun das Skalaprodukt~\eqref{sturmliouville:eq:dot-product-cosine} -berechnet: +Als nächstes wird nun das +Skalaprodukt~\eqref{sturmliouville:eq:dot-product-cosine} berechnet: \[ \begin{aligned} \int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx @@ -574,13 +577,15 @@ orthogonal zueinander stehen und \] da Sinus- und Cosinus-Funktionen ebenfalls orthogonal zueinander sind. -Es bleibt also lediglich der Summand für $a_m$ stehen, was die Gleichung zu +Es bleibt also lediglich der Summand mit $a_m$ stehen, was die Gleichung zu \[ 2\int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx = a_m\int_{-l}^{l}\cos^2\left(\frac{m\pi}{l}x\right)dx \] -vereinfacht. Im nächsten Schritt wird nun das Integral auf der rechten Seite +vereinfacht. + +Im nächsten Schritt wird nun das Integral auf der rechten Seite berechnet und dann nach $a_m$ aufgelöst. Am einnfachsten geht dies, wenn zuerst mit $u = \frac{m \pi}{l}x$ substituiert wird: \[ -- cgit v1.2.1 From 0b3bf5fb8563de4eb3d51e803718baf018e35c10 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: haddoucher Date: Fri, 26 Aug 2022 10:50:47 +0200 Subject: Korrekturen Wahrscheinlich die letzten --- buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex | 9 --------- buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex | 6 +++--- buch/papers/sturmliouville/main.tex | 13 +++++++++---- .../papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex | 16 ++++++++-------- .../papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 20 ++++++++++---------- 5 files changed, 30 insertions(+), 34 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex b/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex index c0a6e8f..82046ba 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex @@ -3,12 +3,3 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Beispiele -\label{sturmliouville:sec:examples}} -\rhead{Beispiele} - -% Fourier: Erik work -\input{papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex} - -% Tschebyscheff -\input{papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex index 6c5fb59..9912595 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex @@ -36,7 +36,7 @@ Wenn die lineare homogene Differentialgleichung als \begin{equation} \label{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} - \frac{d}{dx} (p(x) \frac{dy}{dx}) + (q(x) + + \frac{d}{dx} \biggl ( p(x) \frac{dy}{dx}\biggr ) + (q(x) + \lambda w(x)) y = 0 @@ -49,12 +49,12 @@ in die Form der Gleichung \eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} umgewandelt werden. Damit es sich um ein Sturm-Liouville-Problem handelt, benötigt es noch die -Randbedingungen, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird. +Randbedingungen, die im nächsten Unterkapitel behandelt werden. \subsection{Randbedingungen \label{sturmliouville:sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}} Geeignete Randbedingungen sind erforderlich, um die Lösungen einer -Differentialgleichung genau zu bestimmen. +Differentialgleichung eindeutig zu bestimmen. Die Sturm-Liouville-Gleichung mit homogenen Randbedingungen des dritten Typs \begin{equation} \begin{aligned} diff --git a/buch/papers/sturmliouville/main.tex b/buch/papers/sturmliouville/main.tex index a36e85a..9d4ce96 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/main.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/main.tex @@ -23,12 +23,17 @@ Zuletzt wird anhand von zwei Beispielen gezeigt, dass durch das Sturm-Liouville-Problem die Eigenschaften der Lösungen bereits vor dem vollständingen Lösen der Beispiele bekannt sind. -\input{papers/sturmliouville/einleitung.tex} %einleitung "was ist das sturm-liouville-problem" -\input{papers/sturmliouville/eigenschaften.tex} +\input{papers/sturmliouville/einleitung.tex} + %Eigenschaften von Lösungen eines solchen Problems -\input{papers/sturmliouville/beispiele.tex} -%Beispiele sind: Wärmeleitung in einem Stab, Tschebyscheff-Polynome +\input{papers/sturmliouville/eigenschaften.tex} + +% Fourier: Erik work +\input{papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex} + +% Tschebyscheff +\input{papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex} \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex index dfc6798..d5c2dc6 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex @@ -4,7 +4,7 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\subsection{Tschebyscheff-Polynome +\section{Tschebyscheff-Polynome \label{sturmliouville:sub:tschebyscheff-polynome}} \rhead{Tschebyscheff-Polynome} In diesem Unterkapitel wird anhand der @@ -14,7 +14,7 @@ Zu diesem Zweck werden die Koeffizientenfunktionen nochmals dargestellt, so dass Sobald feststeht, ob das Problem regulär oder singulär ist, zeigt eine kleine Rechnung, dass die Lösungen orthogonal sind. -\subsubsection*{Definition der Koeffizientenfunktion} +\subsection*{Definition der Koeffizientenfunktion} Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgelistet: \begin{align*} @@ -25,8 +25,8 @@ Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgelistet: Da die Sturm-Liouville-Gleichung \begin{equation} \label{eq:sturm-liouville-equation-tscheby} - \frac{d}{dx} (\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx}) + - (0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}) y + \frac{d}{dx} \biggl (\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx}\biggr ) + + \biggl (0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\biggr ) y = 0 \end{equation} @@ -34,7 +34,7 @@ nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage, ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt. Zunächst werden jedoch die Randbedingungen betrachtet. -\subsubsection*{Randwertproblem} +\subsection*{Randwertproblem} Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$. Die Randwerte setzt man $a = -1$ und $b = 1$. Beim Einsetzen in die Randbedingung \eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen}, @@ -61,7 +61,7 @@ damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, beliebige $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden. Es wurde somit gezeigt, dass die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt sind. -\subsubsection*{Handelt es sich um ein reguläres oder Singuläres Problem?} +\subsection*{Handelt es sich um ein reguläres oder Singuläres Problem?} Für das reguläre Problem muss laut der Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} die funktion $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und @@ -89,14 +89,14 @@ Da auch die Randbedingungen erfüllt sind, handelt es sich um ein reguläres Stu illustriert. Dazu verwendet man das Skalarprodukt \[ - \int_{a}^{b} w(x) y_m y_n = 0. + \int_{a}^{b} w(x) y_m(x) y_n(x) = 0. \] Eigesetzt ergibt dies $y_m(x) = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$, sowie $a=-1$ und $b = 1$ ergibt \[ \begin{aligned} \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} x (2x^2-1) dx &= - \lbrack - \frac{\sqrt{1-x^2}(2x^2+1)}{3}\rbrack_{-1}^{1}\\ + \biggl [ - \frac{\sqrt{1-x^2}(2x^2+1)}{3} \biggr ]_{-1}^{1}\\ &= 0. \end{aligned} \] diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index 356e259..f888d02 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -5,7 +5,7 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\subsection{Fourierreihe als Lösung des Sturm-Liouville-Problems +\section{Fourierreihe als Lösung des Sturm-Liouville-Problems (Wärmeleitung)} In diesem Abschnitt wird das Problem der Wärmeleitung in einem homogenen Stab @@ -34,7 +34,7 @@ Tempreatur gehalten werden. % % Randbedingungen für Stab mit konstanten Endtemperaturen % -\subsubsection{Randbedingungen für Stab mit Enden auf konstanter Temperatur} +\subsection{Randbedingungen für Stab mit Enden auf konstanter Temperatur} Die Enden des Stabes auf konstanter Temperatur zu halten bedeutet, dass die Lösungsfunktion $u(t,x)$ bei $x = 0$ und $x = l$ nur die vorgegebene @@ -54,7 +54,7 @@ als Randbedingungen. % Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden % -\subsubsection{Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden} +\subsection{Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden} Bei isolierten Enden des Stabes können beliebige Temperaturen für $x = 0$ und $x = l$ auftreten. In diesem Fall ist es nicht erlaubt, dass Wärme vom Stab @@ -80,7 +80,7 @@ als Randbedingungen. % Lösung der Differenzialgleichung mittels Separation % -\subsubsection{Lösung der Differenzialgleichung} +\subsection{Lösung der Differenzialgleichung} Da die Lösungsfunktion von zwei Variablen abhängig ist, wird als Lösungsansatz die Separationsmethode verwendet. @@ -191,7 +191,7 @@ somit auch zu orthogonalen Lösungen führen. % Lösung von X(x), Teil mu % -\subsubsection{Lösund der Differentialgleichung in $x$} +\subsection{Lösund der Differentialgleichung in $x$} Als erstes wird auf die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} eingegangen. Aufgrund der Struktur der Gleichung @@ -360,10 +360,10 @@ wie auch mit isolierten Enden \end{equation} % TODO: infinite base vectors and fourier series -\subsubsection{TODO: Auf Anzahl Lösungen und Fourierreihe eingehen} +\subsection{TODO: Auf Anzahl Lösungen und Fourierreihe eingehen} % TODO: check ease of reading -\subsubsection{Berechnung der Koeffizienten} +\subsection{Berechnung der Koeffizienten} % TODO: move explanation A/B -> a_n/b_n to fourier subsection @@ -625,7 +625,7 @@ Es bleibt also noch % Lösung von T(t) % -\subsubsection{Lösung der Differentialgleichung in $t$} +\subsection{Lösung der Differentialgleichung in $t$} Zuletzt wird die zweite Gleichung der Separation~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-t} betrachtet. Diese wird über das charakteristische Polynom @@ -656,7 +656,7 @@ werden um die vollständige Lösung für das Stab-Problem zu erhalten. % TODO: elaborate -\subsubsection{Lösung für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur} +\subsection{Lösung für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur} \[ \begin{aligned} u(t,x) @@ -670,7 +670,7 @@ werden um die vollständige Lösung für das Stab-Problem zu erhalten. \end{aligned} \] -\subsubsection{Lösung für einen Stab mit isolierten Enden} +\subsection{Lösung für einen Stab mit isolierten Enden} \[ \begin{aligned} u(t,x) -- cgit v1.2.1 From c73e95e3b92f7e4552e24466e4de956ec5ce2d16 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alain Date: Fri, 26 Aug 2022 11:07:32 +0200 Subject: final? --- buch/papers/parzyl/teil0.tex | 2 +- buch/papers/parzyl/teil1.tex | 5 ++++- buch/papers/parzyl/teil2.tex | 4 ++-- buch/papers/parzyl/teil3.tex | 15 ++++++++++----- 4 files changed, 17 insertions(+), 9 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex index eb1a152..e6d27b9 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex @@ -202,7 +202,7 @@ Mit dem Laplace Operator aus \eqref{parzyl:eq:laplaceInParZylCor} lautet die Hel = \lambda f(\sigma,\tau,z). \end{equation} -Diese partielle Differentialgleichung kann mit Hilfe von Separation gelöst werden, dazu wird +Diese partielle Differentialgleichung kann mit Hilfe von Separation gelöst werden. Dazu wird \begin{equation} f(\sigma,\tau,z) = g(\sigma)h(\tau)i(z) \end{equation} diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index e6a55b2..1f9db85 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -6,7 +6,10 @@ \section{Lösung \label{parzyl:section:teil1}} \rhead{Lösung} -\subsection{Lösung harmonischer Oszillator} +Zur Lösung der Helmholtz-Gleichung müssen erst die Lösungen der separierten +Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} bis \eqref{parzyl:sep_dgl_3} +gefunden werden. +\subsection{Lösung der Schwingungsgleichung \eqref{parzyl:sep_dgl_3}} \eqref{parzyl:sep_dgl_3} beschriebt einen ungedämpften harmonischen Oszillator. Die Lösung ist somit \begin{equation} diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex index 1b63c8e..705dbef 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex @@ -14,7 +14,7 @@ Die parabolischen Zylinderfunktionen können auch als Potenzreihen geschrieben werden. Parabolische Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen $A(\alpha)w_1(\alpha, x) + B(\alpha)w_2(\alpha, x)$ aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, x)$ -und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihen +und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihen geschrieben \begin{align} w_1(\alpha,x) &= @@ -75,7 +75,7 @@ Dies geschieht bei $w_1(\alpha,x)$, falls \begin{equation} \alpha = -n \qquad n \in \mathbb{N}_0 % \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. - c_1 = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. +% c_1 = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. \end{equation} und bei $w_2(\alpha,x)$ falls \begin{equation} diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex index 12c28fe..4176b55 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex @@ -15,8 +15,9 @@ Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld \caption{Semi-infinite Leiterplatte} \label{parzyl:fig:leiterplatte} \end{figure} -Die Äquipotentiallinien sind dabei in rot ,die des elektrischen Feldes in grün und semi-infinite Platte ist in blau dargestellt. -Das dies so ist kann im Zweidimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Halbgerade, was man in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte_2d} sieht. +Die Äquipotentiallinien sind dabei in rot, die des elektrischen Feldes in grün und +semi-infinite Platte ist in blau dargestellt. +Das dies so ist, kann im Zweidimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Halbgerade, was man in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte_2d} sieht. \begin{figure} \centering \includegraphics[width=0.6\textwidth]{papers/parzyl/img/Plane_2D.png} @@ -95,9 +96,9 @@ Dies kann umgeformt werden zu \begin{equation} F(s) = - \underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}}_{U(x,y)} + \underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}}_{\displaystyle{U(x,y)}} + - i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{V(x,y)} + i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{\displaystyle{V(x,y)}} . \end{equation} @@ -143,7 +144,11 @@ Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst so beschreiben sie mit $\tau = c_1 \sqrt{2}$ und $\sigma = c_2 \sqrt{2}$ die Beziehung zwischen dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem und dem kartesischen Koordinatensystem. -Nun wurde gezeigt wieso sich das parabolische Zylinderkoordinatensystem am besten eignet um das Potential und das elektrische Feld einer semi-infiniten Leiterplatte zu beschreien. Falls man nun die Helmholtz-Gleichung in diesem Bereich lösen müsste, da man zum Beispiel am Verhalten einer elektromagnetischne Welle in der Nähe der Platte interessiert wäre, so würde man auf die parabolischen Zylinderfunktionen kommen. +Nun wurde gezeigt, wieso sich das parabolische Zylinderkoordinatensystem am besten eignet, um +das Potential und das elektrische Feld einer semi-infiniten Leiterplatte zu beschreiben. +Um die Helmholtz-Gleichung in diesem Bereich zu lösen, +da man zum Beispiel am Verhalten einer elektromagnetische Welle in der Nähe +der Platte interessiert ist, kann man jetzt die parabolischen Zylinderfunktionen verwenden. %Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst %\begin{equation} % x = \sigma \tau, -- cgit v1.2.1 From 14cc0d2e128ce21fdeddc47f29e4b462bc65c0d0 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com> Date: Fri, 26 Aug 2022 11:54:13 +0200 Subject: Cleaned up folder. --- buch/papers/sturmliouville/Makefile.inc | 1 - buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex | 5 ----- buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 4 ++-- 3 files changed, 2 insertions(+), 8 deletions(-) delete mode 100644 buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/Makefile.inc b/buch/papers/sturmliouville/Makefile.inc index 7ffdad2..4000fa7 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/Makefile.inc +++ b/buch/papers/sturmliouville/Makefile.inc @@ -9,6 +9,5 @@ dependencies-sturmliouville = \ papers/sturmliouville/references.bib \ papers/sturmliouville/einleitung.tex \ papers/sturmliouville/eigenschaften.tex \ - papers/sturmliouville/beispiele.tex \ papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex \ papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex diff --git a/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex b/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex deleted file mode 100644 index 82046ba..0000000 --- a/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex +++ /dev/null @@ -1,5 +0,0 @@ -% -% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index 290bf35..19dad5e 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -216,7 +216,7 @@ somit auch zu orthogonalen Lösungen führen. % Lösung von X(x), Teil mu % -\subsection{Lösund der Differentialgleichung in $x$} +\subsection{Lösung der Differentialgleichung in \texorpdfstring{$x$}{x}} Als erstes wird auf die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} eingegangen. Aufgrund der Struktur der Gleichung @@ -684,7 +684,7 @@ was sich wie folgt nach $a_0$ auflösen lässt: % Lösung von T(t) % -\subsection{Lösung der Differentialgleichung in $t$} +\subsection{Lösung der Differentialgleichung in \texorpdfstring{$t$}{t}} Zuletzt wird die zweite Gleichung der Separation~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-t} betrachtet. Dazu betrachtet man das charakteristische Polynom -- cgit v1.2.1 From 241305e4f895dfb63b57a9e54b6ec661f8999c36 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com> Date: Fri, 26 Aug 2022 13:18:40 +0200 Subject: Grammar and formatting mistakes corrected in solution properties and fourier example. --- buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 18 ++--------- .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 36 +++++++++++----------- 2 files changed, 20 insertions(+), 34 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index 8616172..fc9c3da 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -5,20 +5,6 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -% TODO: -% state goal -% use only what is necessary -% make sure it is easy enough to understand (sentences as shot as possible) -% -> Eigenvalue problem with matrices only -% -> prepare reader for following examples -% -% order: -% 1. Eigenvalue problems with matrices -% 2. Sturm-Liouville is an Eigenvalue problem -% 3. Sturm-Liouville operator (self-adjacent) -% 4. Spectral theorem (brief) -% 5. Base of orthonormal functions - \section{Eigenschaften von Lösungen \label{sturmliouville:sec:solution-properties}} \rhead{Eigenschaften von Lösungen} @@ -99,9 +85,9 @@ Analog zur Matrix $A$ aus Abschnitt~\ref{sturmliouville:sec:eigenvalue-problem-matrix} kann auch für $L$ gezeigt werden, dass dieser Operator selbstadjungiert ist, also dass \[ - \langle L v, w\rangle + \langle L u, v\rangle = - \langle v, L w\rangle + \langle u, L v\rangle \] gilt. Wie in Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index 19dad5e..30ba8f6 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -5,12 +5,11 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Fourierreihe als Lösung des Sturm-Liouville-Problems -(Wärmeleitung)} +\section{Wärmeleitung in homogenem Stab} In diesem Abschnitt wird das Problem der Wärmeleitung in einem homogenen Stab betrachtet, angeschaut wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung -dieses physikalischen Phänomenes auftritt und hergeleitet wie die Fourierreihe +dieses physikalischen Phänomens auftritt und hergeleitet wie die Fourierreihe als Lösung des Problems zustande kommt. Zunächst wird ein eindimensionaler homogener Stab der Länge $l$ und @@ -113,7 +112,7 @@ der neuen Variablen $\mu$ gekoppelt werden: = \frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)} = - \mu + \mu. \] Durch die Einführung von $\mu$ kann das Problem nun in zwei separate Differenzialgleichungen aufgeteilt werden: @@ -127,7 +126,7 @@ Differenzialgleichungen aufgeteilt werden: \label{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-t} T^{\prime}(t) - \kappa \mu T(t) = - 0 + 0. \end{equation} % @@ -137,7 +136,7 @@ Differenzialgleichungen aufgeteilt werden: Es ist an dieser Stelle zu bemerken, dass die Gleichung in $x$ in Sturm-Liouville-Form ist. Erfüllen die Randbedingungen des Stab-Problems auch die Randbedingungen des -Sturm-Liouville-Problems, kann bereits die Aussage getroffen werden, dass alle +Sturm-Liouville-Problems, kann bereits die Aussage gemacht werden, dass alle Lösungen für die Gleichung in $x$ orthogonal sein werden. Da die Bedingungen des Stab-Problems nur Anforderungen an $x$ stellen, können @@ -259,14 +258,14 @@ ergibt dies = 0 \] -und durch umformen somit +und durch Umformen somit \[ -\alpha^{2}A\cos(\alpha x) - \beta^{2}B\sin(\beta x) = \mu A\cos(\alpha x) + \mu B\sin(\beta x). \] -Mittels Koeffizientenvergleich von +Mittels Koeffizientenvergleich auf beiden Seiten von \[ \begin{aligned} -\alpha^{2}A\cos(\alpha x) @@ -297,7 +296,7 @@ für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur in die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} eingesetzt. Betrachten wir zunächst die Bedingung für $x = 0$. -Dies fürht zu +Dies führt zu \[ X(0) = @@ -324,7 +323,7 @@ Es bleibt noch nach $\beta$ aufzulösen: \begin{aligned} \sin(\beta l) &= 0 \\ \beta l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N}_0 \\ - \beta &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}_0 + \beta &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}_0. \end{aligned} \] @@ -472,14 +471,14 @@ Skalarprodukt mit der Basisfunktion $ \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)$ gebildet: \begin{equation} \label{sturmliouville:eq:dot-product-cosine} - \langle u(0, x), \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) \rangle + \biggl\langle u(0, x), \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) \biggr\rangle = - \langle a_0 + \biggl\langle a_0 + \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right), - \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)\rangle + \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)\biggr\rangle \end{equation} Bevor diese Form in die Integralform umgeschrieben werden kann, muss überlegt @@ -513,7 +512,7 @@ gerade, respektive ungerade auf $[-l, 0]$ fortsetzen: \] Diese Funktionen wurden gerade so gewählt, dass nun das Resultat der Integrale -um den Faktor zwei skalliert wurde. +um den Faktor $2$ skalliert wurde. Es gilt also \[ \int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx @@ -586,8 +585,9 @@ Es bleibt also lediglich der Summand mit $a_m$ stehen, was die Gleichung zu vereinfacht. Im nächsten Schritt wird nun das Integral auf der rechten Seite -berechnet und dann nach $a_m$ aufgelöst. Am einnfachsten geht dies, wenn zuerst -mit $u = \frac{m \pi}{l}x$ substituiert wird: +berechnet und dann nach $a_m$ aufgelöst. +Am einfachsten geht dies, wenn zuerst mit $u = \frac{m \pi}{l}x$ substituiert +wird: \[ \begin{aligned} 2\int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx @@ -609,7 +609,7 @@ mit $u = \frac{m \pi}{l}x$ substituiert wird: \\ a_m &= - \frac{2}{l} \int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx + \frac{2}{l} \int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx. \end{aligned} \] @@ -676,7 +676,7 @@ was sich wie folgt nach $a_0$ auflösen lässt: \\ a_0 &= - \frac{1}{l} \int_{0}^{l}u(0, x)dx + \frac{1}{l} \int_{0}^{l}u(0, x)dx. \end{aligned} \] -- cgit v1.2.1 From ad4935f4a4cf53e4456b7bef5fbf4462e8a03f2c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com> Date: Fri, 26 Aug 2022 13:46:45 +0200 Subject: Adjusted sections/subsections in fourier example. --- buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 17 ++++++++++------- 1 file changed, 10 insertions(+), 7 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index 30ba8f6..c01a164 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -5,7 +5,7 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Wärmeleitung in homogenem Stab} +\section{Beispiel: Wärmeleitung in homogenem Stab} In diesem Abschnitt wird das Problem der Wärmeleitung in einem homogenen Stab betrachtet, angeschaut wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung @@ -34,7 +34,8 @@ werden. % % Randbedingungen für Stab mit konstanten Endtemperaturen % -\subsection{Randbedingungen für Stab mit Enden auf konstanter Temperatur} +\subsection{Randbedingungen} +\subsubsection{Randbedingungen für Stab mit Enden auf konstanter Temperatur} Die Enden des Stabes auf konstanter Temperatur zu halten bedeutet, dass die Lösungsfunktion $u(t,x)$ bei $x = 0$ und $x = l$ nur die vorgegebene @@ -54,7 +55,7 @@ als Randbedingungen. % Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden % -\subsection{Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden} +\subsubsection{Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden} Bei isolierten Enden des Stabes können grundsätzlich beliebige Temperaturen für $x = 0$ und $x = l$ auftreten. @@ -82,7 +83,7 @@ als Randbedingungen. % Lösung der Differenzialgleichung mittels Separation % -\subsection{Lösung der Differenzialgleichung} +\subsection{Separation der Differenzialgleichung} Da die Lösungsfunktion $u$ von zwei Variablen abhängig ist, wird die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-heat-equation} zunächst @@ -716,10 +717,12 @@ führt und mit dem Resultat~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-mu-solution \] ergibt. -Dieses Resultat kann nun mit allen vorhergehenden Resultaten zusammengesetzt +\subsection{Lösung des Wärmeleitungsproblems} + +Nun können alle vorhergehenden Resultate zusammengesetzt werden um die vollständige Lösung für das Stab-Problem zu erhalten. -\subsection{Lösung für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur} +\subsubsection{Lösung für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur} \[ \begin{aligned} u(t,x) @@ -733,7 +736,7 @@ werden um die vollständige Lösung für das Stab-Problem zu erhalten. \end{aligned} \] -\subsection{Lösung für einen Stab mit isolierten Enden} +\subsubsection{Lösung für einen Stab mit isolierten Enden} \[ \begin{aligned} u(t,x) -- cgit v1.2.1 From b974a188da38b2ce84423718df982561630f8448 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com> Date: Fri, 26 Aug 2022 14:27:04 +0200 Subject: Reordered small section in fourier example to make more sense. --- .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 62 ++++++++++++---------- 1 file changed, 33 insertions(+), 29 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index c01a164..f346fa2 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -131,14 +131,33 @@ Differenzialgleichungen aufgeteilt werden: \end{equation} % -% Überprüfung Orthogonalität der Lösungen +% Überprüfung SLP, dann Orthogonalität der Lösungen % -Es ist an dieser Stelle zu bemerken, dass die Gleichung in $x$ in -Sturm-Liouville-Form ist. -Erfüllen die Randbedingungen des Stab-Problems auch die Randbedingungen des -Sturm-Liouville-Problems, kann bereits die Aussage gemacht werden, dass alle -Lösungen für die Gleichung in $x$ orthogonal sein werden. +An dieser Stelle wird nun gezeigt, dass die Gleichung in $x$ ein +Sturm-Liouville-Problem ist. +Dazu werden zunächst die Koeffizientenfunktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ +benötigt. +Dafür wird die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} +mit der +Sturm-Liouville-Form~\eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} +verglichen, was zu +\[ +\begin{aligned} + p(x) &= 1 \\ + q(x) &= 0 \\ + w(x) &= 1 +\end{aligned} +\] +führt. + +Diese können bereits auf die Bedingungen in +Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} geprüft +werden. +Es ist schnell ersichtlich, dass die ersten drei Kriterien erfüllt sind. +Werden nun auch noch die Randbedingungen erfüllt, handelt es sich also um ein +reguläres Sturm-Liouville-Problem und es kann bereits die Aussage gemacht +werden, dass alle Lösungen für die Gleichung in $x$ orthogonal sein werden. Da die Bedingungen des Stab-Problems nur Anforderungen an $x$ stellen, können diese direkt für $X(x)$ übernomen werden. @@ -146,7 +165,7 @@ Es gilt also beispielsweise wegen \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant}, dass $X(0) = X(l) = 0$. -Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen nun also die Gleichungen +Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen also noch die Gleichungen \begin{equation} \begin{aligned} \label{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen} @@ -164,28 +183,6 @@ erfüllt sein und es muss ausserdem \end{equation} gelten. -Um zu verifizieren, dass die Randbedingungen erfüllt sind, werden also die -Koeffizientenfunktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ benötigt. -Dazu wird die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} -mit der -Sturm-Liouville-Form~\eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} -verglichen, was zu -\[ -\begin{aligned} - p(x) &= 1 \\ - q(x) &= 0 \\ - w(x) &= 1 -\end{aligned} -\] -führt. - -Diese können bereits auf die Bedingungen in -Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} geprüft -werden. -Es ist schnell ersichtlich, dass die ersten drei Kriterien erfüllt sind. -Werden nun auch noch die Randbedingungen erfüllt, handelt es sich also um ein -reguläres Sturm-Liouville-Problem. - Es werden nun $p(x)$ und die Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant} des Stab-Problems in \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen} @@ -204,6 +201,7 @@ und $k_b \neq 0$ gewählt werden. Somit ist gezeigt, dass die Randbedingungen des Stab-Problems für Enden auf konstanter Temperatur auch die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen. + Daraus folg zunächst, dass es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem handelt und weiter, dass alle daraus resultierenden Lösungen orthogonal sind. Analog dazu kann gezeit werden, dass die Randbedingungen für einen Stab mit @@ -291,6 +289,9 @@ Da die Koeffizienten $A$ und $B$, sowie die Parameter $\alpha$ und $\beta$ im allgemeinen ungleich $0$ sind, müssen die Randbedingungen durch die trigonometrischen Funktionen erfüllt werden. +\subsubsection{Einsetzen der +Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant}} + Es werden nun die Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant} für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur in die @@ -337,6 +338,9 @@ Ausserdem ist zu bemerken, dass dies auch gleich $-\alpha^{2}$ ist. Da aber $A = 0$ gilt und der Summand mit $\alpha$ verschwindet, ist dies keine Verletzung der Randbedingungen. +\subsubsection{Einsetzen der +Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated}} + Durch analoges Vorgehen kann nun auch das Problem mit isolierten Enden gelöst werden. Setzt man die -- cgit v1.2.1 From fefadac123a94fd60a2e20a05e2cf2461f1892d6 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com> Date: Fri, 26 Aug 2022 15:01:14 +0200 Subject: Added reference to modified dot product to solution properties. --- buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 20 ++++++++++++++++---- 1 file changed, 16 insertions(+), 4 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index fc9c3da..2e3d4fd 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -83,13 +83,25 @@ Um auf die Orthogonalität der Lösungsfunktion zu schliessen, wird dafür der Operator $L$ genauer betrachtet. Analog zur Matrix $A$ aus Abschnitt~\ref{sturmliouville:sec:eigenvalue-problem-matrix} kann auch für -$L$ gezeigt werden, dass dieser Operator selbstadjungiert ist, also dass +$L$ gezeigt werden, dass dieser Operator selbstadjungiert ist. + +Dazu wird das modifizierte Skalarprodukt +\begin{equation} + \label{sturmliouville:eq:modified-dot-product} + \langle f, g \rangle_w + = + \int_a^b f(x)g(x)w(x)\,dx +\end{equation} +aus Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} verwendet, +welches auch die Gewichtsfunktion $w(x)$ berücksichtigt. +Damit $L$ bezüglich dieses Skalarproduktes selbstadjungiert ist, muss also \[ - \langle L u, v\rangle + \langle L u, v\rangle_w = - \langle u, L v\rangle + \langle u, L v\rangle_w \] -gilt. +gelten. + Wie in Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits gezeigt, ist dies durch die Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen} des -- cgit v1.2.1 From 2160618b9c1ed8b6c8171bbbcb742cadd6e18257 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com> Date: Fri, 26 Aug 2022 15:44:27 +0200 Subject: Embedded modified dot product into fourier example. --- .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 26 +++++++++++++++++----- 1 file changed, 20 insertions(+), 6 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index f346fa2..ff32bf1 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -83,7 +83,8 @@ als Randbedingungen. % Lösung der Differenzialgleichung mittels Separation % -\subsection{Separation der Differenzialgleichung} +\subsection{Separation der Differenzialgleichung +\label{sturmliouville:subsec:separation}} Da die Lösungsfunktion $u$ von zwei Variablen abhängig ist, wird die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-heat-equation} zunächst @@ -425,8 +426,20 @@ gilt, endet man somit bei \] Dies ist die allgemeine Fourierreihe, welche unsere Stab-Probleme löst. Wie zuvor bereits erwähnt, wissen wir dass sämtliche Lösungsfunktionen -orthogonal zueinander sind, da es sich hier um die Lösung eines -Sturm-Liouville-Problems handelt. +orthogonal zueinander sind bezüglich des +Skalarproduktes~\eqref{sturmliouville:eq:modified-dot-product}. +Dieses vereinfacht sich noch etwas, da aus +Abschnitt~\ref{sturmliouville:subsec:separation} bereits $w(x) = 1$ gegeben ist. +Somit ist das Skalarprodukt +\begin{equation} + \label{sturmliouville:eq:example-fourier-dot-product} + \langle f, g \rangle_w + = + \int_a^b f(x)g(x)w(x)\,dx + = + \int_a^b f(x)g(x)\,dx. +\end{equation} + Es gilt also \[ \begin{aligned} @@ -464,7 +477,8 @@ Es gilt also nun die Gleichung nach allen $a_n$ und $b_n$ aufzulösen. Da aber $a_n$ und $b_n$ jeweils als Faktor zu einer trigonometrischen Funktion gehört, von der wir wissen, dass sie orthogonal zu allen anderen -trigonometrischen Funktionen der Lösung ist, kann direkt das Skalarprodukt +trigonometrischen Funktionen der Lösung ist, kann direkt das +Skalarprodukt~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-dot-product} verwendet werden um die Koeffizienten $a_n$ und $b_n$ zu bestimmen. Es wird also die Tatsache ausgenutzt, dass die Gleichheit in \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-initial-conditions} nach Anwendung des @@ -476,14 +490,14 @@ Skalarprodukt mit der Basisfunktion $ \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)$ gebildet: \begin{equation} \label{sturmliouville:eq:dot-product-cosine} - \biggl\langle u(0, x), \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) \biggr\rangle + \biggl\langle u(0, x), \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) \biggr\rangle _w = \biggl\langle a_0 + \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right), - \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)\biggr\rangle + \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)\biggr\rangle _w \end{equation} Bevor diese Form in die Integralform umgeschrieben werden kann, muss überlegt -- cgit v1.2.1 From 0f9fe03b68dc81c69a2f926d2a6782fe933d70f6 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com> Date: Fri, 26 Aug 2022 16:51:57 +0200 Subject: Final corrections. --- buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 2 +- buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex | 2 +- buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 12 ++++++------ 3 files changed, 8 insertions(+), 8 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index 2e3d4fd..0f1f235 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -9,7 +9,7 @@ \label{sturmliouville:sec:solution-properties}} \rhead{Eigenschaften von Lösungen} -Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösung eines +Im Weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösung eines Sturm-Liouville-Problems diskutiert. Im wesentlichen wird darauf eingegangen, wie die Orthogonalität der Lösungen zustande kommt, damit diese später in den Beispielen verwendet werden kann. diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex index c509b96..5d13df6 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex @@ -63,7 +63,7 @@ damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, beliebige $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden. Es wurde somit gezeigt, dass die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt sind. -\subsection*{Handelt es sich um ein reguläres oder Singuläres Problem?} +\subsection*{Handelt es sich um ein reguläres oder singuläres Problem?} Für das reguläre Problem muss laut der Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} die funktion $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index ff32bf1..93a1eb0 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -139,8 +139,8 @@ An dieser Stelle wird nun gezeigt, dass die Gleichung in $x$ ein Sturm-Liouville-Problem ist. Dazu werden zunächst die Koeffizientenfunktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ benötigt. -Dafür wird die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} -mit der +Um diese zu erhalten, wird die +Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} mit der Sturm-Liouville-Form~\eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} verglichen, was zu \[ @@ -166,7 +166,7 @@ Es gilt also beispielsweise wegen \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant}, dass $X(0) = X(l) = 0$. -Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen also noch die Gleichungen +Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen also die Gleichungen \begin{equation} \begin{aligned} \label{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen} @@ -287,7 +287,7 @@ und \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} benötigt. Da die Koeffizienten $A$ und $B$, sowie die Parameter $\alpha$ und $\beta$ im -allgemeinen ungleich $0$ sind, müssen die Randbedingungen durch die +Allgemeinen ungleich $0$ sind, müssen die Randbedingungen durch die trigonometrischen Funktionen erfüllt werden. \subsubsection{Einsetzen der @@ -425,7 +425,7 @@ gilt, endet man somit bei \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right). \] Dies ist die allgemeine Fourierreihe, welche unsere Stab-Probleme löst. -Wie zuvor bereits erwähnt, wissen wir dass sämtliche Lösungsfunktionen +Wie zuvor bereits erwähnt, wissen wir, dass sämtliche Lösungsfunktionen orthogonal zueinander sind bezüglich des Skalarproduktes~\eqref{sturmliouville:eq:modified-dot-product}. Dieses vereinfacht sich noch etwas, da aus @@ -706,7 +706,7 @@ was sich wie folgt nach $a_0$ auflösen lässt: \subsection{Lösung der Differentialgleichung in \texorpdfstring{$t$}{t}} Zuletzt wird die zweite Gleichung der Separation~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-t} betrachtet. -Dazu betrachtet man das charakteristische Polynom +Dazu nimmt man das charakteristische Polynom \[ \lambda - \kappa \mu = -- cgit v1.2.1 From f07871bd3ce9cfc41ecfc29b66c07d4377b8f9a7 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: canuel Date: Fri, 26 Aug 2022 16:59:18 +0200 Subject: added the chapter about spherical harmonic expansion and corrected some errors --- buch/papers/kugel/preliminaries.tex | 7 +- buch/papers/kugel/proofs.tex | 2 +- buch/papers/kugel/spherical-harmonics.tex | 183 ++++++++++++++++++++++-------- 3 files changed, 143 insertions(+), 49 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/kugel/preliminaries.tex b/buch/papers/kugel/preliminaries.tex index e48abe4..1fa78d7 100644 --- a/buch/papers/kugel/preliminaries.tex +++ b/buch/papers/kugel/preliminaries.tex @@ -1,6 +1,6 @@ % vim:ts=2 sw=2 et spell tw=78: -\section{Preliminaries} +\section{Preliminaries}\label{kugel:sec:preliminaries} The purpose of this section is to dust off some concepts that will become important later on. This will enable us to be able to get a richer and more @@ -318,11 +318,12 @@ convergence. \end{definition} \begin{theorem}[Fourier Theorem] - \[ + \label{fourier-theorem-1D} + \begin{equation*} \lim_{N \to \infty} \left \| f(x) - \sum_{n = -N}^N \hat{f}(n) E_n(x) \right \|_2 = 0 - \] + \end{equation*} \end{theorem} \begin{lemma} diff --git a/buch/papers/kugel/proofs.tex b/buch/papers/kugel/proofs.tex index 4fbef26..93b3857 100644 --- a/buch/papers/kugel/proofs.tex +++ b/buch/papers/kugel/proofs.tex @@ -1,5 +1,5 @@ % vim:ts=2 sw=2 et spell tw=80: -\section{Proofs} +\section{(long) Proofs} \subsection{Legendre Functions} \label{kugel:sec:proofs:legendre} diff --git a/buch/papers/kugel/spherical-harmonics.tex b/buch/papers/kugel/spherical-harmonics.tex index b3487be..f51a772 100644 --- a/buch/papers/kugel/spherical-harmonics.tex +++ b/buch/papers/kugel/spherical-harmonics.tex @@ -111,7 +111,10 @@ that satisfy the equation \surflaplacian f = -\lambda f. \end{equation} Perhaps it may not be obvious at first glance, but we are in fact dealing with a -partial differential equation (PDE) \kugeltodo{Boundary conditions?}. If we +partial differential equation (PDE)\footnote{ + Considering the fact that we are dealing with a PDE, + you may be wondering what are the boundary conditions. Well, since this eigenvalue problem is been developed on + the spherical surface (boundary of a sphere), the boundary in this case are empty, i.e no boundary condition has to be considered.}. unpack the notation of the operator $\nabla^2_{\partial S}$ according to definition \ref{kugel:def:surface-laplacian}, we get: @@ -283,7 +286,7 @@ representation} which are \end{equation*} respectively, both of which we will not prove (see chapter 3 of \cite{bell_special_2004} for a proof). Now that we have a solution for the -Legendre equation, we can make use of the following lemma patch the solutions +Legendre equation, we can make use of the following lemma to patch the solutions such that they also become solutions of the associated Legendre equation \eqref{kugel:eqn:associated-legendre}. @@ -317,7 +320,7 @@ obtain the \emph{associated Legendre functions}. \end{equation} are known as Ferrers or associated Legendre functions. \end{definition} -The constraint $|m| Date: Fri, 26 Aug 2022 18:01:19 +0200 Subject: Changed one title. --- buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex index 5d13df6..341a358 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex @@ -5,7 +5,7 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Tschebyscheff-Polynome +\section{Beispiel: Tschebyscheff-Polynome \label{sturmliouville:sub:tschebyscheff-polynome}} \rhead{Tschebyscheff-Polynome} In diesem Unterkapitel wird anhand der -- cgit v1.2.1 From b6cedd9a91b2a6d67693a9271f9e7a30525646e1 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: canuel Date: Fri, 26 Aug 2022 23:01:40 +0200 Subject: some minor corrections --- buch/papers/kugel/references.bib | 2 +- buch/papers/kugel/spherical-harmonics.tex | 62 ++++++++++++++++++------------- 2 files changed, 38 insertions(+), 26 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/kugel/references.bib b/buch/papers/kugel/references.bib index e3c0f85..984d555 100644 --- a/buch/papers/kugel/references.bib +++ b/buch/papers/kugel/references.bib @@ -17,7 +17,7 @@ file = {Submitted Version:/Users/npross/Zotero/storage/SN4YUNQC/Carvalhaes and de Barros - 2015 - The surface Laplacian technique in EEG Theory and.pdf:application/pdf}, } -@article{implementation, +@article{usecase_recursion_paper, title = {New Implementation of Legendre Polynomials for Solving Partial Differential Equations}, issn = {272767969}, url = {https://www.researchgate.net/publication/272767969_New_Implementation_of_Legendre_Polynomials_for_Solving_Partial_Differential_Equations}, diff --git a/buch/papers/kugel/spherical-harmonics.tex b/buch/papers/kugel/spherical-harmonics.tex index f51a772..9349b61 100644 --- a/buch/papers/kugel/spherical-harmonics.tex +++ b/buch/papers/kugel/spherical-harmonics.tex @@ -685,23 +685,26 @@ harmonics, so from now on, unless specified otherwise when we say spherical harmonics or write $Y^m_n$, we mean the orthonormal spherical harmonics of definition \ref{kugel:def:spherical-harmonics-orthonormal}. -\subsection{Recurrence Relations}\kugeltodo[replace x with z] +\subsection{Recurrence Relations}\kugeltodo{replace x with z} The idea of this subsection is to introduce first some recursive relations regarding the Associated Legendre Functions, defined in eq.\eqref{kugel:def:ferrers-functions}. Subsequently we will extend them, in order to derive recurrence formulas for the case of Spherical Harmonic functions as well. \subsubsection{Associated Legendre Functions} To start this journey, we can first write the following equations, which relate the Associated Legendre functions of different indeces $m$ and $n$ recursively: -\begin{enumerate}[(i)] - \item $(2n+1) x P^m_n(z)= (m+n) P^m_{n-1}(z) + (n-m+1) P^m_{n+1}(z)$, \label{kugel:eq:rec_rel_1} - \item $\dfrac{2mz}{\sqrt{1-z^2}} P^m_n(z) = P^{m+1}_n(z) + [n(n+1)-m(m-1)] P^{m-1}_n(z)$, \label{kugel:eq:rec_rel_2} - \item $\sqrt{1-z^2} P^m_n(z) = \dfrac{1}{2n+1} \left[ P^{m+1}_{n+1}(z) - P^{m+1}_{n-1}(z) \right]$, \label{kugel:eq:rec_rel_3} - \item $\sqrt{1-z^2} P^m_n(z) = \dfrac{1}{2n+1} \left[ (n+m)(n+m-1)P^{m-1}_{n-1}(z) - (n-m+1)(n-m+2)P^{m-1}_{n+1}(z) \right]$. \label{kugel:eq:rec_rel_4} -\end{enumerate} +\begin{subequations} + \begin{align} + P^m_n(z) &= \dfrac{1}{(2n+1)x} \left[ (m+n) P^m_{n-1}(z) + (n-m+1) P^m_{n+1}(z) \right] \label{kugel:eq:rec-leg-1} \\ + P^m_n(z) &= \dfrac{\sqrt{1-z^2}}{2mz} \left[ P^{m+1}_n(z) + [n(n+1)-m(m-1)] P^{m-1}_n(z) \right] \label{kugel:eq:rec-leg-2} \\ + P^m_n(z) &= \dfrac{1}{(2n+1)\sqrt{1-z^2}} \left[ P^{m+1}_{n+1}(z) - P^{m+1}_{n-1}(z) \right] \label{kugel:eq:rec-leg-3} \\ + P^m_n(z) &= \dfrac{1}{(2n+1)\sqrt{1-z^2}} \left[ (n+m)(n+m-1)P^{m-1}_{n-1}(z) - (n-m+1)(n-m+2)P^{m-1}_{n+1}(z) \right] \label{kugel:eq:rec-leg-4} + \end{align} +\end{subequations} Much of the effort will be proving this bunch of equalities. Then, in the second part, where we will derive the recursion equations for $Y^m_n(\vartheta,\varphi)$, we will basically reuse the ones presented above. -Maybe it is worth mentioning at least one use case for these relations: They are widely used in some software implementations, as they lead to better numerical accuracy and computational cost lower by a factor of six\cite{usecase_recursion_paper}. +Maybe it is worth mentioning at least one use case for these relations: In some software implementations (that include lighting computations in computer graphics, antenna modelling softwares, 3-D modelling in medical applications, etc.) +they are widely used, as they lead to better numerical accuracy and computational cost lower by a factor of six\cite{usecase_recursion_paper}. \begin{enumerate}[(i)] \item \begin{proof} - This is the relation that links the associated Legendre functions with the same $m$ index but different $n$. Using \ref{} \kugeltodo{ref alla recurrence dei polinomi di legendre (è da qualche parte nel libro)}, we have + This is the relation that links the associated Legendre functions with the same $m$ index but different $n$. Using \ref{} \kugeltodo{search the general equation of recursion for orthogonal polynomials (is somewhere in the book)}, we have \begin{equation*} (n+1)P_{n+1}(z)-(2n+1)xP_n(z)+nP_{n-1}(z)=0, \end{equation*} @@ -749,9 +752,9 @@ Maybe it is worth mentioning at least one use case for these relations: They are \begin{equation*} P^{m+2}_n(x) - \frac{2(m+1)x}{\sqrt{1-x^2}}P^{m+1}_n(x) + [n(n+1)-m(m+1)]P^m_n(x)=0. \end{equation*} - Furthermore, we can adjust the indeces and terms, obtaining + Further, we can adjust the indeces and terms, obtaining \begin{equation*} - \frac{2mx}{\sqrt{(1-x^2)}} P^m_n(x) = P^{m+1}_n(x) + [n(n+1)-m(m-1)] P^{m-1}_n(x) + \frac{2mx}{\sqrt{(1-x^2)}} P^m_n(x) = P^{m+1}_n(x) + [n(n+1)-m(m-1)] P^{m-1}_n(x). \end{equation*} \end{proof} @@ -774,7 +777,7 @@ Maybe it is worth mentioning at least one use case for these relations: They are \item \begin{proof} - For this proof we can rely on (\ref{kugel:eq:rec_rel_1}), and therefore rewrite (\ref{kugel:eq:rec_rel_2}) as + For this proof we can rely on eq.\eqref{kugel:eq:rec-leg-1}, and therefore rewrite eq.\eqref{kugel:eq:rec-leg-2} as \begin{equation*} \frac{2m}{(2n+1)\sqrt{1-x^2}} \left[ (m+n)P^m_{n-1}(x) + (n-m+1)P^m_{n+1}(x) \right] = P^{m+1}_n(x) + [ n(n+1)-m(m-1) ]P^{m-1}_n(x). \end{equation*} @@ -793,18 +796,26 @@ Maybe it is worth mentioning at least one use case for these relations: They are \subsubsection{Spherical Harmonics} The goal of this subsection's part is to apply the recurrence relations of the $P^m_n(z)$ functions to the Spherical Harmonics. - With some little adjustments we will be able to have recursion equations for them too. As previously written the most of the work is already done. Now it is only a matter of minor mathematical operations/rearrangements. We can start by listing all of them: +\begin{subequations} + \begin{align} + Y^m_n(\vartheta, \varphi) &= \dfrac{1}{(2n+1)\cos \vartheta} \left[ (m+n)Y^m_{n-1}(\vartheta, \varphi) + (m-n+1)Y^m_{n+1}(\vartheta, \varphi) \right] \label{kugel:eq:rec-sph_harm-1} \\ + Y^m_n(\vartheta, \varphi) &= \dfrac{\tan \vartheta}{2m}\left[ Y^{m+1}_n(\vartheta, \varphi)e^{-i\varphi} + [n(n+1)-m(m-1)]Y^{m-1}_n(\vartheta, \varphi)e^{i\varphi} \right] \label{kugel:eq:rec-sph_harm-2} \\ + Y^m_n(\vartheta, \varphi) &= \dfrac{e^{-i\varphi}}{ (2n+1)\sin \vartheta } \left[ Y^{m+1}_{n+1}(\vartheta, \varphi) - Y^{m+1}_{n-1}(\vartheta, \varphi) \right] \label{kugel:eq:rec-sph_harm-3} \\ + Y^m_n(\vartheta, \varphi) &= \dfrac{e^{i\varphi}}{(2n+1)\sin \vartheta} \left[ (n+m)(n+m-1)Y^{m-1}_{n-1}(\vartheta, \varphi) - (n-m+1)(n-m+2)Y^{m-1}_{n+1}(\vartheta, \varphi) \right] \label{kugel:eq:rec-sph_harm-4} + \end{align} +\end{subequations} + \begin{enumerate}[(i)] - \item $Y^m_n(\vartheta, \varphi) = \dfrac{1}{(2n+1)\cos \vartheta} \left[ (m+n)Y^m_{n-1}(\vartheta, \varphi) + (m-n+1)Y^m_{n+1}(\vartheta, \varphi) \right]$ + \item \begin{proof} - We can multiply both sides of equality in eq.\eqref{} by $e^{im \varphi}$ and perform the substitution $z=\cos \vartheta$. After a few simple algebraic steps, we will obtain the relation we are looking for + We can multiply both sides of equality in eq.\eqref{kugel:eq:rec-leg-1} by $e^{im \varphi}$ and perform the substitution $z=\cos \vartheta$. After a few simple algebraic steps, we will obtain the relation we are looking for \end{proof} - \item $Y^m_n(\vartheta, \varphi) = \dfrac{\tan \vartheta}{2m}\left[ Y^{m+1}_n(\vartheta, \varphi)e^{-i\varphi} + [n(n+1)-m(m-1)]Y^{m-1}_n(\vartheta, \varphi)e^{i\varphi} \right]$ + \item \begin{proof} - In this proof, as before, we can perform the substitution $z=\cos \vartheta$, and notice that $\sqrt{1-z^2}=\sin \vartheta$, hence, the relation in eq.\eqref{} will be + In this proof, as before, we can perform the substitution $z=\cos \vartheta$, and notice that $\sqrt{1-z^2}=\sin \vartheta$, hence, the relation in eq.\eqref{kugel:eq:rec-leg-2} will be \begin{equation*} \frac{2m \cos \vartheta}{\sin \vartheta} P^m_n(\cos \vartheta) = P^{m+1}_n(\cos \vartheta) + [n(n+1)-m(m-1)]P^{m-1}_n P^m_n(\cos \vartheta). \end{equation*} @@ -812,34 +823,35 @@ We can start by listing all of them: \begin{align*} \frac{2m \cos \vartheta}{\sin \vartheta} P^m_n(\cos \vartheta)e^{im\varphi} &= P^{m+1}_n(\cos \vartheta)e^{im\varphi} + [n(n+1)-m(m-1)]P^{m-1}_n P^m_n(\cos \vartheta)e^{im\varphi} \\ &= P^{m+1}_n(\cos \vartheta)e^{i(m+1)\varphi}e^{-i\varphi} + [n(n+1)-m(m-1)]P^{m-1}_n (\cos \vartheta)e^{i(m-1)\varphi}e^{i\varphi} \\ - &= Y^{m+1}_n(\vartheta, \varphi)e^{-i\varphi} + [n(n+1)-m(m-1)]Y^{m-1}_n(\vartheta, \varphi)e^{i\varphi} \\ + &= Y^{m+1}_n(\vartheta, \varphi)e^{-i\varphi} + [n(n+1)-m(m-1)]Y^{m-1}_n(\vartheta, \varphi)e^{i\varphi}. \end{align*} Finally, after some ``cleaning'' \begin{equation*} Y^m_n(\vartheta, \varphi) = \frac{\tan \vartheta}{2m} \left[ Y^{m+1}_n(\vartheta, \varphi)e^{-i\varphi} + [n(n+1)-m(m-1)]Y^{m-1}_n(\vartheta, \varphi)e^{i\varphi} \right] \end{equation*} \end{proof} - \item $Y^m_n(\vartheta, \varphi) = \dfrac{e^{-i\varphi}}{ (2n+1)\sin \vartheta } \left[ Y^{m+1}_{n+1}(\vartheta, \varphi) - Y^{m+1}_{n-1}(\vartheta, \varphi) \right]$ + \item \begin{proof} - Now we can consider eq.\eqref{}, and multiply it by $e^{im\varphi}$. After the usual substitution $z=\cos \vartheta$, we have + Now we can consider eq.\eqref{kugel:eq:rec-leg-3}, and multiply it by $e^{im\varphi}$. After the usual substitution $z=\cos \vartheta$, we have \begin{align*} \sin \vartheta P^m_n(\cos \vartheta)e^{im\varphi} &= \dfrac{e^{im\varphi}}{2n+1}\left[ P^{m+1}_{n+1}(\cos \vartheta) - P^{m+1}_{n-1}(\cos \vartheta)\right] \\ - &= \dfrac{e^{-i\varphi}}{2n+1}\left[ P^{m+1}_{n+1}(\cos \vartheta)e^{i(m+1)\varphi} - P^{m+1}_{n-1}(\cos \vartheta)e^{i(m+1)\varphi}\right] \\ + &= \dfrac{e^{-i\varphi}}{2n+1}\left[ P^{m+1}_{n+1}(\cos \vartheta)e^{i(m+1)\varphi} - P^{m+1}_{n-1}(\cos \vartheta)e^{i(m+1)\varphi}\right]. \end{align*} A few manipulations later, we will obtain \begin{equation*} - Y^m_n(\vartheta, \varphi) = \frac{e^{-i\varphi}}{(2n+1)\sin \vartheta} \left[ Y^{m+1}_{n+1}(\vartheta, \varphi)-Y^{m+1}_{n-1}(\vartheta, \varphi) \right] + Y^m_n(\vartheta, \varphi) = \frac{e^{-i\varphi}}{(2n+1)\sin \vartheta} \left[ Y^{m+1}_{n+1}(\vartheta, \varphi)-Y^{m+1}_{n-1}(\vartheta, \varphi) \right]. \end{equation*} \end{proof} - \item $Y^m_n(\vartheta, \varphi) = \dfrac{e^{i\varphi}}{(2n+1)\sin \vartheta} \left[ (n+m)(n+m-1)Y^{m-1}_{n-1}(\vartheta, \varphi) - (n-m+1)(n-m+2)Y^{m-1}_{n+1}(\vartheta, \varphi) \right]$ + \item \begin{proof} This proof is very similar to the previous one. We just have to perform the substitution $z = \cos \vartheta$, as always. Secondly we can multiply the right side by $e^{im\varphi}$ and the left one too but in a different form, namely $e^{im\varphi}=e^{i(m-1)\varphi}e^{i\varphi}$. Then it is only a question of recalling the definition of $Y^m_n(\vartheta, \varphi)$. \end{proof} \end{enumerate} \section{Series Expansions in $L^2(S^2)$} - -We want now to recall the definition of the inner product on the spherical surface of definition \ref{kugel:def:inner-product-s2} +We have now reach a point where we have all the tools that are necessary to build something truly amazing: a general series expansion formula for +function on the surface of the sphere. +Before starting we want to recall the definition of the inner product on the spherical surface of definition \ref{kugel:def:inner-product-s2} \begin{equation*} \langle f, g \rangle = \int_{0}^\pi \int_0^{2\pi} -- cgit v1.2.1