From 299310434e22f22ab43cfb423f91cb164cf2bab7 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alain Date: Sun, 7 Aug 2022 12:39:33 +0200 Subject: verbesserungen --- buch/papers/parzyl/main.tex | 2 +- buch/papers/parzyl/teil0.tex | 19 +++++++++---------- buch/papers/parzyl/teil1.tex | 5 ++++- 3 files changed, 14 insertions(+), 12 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/parzyl/main.tex b/buch/papers/parzyl/main.tex index 528a2e2..14c85ff 100644 --- a/buch/papers/parzyl/main.tex +++ b/buch/papers/parzyl/main.tex @@ -6,7 +6,7 @@ \chapter{Parabolische Zylinderfunktionen\label{chapter:parzyl}} \lhead{Parabolische Zylinderfunktionen} \begin{refsection} -\chapterauthor{Thierry Schwaller, Alain Keller} +\chapterauthor{Alain Keller und Thierry Schwaller} diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex index 4b251db..119f805 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex @@ -19,16 +19,16 @@ Sie ist eine spezielle Form der Poisson-Gleichung \begin{equation} \Delta f = g \end{equation} -mit g als beliebige Funktion. -In der Physik hat die Laplace-Gleichung in verschieden Gebieten +mit $g$ als beliebiger Funktion. +In der Physik hat die Laplace-Gleichung in verschiedenen Gebieten verwendet, zum Beispiel im Elektromagnetismus. Das Gaussche Gesetz in den Maxwellgleichungen \begin{equation} \nabla \cdot E = \frac{\varrho}{\epsilon_0} \label{parzyl:eq:max1} \end{equation} -besagt das die Divergenz eines Elektrischen Feldes an einem -Punkt gleich der Ladung an diesem Punkt ist. +besagt, dass die Divergenz eines elektrischen Feldes an einem +Punkt gleich der Ladungsdichte an diesem Punkt ist. Das elektrische Feld ist hierbei der Gradient des elektrischen Potentials \begin{equation} @@ -38,8 +38,8 @@ Eingesetzt in \eqref{parzyl:eq:max1} resultiert \begin{equation} \nabla \cdot \nabla \phi = \Delta \phi = \frac{\varrho}{\epsilon_0}, \end{equation} -was eine Possion-Gleichung ist. -An Ladungsfreien Stellen, ist der rechte Teil der Gleichung $0$. +was eine Poisson-Gleichung ist. +An ladungsfreien Stellen ist der rechte Teil der Gleichung $0$. \subsection{Parabolische Zylinderkoordinaten \label{parzyl:subsection:finibus}} Im parabolischen Zylinderkoordinatensystem bilden parabolische Zylinder die Koordinatenflächen. @@ -51,7 +51,7 @@ Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt z & = z. \label{parzyl:coordRelationse} \end{align} -Wird $\tau$ oder $\sigma$ konstant gesetzt resultieren die Parabeln +Wird $\tau$ oder $\sigma$ konstant gesetzt, resultieren die Parabeln \begin{equation} y = \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{\sigma^2} - \sigma^2 \right) \end{equation} @@ -67,7 +67,6 @@ und konstantes $\sigma$ und die grünen ein konstantes $\tau$.} \label{parzyl:fig:cordinates} \end{figure} - Abbildung \ref{parzyl:fig:cordinates} zeigt das Parabolische Koordinatensystem. Das parabolische Zylinderkoordinatensystem entsteht wenn die Parabeln aus der Ebene gezogen werden. @@ -106,7 +105,7 @@ von \eqref{parzyl:coordRelationsa} - \eqref{parzyl:coordRelationse} als dz &= \frac{\partial \tilde{z} }{\partial \sigma} d\sigma + \frac{\partial \tilde{z} }{\partial \tau} d\tau + \frac{\partial \tilde{z} }{\partial \tilde{z}} d \tilde{z} - = d \tilde{z} \\ + = d \tilde{z} \end{align} substituiert. Wird diese Gleichung in der Form von \eqref{parzyl:eq:dspara} @@ -120,7 +119,7 @@ geschrieben, resultiert Daraus ergeben sich die Skalierungsfaktoren \begin{align} h_{\sigma} &= \sqrt{\sigma^2 + \tau^2}\\ - h_{\sigma} &= \sqrt{\sigma^2 + \tau^2}\\ + h_{\tau} &= \sqrt{\sigma^2 + \tau^2}\\ h_{z} &= 1. \end{align} \subsection{Differentialgleichung} diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index f297189..239f8c7 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -13,7 +13,10 @@ in die Whittaker Gleichung gelöst werden. \begin{equation*} W_{k,m}(z) = e^{-z/2} z^{m+1/2} \, - {}_{1} F_{1}(\frac{1}{2} + m - k, 1 + 2m; z) + {}_{1} F_{1} + ( + {\textstyle \frac{1}{2}} + + m - k, 1 + 2m; z) \end{equation*} heisst Whittaker Funktion und ist eine Lösung von -- cgit v1.2.1 From f4aa64f6ea1810774621af11329c369924351f40 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alain Date: Mon, 8 Aug 2022 17:36:16 +0200 Subject: Chlini Schritt --- buch/papers/parzyl/teil1.tex | 32 +++++++++++++++++++++++++------- 1 file changed, 25 insertions(+), 7 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index 239f8c7..02ce0f2 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -6,8 +6,8 @@ \section{Lösung \label{parzyl:section:teil1}} \rhead{Problemstellung} -Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} können mit einer Substitution -in die Whittaker Gleichung gelöst werden. +Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} können mit +Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst werden. \begin{definition} Die Funktion \begin{equation*} @@ -19,13 +19,31 @@ in die Whittaker Gleichung gelöst werden. + m - k, 1 + 2m; z) \end{equation*} heisst Whittaker Funktion und ist eine Lösung - von + von der Whittaker Differentialgleichung \begin{equation} \frac{d^2W}{d z^2} + \left(-\frac{1}{4} + \frac{k}{z} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{z^2} \right) W = 0. + \label{parzyl:eq:whitDiffEq} \end{equation} \end{definition} - -Lösung Folgt\dots - - +Es wird nun die Differentialgleichung bestimmt, welche +\begin{equation} + w = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right) +\end{equation} +als Lösung hat. +Dafür wird $w$ in \eqref{parzyl:eq:whitDiffEq} eingesetzt woraus +\begin{equation} + \frac{d^2 w}{dz^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 - 2k\right) w = 0 +\label{parzyl:eq:weberDiffEq} +\end{equation} +resultiert. DIese Differentialgleichung ist dieselbe wie +\eqref{parzyl:sep_dgl_2} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2}, welche somit +$w$ als Lösung haben. +Da es sich um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung handelt, hat sie nicht nur +eine sondern zwei Lösungen. +Die zweite Lösung der Whittaker-Gleichung ist $W_{k,-m} (z)$. +Somit ist +\begin{equation} + w = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right) +\end{equation} +eine weiter Lösung von \eqref{parzyl:eq:weberDiffEq}. -- cgit v1.2.1 From fffae23e55eae8484953d699b22f19406b1b408c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alain Date: Wed, 10 Aug 2022 23:05:30 +0200 Subject: mikroschritt --- buch/papers/parzyl/teil1.tex | 24 +++++++++++++++++++----- 1 file changed, 19 insertions(+), 5 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index 02ce0f2..a3e9626 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -42,8 +42,22 @@ $w$ als Lösung haben. Da es sich um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung handelt, hat sie nicht nur eine sondern zwei Lösungen. Die zweite Lösung der Whittaker-Gleichung ist $W_{k,-m} (z)$. -Somit ist -\begin{equation} - w = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right) -\end{equation} -eine weiter Lösung von \eqref{parzyl:eq:weberDiffEq}. +Somit hat \eqref{parzyl:eq:weberDiffEq} +\begin{align} + w_1 & = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)\\ + w_2 & = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right) +\end{align} +als Lösungen. + +Ausgeschrieben ergeben sich als Lösungen +\begin{align} + w_1 &= e^{-z^2/4} \, + {}_{1} F_{1} + ( + {\textstyle \frac{1}{4}} + - k, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) \\ + w_2 & = z e^{-z^2/4} \, + {}_{1} F_{1} + ({\textstyle \frac{3}{4}} + - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) +\end{align} \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From 8664c5cb874029c45314c18d1d1b0d2be4bb5a9c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: tschwall <55748566+tschwall@users.noreply.github.com> Date: Sat, 13 Aug 2022 14:22:36 +0200 Subject: Added Part 3 --- buch/papers/parzyl/main.tex | 2 +- buch/papers/parzyl/teil0.tex | 2 +- buch/papers/parzyl/teil1.tex | 3 +- buch/papers/parzyl/teil2.tex | 31 +++++++++++------- buch/papers/parzyl/teil3.tex | 78 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-- 5 files changed, 100 insertions(+), 16 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/parzyl/main.tex b/buch/papers/parzyl/main.tex index 14c85ff..fd2aea7 100644 --- a/buch/papers/parzyl/main.tex +++ b/buch/papers/parzyl/main.tex @@ -13,6 +13,6 @@ \input{papers/parzyl/teil0.tex} \input{papers/parzyl/teil1.tex} \input{papers/parzyl/teil2.tex} - +\input{papers/parzyl/teil3.tex} \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex index 119f805..1f23d6e 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex @@ -220,7 +220,7 @@ und 0 \end{equation} führt. -Wobei die Lösung von \eqref{parzyl:sep_dgl_3} +Die Lösung von \eqref{parzyl:sep_dgl_3} \begin{equation} i(z) = diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index a3e9626..e140796 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -51,6 +51,7 @@ als Lösungen. Ausgeschrieben ergeben sich als Lösungen \begin{align} + \label{parzyl:eq:solution_dgl} w_1 &= e^{-z^2/4} \, {}_{1} F_{1} ( @@ -60,4 +61,4 @@ Ausgeschrieben ergeben sich als Lösungen {}_{1} F_{1} ({\textstyle \frac{3}{4}} - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) -\end{align} \ No newline at end of file +\end{align} diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex index 3f890d0..aaea42b 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex @@ -11,10 +11,10 @@ \subsection{Elektrisches Feld einer semi-infiniten Platte \label{parzyl:subsection:bonorum}} Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld einer semi-infiniten Platte finden will. -Das dies so ist kann im zwei Dimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Wobei die Platte dann nur eine Linie ist. +Das dies so ist kann im zwei Dimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Linie, was man in Abbildung TODO sieht. Jede komplexe Funktion $F(z)$ kann geschrieben werden als \begin{equation} - F(z) = U(x,y) + iV(x,y) \qquad z \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}. + F(s) = U(x,y) + iV(x,y) \qquad s \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}. \end{equation} Dabei muss gelten, falls die Funktion differenzierbar ist, dass \begin{equation} @@ -35,7 +35,7 @@ Aus dieser Bedingung folgt \frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial y^2} = 0 - }_{\nabla^2U(x,y)=0} + }_{\displaystyle{\nabla^2U(x,y)=0}} \qquad \underbrace{ \frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial x^2} @@ -43,26 +43,35 @@ Aus dieser Bedingung folgt \frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial y^2} = 0 - }_{\nabla^2V(x,y) = 0}. + }_{\displaystyle{\nabla^2V(x,y) = 0}}. \end{equation} -Zusätzlich zeigen diese Bedingungen auch, dass die zwei Funktionen $U(x,y)$ und $V(x,y)$ orthogonal zueinander sind. +Zusätzlich kann auch gezeigt werden, dass die Funktion $F(z)$ eine winkeltreue Abbildung ist. Der Zusammenhang zum elektrischen Feld ist jetzt, dass das Potential an einem quellenfreien Punkt gegeben ist als \begin{equation} \nabla^2\phi(x,y) = 0. \end{equation} -Da dies bei komplexen differenzierbaren Funktionen gilt, wie Gleichung \ref{parzyl_e_feld_zweite_ab} zeigt, kann entweder $U(x,y)$ oder $V(x,y)$ von einer solchen Funktion als das Potential angesehen werden. Im weiteren wird für das Potential $U(x,y)$ verwendet. -Da die Funktion, welche nicht das Potential beschreibt, in weiteren angenommen als $V(x,y)$, orthogonal zum Potential ist, zeigt dies das Verhalten des elektrischen Feldes. -Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen muss nur noch eine geeignete komplexe Funktion $F(z)$ gefunden werden, welche eine semi-infinite Platte beschreiben kann. Man könnte natürlich auch nach anderen Funktionen suchen, welche andere Bedingungen erfüllen und würde dann auf andere Koordinatensysteme stossen. Die gesuchte Funktion in diesem Fall ist +Dies ist eine Bedingung welche differenzierbare Funktionen, wie in Gleichung \ref{parzyl_e_feld_zweite_ab} gezeigt wird, bereits besitzen. +Nun kann zum Beispiel $U(x,y)$ als das Potential angeschaut werden \begin{equation} - F(z) + \phi(x,y) = U(x,y). +\end{equation} +Orthogonal zum Potential ist das elektrische Feld +\begin{equation} + E(x,y) = V(x,y). +\end{equation} +Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen muss nur noch eine geeignete komplexe Funktion $F(s)$ gefunden werden, +welche eine semi-infinite Platte beschreiben kann. +Die gesuchte Funktion in diesem Fall ist +\begin{equation} + F(s) = - \sqrt{z} + \sqrt{s} = \sqrt{x + iy}. \end{equation} Dies kann umgeformt werden zu \begin{equation} - F(z) + F(s) = \underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}}_{U(x,y)} + diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex index 4e44bd6..12b7519 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex @@ -3,6 +3,80 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Teil 3 -\label{parzyl:section:teil3}} +\section{Eigenschaften +\label{parzyl:section:Eigenschaften}} \rhead{Teil 3} +\subsection{Potenzreihenentwicklung + \label{parzyl:potenz}} +Die parabolischen Zylinderfunktionen, welche in Gleichung \ref{parzyl:eq:solution_dgl} gegeben sind, können auch als Potenzreihen geschrieben werden +\begin{align} + w_1(k,z) + &= + e^{-z^2/4} \, + {}_{1} F_{1} + ( + {\textstyle \frac{1}{4}} + - k, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) + = + e^{-\frac{z^2}{4}} + \sum^{\infty}_{n=0} + \frac{\left ( \frac{1}{4} - k \right )_{n}}{\left ( \frac{1}{2}\right )_{n}} + \frac{\left ( \frac{1}{2} z^2\right )^n}{n!} \\ + &= + e^{-\frac{z^2}{4}} + \left ( + 1 + + + \left ( \frac{1}{2} - 2k \right )\frac{z^2}{2!} + + + \left ( \frac{1}{2} - 2k \right )\left ( \frac{5}{2} - 2k \right )\frac{z^4}{4!} + + + \dots + \right ) +\end{align} +und +\begin{align} + w_2(k,z) + &= + ze^{-z^2/4} \, + {}_{1} F_{1} + ( + {\textstyle \frac{3}{4}} + - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) + = + ze^{-\frac{z^2}{4}} + \sum^{\infty}_{n=0} + \frac{\left ( \frac{3}{4} - k \right )_{n}}{\left ( \frac{3}{2}\right )_{n}} + \frac{\left ( \frac{1}{2} z^2\right )^n}{n!} \\ + &= + e^{-\frac{z^2}{4}} + \left ( + z + + + \left ( \frac{3}{2} - 2k \right )\frac{z^3}{3!} + + + \left ( \frac{3}{2} - 2k \right )\left ( \frac{7}{2} - 2k \right )\frac{z^5}{5!} + + + \dots + \right ). +\end{align} +Bei den Potenzreihen sieht man gut, dass die Ordnung des Polynoms im generellen ins unendliche geht. Es gibt allerdings die Möglichkeit für bestimmte k das die Terme in der Klammer gleich null werden und das Polynom somit eine endliche Ordnung $n$ hat. Dies geschieht bei $w_1(k,z)$ falls +\begin{equation} + k = \frac{1}{4} + n \qquad n \in \mathbb{N}_0 +\end{equation} +und bei $w_2(k,z)$ falls +\begin{equation} + k = \frac{3}{4} + n \qquad n \in \mathbb{N}_0. +\end{equation} + +\subsection{Ableitung} +Es kann gezeigt werden, dass die Ableitungen $\frac{\partial w_1(z,k)}{\partial z}$ und $\frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z}$ einen Zusammenhang zwischen $w_1(z,k)$ und $w_2(z,k)$ zeigen. Die Ableitung von $w_1(z,k)$ nach $z$ kann über die Produktregel berechnet werden und ist gegeben als +\begin{equation} + \frac{\partial w_1(z,k)}{\partial z} = \left (\frac{1}{2} - 2k \right ) w_2(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_1(z,k), +\end{equation} +und die Ableitung von $w_2(z,k)$ als +\begin{equation} + \frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z} = w_1(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_2(z,k). +\end{equation} +Über diese Eigenschaft können einfach weitere Ableitungen berechnet werden. + -- cgit v1.2.1 From 37be038856d46324ca0f036f486c73b48bc22e4c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: tschwall <55748566+tschwall@users.noreply.github.com> Date: Tue, 16 Aug 2022 22:24:51 +0200 Subject: Updated stuff --- buch/papers/parzyl/img/plane.pdf | Bin 0 -> 2072 bytes buch/papers/parzyl/teil0.tex | 81 +++++++++++++++++++++++++-------------- buch/papers/parzyl/teil1.tex | 2 +- buch/papers/parzyl/teil2.tex | 13 ++++--- buch/papers/parzyl/teil3.tex | 3 +- 5 files changed, 63 insertions(+), 36 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/parzyl/img/plane.pdf (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/parzyl/img/plane.pdf b/buch/papers/parzyl/img/plane.pdf new file mode 100644 index 0000000..c52c336 Binary files /dev/null and b/buch/papers/parzyl/img/plane.pdf differ diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex index 1f23d6e..3b14287 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex @@ -4,42 +4,65 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % \section{Einleitung\label{parzyl:section:teil0}} -\rhead{Teil 0} -Die Laplace-Gleichung ist eine wichtige Gleichung in der Physik. -Mit ihr lässt sich zum Beispiel das elektrische Feld in einem ladungsfreien Raum bestimmen. -In diesem Kapitel wird die Lösung der Laplace-Gleichung im -parabolischen Zylinderkoordinatensystem genauer untersucht. -\subsection{Laplace Gleichung} -Die partielle Differentialgleichung -\begin{equation} - \Delta f = 0 -\end{equation} -ist als Laplace-Gleichung bekannt. -Sie ist eine spezielle Form der Poisson-Gleichung +\rhead{Einleitung} +%Die Laplace-Gleichung ist eine wichtige Gleichung in der Physik. +%Mit ihr lässt sich zum Beispiel das elektrische Feld in einem ladungsfreien Raum bestimmen. +%In diesem Kapitel wird die Lösung der Laplace-Gleichung im +%parabolischen Zylinderkoordinatensystem genauer untersucht. +Die Helmholtz-Gleichung ist eine wichtige Gleichung in der Physik. Mit ihr lässt sich zum Beispiel das Verhalten von elektromagnetischen Wellen beschreiben. +In diesem Kapitel wird die Lösung der Helmholtz-Gleichung im parabolischen Zylinderkoordinatensystem, die parabolischen Zylinderfunktionen, genauer untersucht. + +\subsection{Helmholtz-Gleichung} +Die partielle Differentialgleichung \begin{equation} - \Delta f = g + \nabla f = \lambda f \end{equation} -mit $g$ als beliebiger Funktion. -In der Physik hat die Laplace-Gleichung in verschiedenen Gebieten -verwendet, zum Beispiel im Elektromagnetismus. -Das Gaussche Gesetz in den Maxwellgleichungen +ist als Helmholtz-Gleichung bekannt und beschreibt das Eigenwert Problem für den Laplace-Operator. Sie ist eine der Gleichungen welche auftritt wenn die Wellengleichung \begin{equation} - \nabla \cdot E = \frac{\varrho}{\epsilon_0} -\label{parzyl:eq:max1} + \left ( \nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right ) u(\textbf{r},t) + = + 0 \end{equation} -besagt, dass die Divergenz eines elektrischen Feldes an einem -Punkt gleich der Ladungsdichte an diesem Punkt ist. -Das elektrische Feld ist hierbei der Gradient des elektrischen -Potentials +mit Hilfe von Separation \begin{equation} - \nabla \phi = E. -\end{equation} -Eingesetzt in \eqref{parzyl:eq:max1} resultiert + u(\textbf{r},t) = A(\textbf{r})T(t) +\end{equation} +in zwei Differentialgleichungen aufgeteilt wird. Die Helmholtz-Gleichung ist der Teil, welcher Zeit unabhängig ist \begin{equation} - \nabla \cdot \nabla \phi = \Delta \phi = \frac{\varrho}{\epsilon_0}, + \nabla^2 A(\textbf{r}) = \lambda A(\textbf{r}). \end{equation} -was eine Poisson-Gleichung ist. -An ladungsfreien Stellen ist der rechte Teil der Gleichung $0$. + +%\subsection{Laplace Gleichung} +%Die partielle Differentialgleichung +%\begin{equation} +% \Delta f = 0 +%\end{equation} +%ist als Laplace-Gleichung bekannt. +%Sie ist eine spezielle Form der Poisson-Gleichung +%\begin{equation} +% \Delta f = g +%\end{equation} +%mit $g$ als beliebiger Funktion. +%In der Physik hat die Laplace-Gleichung in verschiedenen Gebieten +%verwendet, zum Beispiel im Elektromagnetismus. +%Das Gaussche Gesetz in den Maxwellgleichungen +%\begin{equation} +% \nabla \cdot E = \frac{\varrho}{\epsilon_0} +%\label{parzyl:eq:max1} +%\end{equation} +%besagt, dass die Divergenz eines elektrischen Feldes an einem +%Punkt gleich der Ladungsdichte an diesem Punkt ist. +%Das elektrische Feld ist hierbei der Gradient des elektrischen +%Potentials +%\begin{equation} +% \nabla \phi = E. +%\end{equation} +%Eingesetzt in \eqref{parzyl:eq:max1} resultiert +%\begin{equation} +% \nabla \cdot \nabla \phi = \Delta \phi = \frac{\varrho}{\epsilon_0}, +%\end{equation} +%was eine Poisson-Gleichung ist. +%An ladungsfreien Stellen ist der rechte Teil der Gleichung $0$. \subsection{Parabolische Zylinderkoordinaten \label{parzyl:subsection:finibus}} Im parabolischen Zylinderkoordinatensystem bilden parabolische Zylinder die Koordinatenflächen. diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index e140796..cb929d6 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -5,7 +5,7 @@ % \section{Lösung \label{parzyl:section:teil1}} -\rhead{Problemstellung} +\rhead{Lösung} Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} können mit Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst werden. \begin{definition} diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex index aaea42b..4af6860 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex @@ -5,12 +5,15 @@ % \section{Anwendung in der Physik \label{parzyl:section:teil2}} -\rhead{Teil 2} +\rhead{Anwendung in der Physik} - -\subsection{Elektrisches Feld einer semi-infiniten Platte -\label{parzyl:subsection:bonorum}} -Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld einer semi-infiniten Platte finden will. +Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld einer semi-infiniten Platte, wie in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte} gezeigt, finden will. +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[width=0.9\textwidth]{papers/parzyl/img/plane.pdf} + \caption{Semi-infinite Leiterplatte} + \label{parzyl:fig:leiterplatte} +\end{figure} Das dies so ist kann im zwei Dimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Linie, was man in Abbildung TODO sieht. Jede komplexe Funktion $F(z)$ kann geschrieben werden als \begin{equation} diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex index 12b7519..972fd33 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex @@ -5,7 +5,8 @@ % \section{Eigenschaften \label{parzyl:section:Eigenschaften}} -\rhead{Teil 3} +\rhead{Eigenschaften} + \subsection{Potenzreihenentwicklung \label{parzyl:potenz}} Die parabolischen Zylinderfunktionen, welche in Gleichung \ref{parzyl:eq:solution_dgl} gegeben sind, können auch als Potenzreihen geschrieben werden -- cgit v1.2.1 From 8dad5da7d8a4c982a6933b0f6d3c58c64d66c37c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alain Date: Tue, 16 Aug 2022 22:25:46 +0200 Subject: schaffe --- buch/papers/parzyl/teil1.tex | 61 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++----- 1 file changed, 54 insertions(+), 7 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index e140796..a52665b 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -44,21 +44,68 @@ eine sondern zwei Lösungen. Die zweite Lösung der Whittaker-Gleichung ist $W_{k,-m} (z)$. Somit hat \eqref{parzyl:eq:weberDiffEq} \begin{align} - w_1 & = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)\\ - w_2 & = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right) + w_1(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)\\ + w_2(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right) \end{align} als Lösungen. - -Ausgeschrieben ergeben sich als Lösungen +Mit der Hypergeometrischen Funktion ausgeschrieben ergeben sich die Lösungen \begin{align} \label{parzyl:eq:solution_dgl} - w_1 &= e^{-z^2/4} \, + w_1(k,z) &= e^{-z^2/4} \, {}_{1} F_{1} ( {\textstyle \frac{1}{4}} - k, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) \\ - w_2 & = z e^{-z^2/4} \, + w_2(k,z) & = z e^{-z^2/4} \, {}_{1} F_{1} ({\textstyle \frac{3}{4}} - - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) + - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2). \end{align} +In der Literatur gibt es verschiedene Standartlösungen für $w(k,z)$ präsentiert. +Whittaker und Whatson zeigen in \dots eine Lösung +\begin{equation} + D_n(z) = \frac{ + \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} z^{-\frac{1}{2}} + }{ + \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} \right) - {\textstyle \frac{1}{2}} n) + } + M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right) + + + \frac{ + \Gamma\left(-{\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} z^{-\frac{1}{2}} + }{ + \Gamma\left(- {\textstyle \frac{1}{2}} n\right) + } + M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right). +\end{equation} +welche die Differenzialgleichung +\begin{equation} + \frac{d^2D_n(z)}{dz^2} + \left(n + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} z^2\right)D_n(z) = 0 +\end{equation} +löst. + +Blablubla beschreibt zwei Lösungen $U(a, z)$ und $V(a,z)$ der Differenzialgleichung +\begin{equation} + \frac{d^2 y}{d z^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 + a\right) y = 0. +\end{equation} +\begin{align} + U(a,z) &= + \cos\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_1 + - \sin\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_2 \\ + V(a,z) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left( + \sin\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_1 + + \cos\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_2 + \right) +\end{align} +mit +\begin{align} + Y_1 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} + \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{1}{4} - + {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)} + {2^{\frac{1}{2} a + \frac{1}{4}}} w_1\\ + Y_2 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} + \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{3}{4} - + {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)} + {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} w_2 +\end{align} + -- cgit v1.2.1 From a5d4cd12216d17c62b6493675aecf453f82c9ea4 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alain Date: Wed, 17 Aug 2022 08:10:05 +0200 Subject: =?UTF-8?q?l=C3=B6sungssachen?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- buch/papers/parzyl/references.bib | 24 +++++++++++++++++++ buch/papers/parzyl/teil1.tex | 49 +++++++++++++++++++++++++++++++-------- 2 files changed, 63 insertions(+), 10 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/parzyl/references.bib b/buch/papers/parzyl/references.bib index 494ff7c..40be69a 100644 --- a/buch/papers/parzyl/references.bib +++ b/buch/papers/parzyl/references.bib @@ -33,3 +33,27 @@ url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004} } +@book{parzyl:whittaker, + place={Cambridge}, + edition={4}, + series={Cambridge Mathematical Library}, + title={A Course of Modern Analysis}, + DOI={10.1017/CBO9780511608759}, + publisher={Cambridge University Press}, + author={Whittaker, E. T. and Watson, G. N.}, + year={1996}, + collection={Cambridge Mathematical Library}} + +@book{parzyl:abramowitz-stegun, + added-at = {2008-06-25T06:25:58.000+0200}, + address = {New York}, + author = {Abramowitz, Milton and Stegun, Irene A.}, + edition = {ninth Dover printing, tenth GPO printing}, + interhash = {d4914a420f489f7c5129ed01ec3cf80c}, + intrahash = {23ec744709b3a776a1af0a3fd65cd09f}, + keywords = {Handbook}, + publisher = {Dover}, + timestamp = {2008-06-25T06:25:58.000+0200}, + title = {Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables}, + year = 1972 +} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index b02a1bf..edc6db0 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -62,7 +62,7 @@ Mit der Hypergeometrischen Funktion ausgeschrieben ergeben sich die Lösungen - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2). \end{align} In der Literatur gibt es verschiedene Standartlösungen für $w(k,z)$ präsentiert. -Whittaker und Whatson zeigen in \dots eine Lösung +Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} eine Lösung \begin{equation} D_n(z) = \frac{ \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} z^{-\frac{1}{2}} @@ -76,7 +76,7 @@ Whittaker und Whatson zeigen in \dots eine Lösung }{ \Gamma\left(- {\textstyle \frac{1}{2}} n\right) } - M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right). + M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right) \end{equation} welche die Differenzialgleichung \begin{equation} @@ -84,18 +84,40 @@ welche die Differenzialgleichung \end{equation} löst. -Blablubla beschreibt zwei Lösungen $U(a, z)$ und $V(a,z)$ der Differenzialgleichung +In \cite{parzyl:abramowitz-stegun} sind zwei Lösungen $U(a, z)$ und $V(a,z)$ +\begin{align} + U(a,z) &= + \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1 + - \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2 \\ + V(a,z) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left\{ + \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1 + + \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2 + \right\} +\end{align} +mit +\begin{align} + Y_1 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} + \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{1}{4} - + {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)} + {2^{\frac{1}{2} a + \frac{1}{4}}} w_1\\ + Y_2 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} + \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{3}{4} - + {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)} + {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} w_2 +\end{align} +der Differenzialgleichung \begin{equation} - \frac{d^2 y}{d z^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 + a\right) y = 0. + \frac{d^2 y}{d z^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 + a\right) y = 0 \end{equation} +beschrieben. \begin{align} U(a,z) &= - \cos\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_1 - - \sin\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_2 \\ - V(a,z) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left( - \sin\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_1 - + \cos\left(\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right) Y_2 - \right) + \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1 + - \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2 \\ + V(a,z) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left\{ + \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1 + + \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2 + \right\} \end{align} mit \begin{align} @@ -109,3 +131,10 @@ mit {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} w_2 \end{align} +Die Lösungen $U(a,z)$ und $V(a, z)$ können auch mit $D_n(z)$ +ausgedrückt werden +\begin{align} + U(a,z) &= D_{-a-1/2}(z) \\ + V(a,z) &= \frac{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2}} + a\right)}{\pi} + \left[\sin\left(\pi a\right) D_{-a-1/2}(z) + D_{-a-1/2}(-x)\right]. +\end{align} -- cgit v1.2.1 From 1e358f56c6ad619ff5a2259ff9043af1ee8f274f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alain Date: Wed, 17 Aug 2022 08:21:27 +0200 Subject: =?UTF-8?q?=C3=A4nderungen?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- buch/papers/parzyl/teil0.tex | 18 ++---------------- buch/papers/parzyl/teil1.tex | 21 +++++++++++++++++++-- 2 files changed, 21 insertions(+), 18 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex index 3b14287..2844a6e 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex @@ -238,26 +238,12 @@ und + \mu \right ) - i(\tau) + i(z) = 0 \end{equation} führt. -Die Lösung von \eqref{parzyl:sep_dgl_3} -\begin{equation} - i(z) - = - A\cos{ - \left ( - \sqrt{\lambda + \mu}z - \right )} - + - B\sin{ - \left ( - \sqrt{\lambda + \mu}z - \right )} -\end{equation} -ist und \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} die sogenannten Weberschen Differentialgleichungen sind, welche die parabolischen Zylinder Funktionen als Lösung haben. + diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index edc6db0..154ee71 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -6,6 +6,22 @@ \section{Lösung \label{parzyl:section:teil1}} \rhead{Lösung} + +\eqref{parzyl:sep_dgl_3} beschriebt einen ungedämpften harmonischen Oszillator. +Die Lösung ist somit +\begin{equation} + i(z) + = + A\cos{ + \left ( + \sqrt{\lambda + \mu}z + \right )} + + + B\sin{ + \left ( + \sqrt{\lambda + \mu}z + \right )}. +\end{equation} Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} können mit Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst werden. \begin{definition} @@ -78,7 +94,7 @@ Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} eine Lösung } M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right) \end{equation} -welche die Differenzialgleichung +welche die Differentialgleichung \begin{equation} \frac{d^2D_n(z)}{dz^2} + \left(n + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} z^2\right)D_n(z) = 0 \end{equation} @@ -105,7 +121,7 @@ mit {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)} {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} w_2 \end{align} -der Differenzialgleichung +der Differentialgleichung \begin{equation} \frac{d^2 y}{d z^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 + a\right) y = 0 \end{equation} @@ -138,3 +154,4 @@ ausgedrückt werden V(a,z) &= \frac{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2}} + a\right)}{\pi} \left[\sin\left(\pi a\right) D_{-a-1/2}(z) + D_{-a-1/2}(-x)\right]. \end{align} +TODO Plot \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From 2cc8141db9b3cb5e7cfa27cf6187fdf0c23f7240 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alain Date: Wed, 17 Aug 2022 08:26:46 +0200 Subject: fehlerverbesserungen --- buch/papers/parzyl/teil0.tex | 4 +--- buch/papers/parzyl/teil1.tex | 4 ++-- 2 files changed, 3 insertions(+), 5 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex index 2844a6e..4a6f8f4 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex @@ -97,8 +97,6 @@ Ebene gezogen werden. Um in diesem Koordinatensystem integrieren und differenzieren zu können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$. -\dots - Wird eine infinitessimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten betrachtet kann dies im kartesischen Koordinatensystem mit \begin{equation} @@ -107,7 +105,7 @@ kann dies im kartesischen Koordinatensystem mit \label{parzyl:eq:ds} \end{equation} ausgedrückt werden. -Das Skalierungsfaktoren werden so bestimmt, dass +Die Skalierungsfaktoren werden so bestimmt, dass \begin{equation} \left(ds\right)^2 = \left(h_{\sigma}d\sigma\right)^2 + \left(h_{\tau}d\tau\right)^2 + \left(h_z dz\right)^2 diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index 154ee71..83aa00e 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -22,8 +22,8 @@ Die Lösung ist somit \sqrt{\lambda + \mu}z \right )}. \end{equation} -Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} können mit -Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst werden. +Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} werden in \cite{parzyl:whittaker} +mit Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst. \begin{definition} Die Funktion \begin{equation*} -- cgit v1.2.1 From 3e8ec5a6aea34b07f0c18aac6fa69ee21bdf89c1 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alain Date: Wed, 17 Aug 2022 08:34:26 +0200 Subject: mehr fehler --- buch/papers/parzyl/teil1.tex | 24 +----------------------- 1 file changed, 1 insertion(+), 23 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index 83aa00e..a56d94b 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -125,29 +125,7 @@ der Differentialgleichung \begin{equation} \frac{d^2 y}{d z^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 + a\right) y = 0 \end{equation} -beschrieben. -\begin{align} - U(a,z) &= - \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1 - - \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2 \\ - V(a,z) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left\{ - \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1 - + \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2 - \right\} -\end{align} -mit -\begin{align} - Y_1 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} - \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{1}{4} - - {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)} - {2^{\frac{1}{2} a + \frac{1}{4}}} w_1\\ - Y_2 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} - \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{3}{4} - - {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)} - {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} w_2 -\end{align} - -Die Lösungen $U(a,z)$ und $V(a, z)$ können auch mit $D_n(z)$ +beschrieben. Die Lösungen $U(a,z)$ und $V(a, z)$ können auch mit $D_n(z)$ ausgedrückt werden \begin{align} U(a,z) &= D_{-a-1/2}(z) \\ -- cgit v1.2.1 From fb7badcc5d1353ad11fff486b634d25a7b26b38b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alain Date: Wed, 17 Aug 2022 15:44:00 +0200 Subject: les bildeurs --- buch/papers/parzyl/img/D_plot.png | Bin 0 -> 712446 bytes buch/papers/parzyl/img/v_plot.png | Bin 0 -> 637451 bytes buch/papers/parzyl/teil1.tex | 16 ++++++++++++++-- 3 files changed, 14 insertions(+), 2 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/parzyl/img/D_plot.png create mode 100644 buch/papers/parzyl/img/v_plot.png (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/parzyl/img/D_plot.png b/buch/papers/parzyl/img/D_plot.png new file mode 100644 index 0000000..f76e35b Binary files /dev/null and b/buch/papers/parzyl/img/D_plot.png differ diff --git a/buch/papers/parzyl/img/v_plot.png b/buch/papers/parzyl/img/v_plot.png new file mode 100644 index 0000000..b8c803e Binary files /dev/null and b/buch/papers/parzyl/img/v_plot.png differ diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index a56d94b..673fa7f 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -88,7 +88,7 @@ Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} eine Lösung M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right) + \frac{ - \Gamma\left(-{\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} z^{-\frac{1}{2}} + \Gamma\left(-{\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{4}} z^{-\frac{1}{2}} }{ \Gamma\left(- {\textstyle \frac{1}{2}} n\right) } @@ -132,4 +132,16 @@ ausgedrückt werden V(a,z) &= \frac{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2}} + a\right)}{\pi} \left[\sin\left(\pi a\right) D_{-a-1/2}(z) + D_{-a-1/2}(-x)\right]. \end{align} -TODO Plot \ No newline at end of file +TODO Plot +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[scale=0.3]{papers/parzyl/img/D_plot.png} + \caption{$D_a(z)$ mit unterschiedlichen Werten für $a$.} + \label{parzyl:fig:dnz} +\end{figure} +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[scale=0.3]{papers/parzyl/img/v_plot.png} + \caption{$V(a,z)$ mit unterschiedlichen Werten für $a$.} + \label{parzyl:fig:Vnz} +\end{figure} \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From c32bd2a662c56007f6e0be7899ffca982bb00e80 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alain Date: Wed, 17 Aug 2022 20:53:48 +0200 Subject: korrekturen --- buch/papers/parzyl/references.bib | 9 +++ buch/papers/parzyl/teil0.tex | 2 +- buch/papers/parzyl/teil1.tex | 115 +++++++++++++++++++++++++------------- 3 files changed, 85 insertions(+), 41 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/parzyl/references.bib b/buch/papers/parzyl/references.bib index 40be69a..390d5ed 100644 --- a/buch/papers/parzyl/references.bib +++ b/buch/papers/parzyl/references.bib @@ -56,4 +56,13 @@ timestamp = {2008-06-25T06:25:58.000+0200}, title = {Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables}, year = 1972 +} + +@online{parzyl:coordinates, + title = {Parabolic cylindrical coordinates}, + url = {https://en.wikipedia.org/wiki/Parabolic_cylindrical_coordinates}, + date = {2022-08-17}, + year = {2022}, + month = {8}, + day = {17} } \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex index 4a6f8f4..f24a5c1 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex @@ -65,7 +65,7 @@ in zwei Differentialgleichungen aufgeteilt wird. Die Helmholtz-Gleichung ist der %An ladungsfreien Stellen ist der rechte Teil der Gleichung $0$. \subsection{Parabolische Zylinderkoordinaten \label{parzyl:subsection:finibus}} -Im parabolischen Zylinderkoordinatensystem bilden parabolische Zylinder die Koordinatenflächen. +Im parabolischen Zylinderkoordinatensystem \cite{parzyl:coordinates} bilden parabolische Zylinder die Koordinatenflächen. Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt mit \begin{align} x & = \sigma \tau \\ diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index 673fa7f..a4253b8 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -25,63 +25,92 @@ Die Lösung ist somit Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} werden in \cite{parzyl:whittaker} mit Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst. \begin{definition} - Die Funktion + Die Funktionen \begin{equation*} - W_{k,m}(z) = + M_{k,m}(z) = e^{-z/2} z^{m+1/2} \, {}_{1} F_{1} ( {\textstyle \frac{1}{2}} + m - k, 1 + 2m; z) \end{equation*} - heisst Whittaker Funktion und ist eine Lösung + und + \begin{equation*} + W_{k,m}(z) = \frac{ + \Gamma \left( -2m\right) + }{ + \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} - m - k\right) + } + M_{-k, m} \left(z\right) + + + \frac{ + \Gamma \left( 2m\right) + }{ + \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} + m - k\right) + } + M_{k, -m} \left(z\right) + \end{equation*} + gehören zu den Whittaker Funktionen und sind die Lösungen von der Whittaker Differentialgleichung \begin{equation} \frac{d^2W}{d z^2} + \left(-\frac{1}{4} + \frac{k}{z} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{z^2} \right) W = 0. \label{parzyl:eq:whitDiffEq} \end{equation} + \end{definition} Es wird nun die Differentialgleichung bestimmt, welche \begin{equation} w = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right) \end{equation} als Lösung hat. -Dafür wird $w$ in \eqref{parzyl:eq:whitDiffEq} eingesetzt woraus +Dafür wird $w$ in \eqref{parzyl:eq:whitDiffEq} eingesetzt, woraus \begin{equation} \frac{d^2 w}{dz^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 - 2k\right) w = 0 \label{parzyl:eq:weberDiffEq} \end{equation} -resultiert. DIese Differentialgleichung ist dieselbe wie +resultiert. Diese Differentialgleichung ist dieselbe wie \eqref{parzyl:sep_dgl_2} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2}, welche somit $w$ als Lösung haben. -Da es sich um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung handelt, hat sie nicht nur -eine sondern zwei Lösungen. -Die zweite Lösung der Whittaker-Gleichung ist $W_{k,-m} (z)$. -Somit hat \eqref{parzyl:eq:weberDiffEq} -\begin{align} - w_1(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)\\ - w_2(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right) -\end{align} -als Lösungen. -Mit der Hypergeometrischen Funktion ausgeschrieben ergeben sich die Lösungen -\begin{align} - \label{parzyl:eq:solution_dgl} - w_1(k,z) &= e^{-z^2/4} \, - {}_{1} F_{1} - ( - {\textstyle \frac{1}{4}} - - k, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) \\ - w_2(k,z) & = z e^{-z^2/4} \, - {}_{1} F_{1} - ({\textstyle \frac{3}{4}} - - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2). -\end{align} -In der Literatur gibt es verschiedene Standartlösungen für $w(k,z)$ präsentiert. -Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} eine Lösung +%Da es sich um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung handelt, hat sie nicht nur +%eine sondern zwei Lösungen. +%Die zweite Lösung der Whittaker-Gleichung ist $W_{k,-m} (z)$. +%Somit hat \eqref{parzyl:eq:weberDiffEq} +%\begin{align} +% w_1(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)\\ +% w_2(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right) +%\end{align} +%als Lösungen. +%Mit der Hypergeometrischen Funktion ausgeschrieben ergeben sich die Lösungen +%\begin{align} +% \label{parzyl:eq:solution_dgl} +% w_1(k,z) &= e^{-z^2/4} \, +% {}_{1} F_{1} +% ( +% {\textstyle \frac{1}{4}} +% - k, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) \\ +% w_2(k,z) & = z e^{-z^2/4} \, +% {}_{1} F_{1} +% ({\textstyle \frac{3}{4}} +% - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2). +%\end{align} + +In der Literatur gibt es verschiedene Standartlösungen für +\eqref{parzyl:eq:weberDiffEq} präsentiert, wobei die Differentialgleichung jeweils +unterschiedlich geschrieben wird. +Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} die Lösung +\begin{equation} + D_n(z) = 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} z^{-\frac{1}{2}} W_{n/2 + 1/4, -1/4}\left(\frac{1}{2}z^2\right) +\end{equation} +welche die Differentialgleichung +\begin{equation} + \frac{d^2D_n(z)}{dz^2} + \left(n + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} z^2\right)D_n(z) = 0 +\end{equation} +löst. +Mit $M_{k,m}(z)$ geschrieben resultiert \begin{equation} D_n(z) = \frac{ - \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} z^{-\frac{1}{2}} + \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{4}} z^{-\frac{1}{2}} }{ \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} \right) - {\textstyle \frac{1}{2}} n) } @@ -92,14 +121,8 @@ Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} eine Lösung }{ \Gamma\left(- {\textstyle \frac{1}{2}} n\right) } - M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right) + M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right). \end{equation} -welche die Differentialgleichung -\begin{equation} - \frac{d^2D_n(z)}{dz^2} + \left(n + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} z^2\right)D_n(z) = 0 -\end{equation} -löst. - In \cite{parzyl:abramowitz-stegun} sind zwei Lösungen $U(a, z)$ und $V(a,z)$ \begin{align} U(a,z) &= @@ -115,11 +138,22 @@ mit Y_1 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{1}{4} - {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)} - {2^{\frac{1}{2} a + \frac{1}{4}}} w_1\\ + {2^{\frac{1}{2} a + \frac{1}{4}}} + e^{-z^2/4} + {}_{1} F_{1} + \left({\textstyle \frac{1}{2}}a + {\textstyle \frac{1}{4}}, + {\textstyle \frac{1}{2}} ; + {\textstyle \frac{1}{2}}z^2\right) + \\ Y_2 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{3}{4} - {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)} - {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} w_2 + {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} + z e^{-z^2/4} + {}_{1} F_{1} + \left({\textstyle \frac{1}{2}}a + {\textstyle \frac{3}{4}}, + {\textstyle \frac{3}{2}} ; + {\textstyle \frac{1}{2}}z^2\right) \end{align} der Differentialgleichung \begin{equation} @@ -132,7 +166,8 @@ ausgedrückt werden V(a,z) &= \frac{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2}} + a\right)}{\pi} \left[\sin\left(\pi a\right) D_{-a-1/2}(z) + D_{-a-1/2}(-x)\right]. \end{align} -TODO Plot +In den Abbildungen \ref{parzyl:fig:dnz} und \ref{parzyl:fig:Vnz} sind +die Funktionen $D_a(z)$ und $V(a,z)$ mit verschiedenen Werten für $a$ abgebildet. \begin{figure} \centering \includegraphics[scale=0.3]{papers/parzyl/img/D_plot.png} -- cgit v1.2.1 From 9d52cc84df44e8479cafdd7b0d7f264aeb0c8a10 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Fabian <@> Date: Wed, 17 Aug 2022 21:38:44 +0200 Subject: letzte Korrektur --- buch/papers/0f1/teil2.tex | 18 +++++++++--------- buch/papers/0f1/teil3.tex | 4 ++-- 2 files changed, 11 insertions(+), 11 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/0f1/teil2.tex b/buch/papers/0f1/teil2.tex index 64f8d83..fdcb0fc 100644 --- a/buch/papers/0f1/teil2.tex +++ b/buch/papers/0f1/teil2.tex @@ -41,13 +41,13 @@ a_0 + \cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{b_3}{a_3+\cdots}}}, in welchem $a_0, a_1,\dots,a_n$ und $b_1,b_2,\dots,b_n$ ganze Zahlen sind. \subsubsection{Rekursionsbeziehungen und Kettenbrüche} -Will man einen Kettenbruch für das Verhältnis $\frac{f_i(z)}{f_{i-1}(z)}$ finden, braucht man dazu eine Relation der analytischer Funktion $f_i(z)$. -Nimmt man die Gleichung \cite{0f1:wiki-fraction}: +Wenn es eine Relation analytischer Funktion $f_i(z)$ hat, dann gibt es einen Kettenbruch für das Verhältnis $\frac{f_i(z)}{f_{i-1}(z)}$ \cite{0f1:wiki-fraction}. +Nimmt man die Gleichung \begin{equation*} f_{i-1} - f_i = k_i z f_{i+1}, \end{equation*} wo $f_i$ analytische Funktionen sind und $i > 0$ ist, sowie $k_i$ konstant. -Ergibt sich folgender Zusammenhang: +Ergibt sich der Zusammenhang \begin{equation*} \cfrac{f_i}{f_{i-1}} = \cfrac{1}{1+k_iz\cfrac{f_{i+1}}{f_i}}. \end{equation*} @@ -55,7 +55,7 @@ Geht man einen Schritt weiter und nimmt für $g_i = \frac{f_i}{f_{i-1}}$ an, kom \begin{equation*} g_i = \cfrac{1}{1+k_izg_{i+1}}. \end{equation*} -Setzt man dies nun für $g_1$ in den Bruch ein, ergibt sich folgendes: +Setzt man dies nun für $g_1$ in den Bruch ein, ergibt sich \begin{equation*} g_1 = \cfrac{f_1}{f_0} = \cfrac{1}{1+k_izg_2} = \cfrac{1}{1+\cfrac{k_1z}{1+k_2zg_3}} = \cdots \end{equation*} @@ -76,19 +76,19 @@ kann durch Substitution bewiesen werden, dass \mathstrut_0F_1(;c-1;z) - \mathstrut_0F_1(;c;z) = \frac{z}{c(c-1)} \cdot \mathstrut_0F_1(;c+1;z) \end{equation*} eine Relation dazu ist. -Wenn man für $f_i$ und $k_i$ folgende Annahme trifft: +Wenn man für $f_i$ und $k_i$ die Annahme \begin{align*} f_i =& \mathstrut_0F_1(;c+i;z)\\ k_i =& \frac{1}{(c+i)(c+i-1)} \end{align*} -und in die Formel \eqref{0f1:math:rekursion:eq} einsetzt, erhält man: +trifft und in die Formel \eqref{0f1:math:rekursion:eq} einsetzt, erhält man: \begin{equation*} \cfrac{\mathstrut_0F_1(;c+1;z)}{\mathstrut_0F_1(;c;z)} = \cfrac{1}{1+\cfrac{\cfrac{z}{c(c+1)}}{1+\cfrac{\cfrac{z}{(c+1)(c+2)}}{1+\cfrac{\cfrac{z}{(c+2)(c+3)}}{\cdots}}}}. \end{equation*} \subsubsection{Algorithmus} Da mit obigen Formeln nur ein Verhältnis zwischen $ \frac{\mathstrut_0F_1(;c+1;z)}{\mathstrut_0F_1(;c;z)}$ berechnet wurde, braucht es weitere Relationen um $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ zu erhalten. -So ergeben ähnliche Relationen nach Wolfram Alpha \cite{0f1:wolfram-0f1} folgender Kettenbruch +So ergeben ähnliche Relationen nach Wolfram Alpha \cite{0f1:wolfram-0f1} den Kettenbruch \begin{equation} \label{0f1:math:kettenbruch:0f1:eq} \mathstrut_0F_1(;c;z) = 1 + \cfrac{\cfrac{z}{c}}{1+\cfrac{-\cfrac{z}{2(c+1)}}{1+\cfrac{z}{2(c+1)}+\cfrac{-\cfrac{z}{3(c+2)}}{1+\cfrac{z}{5(c+4)} + \cdots}}}, @@ -112,7 +112,7 @@ lässt sich zu \cfrac{A_k}{B_k} = \cfrac{b_{k+1}}{a_{k+1} + \cfrac{p}{q}} = \frac{b_{k+1} \cdot q}{a_{k+1} \cdot q + p} \end{align*} umformen. -Dies lässt sich auch durch die folgende Matrizenschreibweise +Dies lässt sich auch durch die Matrizenschreibweise \begin{equation*} \begin{pmatrix} A_k\\ @@ -137,7 +137,7 @@ Wendet man dies nun auf den Kettenbruch in der Form \begin{equation*} \frac{A_k}{B_k} = a_0 + \cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{\cdots}{\cdots+\cfrac{b_{k-1}}{a_{k-1} + \cfrac{b_k}{a_k}}}}} \end{equation*} -an, ergibt sich folgende Matrixdarstellungen: +an, ergibt sich die Matrixdarstellungen: \begin{align*} \begin{pmatrix} diff --git a/buch/papers/0f1/teil3.tex b/buch/papers/0f1/teil3.tex index 2afc34b..147668a 100644 --- a/buch/papers/0f1/teil3.tex +++ b/buch/papers/0f1/teil3.tex @@ -15,9 +15,9 @@ Ebenso kann festgestellt werden, dass je grösser der Wert $z$ in $\mathstrut_0F \label{0f1:subsection:konvergenz}} Es zeigt sich in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:airy:konvergenz}, dass nach drei Iterationen ($k = 3$) die Funktionen genaue Resultate im Bereich von $-2$ bis $2$ liefert. Ebenso kann festgestellt werden, dass der Kettenbruch schneller konvergiert und im positiven Bereich mit der Referenzfunktion $\operatorname{Ai}(x)$ übereinstimmt. Da die Rekursionsformel eine Abwandlung des Kettenbruches ist, verhalten sich die Funktionen in diesem Fall gleich. -Erst wenn mehrerer Iterationen gerechnet werden, ist wie Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} dargestellt, der Kettenbruch den anderen zwei Algorithmen bezüglich Konvergenz überlegen. Bei der Rekursionsformel muss beachtet werden, dass sie zwar erst nach 35 Approximationen gänzlich konvergiert, allerdings nach 27 Iterationen sich nicht mehr gross verändert. +Erst wenn mehrerer Iterationen gerechnet werden, ist wie in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} dargestellt, der Kettenbruch den anderen zwei Algorithmen bezüglich Konvergenz überlegen. Bei der Rekursionsformel muss beachtet werden, dass sie zwar erst nach 35 Approximationen gänzlich konvergiert, allerdings nach 27 Iterationen sich nicht mehr gross verändert. -Ist $z$ negativ wie in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ}, führt dies zu aufgrund des Vorzeichens zu alternierenden Termen. So steigt bei allen Algorithmen zuerst die Differenz zum erwarteten Endwert. Erst nach genügend Iterationen sind die Terme so klein, dass sie das Endresultat nicht mehr signifikant beeinflussen. Während die Potenzreihe zusammen mit dem Kettenbruch nach 34 Approximationen konvergiert, braucht die Rekursionsformel noch zwei Iterationen mehr. +Ist $z$ negativ, wie in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ}, führt dies aufgrund des Vorzeichens zu alternierenden Termen. So steigt bei allen Algorithmen zuerst die Differenz zum erwarteten Endwert. Erst nach genügend Iterationen sind die Terme so klein, dass sie das Endresultat nicht mehr signifikant beeinflussen. Während die Potenzreihe zusammen mit dem Kettenbruch nach 34 Approximationen konvergiert, braucht die Rekursionsformel noch zwei Iterationen mehr. \subsection{Stabilität -- cgit v1.2.1 From 8faafd84edbd5dc53a693513d970fe5ab67d8b5c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Nao Pross Date: Wed, 17 Aug 2022 23:20:35 +0200 Subject: Tim ist kein Zeichner --- buch/papers/kreismembran/Makefile | 4 +- buch/papers/kreismembran/images/TikzSaite.pdf | Bin 0 -> 17625 bytes buch/papers/kreismembran/images/TikzSaite.tex | 57 ++++++++++++++++++++++++++ buch/papers/kreismembran/teil0.tex | 3 +- 4 files changed, 61 insertions(+), 3 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/kreismembran/images/TikzSaite.pdf create mode 100644 buch/papers/kreismembran/images/TikzSaite.tex (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/kreismembran/Makefile b/buch/papers/kreismembran/Makefile index ce3c89f..a13f2cf 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/Makefile +++ b/buch/papers/kreismembran/Makefile @@ -4,6 +4,6 @@ # (c) 2020 Prof Dr Andreas Mueller # -images: - @echo "no images to be created in kreismembran" +images/TikzSaite.pdf: images/TikzSaite.tex + cd images && pdflatex TikzSaite.tex diff --git a/buch/papers/kreismembran/images/TikzSaite.pdf b/buch/papers/kreismembran/images/TikzSaite.pdf new file mode 100644 index 0000000..f95ceb9 Binary files /dev/null and b/buch/papers/kreismembran/images/TikzSaite.pdf differ diff --git a/buch/papers/kreismembran/images/TikzSaite.tex b/buch/papers/kreismembran/images/TikzSaite.tex new file mode 100644 index 0000000..bf3d8f6 --- /dev/null +++ b/buch/papers/kreismembran/images/TikzSaite.tex @@ -0,0 +1,57 @@ +% vim: ts=2 sw=2 et : +\documentclass[tikz, border=2mm]{standalone} + +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} + +\begin{document} + \begin{tikzpicture}[ + axis/.style = {very thick, -latex}, + axis tick/.style = { + draw, draw = black, fill = black, rectangle, + inner sep = 0pt, + minimum height = 2mm, + minimum width = 1pt, + }, + string/.style = { + ultra thick, draw = black, + }, + string end/.style = { + string, circle, fill = gray, + inner sep = 0pt, minimum size = 1mm, + }, + force/.style = { + very thick, draw = gray, -latex, + }, + ] + + % axes + \draw[axis] (0, 0) -- (8cm, 0) node[right] {$x$}; + \draw[axis] (0, 0) -- (0, 5cm) node[above] {$u(x, t)$}; + + % axes ticks + \node[axis tick, label = {-90:$x_0$}] at (2cm, 0) {}; + \node[axis tick, label = {-90:$x_0 + dx$}] at (6cm, 0) {}; + + % string + \coordinate (A) at (2cm, 2cm); + \coordinate (B) at (6cm, 4cm); + + \draw[string] (A) to[out = 40, in = 200] (B); + + \draw[force] (A) -- ++(220:15mm) node[gray, below right] {$T_1$}; + \draw[force] (B) -- ++(20:15mm) node[gray, above left] {$T_2$}; + + \draw[dashed, gray, thick] (A) -- ++(-15mm, 0); + \draw[gray, thick] (A) ++ (-7mm,0) arc (180:220:7mm) + node[midway, left] {$\alpha$}; + + \draw[dashed, gray, thick] (B) -- ++(15mm, 0); + \draw[gray, thick] (B) ++ (7mm,0) arc (0:20:7mm) + node[pos = 0, below] {$\beta$}; + + \node[string end, label={110:$P_1$}] at (A) {}; + \node[string end, label={110:$P_2$}] at (B) {}; + + \end{tikzpicture} +\end{document} diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil0.tex b/buch/papers/kreismembran/teil0.tex index 27c6f0f..e962aab 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil0.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil0.tex @@ -42,7 +42,8 @@ Die Verbindung zwischen Membran und Saite ist intuitiv ersichtlich, stellt man s \begin{figure} \begin{center} - \includegraphics[width=5cm,angle=-90]{papers/kreismembran/images/Saite.pdf} + % \includegraphics[width=5cm,angle=-90]{papers/kreismembran/images/Saite.pdf} + \includegraphics[]{papers/kreismembran/images/TikzSaite.pdf} \caption{Infinitesimales Stück einer Saite} \label{kreismembran:im:Saite} \end{center} -- cgit v1.2.1 From a8b82aafff82dbff739714d7009419a0015eebcf Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alain Date: Wed, 17 Aug 2022 23:41:00 +0200 Subject: =?UTF-8?q?n=C3=B6d=20ganz?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- buch/papers/parzyl/img/D_plot.png | Bin 712446 -> 704810 bytes buch/papers/parzyl/teil1.tex | 16 +++++++++------- buch/papers/parzyl/teil3.tex | 39 ++++++++++++++++++++++---------------- 3 files changed, 32 insertions(+), 23 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/parzyl/img/D_plot.png b/buch/papers/parzyl/img/D_plot.png index f76e35b..94b483b 100644 Binary files a/buch/papers/parzyl/img/D_plot.png and b/buch/papers/parzyl/img/D_plot.png differ diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index a4253b8..c5ece66 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -112,7 +112,7 @@ Mit $M_{k,m}(z)$ geschrieben resultiert D_n(z) = \frac{ \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{4}} z^{-\frac{1}{2}} }{ - \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} \right) - {\textstyle \frac{1}{2}} n) + \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} - {\textstyle \frac{1}{2}} n \right) } M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right) + @@ -127,11 +127,14 @@ In \cite{parzyl:abramowitz-stegun} sind zwei Lösungen $U(a, z)$ und $V(a,z)$ \begin{align} U(a,z) &= \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1 - - \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2 \\ + - \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2 + \label{parzyl:eq:Uaz} + \\ V(a,z) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left\{ \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1 + \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2 \right\} + \label{parzyl:eq:Vaz} \end{align} mit \begin{align} @@ -143,9 +146,8 @@ mit {}_{1} F_{1} \left({\textstyle \frac{1}{2}}a + {\textstyle \frac{1}{4}}, {\textstyle \frac{1}{2}} ; - {\textstyle \frac{1}{2}}z^2\right) - \\ - Y_2 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} + {\textstyle \frac{1}{2}}z^2\right)\\ + Y_2 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{3}{4} - {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)} {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} @@ -167,11 +169,11 @@ ausgedrückt werden \left[\sin\left(\pi a\right) D_{-a-1/2}(z) + D_{-a-1/2}(-x)\right]. \end{align} In den Abbildungen \ref{parzyl:fig:dnz} und \ref{parzyl:fig:Vnz} sind -die Funktionen $D_a(z)$ und $V(a,z)$ mit verschiedenen Werten für $a$ abgebildet. +die Funktionen $D_n(z)$ und $V(a,z)$ mit verschiedenen Werten für $a$ abgebildet. \begin{figure} \centering \includegraphics[scale=0.3]{papers/parzyl/img/D_plot.png} - \caption{$D_a(z)$ mit unterschiedlichen Werten für $a$.} + \caption{$D_n(z)$ mit unterschiedlichen Werten für $n$.} \label{parzyl:fig:dnz} \end{figure} \begin{figure} diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex index 972fd33..78950e1 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex @@ -9,41 +9,45 @@ \subsection{Potenzreihenentwicklung \label{parzyl:potenz}} -Die parabolischen Zylinderfunktionen, welche in Gleichung \ref{parzyl:eq:solution_dgl} gegeben sind, können auch als Potenzreihen geschrieben werden +%Die parabolischen Zylinderfunktionen, welche in Gleichung \ref{parzyl:eq:solution_dgl} gegeben sind, +%können auch als Potenzreihen geschrieben werden +Die parabolischen Zylinderfunktionen können auch als Potenzreihen geschrieben werden. +Im folgenden Abschnitt werden die Terme welche nur von $n$ oder $a$ abhängig sind vernachlässigt. +Die parabolischen Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, z)$ +und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, z)$, welche als Potenzreihe \begin{align} - w_1(k,z) + w_1(\alpha,z) &= e^{-z^2/4} \, {}_{1} F_{1} ( - {\textstyle \frac{1}{4}} - - k, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) + \alpha, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) = e^{-\frac{z^2}{4}} \sum^{\infty}_{n=0} - \frac{\left ( \frac{1}{4} - k \right )_{n}}{\left ( \frac{1}{2}\right )_{n}} + \frac{\left ( \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{1}{2}\right )_{n}} \frac{\left ( \frac{1}{2} z^2\right )^n}{n!} \\ &= e^{-\frac{z^2}{4}} \left ( 1 + - \left ( \frac{1}{2} - 2k \right )\frac{z^2}{2!} + \left ( 2\alpha \right )\frac{z^2}{2!} + - \left ( \frac{1}{2} - 2k \right )\left ( \frac{5}{2} - 2k \right )\frac{z^4}{4!} + \left ( 2\alpha \right )\left ( 2 + 2\alpha \right )\frac{z^4}{4!} + \dots \right ) \end{align} und \begin{align} - w_2(k,z) + w_2(\alpha,z) &= ze^{-z^2/4} \, {}_{1} F_{1} ( - {\textstyle \frac{3}{4}} - - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) + {\textstyle \frac{1}{2}} + + \alpha, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) = ze^{-\frac{z^2}{4}} \sum^{\infty}_{n=0} @@ -54,20 +58,23 @@ und \left ( z + - \left ( \frac{3}{2} - 2k \right )\frac{z^3}{3!} + \left ( 1 + 2\alpha \right )\frac{z^3}{3!} + - \left ( \frac{3}{2} - 2k \right )\left ( \frac{7}{2} - 2k \right )\frac{z^5}{5!} + \left ( 1 + 2\alpha \right )\left ( 3 + 2\alpha \right )\frac{z^5}{5!} + \dots \right ). \end{align} -Bei den Potenzreihen sieht man gut, dass die Ordnung des Polynoms im generellen ins unendliche geht. Es gibt allerdings die Möglichkeit für bestimmte k das die Terme in der Klammer gleich null werden und das Polynom somit eine endliche Ordnung $n$ hat. Dies geschieht bei $w_1(k,z)$ falls +sind. +Bei den Potenzreihen sieht man gut, dass die Ordnung des Polynoms im generellen ins unendliche geht. +Es gibt allerdings die Möglichkeit für bestimmte $\alpha$ das die Terme in der Klammer gleich null werden +und das Polynom somit eine endliche Ordnung $n$ hat. Dies geschieht bei $w_1(\alpha,z)$ falls \begin{equation} - k = \frac{1}{4} + n \qquad n \in \mathbb{N}_0 + \alpha = -n \qquad n \in \mathbb{N}_0 \end{equation} -und bei $w_2(k,z)$ falls +und bei $w_2(\alpha,z)$ falls \begin{equation} - k = \frac{3}{4} + n \qquad n \in \mathbb{N}_0. + \alpha = -\frac{1}{2} - n \qquad n \in \mathbb{N}_0. \end{equation} \subsection{Ableitung} -- cgit v1.2.1 From a5bf03e77ac18012b8608ba6b3c46c301d66528c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alain Date: Thu, 18 Aug 2022 09:47:52 +0200 Subject: ableitung --- buch/papers/parzyl/teil3.tex | 21 ++++++++++++++++----- 1 file changed, 16 insertions(+), 5 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex index 78950e1..b68229f 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex @@ -78,13 +78,24 @@ und bei $w_2(\alpha,z)$ falls \end{equation} \subsection{Ableitung} -Es kann gezeigt werden, dass die Ableitungen $\frac{\partial w_1(z,k)}{\partial z}$ und $\frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z}$ einen Zusammenhang zwischen $w_1(z,k)$ und $w_2(z,k)$ zeigen. Die Ableitung von $w_1(z,k)$ nach $z$ kann über die Produktregel berechnet werden und ist gegeben als +Die Ableitungen $\frac{\partial w_1(z,k)}{\partial z}$ und $\frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z}$ +können mit den Eigenschaften der hypergeometrischen Funktionen in Abschnitt +\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:stammableitung} berechnet werden. +Zusammen mit der Produktregel ergeben sich die Ableitungen \begin{equation} - \frac{\partial w_1(z,k)}{\partial z} = \left (\frac{1}{2} - 2k \right ) w_2(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_1(z,k), + \frac{\partial w_1(\alpha,z)}{\partial z} = 2\alpha w_2(\alpha + \frac{1}{2}, z) - \frac{1}{2} z w_1(\alpha, z), \end{equation} -und die Ableitung von $w_2(z,k)$ als +und +%\begin{equation} +% \frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z} = w_1(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_2(z,k). +%\end{equation} \begin{equation} - \frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z} = w_1(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_2(z,k). + \frac{\partial w_2(\alpha,z)}{\partial z} = e^{-z^2/4} \left( + z^{-1} w_2(\alpha, z) - \frac{z}{2} w_2(\alpha, z) + 2 z^2 \left(\frac{\alpha + 1}{3}\right) + {}_{1} F_{1} ( + {\textstyle \frac{3}{2}} + + \alpha, {\textstyle \frac{5}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) + \right) \end{equation} -Über diese Eigenschaft können einfach weitere Ableitungen berechnet werden. +Nach dem selben Vorgehen können weitere Ableitungen berechnet werden. -- cgit v1.2.1 From 7cdb2904f851c326a4fd72b58491f3b8199620df Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alain Date: Thu, 18 Aug 2022 11:46:08 +0200 Subject: verbesserungen --- buch/papers/parzyl/img/D_plot.png | Bin 704810 -> 746370 bytes buch/papers/parzyl/img/v_plot.png | Bin 637451 -> 648430 bytes buch/papers/parzyl/teil0.tex | 32 +++++++++-------- buch/papers/parzyl/teil1.tex | 74 +++++++++++++++++++------------------- buch/papers/parzyl/teil2.tex | 29 +++++++-------- buch/papers/parzyl/teil3.tex | 61 ++++++++++++++++--------------- 6 files changed, 102 insertions(+), 94 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/parzyl/img/D_plot.png b/buch/papers/parzyl/img/D_plot.png index 94b483b..6c61eea 100644 Binary files a/buch/papers/parzyl/img/D_plot.png and b/buch/papers/parzyl/img/D_plot.png differ diff --git a/buch/papers/parzyl/img/v_plot.png b/buch/papers/parzyl/img/v_plot.png index b8c803e..7cd5455 100644 Binary files a/buch/papers/parzyl/img/v_plot.png and b/buch/papers/parzyl/img/v_plot.png differ diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex index f24a5c1..8be936d 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex @@ -9,15 +9,18 @@ %Mit ihr lässt sich zum Beispiel das elektrische Feld in einem ladungsfreien Raum bestimmen. %In diesem Kapitel wird die Lösung der Laplace-Gleichung im %parabolischen Zylinderkoordinatensystem genauer untersucht. -Die Helmholtz-Gleichung ist eine wichtige Gleichung in der Physik. Mit ihr lässt sich zum Beispiel das Verhalten von elektromagnetischen Wellen beschreiben. -In diesem Kapitel wird die Lösung der Helmholtz-Gleichung im parabolischen Zylinderkoordinatensystem, die parabolischen Zylinderfunktionen, genauer untersucht. +Die Helmholtz-Gleichung ist eine wichtige Gleichung in der Physik. +Mit ihr lässt sich zum Beispiel das Verhalten von elektromagnetischen Wellen beschreiben. +In diesem Kapitel werden die Lösungen der Helmholtz-Gleichung im parabolischen Zylinderkoordinatensystem, +die parabolischen Zylinderfunktionen, genauer untersucht. \subsection{Helmholtz-Gleichung} Die partielle Differentialgleichung \begin{equation} - \nabla f = \lambda f + \Delta f = \lambda f \end{equation} -ist als Helmholtz-Gleichung bekannt und beschreibt das Eigenwert Problem für den Laplace-Operator. Sie ist eine der Gleichungen welche auftritt wenn die Wellengleichung +ist als Helmholtz-Gleichung bekannt und beschreibt das Eigenwert Problem für den Laplace-Operator. +Sie ist eine der Gleichungen welche auftritt wenn die Wellengleichung \begin{equation} \left ( \nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right ) u(\textbf{r},t) = @@ -27,7 +30,8 @@ mit Hilfe von Separation \begin{equation} u(\textbf{r},t) = A(\textbf{r})T(t) \end{equation} -in zwei Differentialgleichungen aufgeteilt wird. Die Helmholtz-Gleichung ist der Teil, welcher Zeit unabhängig ist +in zwei Differentialgleichungen aufgeteilt wird. Die Helmholtz-Gleichung ist der Teil, +welcher zeitunabhängig ist \begin{equation} \nabla^2 A(\textbf{r}) = \lambda A(\textbf{r}). \end{equation} @@ -65,7 +69,8 @@ in zwei Differentialgleichungen aufgeteilt wird. Die Helmholtz-Gleichung ist der %An ladungsfreien Stellen ist der rechte Teil der Gleichung $0$. \subsection{Parabolische Zylinderkoordinaten \label{parzyl:subsection:finibus}} -Im parabolischen Zylinderkoordinatensystem \cite{parzyl:coordinates} bilden parabolische Zylinder die Koordinatenflächen. +Das parabolischen Zylinderkoordinatensystem \cite{parzyl:coordinates} ist ein krummliniges Koordinatensystem, +bei dem parabolische Zylinder die Koordinatenflächen bilden. Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt mit \begin{align} x & = \sigma \tau \\ @@ -97,15 +102,15 @@ Ebene gezogen werden. Um in diesem Koordinatensystem integrieren und differenzieren zu können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$. -Wird eine infinitessimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten betrachtet -kann dies im kartesischen Koordinatensystem mit +Eine infinitessimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten +kann im kartesischen Koordinatensystem mit \begin{equation} \left(ds\right)^2 = \left(dx\right)^2 + \left(dy\right)^2 + \left(dz\right)^2 \label{parzyl:eq:ds} \end{equation} ausgedrückt werden. -Die Skalierungsfaktoren werden so bestimmt, dass +Die Skalierungsfaktoren werden in einem orthogonalen Koordinatensystem so bestimmt, dass \begin{equation} \left(ds\right)^2 = \left(h_{\sigma}d\sigma\right)^2 + \left(h_{\tau}d\tau\right)^2 + \left(h_z dz\right)^2 @@ -145,16 +150,16 @@ Daraus ergeben sich die Skalierungsfaktoren \end{align} \subsection{Differentialgleichung} Möchte man eine Differentialgleichung im parabolischen -Zylinderkoordinatensystem aufstellen müssen die Skalierungsfaktoren +Zylinderkoordinatensystem aufstellen, müssen die Skalierungsfaktoren mitgerechnet werden. -Der Laplace Operator ist dadurch gegeben als +Der Laplace Operator wird dadurch zu \begin{equation} \Delta f = \frac{1}{\sigma^2 + \tau^2} \left( \frac{\partial^2 f}{\partial \sigma ^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial \tau ^2} \right) - + \frac{\partial^2 f}{\partial z}. + + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}. \label{parzyl:eq:laplaceInParZylCor} \end{equation} \subsubsection{Lösung der Helmholtz-Gleichung im parabolischen Zylinderfunktion} @@ -201,8 +206,7 @@ Diese partielle Differentialgleichung kann mit Hilfe von Separation gelöst werd \begin{equation} f(\sigma,\tau,z) = g(\sigma)h(\tau)i(z) \end{equation} -gesetzt. -Was dann schlussendlich zu den Differentialgleichungen +gesetzt, was dann schlussendlich zu den Differentialgleichungen \begin{equation}\label{parzyl:sep_dgl_1} g''(\sigma) - diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index c5ece66..13d8109 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -27,50 +27,50 @@ mit Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst. \begin{definition} Die Funktionen \begin{equation*} - M_{k,m}(z) = - e^{-z/2} z^{m+1/2} \, + M_{k,m}(x) = + e^{-x/2} x^{m+1/2} \, {}_{1} F_{1} ( {\textstyle \frac{1}{2}} - + m - k, 1 + 2m; z) + + m - k, 1 + 2m; x) \qquad x \in \mathbb{C} \end{equation*} und \begin{equation*} - W_{k,m}(z) = \frac{ + W_{k,m}(x) = \frac{ \Gamma \left( -2m\right) }{ \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} - m - k\right) } - M_{-k, m} \left(z\right) + M_{-k, m} \left(x\right) + \frac{ \Gamma \left( 2m\right) }{ \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} + m - k\right) } - M_{k, -m} \left(z\right) + M_{k, -m} \left(x\right) \end{equation*} - gehören zu den Whittaker Funktionen und sind die Lösungen + gehören zu den Whittaker Funktionen und sind Lösungen von der Whittaker Differentialgleichung \begin{equation} - \frac{d^2W}{d z^2} + - \left(-\frac{1}{4} + \frac{k}{z} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{z^2} \right) W = 0. + \frac{d^2W}{d x^2} + + \biggl( -\frac{1}{4} + \frac{k}{x} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{x^2} \biggr) W = 0. \label{parzyl:eq:whitDiffEq} \end{equation} \end{definition} Es wird nun die Differentialgleichung bestimmt, welche \begin{equation} - w = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right) + w = x^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} x^2\right) \end{equation} als Lösung hat. Dafür wird $w$ in \eqref{parzyl:eq:whitDiffEq} eingesetzt, woraus \begin{equation} - \frac{d^2 w}{dz^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 - 2k\right) w = 0 + \frac{d^2 w}{dx^2} - \left(\frac{1}{4} x^2 - 2k\right) w = 0 \label{parzyl:eq:weberDiffEq} \end{equation} resultiert. Diese Differentialgleichung ist dieselbe wie -\eqref{parzyl:sep_dgl_2} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2}, welche somit +\eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2}, welche somit $w$ als Lösung haben. %Da es sich um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung handelt, hat sie nicht nur %eine sondern zwei Lösungen. @@ -96,41 +96,41 @@ $w$ als Lösung haben. %\end{align} In der Literatur gibt es verschiedene Standartlösungen für -\eqref{parzyl:eq:weberDiffEq} präsentiert, wobei die Differentialgleichung jeweils +\eqref{parzyl:eq:weberDiffEq}, wobei die Differentialgleichung jeweils unterschiedlich geschrieben wird. Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} die Lösung \begin{equation} - D_n(z) = 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} z^{-\frac{1}{2}} W_{n/2 + 1/4, -1/4}\left(\frac{1}{2}z^2\right) + D_n(x) = 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} x^{-\frac{1}{2}} W_{n/2 + 1/4, -1/4}\left(\frac{1}{2}x^2\right), \end{equation} welche die Differentialgleichung \begin{equation} - \frac{d^2D_n(z)}{dz^2} + \left(n + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} z^2\right)D_n(z) = 0 + \frac{d^2D_n(x)}{dx^2} + \left(n + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} x^2\right)D_n(x) = 0 \end{equation} löst. -Mit $M_{k,m}(z)$ geschrieben resultiert +Mit $M_{k,m}(x)$ geschrieben resultiert \begin{equation} - D_n(z) = \frac{ - \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{4}} z^{-\frac{1}{2}} + D_n(x) = \frac{ + \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{4}} x^{-\frac{1}{2}} }{ \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} - {\textstyle \frac{1}{2}} n \right) } - M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right) + M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}x^2\right) + \frac{ - \Gamma\left(-{\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{4}} z^{-\frac{1}{2}} + \Gamma\left(-{\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{4}} x^{-\frac{1}{2}} }{ \Gamma\left(- {\textstyle \frac{1}{2}} n\right) } - M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right). + M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}x^2\right). \end{equation} -In \cite{parzyl:abramowitz-stegun} sind zwei Lösungen $U(a, z)$ und $V(a,z)$ +In \cite{parzyl:abramowitz-stegun} sind zwei Lösungen $U(a, x)$ und $V(a,x)$ \begin{align} - U(a,z) &= + U(a,x) &= \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1 - \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2 \label{parzyl:eq:Uaz} \\ - V(a,z) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left\{ + V(a,x) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left\{ \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1 + \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2 \right\} @@ -142,43 +142,43 @@ mit \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{1}{4} - {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)} {2^{\frac{1}{2} a + \frac{1}{4}}} - e^{-z^2/4} + e^{-x^2/4} {}_{1} F_{1} \left({\textstyle \frac{1}{2}}a + {\textstyle \frac{1}{4}}, {\textstyle \frac{1}{2}} ; - {\textstyle \frac{1}{2}}z^2\right)\\ + {\textstyle \frac{1}{2}}x^2\right)\\ Y_2 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{3}{4} - {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)} {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} - z e^{-z^2/4} + x e^{-x^2/4} {}_{1} F_{1} \left({\textstyle \frac{1}{2}}a + {\textstyle \frac{3}{4}}, {\textstyle \frac{3}{2}} ; - {\textstyle \frac{1}{2}}z^2\right) + {\textstyle \frac{1}{2}}x^2\right) \end{align} der Differentialgleichung \begin{equation} - \frac{d^2 y}{d z^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 + a\right) y = 0 + \frac{d^2 y}{d x^2} - \left(\frac{1}{4} x^2 + a\right) y = 0 \end{equation} beschrieben. Die Lösungen $U(a,z)$ und $V(a, z)$ können auch mit $D_n(z)$ ausgedrückt werden \begin{align} - U(a,z) &= D_{-a-1/2}(z) \\ - V(a,z) &= \frac{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2}} + a\right)}{\pi} - \left[\sin\left(\pi a\right) D_{-a-1/2}(z) + D_{-a-1/2}(-x)\right]. + U(a,x) &= D_{-a-1/2}(x) \\ + V(a,x) &= \frac{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2}} + a\right)}{\pi} + \left[\sin\left(\pi a\right) D_{-a-1/2}(x) + D_{-a-1/2}(-x)\right]. \end{align} In den Abbildungen \ref{parzyl:fig:dnz} und \ref{parzyl:fig:Vnz} sind -die Funktionen $D_n(z)$ und $V(a,z)$ mit verschiedenen Werten für $a$ abgebildet. +die Funktionen $D_n(x)$ und $V(a,x)$ mit verschiedenen Werten für $a$ abgebildet. \begin{figure} \centering - \includegraphics[scale=0.3]{papers/parzyl/img/D_plot.png} - \caption{$D_n(z)$ mit unterschiedlichen Werten für $n$.} + \includegraphics[scale=0.35]{papers/parzyl/img/D_plot.png} + \caption{$D_n(x)$ mit unterschiedlichen Werten für $n$.} \label{parzyl:fig:dnz} \end{figure} \begin{figure} \centering - \includegraphics[scale=0.3]{papers/parzyl/img/v_plot.png} - \caption{$V(a,z)$ mit unterschiedlichen Werten für $a$.} + \includegraphics[scale=0.35]{papers/parzyl/img/v_plot.png} + \caption{$V(a,x)$ mit unterschiedlichen Werten für $a$.} \label{parzyl:fig:Vnz} \end{figure} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex index 4af6860..573432a 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex @@ -19,7 +19,7 @@ Jede komplexe Funktion $F(z)$ kann geschrieben werden als \begin{equation} F(s) = U(x,y) + iV(x,y) \qquad s \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}. \end{equation} -Dabei muss gelten, falls die Funktion differenzierbar ist, dass +Dabei müssen, falls die Funktion differenzierbar ist, die Cauchy-Riemann Differentialgleichungen \begin{equation} \frac{\partial U(x,y)}{\partial x} = @@ -27,8 +27,9 @@ Dabei muss gelten, falls die Funktion differenzierbar ist, dass \qquad \frac{\partial V(x,y)}{\partial x} = - -\frac{\partial U(x,y)}{\partial y}. + -\frac{\partial U(x,y)}{\partial y} \end{equation} +gelten. Aus dieser Bedingung folgt \begin{equation} \label{parzyl_e_feld_zweite_ab} @@ -53,7 +54,7 @@ Der Zusammenhang zum elektrischen Feld ist jetzt, dass das Potential an einem qu \begin{equation} \nabla^2\phi(x,y) = 0. \end{equation} -Dies ist eine Bedingung welche differenzierbare Funktionen, wie in Gleichung \ref{parzyl_e_feld_zweite_ab} gezeigt wird, bereits besitzen. +Dies ist eine Bedingung welche differenzierbare Funktionen, wie in Gleichung \eqref{parzyl_e_feld_zweite_ab} gezeigt wird, bereits besitzen. Nun kann zum Beispiel $U(x,y)$ als das Potential angeschaut werden \begin{equation} \phi(x,y) = U(x,y). @@ -62,7 +63,8 @@ Orthogonal zum Potential ist das elektrische Feld \begin{equation} E(x,y) = V(x,y). \end{equation} -Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen muss nur noch eine geeignete komplexe Funktion $F(s)$ gefunden werden, +Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen muss nur noch eine geeignete +komplexe Funktion $F(s)$ gefunden werden, welche eine semi-infinite Platte beschreiben kann. Die gesuchte Funktion in diesem Fall ist \begin{equation} @@ -81,23 +83,22 @@ Dies kann umgeformt werden zu i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{V(x,y)} . \end{equation} -Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden, indem man die Funktion welche das Potential beschreibt gleich eine Konstante setzt, +Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden, +indem man die Funktion, welche das Potential beschreibt, gleich eine Konstante setzt, \begin{equation} - \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}, + \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. \end{equation} -und die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als +Die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als \begin{equation} \tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}} \end{equation} -beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun wie man vom kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt. Werden diese Formeln nun nach x und y aufgelöst so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann +beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom +kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt. +Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst \begin{equation} x = \sigma \tau, \end{equation} \begin{equation} - y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ) + y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ), \end{equation} - - - - - +so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann. \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex index b68229f..166eebf 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex @@ -13,88 +13,91 @@ %können auch als Potenzreihen geschrieben werden Die parabolischen Zylinderfunktionen können auch als Potenzreihen geschrieben werden. Im folgenden Abschnitt werden die Terme welche nur von $n$ oder $a$ abhängig sind vernachlässigt. -Die parabolischen Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, z)$ -und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, z)$, welche als Potenzreihe +Die parabolischen Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, x)$ +und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihe \begin{align} - w_1(\alpha,z) + w_1(\alpha,x) &= - e^{-z^2/4} \, + e^{-x^2/4} \, {}_{1} F_{1} ( - \alpha, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) + \alpha, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) = - e^{-\frac{z^2}{4}} + e^{-\frac{x^2}{4}} \sum^{\infty}_{n=0} \frac{\left ( \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{1}{2}\right )_{n}} - \frac{\left ( \frac{1}{2} z^2\right )^n}{n!} \\ + \frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\ &= - e^{-\frac{z^2}{4}} + e^{-\frac{x^2}{4}} \left ( 1 + - \left ( 2\alpha \right )\frac{z^2}{2!} + \left ( 2\alpha \right )\frac{x^2}{2!} + - \left ( 2\alpha \right )\left ( 2 + 2\alpha \right )\frac{z^4}{4!} + \left ( 2\alpha \right )\left ( 2 + 2\alpha \right )\frac{x^4}{4!} + \dots \right ) \end{align} und \begin{align} - w_2(\alpha,z) + w_2(\alpha,x) &= - ze^{-z^2/4} \, + xe^{-x^2/4} \, {}_{1} F_{1} ( {\textstyle \frac{1}{2}} - + \alpha, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) + + \alpha, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) = - ze^{-\frac{z^2}{4}} + xe^{-\frac{x^2}{4}} \sum^{\infty}_{n=0} \frac{\left ( \frac{3}{4} - k \right )_{n}}{\left ( \frac{3}{2}\right )_{n}} - \frac{\left ( \frac{1}{2} z^2\right )^n}{n!} \\ + \frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\ &= - e^{-\frac{z^2}{4}} + e^{-\frac{x^2}{4}} \left ( - z + x + - \left ( 1 + 2\alpha \right )\frac{z^3}{3!} + \left ( 1 + 2\alpha \right )\frac{x^3}{3!} + - \left ( 1 + 2\alpha \right )\left ( 3 + 2\alpha \right )\frac{z^5}{5!} + \left ( 1 + 2\alpha \right )\left ( 3 + 2\alpha \right )\frac{x^5}{5!} + \dots - \right ). + \right ) \end{align} sind. -Bei den Potenzreihen sieht man gut, dass die Ordnung des Polynoms im generellen ins unendliche geht. +Die Potenzreihen sind in der regel unendliche Reihen. Es gibt allerdings die Möglichkeit für bestimmte $\alpha$ das die Terme in der Klammer gleich null werden -und das Polynom somit eine endliche Ordnung $n$ hat. Dies geschieht bei $w_1(\alpha,z)$ falls +und die Reihe somit eine endliche Anzahl $n$ Summanden hat. +Dies geschieht bei $w_1(\alpha,x)$ falls \begin{equation} \alpha = -n \qquad n \in \mathbb{N}_0 \end{equation} -und bei $w_2(\alpha,z)$ falls +und bei $w_2(\alpha,x)$ falls \begin{equation} \alpha = -\frac{1}{2} - n \qquad n \in \mathbb{N}_0. \end{equation} - +Der Wert des von $\alpha$ ist abhängig, ob man $D_n(x)$ oder $U(a,x)$ / $V(a,x)$ verwendet. +Bei $D_n(x)$ gilt $\alpha = -{\textstyle \frac{1}{2}} n$ und bei $U(a,z)$ oder $V(a,x)$ gilt +$\alpha = {\textstyle \frac{1}{2}} a + {\textstyle \frac{1}{4}}$. \subsection{Ableitung} -Die Ableitungen $\frac{\partial w_1(z,k)}{\partial z}$ und $\frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z}$ +Die Ableitungen $\frac{\partial w_1(\alpha, x)}{\partial x}$ und $\frac{\partial w_2(\alpha, x)}{\partial x}$ können mit den Eigenschaften der hypergeometrischen Funktionen in Abschnitt \ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:stammableitung} berechnet werden. Zusammen mit der Produktregel ergeben sich die Ableitungen \begin{equation} - \frac{\partial w_1(\alpha,z)}{\partial z} = 2\alpha w_2(\alpha + \frac{1}{2}, z) - \frac{1}{2} z w_1(\alpha, z), + \frac{\partial w_1(\alpha,x)}{\partial x} = 2\alpha w_2(\alpha + \frac{1}{2}, x) - \frac{1}{2} x w_1(\alpha, x), \end{equation} und %\begin{equation} % \frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z} = w_1(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_2(z,k). %\end{equation} \begin{equation} - \frac{\partial w_2(\alpha,z)}{\partial z} = e^{-z^2/4} \left( - z^{-1} w_2(\alpha, z) - \frac{z}{2} w_2(\alpha, z) + 2 z^2 \left(\frac{\alpha + 1}{3}\right) + \frac{\partial w_2(\alpha,x)}{\partial x} = e^{-x^2/4} \left( + x^{-1} w_2(\alpha, x) - \frac{x}{2} w_2(\alpha, x) + 2 x^2 \left(\frac{\alpha + 1}{3}\right) {}_{1} F_{1} ( {\textstyle \frac{3}{2}} - + \alpha, {\textstyle \frac{5}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) + + \alpha, {\textstyle \frac{5}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) \right) \end{equation} Nach dem selben Vorgehen können weitere Ableitungen berechnet werden. -- cgit v1.2.1