From ce72c8b27b09ecbf98a454f3b37019aaa948a57e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Andrea Mozzini Vellen Date: Mon, 2 May 2022 16:02:40 +0200 Subject: Intro chapters --- buch/papers/kreismembran/main.tex | 23 ++---- buch/papers/kreismembran/teil0.tex | 16 +---- buch/papers/kreismembran/teil1.tex | 142 +++++++++++++++++++++++++------------ buch/papers/kreismembran/teil2.tex | 79 ++++++++++++--------- 4 files changed, 148 insertions(+), 112 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/kreismembran/main.tex b/buch/papers/kreismembran/main.tex index 67b436c..eafec18 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/main.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/main.tex @@ -3,28 +3,19 @@ % % (c) 2020 Hochschule Rapperswil % -\chapter{Thema\label{chapter:kreismembran}} -\lhead{Thema} +\chapter{Schwingungen einer kreisförmligen Membran\label{chapter:kreismembran}} +\lhead{Schwingungen einer kreisförmligen Membran} \begin{refsection} -\chapterauthor{Hans Muster} - -Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes +\chapterauthor{Andrea Mozzini Vellen und Tim Tönz} \begin{itemize} \item -Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt. -Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet. +Tim ist ein snitch \item -Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende -Optionen werden gelöscht. -Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen. +ich dachte wir sind gute Freunden \item -Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. -Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen -in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt -anzuwenden. +du schuldest mir ein bier \item -Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren -Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern. +auch ein gin tonic \end{itemize} \input{papers/kreismembran/teil0.tex} diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil0.tex b/buch/papers/kreismembran/teil0.tex index e4b1711..1552259 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil0.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil0.tex @@ -3,20 +3,8 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Teil 0\label{kreismembran:section:teil0}} -\rhead{Teil 0} -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua \cite{kreismembran:bibtex}. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. -Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum -dolor sit amet. +\section{Einleitung\label{kreismembran:section:teil0}} +\rhead{Einleitung} -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita -kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit -amet. diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil1.tex b/buch/papers/kreismembran/teil1.tex index b715075..29a47a6 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil1.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil1.tex @@ -2,54 +2,102 @@ % teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 1 -\label{kreismembran:section:teil1}} -\rhead{Problemstellung} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. -Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit -aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione -voluptatem sequi nesciunt + +\section{Die Hankel Transformation \label{kreismembran:section:teil1}} +\rhead{Die Hankel Transformation} + +Hermann Hankel (1839-1873) war ein deutscher Mathematiker, der für seinen Beitrag zur mathematischen Analyse und insbesondere für seine namensgebende Transformation bekannt ist. +Diese Transformation tritt bei der Untersuchung von funktionen auf, die nur von der Enternung des Ursprungs abhängen. +Er studierte auch funktionen, jetzt Hankel- oder Bessel- Funktionen genannt, der dritten Art. +Die Hankel Transformation mit Bessel Funktionen al Kern taucht natürlich bei achsensymmetrischen Problemen auf, die in Zylindrischen Polarkoordinaten formuliert sind. +In diesem Kapitel werden die Theorie der Transformation und einige Eigenschaften der Grundoperationen erläutert. + +Wir führen die Definition der Hankel Transformation aus der zweidimensionalen Fourier Transformation und ihrer Umkehrung ein, die durch: +\begin{align} + \mathscr{F}\{f(x,y)\} & = F(k,l)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i( \bm{\kappa}\cdot \mathbf{r})}f(x,y) dx dy,\label{equation:fourier_transform}\\ + \mathscr{F}^{-1}\{F(x,y)\} & = f(x,y)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i(\bm{\kappa}\cdot \mathbf{r}))}F(k,l) dx dy \label{equation:inv_fourier_transform} +\end{align} +wo $\mathbf{r}=(x,y)$ und $\bm{\kappa}=(k,l)$. Wie bereits erwähnt, sind Polarkoordinaten für diese Art von Problemen am besten geeignet, also mit, $(x,y)=r(\cos\theta,\sin\theta)$ und $(k,l)=\kappa(\cos\phi,\sin\phi)$, findet man $\bm{\kappa}\cdot\mathbf{r}=\kappa r(\cos(\theta-\phi))$ und danach: +\begin{align} + F(k,\phi)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}r dr \int_{0}^{2\pi}e^{-ikr\cos(\theta-\phi)}f(r,\theta) d\phi. + \label{equation:F_ohne_variable_wechsel} +\end{align} +Dann wird angenommen dass, $f(r,\theta)=e^{in\theta}f(r)$, was keine strenge Einschränkung ist, und es wird eine Änderung der Variabeln vorgenommen $\theta-\phi=\alpha-\frac{\pi}{2}$, um \ref{equation:F_ohne_variable_wechsel} zu reduzieren: +\begin{align} + F(k,\phi)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}rf(r) dr \int_{\phi_{0}}^{2\pi+\phi_{0}}e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})+i(n\alpha-kr\sin\alpha)} d\alpha, + \label{equation:F_ohne_bessel} +\end{align} +wo $\phi_{0}=(\frac{\pi}{2}-\phi)$. + +Unter Verwendung der Integral Darstellung der Besselfunktion vom Ordnung n +\begin{align} + J_n(\kappa r)=\frac{1}{2\pi}\int_{\phi_{0}}^{2\pi + \phi_{0}}e^{i(n\alpha-\kappa r \sin \alpha)} d\alpha + \label{equation:bessel_n_ordnung} +\end{align} +\eqref{equation:F_ohne_bessel} wird sie zu: +\begin{align} + F(k,\phi)&=e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})}\int_{0}^{\infty}rJ_n(\kappa r) f(r) dr \label{equation:F_mit_bessel_step_1} \\ + &=e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})}\tilde{f}_n(\kappa), + \label{equation:F_mit_bessel_step_2} +\end{align} +wo $\tilde{f}_n(\kappa)$ ist die \textit{Hankel Transformation} von $f(r)$ und ist formell definiert durch: +\begin{align} + \mathscr{H}_n\{f(r)\}=\tilde{f}_n(\kappa)=\int_{0}^{\infty}rJ_n(\kappa r) f(r) dr. + \label{equation:hankel} +\end{align} + +Ähnlich verhält es sich mit der inversen Fourier Transformation in Form von polaren Koordinaten unter der Annahme $f(r,\theta)=e^{in\theta}f(r)$ mit \ref{equation:F_mit_bessel_step_2}, wird die inverse Fourier Transformation \ref{equation:inv_fourier_transform}: + +\begin{align*} + e^{in\theta}f(r)&=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\kappa d\kappa \int_{0}^{2\pi}e^{i\kappa r \cos (\theta - \phi)}F(\kappa,\phi) d\phi\\ + &= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\kappa \tilde{f}_n(\kappa) d\kappa \int_{0}^{2\pi}e^{in(\phi - \frac{\pi}{2})- i\kappa r \cos (\theta - \phi)} d\phi, +\end{align*} +was durch den Wechsel der Variablen $\theta-\phi=-(\alpha+\frac{\pi}{2})$ und $\theta_0=-(\theta+\frac{\pi}{2})$, + +\begin{align} + &= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\kappa \tilde{f}_n(\kappa) d\kappa \int_{\theta_0}^{2\pi+\theta_0}e^{in(\theta + \alpha - i\kappa r \sin\alpha)} d\alpha \nonumber \\ + &= e^{in\theta}\int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) \tilde{f}_n(\kappa) d\kappa,\quad \text{von \eqref{equation:bessel_n_ordnung}} +\end{align} + +Also, die inverse \textit{Hankel Transformation} ist so definiert: +\begin{align} + \mathscr{H}^{-1}_n\{\tilde{f}_n(\kappa)\}=f(r)=\int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) \tilde{f}_n(\kappa) d\kappa. + \label{equation:inv_hankel} +\end{align} + +Anstelle von $\tilde{f}_n(\kappa)$, wird häufig für die Hankel Transformation verwendet, indem die Ordnung angegeben wird. +\eqref{equation:hankel} und \eqref{equation:inv_hankel} Integralen existieren für eine grosse Klasse von Funktionen, die normalerweise in physikalischen Anwendungen benötigt werden. +Alternativ kann auch die berühmte Hankel Transformationsformel verwendet werden, + +\begin{align} + f(r) = \int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) d\kappa \int_{0}^{\infty} p J_n(\kappa p)f(p) dp, + \label{equation:hankel_integral_formula} +\end{align} +um die Hankel Transformation \eqref{equation:hankel} und ihre Inverse \eqref{equation:inv_hankel} zu definieren. +Insbesondere die Hankel Transformation der nullten Ordnung ($n=0$) und der ersten Ordnung ($n=1$) sind häufig nützlich, um Lösungen für Probleme mit der Laplace Gleichung in einer achsensymmetrischen zylindrischen Geometrie zu finden. + +\subsection{Operative Eigenschaften der Hankel Transformation\label{sub:op_properties_hankel}} +In diesem Kapitel werden die operativen Eigenschaften der Hankel Transformation aufgeführt. Der Beweis für ihre Gültigkeit wird jedoch nicht analysiert. + +\subsubsection{Skalierung \label{subsub:skalierung}} +Wenn $\mathscr{H}_n\{f(r)\}=\tilde{f}_n(\kappa)$, dann: + +\begin{equation} + \mathscr{H}_n\{f(ar)\}=\frac{1}{a^{2}}\tilde{f}_n \left(\frac{\kappa}{a}\right), \quad a>0. +\end{equation} + +\subsubsection{Persevalsche Relation \label{subsub:perseval}} +Wenn $\tilde{f}(\kappa)=\mathscr{H}_n\{f(r)\}$ und $\tilde{g}(\kappa)=\mathscr{H}_n\{g(r)\}$, dann: + \begin{equation} -\int_a^b x^2\, dx -= -\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b -= -\frac{b^3-a^3}3. -\label{kreismembran:equation1} + \int_{0}^{\infty}rf(r) dr = \int_{0}^{\infty}\kappa\tilde{f}(\kappa)\tilde{g}(\kappa) d\kappa. \end{equation} -Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, -consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora -incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. - -Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis -suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? -Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit -esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum -fugiat quo voluptas nulla pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{kreismembran:subsection:finibus}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}. - -Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio -\ref{kreismembran:section:loesung}. -Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil -impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis -voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus -\ref{kreismembran:section:folgerung}. -Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum -necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et -molestiae non recusandae. -Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis -voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus -asperiores repellat. +\subsubsection{Hankel Transformationen von Ableitungen \label{subsub:ableitungen}} +Wenn $\tilde{f}_n(\kappa)=\mathscr{H}_n\{f(r)\}$, dann: +\begin{align} + &\mathscr{H}_n\{f'(r)\}=\frac{\kappa}{2n}\left[(n-1)\tilde{f}_{n+1}(\kappa)-(n+1)\tilde{f}_{n-1}(\kappa)\right], \quad n\geq1, \\ + &\mathscr{H}_1\{f'(r)\}=-\kappa \tilde{f}_0(\kappa), +\end{align} +bereitgestellt dass $[rf(r)]$ verschwindet als $r\to0$ und $r\to\infty=0$. \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil2.tex b/buch/papers/kreismembran/teil2.tex index 7ed217f..45357f2 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil2.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil2.tex @@ -1,40 +1,49 @@ % -% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 -% % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Teil 2 -\label{kreismembran:section:teil2}} -\rhead{Teil 2} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{kreismembran:subsection:bonorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. +\section{Lösung der partiellen Differentialgleichung + \label{kreismembran:section:teil2}} +\rhead{Lösung der partiellen Differentialgleichung} + +Wie im vorherigen Kapitel gezeigt, lautet die partielle Differentialgleichung, die die Schwingungen einer Membran beschreibt: +\begin{equation*} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \Delta u +\end{equation*} +Da es sich um eine Kreisscheibe handelt, werden Polarkoordinaten verwendet, so dass sich der Laplaceoperator ergibt: +\begin{equation*} + \Delta + = + \frac{\partial^2}{\partial r^2} + + + \frac1r + \frac{\partial}{\partial r} + + + \frac{1}{r 2} + \frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}. + \label{buch:pde:kreis:laplace} +\end{equation*} + +Es wird eine runde elastische Membran berücksichtigt, die den Gebietbereich $\Omega$ abdeckt und am Rand $\Gamma$ befestigt ist. +Es wird daher davon ausgegangen, dass die Membran aus einem homogenen Material von vernachlässigbarer Dicke gefertigt ist. +Die Membran kann verformt werden, aber innere elastische Kräfte wirken den Verformungen entgegen. Es wirken keine äusseren Kräfte. Es handelt sich somit von einer kreisförmligen eigespannten homogenen schwingenden Membran. + +Daher ist die Membranabweichung im Punkt $(r,\theta)$ $\in$ $\overline{\rm \Omega}$ zum Zeitpunkt $t$: +\begin{align*} + u: \overline{\rm \Omega} \times \mathbb{R}_{\geq 0} &\longrightarrow \mathbb{R}\\ + (r,\theta,t) &\longmapsto u(r,\theta,t) +\end{align*} +Da die Membran am Rand befestigt ist, kann es keine Schwingungen geben, so dass die \textit{Dirichlet-Randbedingung} gilt: +\begin{equation*} + u\big|_{\Gamma} = 0 +\end{equation*} + + +Um eine eindeutige Lösung bestimmen zu können, werden die folgenden Anfangsbedingungen festgelegt: + +\begin{align*} + u(r,\theta, 0) &:= f(x,y)\\ + \frac{\partial}{\partial t} u(r,\theta, 0) &:= g(x,y) +\end{align*} +An dieser Stelle könnte man zum Beispiel die bereits in Kapitel (TODO:refKAPITEL) vorgestellte Methode der Separation anwenden. Da es sich in diesem Fall jedoch um einem achsensymmetrischen Problem handelt, das in Polarkoordinaten formuliert ist, wird man die Transformationsmethode verwenden, insbesondere die Hankel Transformation. -- cgit v1.2.1 From d7bff7e403a0e54880cb04b350a91a2f664b2708 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "ENEZ-PC\\erdem" Date: Mon, 16 May 2022 20:30:44 +0200 Subject: =?UTF-8?q?Ich=20habe=20nun=20alle=20Kapitel=20als=20Textfile=20se?= =?UTF-8?q?perat=20eingef=C3=BCgt,=20einen=20zus=C3=A4tzlichen=20unterordn?= =?UTF-8?q?er=20gemacht=20f=C3=BCr=20die=20bilder,=20dann=20im=20main.tex?= =?UTF-8?q?=20die=20input=20befehle=20angepasst=20und=20committe=20nun.=20?= =?UTF-8?q?Bemerkung:=20Wir=20werden=20diese=20Woche=20noch=20das=202D=20-?= =?UTF-8?q?=20Dreieck=20mit=20einem=20Kugeldreieck=20ersetzen!=20Sonst=20w?= =?UTF-8?q?=C3=A4re=20unsere=20Arbeit=20(=20Bis=20auf=20finishing=20wie=20?= =?UTF-8?q?Rechtschreibung=20und=20Formatierung)=20eigentlich=20fertig.?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- buch/papers/nav/bilder/dreieck.png | Bin 0 -> 91703 bytes buch/papers/nav/bilder/kugel1.png | Bin 0 -> 9051 bytes buch/papers/nav/bilder/kugel2.png | Bin 0 -> 9103 bytes buch/papers/nav/bilder/kugel3.png | Bin 0 -> 215188 bytes buch/papers/nav/bilder/projektion.png | Bin 0 -> 41289 bytes buch/papers/nav/einleitung.tex | 17 +++ buch/papers/nav/flatearth.tex | 31 ++++++ buch/papers/nav/geschichte.tex | 22 ++++ buch/papers/nav/main.log | 109 +++++++++++++++++++ buch/papers/nav/main.tex | 29 ++---- buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex | 190 ++++++++++++++++++++++++++++++++++ buch/papers/nav/packages.tex | 6 ++ buch/papers/nav/trigo.tex | 51 +++++++++ 13 files changed, 433 insertions(+), 22 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/nav/bilder/dreieck.png create mode 100644 buch/papers/nav/bilder/kugel1.png create mode 100644 buch/papers/nav/bilder/kugel2.png create mode 100644 buch/papers/nav/bilder/kugel3.png create mode 100644 buch/papers/nav/bilder/projektion.png create mode 100644 buch/papers/nav/einleitung.tex create mode 100644 buch/papers/nav/flatearth.tex create mode 100644 buch/papers/nav/geschichte.tex create mode 100644 buch/papers/nav/main.log create mode 100644 buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex create mode 100644 buch/papers/nav/trigo.tex (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/nav/bilder/dreieck.png b/buch/papers/nav/bilder/dreieck.png new file mode 100644 index 0000000..2b02105 Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/bilder/dreieck.png differ diff --git a/buch/papers/nav/bilder/kugel1.png b/buch/papers/nav/bilder/kugel1.png new file mode 100644 index 0000000..b3188b7 Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/bilder/kugel1.png differ diff --git a/buch/papers/nav/bilder/kugel2.png b/buch/papers/nav/bilder/kugel2.png new file mode 100644 index 0000000..057740f Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/bilder/kugel2.png differ diff --git a/buch/papers/nav/bilder/kugel3.png b/buch/papers/nav/bilder/kugel3.png new file mode 100644 index 0000000..97066a2 Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/bilder/kugel3.png differ diff --git a/buch/papers/nav/bilder/projektion.png b/buch/papers/nav/bilder/projektion.png new file mode 100644 index 0000000..5dcc0c8 Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/bilder/projektion.png differ diff --git a/buch/papers/nav/einleitung.tex b/buch/papers/nav/einleitung.tex new file mode 100644 index 0000000..42f4b6c --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/einleitung.tex @@ -0,0 +1,17 @@ +\documentclass[12pt]{scrartcl} +\usepackage{ucs} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{graphicx} + +\begin{document} +\section{Einleitung} +Heut zu Tage ist die Navigation ein Teil des Lebens. +Man versendet dem Kollegen seinen Standort, um sich das ewige Erklären zu sparen oder gibt die Adresse des Ziels ein um sich die Sucherei zu schenken. +Dies wird durch Technologien wie Funknavigation, welches ein auf Langzeitmessung beruhendes Hyperbelverfahren mit Langwellen ist oder die verbreitete Satellitennavigation, welche vier Satelliten für eine Messung zur Standortbestimmung nutzt. +Vor all diesen technologischen Fortschritten gab es lediglich die Astronavigation, welche heute noch auf kleineren Schiffen benötigt wird im Falle eines Stromausfalls. +Aber wie funktioniert die Navigation mit den Sternen? Welche Hilfsmittel benötigt man, welche Rolle spielt die Mathematik und weshalb kann die Erde nicht flach sein? +In diesem Kapitel werden genau diese Fragen mithilfe des Nautischen Dreiecks, der Sphärischen Trigonometrie und einigen Hilfsmitteln und Messgeräten beantwortet. + + +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/flatearth.tex b/buch/papers/nav/flatearth.tex new file mode 100644 index 0000000..b14dd4b --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/flatearth.tex @@ -0,0 +1,31 @@ +\documentclass[12pt]{scrartcl} +\usepackage{ucs} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{graphicx} + +\begin{document} + \section{Warum ist die Erde nicht flach?} + + \begin{figure}[h] + \begin{center} + \includegraphics[width=10cm]{bilder/projektion.png} + \caption{Mercator Projektion} + \end{center} + \end{figure} + +Es gibt heut zu Tage viele Beweise dafür, dass die Erde eine Kugel ist. +Die Fotos von unserem Planeten oder die Berichte der Astronauten. + Aber schon vor ca. 2300 Jahren hat Aristotoles bemerkt, dass Schiffe im Horizont verschwinden und die einzige Erklärung dafür die Kugelgestalt der Erde ist oder der Erdschatten bei einer Mondfinsternis immer rund ist. + Eratosthenes konnte etwa 100 Jahre später den Erdumfang berechnen. + Er beobachtete, dass die Sonne in Syene mittags im Zenit steht und gleichzeitig in Alexandria unter einem Winkel einfällt. + Mithilfe der Geometrie konnte er mit dem Abstand der Städte und dem Einfallswinkel den Umfang berechnen. + Auch in der Navigation würden grobe Fehler passieren, wenn man davon ausgeht, dass die Erde eine Scheibe ist. +Man sieht es zum Beispiel sehr gut, wenn man die Anwendung Google Earth und eine Weltkarte vergleicht. Grönland ist auf der Weltkarte so gross wie Afrika. +In der Anwendung Google Earth jedoch ist Grönland etwa so gross wie Algerien. +Das liegt daran, das man die 3D – Weltkarte nicht einfach auslegen kann. +Der Kartograph Gerhard Mercator projizierte die Erdkugel auf ein Papier und erstellte so eine winkeltreue Karte. Jedoch wurden die Länder, die einen grösseren Abstand zum Äquator haben vergrössert, damit die Winkel stimmen können. +Wurde man also nun davon ausgehen, dass die Erde flach ist so würden wir nie dort ankommen wo wir es wollen. + + +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/geschichte.tex b/buch/papers/nav/geschichte.tex new file mode 100644 index 0000000..a20eb6d --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/geschichte.tex @@ -0,0 +1,22 @@ +\documentclass[12pt]{scrartcl} +\usepackage{ucs} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{graphicx} + +\begin{document} +\section{Geschichte der sphärischen Navigation} +Die Orientierung mit Hilfe der Sterne und der sphärischen Trigonometrie bewegt die Menschheit schon seit mehreren tausend Jahren. +Nach Hinweisen und Schätzungen von Forscher haben schon vor 4000 Jahren die Ägypter und Gelehrten aus Babylon mit Hilfe der Astronomie den Lauf der Gestirne (Himmelskörper) zu berechnen versucht, jedoch ohne Erfolg. +Etwa 350 vor Christus waren es die Griechen, welche den damaligen Astronomen Hilfestellungen mittels Kugel-Geometrien leisten konnten. +Aus diesen Geometrien wurden erste mathematische Sätze aufgestellt und ein paar Jahrhunderte später kamen zu diesem Thema auch Berechnungen dazu. +Ebenso wurden Kartenmaterial mit Sternenbilder angefertigt. +Die Sinusfunktion war noch nicht bekannt, jedoch kamen zu dieser Zeit die ersten Ansätze der Cosinusfunktion aus Indien. +Von diesen Hilfen darauf aufbauend konnte um 900 die Araber der Sinussatz entwickeln. +Doch ein paar weitere Jahrhunderte vergingen bis zu diesem Thema wieder verstärkt Forschung betrieben wurde. +Dies aus dem Grund, da im 15. Jahrhundert grosse Entdeckungsreisen, hauptsächlich per Schiff, erfolgten und die Orientierung vermehrt an Wichtigkeit gewann. +Auch die Verwendung der Tangens- und Sinusfunktion sowie der neu entwickelte Seitencosinussatz trugen zu einer Verbesserung der Orientierung herbei. +Im 16. Jahrhundert wurde dann ein weiterer trigonometrischer Satz, der Winkelcosinussatz hergeleitet. Stück für Stück wurden infolge der Entdeckung des Logarithmus im 17. Jahrhundert viele neue Methoden entwickelt. +Auch eine Verbesserung der kartographischen Verwendung der Kugelgeometrie wurde vorgenommen. +Es folgten weitere Entwicklungen in nicht euklidische Geometrien und im 19. Jahrhundert sowie auch im 20. Jahrhundert wurde zudem für die Relativitätstheorie auch die sphärische Trigonometrie beigezogen. +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/main.log b/buch/papers/nav/main.log new file mode 100644 index 0000000..d7aa0a9 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/main.log @@ -0,0 +1,109 @@ +This is pdfTeX, Version 3.141592653-2.6-1.40.24 (MiKTeX 22.3) (preloaded format=pdflatex 2022.4.16) 16 MAY 2022 20:27 +entering extended mode + restricted \write18 enabled. + %&-line parsing enabled. +**./main.tex +(main.tex +LaTeX2e <2021-11-15> patch level 1 +L3 programming layer <2022-02-24> +! Undefined control sequence. +l.6 \chapter + {Thema\label{chapter:nav}} +The control sequence at the end of the top line +of your error message was never \def'ed. If you have +misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct +spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue, +and I'll forget about whatever was undefined. + + +! 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Otherwise just continue, +and I'll forget about whatever was undefined. + +Missing character: There is no T in font nullfont! +Missing character: There is no h in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no m in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! + +! LaTeX Error: Environment refsection undefined. + +See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. +Type H for immediate help. + ... + +l.8 \begin{refsection} + +Your command was ignored. +Type I to replace it with another command, +or to continue without it. + +! Undefined control sequence. +l.9 \chapterauthor + {Hans Muster} +The control sequence at the end of the top line +of your error message was never \def'ed. If you have +misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct +spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue, +and I'll forget about whatever was undefined. + +Missing character: There is no H in font nullfont! +Missing character: There is no a in font nullfont! +Missing character: There is no n in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no M in font nullfont! +Missing character: There is no u in font nullfont! +Missing character: There is no s in font nullfont! +Missing character: There is no t in font nullfont! +Missing character: There is no e in font nullfont! +Missing character: There is no r in font nullfont! + +Overfull \hbox (20.0pt too wide) in paragraph at lines 6--10 +[][] + [] + + +! LaTeX Error: File `papers/nav/einleitung.tex' not found. + +Type X to quit or to proceed, +or enter new name. (Default extension: tex) + +Enter file name: +! Emergency stop. + + +l.13 \input{papers/nav/einleitung.tex} + ^^M +*** (cannot \read from terminal in nonstop modes) + + +Here is how much of TeX's memory you used: + 22 strings out of 478582 + 530 string characters out of 2856069 + 288951 words of memory out of 3000000 + 18307 multiletter control sequences out of 15000+600000 + 469259 words of font info for 28 fonts, out of 8000000 for 9000 + 1141 hyphenation exceptions out of 8191 + 16i,0n,26p,84b,28s stack positions out of 10000i,1000n,20000p,200000b,80000s +! ==> Fatal error occurred, no output PDF file produced! diff --git a/buch/papers/nav/main.tex b/buch/papers/nav/main.tex index e11e2c0..1ad16da 100644 --- a/buch/papers/nav/main.tex +++ b/buch/papers/nav/main.tex @@ -8,29 +8,14 @@ \begin{refsection} \chapterauthor{Hans Muster} -Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes -\begin{itemize} -\item -Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt. -Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet. -\item -Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende -Optionen werden gelöscht. -Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen. -\item -Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. -Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen -in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt -anzuwenden. -\item -Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren -Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern. -\end{itemize} -\input{papers/nav/teil0.tex} -\input{papers/nav/teil1.tex} -\input{papers/nav/teil2.tex} -\input{papers/nav/teil3.tex} + +\input{papers/nav/einleitung.tex} +\input{papers/nav/geschichte.tex} +\input{papers/nav/flatearth.tex} +\input{papers/nav/trigo.tex} +\input{papers/nav/nautischesdreieck.tex} + \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex new file mode 100644 index 0000000..0bb213c --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex @@ -0,0 +1,190 @@ +\documentclass[12pt]{scrartcl} +\usepackage{ucs} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{graphicx} + \usepackage{xcolor, soul} + \sethlcolor{yellow} +\begin{document} + \setlength{\parindent}{0em} +\section{Das Nautische Dreieck} +\subsection{Definition des Nautischen Dreiecks} +Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astronomie um die momentane Position eines Fixsterns oder Planeten an der \textbf{Himmelskugel}. +Die Himmelskugel ist eine gedachte Kugel, welche die Erde und dessen Beobachter umgibt und als Rechenfläche für Koordinaten in der Astronomie und Geodäsie dient.\\ +Das Nautische Dreieck definiert sich durch folgende Ecken: +\begin{itemize} + \item Zenit + \item Gestirn + \item Himmelspol +\end{itemize} +Der Zenit ist jener Punkt, der vom Erdmittelpunkt durch denn eigenen Standort an die Himmelskugel verlängert wird. +Ein Gestirn ist ein Planet oder ein Fixstern, zu welchen es diverse Jahrbücher mit allen astronomischen Eigenschaften gibt. +Der Himmelspol ist der Nordpol an die Himmelskugel projeziert. +\\ +Zur Anwendung der Formeln der sphärischen Trigonometrie gelten folgende einfache Zusammenhänge: +\begin{itemize} + \item Seitenlänge Zenit zu Himmelspol $= \frac{\pi}{2} - \phi $ + \item Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn $= \frac{\pi}{2} - \delta$ + \item Seitenlänge Zenit zu Gestirn $= \frac{\pi}{2} - h$ + \item Winkel von Zenit zu Himmelsnordpol zu Gestirn$=\pi - \alpha$ + \item Winkel von Himmelsnordpol zu Zenit und Gestirn$= \tau$ +\end{itemize} +Um mit diesen Zusammenhängen zu rechnen benötigt man folgende Legende: + +$\alpha \ \widehat{=} \ Rektaszension $ + +$\delta \ \widehat{=} \ Deklination =$ Breitengrad des Gestirns + +$\theta \ \widehat{=} \ Sternzeit$ + +$\phi \ \widehat{=} \ Geographische \ Breite $ + +$\tau = \theta-\alpha \ \widehat{=} \ Stundenwinkel =$ Längengrad des Gestirns + +$a \ \widehat{=} \ Azimut $ + +$h \ \widehat{=} \ Hoehe$ + + + +\subsection{Zusammenhang des Nautischen Dreiecks und des Kugeldreiecks auf der Erdkugel} + + \begin{center} + \includegraphics[height=5cm,width=5cm]{Bilder/kugel3.png} + \end{center} +Wie man im oberen Bild sieht und auch am Anfang dieses Kapitels bereits erwähnt wurde, liegt das Nautische Dreieck auf der Himmelskugel mit den Ecken Zenit, Gestirn und Himmelsnordpol. +Das selbe Dreieck kann man aber auch auf die Erdkugel projezieren und hat dann die Ecken Standort, Bildpunkt und Nordpol. +Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem eine gedachte Linie vom Mittelpunkt eines beobachteten Gestirns zum Mittelpunkt der Erde die Erdoberfläche schneidet. + +\subsection{Varianten vom Nautischen Dreieck} +\section{Standortbestimmung ohne elektronische Hilfsmittel} +Um den eigenen Standort herauszufinden, wird in diesem Kapitel die Projektion Nautische Dreieck auf der Erdkugel zur Hilfe genommen. +Mithilfe einiger Hilfsmittel und der Sphärischen Trigonometrie kann man dann die Längen- und Breitengrade des eigenen Standortes bestimmen. + + \begin{center} + \includegraphics[width=6cm]{Bilder/dreieck.png} + \end{center} + + + +\subsection{Ecke P - Unser Standort} +Unser eigener Standort ist der gesuchte Punkt A. + +\subsection{Ecke A - Nordpol} +Der Vorteil ander Idee des Nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol (in der Himmelskugel der Himmelsnordpol) ist. +Somit ist diese Ecke immer bekannt und nur deswegen sind die Zusammenhänge von Rektaszension, Sternzeit und Deklination so simpel. + +\subsection{Ecke B und C - Bildpunkt XXX und YYY} +Für die Standortermittlung benötigt man als weiteren Punkt ein Gestirn bzw. seinen Bildpunkt auf der Erdkugel. +Damit das trigonometrische Rechnen einfacher wird, werden hier zwei Gestirne zur Hilfe genommen. +\\ +Es gibt diverse Gestirne, die man nutzen kann. +\begin{itemize} + \item Sonne + \item Mond + \item Die vier Navigationsplaneten Venus, Mars, Jupiter und Saturn +\end{itemize} + +Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeriden (Jahrbücher). +Dort findet man unter Anderem die Rektaszension und Deklination, welche für jeden Tag und Stunde beschrieben ist. Für Minuten genaue Angaben muss man dann zwischen den Stunden interpolieren. +Mithilfe dieser beiden Angaben kann man die Längen- und Breitengrade diverser Gestirne berechnen. + +\subsubsection{Sternzeit und Rektaszension} +Die Rektaszension $\alpha$ gibt an, in welchem Winkel das Gestirn zum Frühlingspunkt steht. +Der Frühlungspunkt ist der Nullpunkt auf dem Himmelsäquator. +Die Tatsache, dass sich die Himmelskugel ca. vier Minuten schneller um die eigene Achse dreht als die Erdkugel, stellt hier ein kleines Problem dar. +Die Lösung ist die Sternzeit. +Am Frühlingspunkt (21. März) 12:00 Uhr ist die Sternzeit +$\theta = 0$. + +Die Sternzeit geht vom Frühlungspunkt aus, an welchem die Sonne den Himmelsäquator schneidet. +Für die Standortermittlung auf der Erdkugel ist es am einfachsten, wenn man die Sternzeit von Greenwich berechnet. +Für die Sternzeit von Greenwich braucht man als erstes das Julianische Datum vom aktuellen Tag, welches sich leicht recherchieren oder berechnen lässt: \hl{$JD=....$} + +Nun berechnet man $T=\frac{JD-2451545}{36525}$ und damit die mittlere Sternzeit von Greenwich + + $T_{Greenwich} = 6^h 41^m 50^s,54841 + 8640184^s,812866 * T + 0^s,093104*T^2 - 0^s,0000062 * T^3$. + + Wenn mann die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ mithilfe der Rektaszension und Sternzeit bestimmen. + Dies gilt analog auch für das zweite Gestirn. + + \subsubsection{Deklination} + Die Deklination $\delta$ beschreibt den Winkel zwischen dem Himmelsäquator und Gestirn und ergibt schlussendlich den Breitengrad $\psi = \delta$. + + + +\subsection{Bestimmung des eigenen Standortes P} +Nun hat man die Koordinaten der beiden Gestirne und man weiss die Koordinaten des Nordpols. +Somit können wir ein erstes Kugeldreieck auf der Erde aufspannen. + + + \begin{center} + \includegraphics[width=5cm]{Bilder/dreieck.png} + \end{center} + + +\subsubsection{Bestimmung des ersten Dreiecks} + Mithilfe des sphärischen Trigonometrie und den darausfolgenden Zusammenhängen des Nautischen Dreiecks können wir nun alle Seiten des Dreiecks $ABC$ berechnen. + + Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt XXX" sei $c$. + Dann ist $c = \frac{\pi}{2} - \delta_1$. + + Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt YYY" sei $b$. + Dann ist $b = \frac{\pi}{2} - \delta_2$. + + Der Innenwinkel beim der Ecke "Nordpol" sei $\alpha$. + Dann ist $ \alpha = |\lambda_1 - \lambda_2|$. + +mit + + $\delta_1 =$ Deklination Bildpunkt XXX + +$\delta_2 =$ Deklination Bildpunk YYY + +$\lambda_1 =$ Längengrad Bildpunkt XXX + +$\lambda_2 =$ Längengrad Bildpunkt YYY + + Wichtig ist: Die Differenz der Längengrade ist gleich der Innenwinkel Alpha, deswegen der Betrag! + +Nun haben wir die beiden Seiten $c\ und\ b$ und den Winkel $\alpha$, der sich zwischen diesen Seiten befindet. +Mithilfe des Seiten-Kosinussatzes $cos(a) = cos(b)*cos(c) + sin(b) * sin(c)*cos(\alpha)$ können wir nun die dritte Seitenlänge bestimmen. +Es ist darauf zu achten, dass hier natürlich die Seitenlängen in Bogenmass sind und dementsprechend der Kosinus und Sinus verwendet wird. +Jetzt fehlen noch die beiden anderen Innenwinkel $\beta \ und\ \gamma$. + +Dieser bestimmen wir mithilfe des Sinussatzes $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}$. +Hier muss man aufpassen, dass man Seite von Winkel unterscheiden kann. Im Zähler sind die Seiten, im Nenner die Winkel. Somit ist $sin(\beta) = sin(b) * \frac{sin(\alpha)}{sin(a)} $. + +Schlussendlich haben wir die Seiten $a,b\ und \ c$, die Ecken A,B und C und die Winkel $\alpha, \beta \ und \ \gamma$ bestimmt und somit das ganze erste Kugeldreieck berechnet. + +\subsubsection{Bestimmung des zweiten Dreiecks} +Wir bilden nun ein zweites Dreieck, welches die Ecken B und C des ersten Dreiecks besitzt. +Die dritte Ecke ist der eigene Standort P. +Unser Standort definiere sich aus einer geographischen Breite $\delta$ und einer geographischen Länge $\lambda$. + +Die Seite von P zu B sei $pb$ und die Seite von P zu C sei $pc$. +Die beiden Seitenlängen kann man mit dem Sextant messen und durch eine einfache Formel bestimmen, nämlich $pb=\frac{\pi}{2} - h_{B}$ und $pc=\frac{\pi}{2} - h_{C}$ + +mit $h_B=$ Höhe von Gestirn in B und $h_C=$ Höhe von Gestirn in C mit Sextant gemessen. +\\ + +Nun muss man eine Verbindungslinie ziehen zwischen P und A. Die Länge $l$ dieser Linie entspricht der gesuchten geographischen Breite $\delta$. Diese lässt sich mithilfe des Dreiecks $ABP$ mit den bekannten Seiten $c\ und \ pb$ und des Seiten-Kosinussatzes + +$cos(l) = cos(c)*cos(pb) + sin(c) * sin(pb)*cos(\beta)$ berechnen. + +Es fehlt uns noch $\beta1$. +Da wir aber $pc$, $pb$ und $a$ kennen, kann man mit dem Seiten-Kosinussatz den Winkel $\beta1$ berechnen +\\ + +Somit ist $\delta = cos(l) = cos(c)*cos(pb) + sin(c) * sin(pb)*cos(\beta)$. +\\ + +Für die Geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes muss man den Winkel $\omega$, welcher sich im Dreieck $ABP$ în der Ecke bei $A$ befindet mithilfe des Sinussatzes $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}$ bestimmen. +\\ + +Somit ist $\omega=sin(pb)*\frac{sin(\beta)}{sin(l)}$ und unsere gesuchte geographische Länge schlussendlich +$\lambda=\lambda_1 - \omega$ + + + +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/packages.tex b/buch/papers/nav/packages.tex index 9faa48d..15c7fdc 100644 --- a/buch/papers/nav/packages.tex +++ b/buch/papers/nav/packages.tex @@ -8,3 +8,9 @@ % following example %\usepackage{packagename} +\documentclass[12pt]{scrartcl} +\usepackage{ucs} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{xcolor, soul} diff --git a/buch/papers/nav/trigo.tex b/buch/papers/nav/trigo.tex new file mode 100644 index 0000000..0dbd7a1 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/trigo.tex @@ -0,0 +1,51 @@ +\documentclass[12pt]{scrartcl} +\usepackage{ucs} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{graphicx} + + +\begin{document} + \section{Sphärische Trigonometrie} + \subsection{Das Kugeldreieck} + +Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden, so entsteht ein Kugeldreieck ABC. +A, B und C sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten. +Da die Länge der Grosskreisbögen wegen der Abhängigkeit vom Kugelradius ungeeignet ist, wird die Grösse einer Seite mit dem zugehörigen Mittelpunktwinkel des Grosskreisbogens angegeben. +Laut dieser Definition ist die Seite c der Winkel AMB. +Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $2\pi$ aber grösser als 0 ist. +Man kann bei Kugeldreiecken nicht so einfach unterscheiden, was Innen oder Aussen ist. +Wenn man drei Eckpunkte miteinander verbindet, ergeben sich immer 16 Kugeldreiecke. +Jenes Kugeldreieck mit den Seitenlängen $a, b, c < \pi$ und den Winkeln $\alpha, \beta, \gamma < \pi$ nennt man Eulersche Dreiecke. +\begin{figure}[h] + \begin{center} + \includegraphics[width=6cm]{Bilder/kugel1.png} + \end{center} + +\end{figure} + +\subsection{Rechtwinkliges Dreieck und Rechtseitiges Dreieck} +Wie auch im uns bekannten Dreieck gibt es beim Kugeldreieck auch ein Rechtwinkliges Kugeldreieck, bei dem ein Winkel $\frac{\pi}{2}$ ist. +Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss. + \newpage +\subsection{Winkelangabe} + + \begin{center} + \includegraphics[width=8cm]{Bilder/kugel2.png} + \end{center} + +Die Winkel eines Kugeldreiecks sind die, welche die Halbtangenten in den Eckpunkten einschliessen. +Für die Summe der Innenwinkel gilt $\alpha+\beta+\gamma = \frac{A}{r^2} + \pi$ und +$\alpha+\beta+\gamma > \pi$. +Der sphärische Exzess $\epsilon = \alpha+\beta+\gamma - \pi$ beschreibt die Abweichung der Innenwinkelsumme von $\pi$ und ist proportional zum Flächeninhalt des Kugeldreiecks. + +\subsection{Sphärischer Sinussatz} +In jedem Dreieck ist das Verhältnis des Sinus einer Seite zum Sinus des Gegenwinkels konstant. +Das bedeutet, dass $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)} $ auch beim Kugeldreieck gilt. + +\subsection{Sphärischer Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Kugeldreieck} +Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich garkeinen "Satz des Pythagoras", wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt. +In der sphärischen Trigonometrie gibt es aber auch einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks in eine Beziehung bringt. +Es gilt nämlich: $\cos c = \cos a * \cos b$ wenn $\alpha \lor \beta \lor \gamma = \frac{\pi}{2} $. + +\end{document} \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From e898a9c36fb707474ee869f6ec47119d0592e59f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "ENEZ-PC\\erdem" Date: Mon, 16 May 2022 20:32:38 +0200 Subject: =?UTF-8?q?Revert=20"Ich=20habe=20nun=20alle=20Kapitel=20als=20Tex?= =?UTF-8?q?tfile=20seperat=20eingef=C3=BCgt,=20einen=20zus=C3=A4tzlichen?= =?UTF-8?q?=20unterordner=20gemacht=20f=C3=BCr=20die=20bilder,=20dann=20im?= =?UTF-8?q?=20main.tex=20die=20input=20befehle=20angepasst=20und=20committ?= =?UTF-8?q?e=20nun."?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; 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Welche Hilfsmittel benötigt man, welche Rolle spielt die Mathematik und weshalb kann die Erde nicht flach sein? -In diesem Kapitel werden genau diese Fragen mithilfe des Nautischen Dreiecks, der Sphärischen Trigonometrie und einigen Hilfsmitteln und Messgeräten beantwortet. - - -\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/flatearth.tex b/buch/papers/nav/flatearth.tex deleted file mode 100644 index b14dd4b..0000000 --- a/buch/papers/nav/flatearth.tex +++ /dev/null @@ -1,31 +0,0 @@ -\documentclass[12pt]{scrartcl} -\usepackage{ucs} -\usepackage[utf8]{inputenc} -\usepackage[T1]{fontenc} -\usepackage{graphicx} - -\begin{document} - \section{Warum ist die Erde nicht flach?} - - \begin{figure}[h] - \begin{center} - \includegraphics[width=10cm]{bilder/projektion.png} - \caption{Mercator Projektion} - \end{center} - \end{figure} - -Es gibt heut zu Tage viele Beweise dafür, dass die Erde eine Kugel ist. -Die Fotos von unserem Planeten oder die Berichte der Astronauten. - Aber schon vor ca. 2300 Jahren hat Aristotoles bemerkt, dass Schiffe im Horizont verschwinden und die einzige Erklärung dafür die Kugelgestalt der Erde ist oder der Erdschatten bei einer Mondfinsternis immer rund ist. - Eratosthenes konnte etwa 100 Jahre später den Erdumfang berechnen. - Er beobachtete, dass die Sonne in Syene mittags im Zenit steht und gleichzeitig in Alexandria unter einem Winkel einfällt. - Mithilfe der Geometrie konnte er mit dem Abstand der Städte und dem Einfallswinkel den Umfang berechnen. - Auch in der Navigation würden grobe Fehler passieren, wenn man davon ausgeht, dass die Erde eine Scheibe ist. -Man sieht es zum Beispiel sehr gut, wenn man die Anwendung Google Earth und eine Weltkarte vergleicht. Grönland ist auf der Weltkarte so gross wie Afrika. -In der Anwendung Google Earth jedoch ist Grönland etwa so gross wie Algerien. -Das liegt daran, das man die 3D – Weltkarte nicht einfach auslegen kann. -Der Kartograph Gerhard Mercator projizierte die Erdkugel auf ein Papier und erstellte so eine winkeltreue Karte. Jedoch wurden die Länder, die einen grösseren Abstand zum Äquator haben vergrössert, damit die Winkel stimmen können. -Wurde man also nun davon ausgehen, dass die Erde flach ist so würden wir nie dort ankommen wo wir es wollen. - - -\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/geschichte.tex b/buch/papers/nav/geschichte.tex deleted file mode 100644 index a20eb6d..0000000 --- a/buch/papers/nav/geschichte.tex +++ /dev/null @@ -1,22 +0,0 @@ -\documentclass[12pt]{scrartcl} -\usepackage{ucs} -\usepackage[utf8]{inputenc} -\usepackage[T1]{fontenc} -\usepackage{graphicx} - -\begin{document} -\section{Geschichte der sphärischen Navigation} -Die Orientierung mit Hilfe der Sterne und der sphärischen Trigonometrie bewegt die Menschheit schon seit mehreren tausend Jahren. -Nach Hinweisen und Schätzungen von Forscher haben schon vor 4000 Jahren die Ägypter und Gelehrten aus Babylon mit Hilfe der Astronomie den Lauf der Gestirne (Himmelskörper) zu berechnen versucht, jedoch ohne Erfolg. -Etwa 350 vor Christus waren es die Griechen, welche den damaligen Astronomen Hilfestellungen mittels Kugel-Geometrien leisten konnten. -Aus diesen Geometrien wurden erste mathematische Sätze aufgestellt und ein paar Jahrhunderte später kamen zu diesem Thema auch Berechnungen dazu. -Ebenso wurden Kartenmaterial mit Sternenbilder angefertigt. -Die Sinusfunktion war noch nicht bekannt, jedoch kamen zu dieser Zeit die ersten Ansätze der Cosinusfunktion aus Indien. -Von diesen Hilfen darauf aufbauend konnte um 900 die Araber der Sinussatz entwickeln. -Doch ein paar weitere Jahrhunderte vergingen bis zu diesem Thema wieder verstärkt Forschung betrieben wurde. -Dies aus dem Grund, da im 15. Jahrhundert grosse Entdeckungsreisen, hauptsächlich per Schiff, erfolgten und die Orientierung vermehrt an Wichtigkeit gewann. -Auch die Verwendung der Tangens- und Sinusfunktion sowie der neu entwickelte Seitencosinussatz trugen zu einer Verbesserung der Orientierung herbei. -Im 16. Jahrhundert wurde dann ein weiterer trigonometrischer Satz, der Winkelcosinussatz hergeleitet. Stück für Stück wurden infolge der Entdeckung des Logarithmus im 17. Jahrhundert viele neue Methoden entwickelt. -Auch eine Verbesserung der kartographischen Verwendung der Kugelgeometrie wurde vorgenommen. -Es folgten weitere Entwicklungen in nicht euklidische Geometrien und im 19. Jahrhundert sowie auch im 20. Jahrhundert wurde zudem für die Relativitätstheorie auch die sphärische Trigonometrie beigezogen. -\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/main.log b/buch/papers/nav/main.log deleted file mode 100644 index d7aa0a9..0000000 --- a/buch/papers/nav/main.log +++ /dev/null @@ -1,109 +0,0 @@ -This is pdfTeX, Version 3.141592653-2.6-1.40.24 (MiKTeX 22.3) (preloaded format=pdflatex 2022.4.16) 16 MAY 2022 20:27 -entering extended mode - restricted \write18 enabled. - %&-line parsing enabled. -**./main.tex -(main.tex -LaTeX2e <2021-11-15> patch level 1 -L3 programming layer <2022-02-24> -! Undefined control sequence. -l.6 \chapter - {Thema\label{chapter:nav}} -The control sequence at the end of the top line -of your error message was never \def'ed. If you have -misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct -spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue, -and I'll forget about whatever was undefined. - - -! 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Emergency stop. - - -l.13 \input{papers/nav/einleitung.tex} - ^^M -*** (cannot \read from terminal in nonstop modes) - - -Here is how much of TeX's memory you used: - 22 strings out of 478582 - 530 string characters out of 2856069 - 288951 words of memory out of 3000000 - 18307 multiletter control sequences out of 15000+600000 - 469259 words of font info for 28 fonts, out of 8000000 for 9000 - 1141 hyphenation exceptions out of 8191 - 16i,0n,26p,84b,28s stack positions out of 10000i,1000n,20000p,200000b,80000s -! ==> Fatal error occurred, no output PDF file produced! diff --git a/buch/papers/nav/main.tex b/buch/papers/nav/main.tex index 1ad16da..e11e2c0 100644 --- a/buch/papers/nav/main.tex +++ b/buch/papers/nav/main.tex @@ -8,14 +8,29 @@ \begin{refsection} \chapterauthor{Hans Muster} +Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes +\begin{itemize} +\item +Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt. +Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet. +\item +Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende +Optionen werden gelöscht. +Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen. +\item +Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. +Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen +in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt +anzuwenden. +\item +Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren +Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern. +\end{itemize} - -\input{papers/nav/einleitung.tex} -\input{papers/nav/geschichte.tex} -\input{papers/nav/flatearth.tex} -\input{papers/nav/trigo.tex} -\input{papers/nav/nautischesdreieck.tex} - +\input{papers/nav/teil0.tex} +\input{papers/nav/teil1.tex} +\input{papers/nav/teil2.tex} +\input{papers/nav/teil3.tex} \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex deleted file mode 100644 index 0bb213c..0000000 --- a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex +++ /dev/null @@ -1,190 +0,0 @@ -\documentclass[12pt]{scrartcl} -\usepackage{ucs} -\usepackage[utf8]{inputenc} -\usepackage[T1]{fontenc} -\usepackage{graphicx} - \usepackage{xcolor, soul} - \sethlcolor{yellow} -\begin{document} - \setlength{\parindent}{0em} -\section{Das Nautische Dreieck} -\subsection{Definition des Nautischen Dreiecks} -Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astronomie um die momentane Position eines Fixsterns oder Planeten an der \textbf{Himmelskugel}. -Die Himmelskugel ist eine gedachte Kugel, welche die Erde und dessen Beobachter umgibt und als Rechenfläche für Koordinaten in der Astronomie und Geodäsie dient.\\ -Das Nautische Dreieck definiert sich durch folgende Ecken: -\begin{itemize} - \item Zenit - \item Gestirn - \item Himmelspol -\end{itemize} -Der Zenit ist jener Punkt, der vom Erdmittelpunkt durch denn eigenen Standort an die Himmelskugel verlängert wird. -Ein Gestirn ist ein Planet oder ein Fixstern, zu welchen es diverse Jahrbücher mit allen astronomischen Eigenschaften gibt. -Der Himmelspol ist der Nordpol an die Himmelskugel projeziert. -\\ -Zur Anwendung der Formeln der sphärischen Trigonometrie gelten folgende einfache Zusammenhänge: -\begin{itemize} - \item Seitenlänge Zenit zu Himmelspol $= \frac{\pi}{2} - \phi $ - \item Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn $= \frac{\pi}{2} - \delta$ - \item Seitenlänge Zenit zu Gestirn $= \frac{\pi}{2} - h$ - \item Winkel von Zenit zu Himmelsnordpol zu Gestirn$=\pi - \alpha$ - \item Winkel von Himmelsnordpol zu Zenit und Gestirn$= \tau$ -\end{itemize} -Um mit diesen Zusammenhängen zu rechnen benötigt man folgende Legende: - -$\alpha \ \widehat{=} \ Rektaszension $ - -$\delta \ \widehat{=} \ Deklination =$ Breitengrad des Gestirns - -$\theta \ \widehat{=} \ Sternzeit$ - -$\phi \ \widehat{=} \ Geographische \ Breite $ - -$\tau = \theta-\alpha \ \widehat{=} \ Stundenwinkel =$ Längengrad des Gestirns - -$a \ \widehat{=} \ Azimut $ - -$h \ \widehat{=} \ Hoehe$ - - - -\subsection{Zusammenhang des Nautischen Dreiecks und des Kugeldreiecks auf der Erdkugel} - - \begin{center} - \includegraphics[height=5cm,width=5cm]{Bilder/kugel3.png} - \end{center} -Wie man im oberen Bild sieht und auch am Anfang dieses Kapitels bereits erwähnt wurde, liegt das Nautische Dreieck auf der Himmelskugel mit den Ecken Zenit, Gestirn und Himmelsnordpol. -Das selbe Dreieck kann man aber auch auf die Erdkugel projezieren und hat dann die Ecken Standort, Bildpunkt und Nordpol. -Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem eine gedachte Linie vom Mittelpunkt eines beobachteten Gestirns zum Mittelpunkt der Erde die Erdoberfläche schneidet. - -\subsection{Varianten vom Nautischen Dreieck} -\section{Standortbestimmung ohne elektronische Hilfsmittel} -Um den eigenen Standort herauszufinden, wird in diesem Kapitel die Projektion Nautische Dreieck auf der Erdkugel zur Hilfe genommen. -Mithilfe einiger Hilfsmittel und der Sphärischen Trigonometrie kann man dann die Längen- und Breitengrade des eigenen Standortes bestimmen. - - \begin{center} - \includegraphics[width=6cm]{Bilder/dreieck.png} - \end{center} - - - -\subsection{Ecke P - Unser Standort} -Unser eigener Standort ist der gesuchte Punkt A. - -\subsection{Ecke A - Nordpol} -Der Vorteil ander Idee des Nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol (in der Himmelskugel der Himmelsnordpol) ist. -Somit ist diese Ecke immer bekannt und nur deswegen sind die Zusammenhänge von Rektaszension, Sternzeit und Deklination so simpel. - -\subsection{Ecke B und C - Bildpunkt XXX und YYY} -Für die Standortermittlung benötigt man als weiteren Punkt ein Gestirn bzw. seinen Bildpunkt auf der Erdkugel. -Damit das trigonometrische Rechnen einfacher wird, werden hier zwei Gestirne zur Hilfe genommen. -\\ -Es gibt diverse Gestirne, die man nutzen kann. -\begin{itemize} - \item Sonne - \item Mond - \item Die vier Navigationsplaneten Venus, Mars, Jupiter und Saturn -\end{itemize} - -Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeriden (Jahrbücher). -Dort findet man unter Anderem die Rektaszension und Deklination, welche für jeden Tag und Stunde beschrieben ist. Für Minuten genaue Angaben muss man dann zwischen den Stunden interpolieren. -Mithilfe dieser beiden Angaben kann man die Längen- und Breitengrade diverser Gestirne berechnen. - -\subsubsection{Sternzeit und Rektaszension} -Die Rektaszension $\alpha$ gibt an, in welchem Winkel das Gestirn zum Frühlingspunkt steht. -Der Frühlungspunkt ist der Nullpunkt auf dem Himmelsäquator. -Die Tatsache, dass sich die Himmelskugel ca. vier Minuten schneller um die eigene Achse dreht als die Erdkugel, stellt hier ein kleines Problem dar. -Die Lösung ist die Sternzeit. -Am Frühlingspunkt (21. März) 12:00 Uhr ist die Sternzeit -$\theta = 0$. - -Die Sternzeit geht vom Frühlungspunkt aus, an welchem die Sonne den Himmelsäquator schneidet. -Für die Standortermittlung auf der Erdkugel ist es am einfachsten, wenn man die Sternzeit von Greenwich berechnet. -Für die Sternzeit von Greenwich braucht man als erstes das Julianische Datum vom aktuellen Tag, welches sich leicht recherchieren oder berechnen lässt: \hl{$JD=....$} - -Nun berechnet man $T=\frac{JD-2451545}{36525}$ und damit die mittlere Sternzeit von Greenwich - - $T_{Greenwich} = 6^h 41^m 50^s,54841 + 8640184^s,812866 * T + 0^s,093104*T^2 - 0^s,0000062 * T^3$. - - Wenn mann die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ mithilfe der Rektaszension und Sternzeit bestimmen. - Dies gilt analog auch für das zweite Gestirn. - - \subsubsection{Deklination} - Die Deklination $\delta$ beschreibt den Winkel zwischen dem Himmelsäquator und Gestirn und ergibt schlussendlich den Breitengrad $\psi = \delta$. - - - -\subsection{Bestimmung des eigenen Standortes P} -Nun hat man die Koordinaten der beiden Gestirne und man weiss die Koordinaten des Nordpols. -Somit können wir ein erstes Kugeldreieck auf der Erde aufspannen. - - - \begin{center} - \includegraphics[width=5cm]{Bilder/dreieck.png} - \end{center} - - -\subsubsection{Bestimmung des ersten Dreiecks} - Mithilfe des sphärischen Trigonometrie und den darausfolgenden Zusammenhängen des Nautischen Dreiecks können wir nun alle Seiten des Dreiecks $ABC$ berechnen. - - Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt XXX" sei $c$. - Dann ist $c = \frac{\pi}{2} - \delta_1$. - - Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt YYY" sei $b$. - Dann ist $b = \frac{\pi}{2} - \delta_2$. - - Der Innenwinkel beim der Ecke "Nordpol" sei $\alpha$. - Dann ist $ \alpha = |\lambda_1 - \lambda_2|$. - -mit - - $\delta_1 =$ Deklination Bildpunkt XXX - -$\delta_2 =$ Deklination Bildpunk YYY - -$\lambda_1 =$ Längengrad Bildpunkt XXX - -$\lambda_2 =$ Längengrad Bildpunkt YYY - - Wichtig ist: Die Differenz der Längengrade ist gleich der Innenwinkel Alpha, deswegen der Betrag! - -Nun haben wir die beiden Seiten $c\ und\ b$ und den Winkel $\alpha$, der sich zwischen diesen Seiten befindet. -Mithilfe des Seiten-Kosinussatzes $cos(a) = cos(b)*cos(c) + sin(b) * sin(c)*cos(\alpha)$ können wir nun die dritte Seitenlänge bestimmen. -Es ist darauf zu achten, dass hier natürlich die Seitenlängen in Bogenmass sind und dementsprechend der Kosinus und Sinus verwendet wird. -Jetzt fehlen noch die beiden anderen Innenwinkel $\beta \ und\ \gamma$. - -Dieser bestimmen wir mithilfe des Sinussatzes $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}$. -Hier muss man aufpassen, dass man Seite von Winkel unterscheiden kann. Im Zähler sind die Seiten, im Nenner die Winkel. Somit ist $sin(\beta) = sin(b) * \frac{sin(\alpha)}{sin(a)} $. - -Schlussendlich haben wir die Seiten $a,b\ und \ c$, die Ecken A,B und C und die Winkel $\alpha, \beta \ und \ \gamma$ bestimmt und somit das ganze erste Kugeldreieck berechnet. - -\subsubsection{Bestimmung des zweiten Dreiecks} -Wir bilden nun ein zweites Dreieck, welches die Ecken B und C des ersten Dreiecks besitzt. -Die dritte Ecke ist der eigene Standort P. -Unser Standort definiere sich aus einer geographischen Breite $\delta$ und einer geographischen Länge $\lambda$. - -Die Seite von P zu B sei $pb$ und die Seite von P zu C sei $pc$. -Die beiden Seitenlängen kann man mit dem Sextant messen und durch eine einfache Formel bestimmen, nämlich $pb=\frac{\pi}{2} - h_{B}$ und $pc=\frac{\pi}{2} - h_{C}$ - -mit $h_B=$ Höhe von Gestirn in B und $h_C=$ Höhe von Gestirn in C mit Sextant gemessen. -\\ - -Nun muss man eine Verbindungslinie ziehen zwischen P und A. Die Länge $l$ dieser Linie entspricht der gesuchten geographischen Breite $\delta$. Diese lässt sich mithilfe des Dreiecks $ABP$ mit den bekannten Seiten $c\ und \ pb$ und des Seiten-Kosinussatzes - -$cos(l) = cos(c)*cos(pb) + sin(c) * sin(pb)*cos(\beta)$ berechnen. - -Es fehlt uns noch $\beta1$. -Da wir aber $pc$, $pb$ und $a$ kennen, kann man mit dem Seiten-Kosinussatz den Winkel $\beta1$ berechnen -\\ - -Somit ist $\delta = cos(l) = cos(c)*cos(pb) + sin(c) * sin(pb)*cos(\beta)$. -\\ - -Für die Geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes muss man den Winkel $\omega$, welcher sich im Dreieck $ABP$ în der Ecke bei $A$ befindet mithilfe des Sinussatzes $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}$ bestimmen. -\\ - -Somit ist $\omega=sin(pb)*\frac{sin(\beta)}{sin(l)}$ und unsere gesuchte geographische Länge schlussendlich -$\lambda=\lambda_1 - \omega$ - - - -\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/packages.tex b/buch/papers/nav/packages.tex index 15c7fdc..9faa48d 100644 --- a/buch/papers/nav/packages.tex +++ b/buch/papers/nav/packages.tex @@ -8,9 +8,3 @@ % following example %\usepackage{packagename} -\documentclass[12pt]{scrartcl} -\usepackage{ucs} -\usepackage[utf8]{inputenc} -\usepackage[T1]{fontenc} -\usepackage{graphicx} -\usepackage{xcolor, soul} diff --git a/buch/papers/nav/trigo.tex b/buch/papers/nav/trigo.tex deleted file mode 100644 index 0dbd7a1..0000000 --- a/buch/papers/nav/trigo.tex +++ /dev/null @@ -1,51 +0,0 @@ -\documentclass[12pt]{scrartcl} -\usepackage{ucs} -\usepackage[utf8]{inputenc} -\usepackage[T1]{fontenc} -\usepackage{graphicx} - - -\begin{document} - \section{Sphärische Trigonometrie} - \subsection{Das Kugeldreieck} - -Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden, so entsteht ein Kugeldreieck ABC. -A, B und C sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten. -Da die Länge der Grosskreisbögen wegen der Abhängigkeit vom Kugelradius ungeeignet ist, wird die Grösse einer Seite mit dem zugehörigen Mittelpunktwinkel des Grosskreisbogens angegeben. -Laut dieser Definition ist die Seite c der Winkel AMB. -Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $2\pi$ aber grösser als 0 ist. -Man kann bei Kugeldreiecken nicht so einfach unterscheiden, was Innen oder Aussen ist. -Wenn man drei Eckpunkte miteinander verbindet, ergeben sich immer 16 Kugeldreiecke. -Jenes Kugeldreieck mit den Seitenlängen $a, b, c < \pi$ und den Winkeln $\alpha, \beta, \gamma < \pi$ nennt man Eulersche Dreiecke. -\begin{figure}[h] - \begin{center} - \includegraphics[width=6cm]{Bilder/kugel1.png} - \end{center} - -\end{figure} - -\subsection{Rechtwinkliges Dreieck und Rechtseitiges Dreieck} -Wie auch im uns bekannten Dreieck gibt es beim Kugeldreieck auch ein Rechtwinkliges Kugeldreieck, bei dem ein Winkel $\frac{\pi}{2}$ ist. -Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss. - \newpage -\subsection{Winkelangabe} - - \begin{center} - \includegraphics[width=8cm]{Bilder/kugel2.png} - \end{center} - -Die Winkel eines Kugeldreiecks sind die, welche die Halbtangenten in den Eckpunkten einschliessen. -Für die Summe der Innenwinkel gilt $\alpha+\beta+\gamma = \frac{A}{r^2} + \pi$ und -$\alpha+\beta+\gamma > \pi$. -Der sphärische Exzess $\epsilon = \alpha+\beta+\gamma - \pi$ beschreibt die Abweichung der Innenwinkelsumme von $\pi$ und ist proportional zum Flächeninhalt des Kugeldreiecks. - -\subsection{Sphärischer Sinussatz} -In jedem Dreieck ist das Verhältnis des Sinus einer Seite zum Sinus des Gegenwinkels konstant. -Das bedeutet, dass $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)} $ auch beim Kugeldreieck gilt. - -\subsection{Sphärischer Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Kugeldreieck} -Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich garkeinen "Satz des Pythagoras", wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt. -In der sphärischen Trigonometrie gibt es aber auch einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks in eine Beziehung bringt. -Es gilt nämlich: $\cos c = \cos a * \cos b$ wenn $\alpha \lor \beta \lor \gamma = \frac{\pi}{2} $. - -\end{document} \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From 309284c1f79df5b8553b0b8875db188ff7d930af Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "ENEZ-PC\\erdem" Date: Mon, 16 May 2022 20:43:09 +0200 Subject: no message --- buch/papers/nav/bilder/dreieck.png | Bin 0 -> 91703 bytes buch/papers/nav/bilder/kugel1.png | Bin 0 -> 9051 bytes buch/papers/nav/bilder/kugel2.png | Bin 0 -> 9103 bytes buch/papers/nav/bilder/kugel3.png | Bin 0 -> 215188 bytes buch/papers/nav/bilder/projektion.png | Bin 0 -> 41289 bytes buch/papers/nav/einleitung.tex | 17 +++ buch/papers/nav/flatearth.tex | 31 ++++++ buch/papers/nav/geschichte.tex | 22 ++++ buch/papers/nav/main.tex | 28 ++--- buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex | 190 ++++++++++++++++++++++++++++++++++ buch/papers/nav/packages.tex | 5 + buch/papers/nav/teil0.tex | 22 ---- buch/papers/nav/teil1.tex | 55 ---------- buch/papers/nav/teil2.tex | 40 ------- buch/papers/nav/teil3.tex | 40 ------- buch/papers/nav/trigo.tex | 51 +++++++++ 16 files changed, 322 insertions(+), 179 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/nav/bilder/dreieck.png create mode 100644 buch/papers/nav/bilder/kugel1.png create mode 100644 buch/papers/nav/bilder/kugel2.png create mode 100644 buch/papers/nav/bilder/kugel3.png create mode 100644 buch/papers/nav/bilder/projektion.png create mode 100644 buch/papers/nav/einleitung.tex create mode 100644 buch/papers/nav/flatearth.tex create mode 100644 buch/papers/nav/geschichte.tex create mode 100644 buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex delete mode 100644 buch/papers/nav/teil0.tex delete mode 100644 buch/papers/nav/teil1.tex delete mode 100644 buch/papers/nav/teil2.tex delete mode 100644 buch/papers/nav/teil3.tex create mode 100644 buch/papers/nav/trigo.tex (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/nav/bilder/dreieck.png b/buch/papers/nav/bilder/dreieck.png new file mode 100644 index 0000000..2b02105 Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/bilder/dreieck.png differ diff --git a/buch/papers/nav/bilder/kugel1.png b/buch/papers/nav/bilder/kugel1.png new file mode 100644 index 0000000..b3188b7 Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/bilder/kugel1.png differ diff --git a/buch/papers/nav/bilder/kugel2.png b/buch/papers/nav/bilder/kugel2.png new file mode 100644 index 0000000..057740f Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/bilder/kugel2.png differ diff --git a/buch/papers/nav/bilder/kugel3.png b/buch/papers/nav/bilder/kugel3.png new file mode 100644 index 0000000..97066a2 Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/bilder/kugel3.png differ diff --git a/buch/papers/nav/bilder/projektion.png b/buch/papers/nav/bilder/projektion.png new file mode 100644 index 0000000..5dcc0c8 Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/bilder/projektion.png differ diff --git a/buch/papers/nav/einleitung.tex b/buch/papers/nav/einleitung.tex new file mode 100644 index 0000000..42f4b6c --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/einleitung.tex @@ -0,0 +1,17 @@ +\documentclass[12pt]{scrartcl} +\usepackage{ucs} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{graphicx} + +\begin{document} +\section{Einleitung} +Heut zu Tage ist die Navigation ein Teil des Lebens. +Man versendet dem Kollegen seinen Standort, um sich das ewige Erklären zu sparen oder gibt die Adresse des Ziels ein um sich die Sucherei zu schenken. +Dies wird durch Technologien wie Funknavigation, welches ein auf Langzeitmessung beruhendes Hyperbelverfahren mit Langwellen ist oder die verbreitete Satellitennavigation, welche vier Satelliten für eine Messung zur Standortbestimmung nutzt. +Vor all diesen technologischen Fortschritten gab es lediglich die Astronavigation, welche heute noch auf kleineren Schiffen benötigt wird im Falle eines Stromausfalls. +Aber wie funktioniert die Navigation mit den Sternen? Welche Hilfsmittel benötigt man, welche Rolle spielt die Mathematik und weshalb kann die Erde nicht flach sein? +In diesem Kapitel werden genau diese Fragen mithilfe des Nautischen Dreiecks, der Sphärischen Trigonometrie und einigen Hilfsmitteln und Messgeräten beantwortet. + + +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/flatearth.tex b/buch/papers/nav/flatearth.tex new file mode 100644 index 0000000..b14dd4b --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/flatearth.tex @@ -0,0 +1,31 @@ +\documentclass[12pt]{scrartcl} +\usepackage{ucs} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{graphicx} + +\begin{document} + \section{Warum ist die Erde nicht flach?} + + \begin{figure}[h] + \begin{center} + \includegraphics[width=10cm]{bilder/projektion.png} + \caption{Mercator Projektion} + \end{center} + \end{figure} + +Es gibt heut zu Tage viele Beweise dafür, dass die Erde eine Kugel ist. +Die Fotos von unserem Planeten oder die Berichte der Astronauten. + Aber schon vor ca. 2300 Jahren hat Aristotoles bemerkt, dass Schiffe im Horizont verschwinden und die einzige Erklärung dafür die Kugelgestalt der Erde ist oder der Erdschatten bei einer Mondfinsternis immer rund ist. + Eratosthenes konnte etwa 100 Jahre später den Erdumfang berechnen. + Er beobachtete, dass die Sonne in Syene mittags im Zenit steht und gleichzeitig in Alexandria unter einem Winkel einfällt. + Mithilfe der Geometrie konnte er mit dem Abstand der Städte und dem Einfallswinkel den Umfang berechnen. + Auch in der Navigation würden grobe Fehler passieren, wenn man davon ausgeht, dass die Erde eine Scheibe ist. +Man sieht es zum Beispiel sehr gut, wenn man die Anwendung Google Earth und eine Weltkarte vergleicht. Grönland ist auf der Weltkarte so gross wie Afrika. +In der Anwendung Google Earth jedoch ist Grönland etwa so gross wie Algerien. +Das liegt daran, das man die 3D – Weltkarte nicht einfach auslegen kann. +Der Kartograph Gerhard Mercator projizierte die Erdkugel auf ein Papier und erstellte so eine winkeltreue Karte. Jedoch wurden die Länder, die einen grösseren Abstand zum Äquator haben vergrössert, damit die Winkel stimmen können. +Wurde man also nun davon ausgehen, dass die Erde flach ist so würden wir nie dort ankommen wo wir es wollen. + + +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/geschichte.tex b/buch/papers/nav/geschichte.tex new file mode 100644 index 0000000..a20eb6d --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/geschichte.tex @@ -0,0 +1,22 @@ +\documentclass[12pt]{scrartcl} +\usepackage{ucs} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{graphicx} + +\begin{document} +\section{Geschichte der sphärischen Navigation} +Die Orientierung mit Hilfe der Sterne und der sphärischen Trigonometrie bewegt die Menschheit schon seit mehreren tausend Jahren. +Nach Hinweisen und Schätzungen von Forscher haben schon vor 4000 Jahren die Ägypter und Gelehrten aus Babylon mit Hilfe der Astronomie den Lauf der Gestirne (Himmelskörper) zu berechnen versucht, jedoch ohne Erfolg. +Etwa 350 vor Christus waren es die Griechen, welche den damaligen Astronomen Hilfestellungen mittels Kugel-Geometrien leisten konnten. +Aus diesen Geometrien wurden erste mathematische Sätze aufgestellt und ein paar Jahrhunderte später kamen zu diesem Thema auch Berechnungen dazu. +Ebenso wurden Kartenmaterial mit Sternenbilder angefertigt. +Die Sinusfunktion war noch nicht bekannt, jedoch kamen zu dieser Zeit die ersten Ansätze der Cosinusfunktion aus Indien. +Von diesen Hilfen darauf aufbauend konnte um 900 die Araber der Sinussatz entwickeln. +Doch ein paar weitere Jahrhunderte vergingen bis zu diesem Thema wieder verstärkt Forschung betrieben wurde. +Dies aus dem Grund, da im 15. Jahrhundert grosse Entdeckungsreisen, hauptsächlich per Schiff, erfolgten und die Orientierung vermehrt an Wichtigkeit gewann. +Auch die Verwendung der Tangens- und Sinusfunktion sowie der neu entwickelte Seitencosinussatz trugen zu einer Verbesserung der Orientierung herbei. +Im 16. Jahrhundert wurde dann ein weiterer trigonometrischer Satz, der Winkelcosinussatz hergeleitet. Stück für Stück wurden infolge der Entdeckung des Logarithmus im 17. Jahrhundert viele neue Methoden entwickelt. +Auch eine Verbesserung der kartographischen Verwendung der Kugelgeometrie wurde vorgenommen. +Es folgten weitere Entwicklungen in nicht euklidische Geometrien und im 19. Jahrhundert sowie auch im 20. Jahrhundert wurde zudem für die Relativitätstheorie auch die sphärische Trigonometrie beigezogen. +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/main.tex b/buch/papers/nav/main.tex index e11e2c0..9758de9 100644 --- a/buch/papers/nav/main.tex +++ b/buch/papers/nav/main.tex @@ -8,29 +8,13 @@ \begin{refsection} \chapterauthor{Hans Muster} -Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes -\begin{itemize} -\item -Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt. -Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet. -\item -Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende -Optionen werden gelöscht. -Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen. -\item -Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. -Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen -in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt -anzuwenden. -\item -Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren -Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern. -\end{itemize} -\input{papers/nav/teil0.tex} -\input{papers/nav/teil1.tex} -\input{papers/nav/teil2.tex} -\input{papers/nav/teil3.tex} + +\input{papers/nav/einleitung.tex} +\input{papers/nav/geschichte.tex} +\input{papers/nav/flatearth.tex} +\input{papers/nav/trigo.tex} +\input{papers/nav/nautischesdreieck.tex} \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex new file mode 100644 index 0000000..0bb213c --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex @@ -0,0 +1,190 @@ +\documentclass[12pt]{scrartcl} +\usepackage{ucs} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{graphicx} + \usepackage{xcolor, soul} + \sethlcolor{yellow} +\begin{document} + \setlength{\parindent}{0em} +\section{Das Nautische Dreieck} +\subsection{Definition des Nautischen Dreiecks} +Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astronomie um die momentane Position eines Fixsterns oder Planeten an der \textbf{Himmelskugel}. +Die Himmelskugel ist eine gedachte Kugel, welche die Erde und dessen Beobachter umgibt und als Rechenfläche für Koordinaten in der Astronomie und Geodäsie dient.\\ +Das Nautische Dreieck definiert sich durch folgende Ecken: +\begin{itemize} + \item Zenit + \item Gestirn + \item Himmelspol +\end{itemize} +Der Zenit ist jener Punkt, der vom Erdmittelpunkt durch denn eigenen Standort an die Himmelskugel verlängert wird. +Ein Gestirn ist ein Planet oder ein Fixstern, zu welchen es diverse Jahrbücher mit allen astronomischen Eigenschaften gibt. +Der Himmelspol ist der Nordpol an die Himmelskugel projeziert. +\\ +Zur Anwendung der Formeln der sphärischen Trigonometrie gelten folgende einfache Zusammenhänge: +\begin{itemize} + \item Seitenlänge Zenit zu Himmelspol $= \frac{\pi}{2} - \phi $ + \item Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn $= \frac{\pi}{2} - \delta$ + \item Seitenlänge Zenit zu Gestirn $= \frac{\pi}{2} - h$ + \item Winkel von Zenit zu Himmelsnordpol zu Gestirn$=\pi - \alpha$ + \item Winkel von Himmelsnordpol zu Zenit und Gestirn$= \tau$ +\end{itemize} +Um mit diesen Zusammenhängen zu rechnen benötigt man folgende Legende: + +$\alpha \ \widehat{=} \ Rektaszension $ + +$\delta \ \widehat{=} \ Deklination =$ Breitengrad des Gestirns + +$\theta \ \widehat{=} \ Sternzeit$ + +$\phi \ \widehat{=} \ Geographische \ Breite $ + +$\tau = \theta-\alpha \ \widehat{=} \ Stundenwinkel =$ Längengrad des Gestirns + +$a \ \widehat{=} \ Azimut $ + +$h \ \widehat{=} \ Hoehe$ + + + +\subsection{Zusammenhang des Nautischen Dreiecks und des Kugeldreiecks auf der Erdkugel} + + \begin{center} + \includegraphics[height=5cm,width=5cm]{Bilder/kugel3.png} + \end{center} +Wie man im oberen Bild sieht und auch am Anfang dieses Kapitels bereits erwähnt wurde, liegt das Nautische Dreieck auf der Himmelskugel mit den Ecken Zenit, Gestirn und Himmelsnordpol. +Das selbe Dreieck kann man aber auch auf die Erdkugel projezieren und hat dann die Ecken Standort, Bildpunkt und Nordpol. +Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem eine gedachte Linie vom Mittelpunkt eines beobachteten Gestirns zum Mittelpunkt der Erde die Erdoberfläche schneidet. + +\subsection{Varianten vom Nautischen Dreieck} +\section{Standortbestimmung ohne elektronische Hilfsmittel} +Um den eigenen Standort herauszufinden, wird in diesem Kapitel die Projektion Nautische Dreieck auf der Erdkugel zur Hilfe genommen. +Mithilfe einiger Hilfsmittel und der Sphärischen Trigonometrie kann man dann die Längen- und Breitengrade des eigenen Standortes bestimmen. + + \begin{center} + \includegraphics[width=6cm]{Bilder/dreieck.png} + \end{center} + + + +\subsection{Ecke P - Unser Standort} +Unser eigener Standort ist der gesuchte Punkt A. + +\subsection{Ecke A - Nordpol} +Der Vorteil ander Idee des Nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol (in der Himmelskugel der Himmelsnordpol) ist. +Somit ist diese Ecke immer bekannt und nur deswegen sind die Zusammenhänge von Rektaszension, Sternzeit und Deklination so simpel. + +\subsection{Ecke B und C - Bildpunkt XXX und YYY} +Für die Standortermittlung benötigt man als weiteren Punkt ein Gestirn bzw. seinen Bildpunkt auf der Erdkugel. +Damit das trigonometrische Rechnen einfacher wird, werden hier zwei Gestirne zur Hilfe genommen. +\\ +Es gibt diverse Gestirne, die man nutzen kann. +\begin{itemize} + \item Sonne + \item Mond + \item Die vier Navigationsplaneten Venus, Mars, Jupiter und Saturn +\end{itemize} + +Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeriden (Jahrbücher). +Dort findet man unter Anderem die Rektaszension und Deklination, welche für jeden Tag und Stunde beschrieben ist. Für Minuten genaue Angaben muss man dann zwischen den Stunden interpolieren. +Mithilfe dieser beiden Angaben kann man die Längen- und Breitengrade diverser Gestirne berechnen. + +\subsubsection{Sternzeit und Rektaszension} +Die Rektaszension $\alpha$ gibt an, in welchem Winkel das Gestirn zum Frühlingspunkt steht. +Der Frühlungspunkt ist der Nullpunkt auf dem Himmelsäquator. +Die Tatsache, dass sich die Himmelskugel ca. vier Minuten schneller um die eigene Achse dreht als die Erdkugel, stellt hier ein kleines Problem dar. +Die Lösung ist die Sternzeit. +Am Frühlingspunkt (21. März) 12:00 Uhr ist die Sternzeit +$\theta = 0$. + +Die Sternzeit geht vom Frühlungspunkt aus, an welchem die Sonne den Himmelsäquator schneidet. +Für die Standortermittlung auf der Erdkugel ist es am einfachsten, wenn man die Sternzeit von Greenwich berechnet. +Für die Sternzeit von Greenwich braucht man als erstes das Julianische Datum vom aktuellen Tag, welches sich leicht recherchieren oder berechnen lässt: \hl{$JD=....$} + +Nun berechnet man $T=\frac{JD-2451545}{36525}$ und damit die mittlere Sternzeit von Greenwich + + $T_{Greenwich} = 6^h 41^m 50^s,54841 + 8640184^s,812866 * T + 0^s,093104*T^2 - 0^s,0000062 * T^3$. + + Wenn mann die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ mithilfe der Rektaszension und Sternzeit bestimmen. + Dies gilt analog auch für das zweite Gestirn. + + \subsubsection{Deklination} + Die Deklination $\delta$ beschreibt den Winkel zwischen dem Himmelsäquator und Gestirn und ergibt schlussendlich den Breitengrad $\psi = \delta$. + + + +\subsection{Bestimmung des eigenen Standortes P} +Nun hat man die Koordinaten der beiden Gestirne und man weiss die Koordinaten des Nordpols. +Somit können wir ein erstes Kugeldreieck auf der Erde aufspannen. + + + \begin{center} + \includegraphics[width=5cm]{Bilder/dreieck.png} + \end{center} + + +\subsubsection{Bestimmung des ersten Dreiecks} + Mithilfe des sphärischen Trigonometrie und den darausfolgenden Zusammenhängen des Nautischen Dreiecks können wir nun alle Seiten des Dreiecks $ABC$ berechnen. + + Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt XXX" sei $c$. + Dann ist $c = \frac{\pi}{2} - \delta_1$. + + Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt YYY" sei $b$. + Dann ist $b = \frac{\pi}{2} - \delta_2$. + + Der Innenwinkel beim der Ecke "Nordpol" sei $\alpha$. + Dann ist $ \alpha = |\lambda_1 - \lambda_2|$. + +mit + + $\delta_1 =$ Deklination Bildpunkt XXX + +$\delta_2 =$ Deklination Bildpunk YYY + +$\lambda_1 =$ Längengrad Bildpunkt XXX + +$\lambda_2 =$ Längengrad Bildpunkt YYY + + Wichtig ist: Die Differenz der Längengrade ist gleich der Innenwinkel Alpha, deswegen der Betrag! + +Nun haben wir die beiden Seiten $c\ und\ b$ und den Winkel $\alpha$, der sich zwischen diesen Seiten befindet. +Mithilfe des Seiten-Kosinussatzes $cos(a) = cos(b)*cos(c) + sin(b) * sin(c)*cos(\alpha)$ können wir nun die dritte Seitenlänge bestimmen. +Es ist darauf zu achten, dass hier natürlich die Seitenlängen in Bogenmass sind und dementsprechend der Kosinus und Sinus verwendet wird. +Jetzt fehlen noch die beiden anderen Innenwinkel $\beta \ und\ \gamma$. + +Dieser bestimmen wir mithilfe des Sinussatzes $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}$. +Hier muss man aufpassen, dass man Seite von Winkel unterscheiden kann. Im Zähler sind die Seiten, im Nenner die Winkel. Somit ist $sin(\beta) = sin(b) * \frac{sin(\alpha)}{sin(a)} $. + +Schlussendlich haben wir die Seiten $a,b\ und \ c$, die Ecken A,B und C und die Winkel $\alpha, \beta \ und \ \gamma$ bestimmt und somit das ganze erste Kugeldreieck berechnet. + +\subsubsection{Bestimmung des zweiten Dreiecks} +Wir bilden nun ein zweites Dreieck, welches die Ecken B und C des ersten Dreiecks besitzt. +Die dritte Ecke ist der eigene Standort P. +Unser Standort definiere sich aus einer geographischen Breite $\delta$ und einer geographischen Länge $\lambda$. + +Die Seite von P zu B sei $pb$ und die Seite von P zu C sei $pc$. +Die beiden Seitenlängen kann man mit dem Sextant messen und durch eine einfache Formel bestimmen, nämlich $pb=\frac{\pi}{2} - h_{B}$ und $pc=\frac{\pi}{2} - h_{C}$ + +mit $h_B=$ Höhe von Gestirn in B und $h_C=$ Höhe von Gestirn in C mit Sextant gemessen. +\\ + +Nun muss man eine Verbindungslinie ziehen zwischen P und A. Die Länge $l$ dieser Linie entspricht der gesuchten geographischen Breite $\delta$. Diese lässt sich mithilfe des Dreiecks $ABP$ mit den bekannten Seiten $c\ und \ pb$ und des Seiten-Kosinussatzes + +$cos(l) = cos(c)*cos(pb) + sin(c) * sin(pb)*cos(\beta)$ berechnen. + +Es fehlt uns noch $\beta1$. +Da wir aber $pc$, $pb$ und $a$ kennen, kann man mit dem Seiten-Kosinussatz den Winkel $\beta1$ berechnen +\\ + +Somit ist $\delta = cos(l) = cos(c)*cos(pb) + sin(c) * sin(pb)*cos(\beta)$. +\\ + +Für die Geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes muss man den Winkel $\omega$, welcher sich im Dreieck $ABP$ în der Ecke bei $A$ befindet mithilfe des Sinussatzes $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}$ bestimmen. +\\ + +Somit ist $\omega=sin(pb)*\frac{sin(\beta)}{sin(l)}$ und unsere gesuchte geographische Länge schlussendlich +$\lambda=\lambda_1 - \omega$ + + + +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/packages.tex b/buch/papers/nav/packages.tex index 9faa48d..16d3a3c 100644 --- a/buch/papers/nav/packages.tex +++ b/buch/papers/nav/packages.tex @@ -8,3 +8,8 @@ % following example %\usepackage{packagename} +\usepackage{ucs} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{xcolor, soul} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/teil0.tex b/buch/papers/nav/teil0.tex deleted file mode 100644 index f3323a9..0000000 --- a/buch/papers/nav/teil0.tex +++ /dev/null @@ -1,22 +0,0 @@ -% -% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 0\label{nav:section:teil0}} -\rhead{Teil 0} -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua \cite{nav:bibtex}. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. -Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum -dolor sit amet. - -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita -kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit -amet. - - diff --git a/buch/papers/nav/teil1.tex b/buch/papers/nav/teil1.tex deleted file mode 100644 index 996202f..0000000 --- a/buch/papers/nav/teil1.tex +++ /dev/null @@ -1,55 +0,0 @@ -% -% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 1 -\label{nav:section:teil1}} -\rhead{Problemstellung} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. -Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit -aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione -voluptatem sequi nesciunt -\begin{equation} -\int_a^b x^2\, dx -= -\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b -= -\frac{b^3-a^3}3. -\label{nav:equation1} -\end{equation} -Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, -consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora -incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. - -Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis -suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? -Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit -esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum -fugiat quo voluptas nulla pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{nav:subsection:finibus}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}. - -Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio -\ref{nav:section:loesung}. -Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil -impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis -voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus -\ref{nav:section:folgerung}. -Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum -necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et -molestiae non recusandae. -Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis -voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus -asperiores repellat. - - diff --git a/buch/papers/nav/teil2.tex b/buch/papers/nav/teil2.tex deleted file mode 100644 index 5a52e03..0000000 --- a/buch/papers/nav/teil2.tex +++ /dev/null @@ -1,40 +0,0 @@ -% -% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 2 -\label{nav:section:teil2}} -\rhead{Teil 2} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{nav:subsection:bonorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. - - diff --git a/buch/papers/nav/teil3.tex b/buch/papers/nav/teil3.tex deleted file mode 100644 index 2b5d2d5..0000000 --- a/buch/papers/nav/teil3.tex +++ /dev/null @@ -1,40 +0,0 @@ -% -% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3 -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 3 -\label{nav:section:teil3}} -\rhead{Teil 3} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{nav:subsection:malorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. - - diff --git a/buch/papers/nav/trigo.tex b/buch/papers/nav/trigo.tex new file mode 100644 index 0000000..0dbd7a1 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/trigo.tex @@ -0,0 +1,51 @@ +\documentclass[12pt]{scrartcl} +\usepackage{ucs} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{graphicx} + + +\begin{document} + \section{Sphärische Trigonometrie} + \subsection{Das Kugeldreieck} + +Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden, so entsteht ein Kugeldreieck ABC. +A, B und C sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten. +Da die Länge der Grosskreisbögen wegen der Abhängigkeit vom Kugelradius ungeeignet ist, wird die Grösse einer Seite mit dem zugehörigen Mittelpunktwinkel des Grosskreisbogens angegeben. +Laut dieser Definition ist die Seite c der Winkel AMB. +Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $2\pi$ aber grösser als 0 ist. +Man kann bei Kugeldreiecken nicht so einfach unterscheiden, was Innen oder Aussen ist. +Wenn man drei Eckpunkte miteinander verbindet, ergeben sich immer 16 Kugeldreiecke. +Jenes Kugeldreieck mit den Seitenlängen $a, b, c < \pi$ und den Winkeln $\alpha, \beta, \gamma < \pi$ nennt man Eulersche Dreiecke. +\begin{figure}[h] + \begin{center} + \includegraphics[width=6cm]{Bilder/kugel1.png} + \end{center} + +\end{figure} + +\subsection{Rechtwinkliges Dreieck und Rechtseitiges Dreieck} +Wie auch im uns bekannten Dreieck gibt es beim Kugeldreieck auch ein Rechtwinkliges Kugeldreieck, bei dem ein Winkel $\frac{\pi}{2}$ ist. +Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss. + \newpage +\subsection{Winkelangabe} + + \begin{center} + \includegraphics[width=8cm]{Bilder/kugel2.png} + \end{center} + +Die Winkel eines Kugeldreiecks sind die, welche die Halbtangenten in den Eckpunkten einschliessen. +Für die Summe der Innenwinkel gilt $\alpha+\beta+\gamma = \frac{A}{r^2} + \pi$ und +$\alpha+\beta+\gamma > \pi$. +Der sphärische Exzess $\epsilon = \alpha+\beta+\gamma - \pi$ beschreibt die Abweichung der Innenwinkelsumme von $\pi$ und ist proportional zum Flächeninhalt des Kugeldreiecks. + +\subsection{Sphärischer Sinussatz} +In jedem Dreieck ist das Verhältnis des Sinus einer Seite zum Sinus des Gegenwinkels konstant. +Das bedeutet, dass $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)} $ auch beim Kugeldreieck gilt. + +\subsection{Sphärischer Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Kugeldreieck} +Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich garkeinen "Satz des Pythagoras", wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt. +In der sphärischen Trigonometrie gibt es aber auch einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks in eine Beziehung bringt. +Es gilt nämlich: $\cos c = \cos a * \cos b$ wenn $\alpha \lor \beta \lor \gamma = \frac{\pi}{2} $. + +\end{document} \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From 800ca10daf88dd073c239b6478bb34f81e48410f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "ENEZ-PC\\erdem" Date: Tue, 17 May 2022 13:34:13 +0200 Subject: first commit nav --- buch/papers/nav/einleitung.tex | 12 +-- buch/papers/nav/flatearth.tex | 38 ++++------ buch/papers/nav/main.tex | 5 +- buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex | 139 +++++++++++++++++++--------------- buch/papers/nav/packages.tex | 5 -- buch/papers/nav/sincos.tex | 16 ++++ buch/papers/nav/trigo.tex | 28 +++---- 7 files changed, 123 insertions(+), 120 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/nav/sincos.tex (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/nav/einleitung.tex b/buch/papers/nav/einleitung.tex index 42f4b6c..e24f294 100644 --- a/buch/papers/nav/einleitung.tex +++ b/buch/papers/nav/einleitung.tex @@ -1,17 +1,9 @@ -\documentclass[12pt]{scrartcl} -\usepackage{ucs} -\usepackage[utf8]{inputenc} -\usepackage[T1]{fontenc} -\usepackage{graphicx} -\begin{document} + \section{Einleitung} Heut zu Tage ist die Navigation ein Teil des Lebens. Man versendet dem Kollegen seinen Standort, um sich das ewige Erklären zu sparen oder gibt die Adresse des Ziels ein um sich die Sucherei zu schenken. Dies wird durch Technologien wie Funknavigation, welches ein auf Langzeitmessung beruhendes Hyperbelverfahren mit Langwellen ist oder die verbreitete Satellitennavigation, welche vier Satelliten für eine Messung zur Standortbestimmung nutzt. Vor all diesen technologischen Fortschritten gab es lediglich die Astronavigation, welche heute noch auf kleineren Schiffen benötigt wird im Falle eines Stromausfalls. Aber wie funktioniert die Navigation mit den Sternen? Welche Hilfsmittel benötigt man, welche Rolle spielt die Mathematik und weshalb kann die Erde nicht flach sein? -In diesem Kapitel werden genau diese Fragen mithilfe des Nautischen Dreiecks, der Sphärischen Trigonometrie und einigen Hilfsmitteln und Messgeräten beantwortet. - - -\end{document} \ No newline at end of file +In diesem Kapitel werden genau diese Fragen mithilfe des Nautischen Dreiecks, der Sphärischen Trigonometrie und einigen Hilfsmitteln und Messgeräten beantwortet. \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/flatearth.tex b/buch/papers/nav/flatearth.tex index b14dd4b..fbabbde 100644 --- a/buch/papers/nav/flatearth.tex +++ b/buch/papers/nav/flatearth.tex @@ -1,31 +1,23 @@ -\documentclass[12pt]{scrartcl} -\usepackage{ucs} -\usepackage[utf8]{inputenc} -\usepackage[T1]{fontenc} -\usepackage{graphicx} -\begin{document} - \section{Warum ist die Erde nicht flach?} - - \begin{figure}[h] - \begin{center} - \includegraphics[width=10cm]{bilder/projektion.png} - \caption{Mercator Projektion} - \end{center} - \end{figure} + +\section{Warum ist die Erde nicht flach?} + +\begin{figure}[h] + \begin{center} + \includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/projektion.png} + \caption[Mercator Projektion]{Mercator Projektion} + \end{center} +\end{figure} Es gibt heut zu Tage viele Beweise dafür, dass die Erde eine Kugel ist. Die Fotos von unserem Planeten oder die Berichte der Astronauten. - Aber schon vor ca. 2300 Jahren hat Aristotoles bemerkt, dass Schiffe im Horizont verschwinden und die einzige Erklärung dafür die Kugelgestalt der Erde ist oder der Erdschatten bei einer Mondfinsternis immer rund ist. - Eratosthenes konnte etwa 100 Jahre später den Erdumfang berechnen. - Er beobachtete, dass die Sonne in Syene mittags im Zenit steht und gleichzeitig in Alexandria unter einem Winkel einfällt. - Mithilfe der Geometrie konnte er mit dem Abstand der Städte und dem Einfallswinkel den Umfang berechnen. - Auch in der Navigation würden grobe Fehler passieren, wenn man davon ausgeht, dass die Erde eine Scheibe ist. +Aber schon vor ca. 2300 Jahren hat Aristotoles bemerkt, dass Schiffe im Horizont verschwinden und die einzige Erklärung dafür die Kugelgestalt der Erde ist oder der Erdschatten bei einer Mondfinsternis immer rund ist. +Eratosthenes konnte etwa 100 Jahre später den Erdumfang berechnen. +Er beobachtete, dass die Sonne in Syene mittags im Zenit steht und gleichzeitig in Alexandria unter einem Winkel einfällt. +Mithilfe der Geometrie konnte er mit dem Abstand der Städte und dem Einfallswinkel den Umfang berechnen. +Auch in der Navigation würden grobe Fehler passieren, wenn man davon ausgeht, dass die Erde eine Scheibe ist. Man sieht es zum Beispiel sehr gut, wenn man die Anwendung Google Earth und eine Weltkarte vergleicht. Grönland ist auf der Weltkarte so gross wie Afrika. In der Anwendung Google Earth jedoch ist Grönland etwa so gross wie Algerien. Das liegt daran, das man die 3D – Weltkarte nicht einfach auslegen kann. Der Kartograph Gerhard Mercator projizierte die Erdkugel auf ein Papier und erstellte so eine winkeltreue Karte. Jedoch wurden die Länder, die einen grösseren Abstand zum Äquator haben vergrössert, damit die Winkel stimmen können. -Wurde man also nun davon ausgehen, dass die Erde flach ist so würden wir nie dort ankommen wo wir es wollen. - - -\end{document} \ No newline at end of file +Wurde man also nun davon ausgehen, dass die Erde flach ist so würden wir nie dort ankommen wo wir es wollen. \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/main.tex b/buch/papers/nav/main.tex index 9758de9..8688421 100644 --- a/buch/papers/nav/main.tex +++ b/buch/papers/nav/main.tex @@ -4,9 +4,9 @@ % (c) 2020 Hochschule Rapperswil % \chapter{Thema\label{chapter:nav}} -\lhead{Thema} +\lhead{Sphärische Navigation} \begin{refsection} -\chapterauthor{Hans Muster} +\chapterauthor{Enez Erdem, Marc Kühne} @@ -15,6 +15,7 @@ \input{papers/nav/flatearth.tex} \input{papers/nav/trigo.tex} \input{papers/nav/nautischesdreieck.tex} +\input{papers/nav/sincos.tex} \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex index 0bb213c..d6e1388 100644 --- a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex +++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex @@ -1,12 +1,3 @@ -\documentclass[12pt]{scrartcl} -\usepackage{ucs} -\usepackage[utf8]{inputenc} -\usepackage[T1]{fontenc} -\usepackage{graphicx} - \usepackage{xcolor, soul} - \sethlcolor{yellow} -\begin{document} - \setlength{\parindent}{0em} \section{Das Nautische Dreieck} \subsection{Definition des Nautischen Dreiecks} Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astronomie um die momentane Position eines Fixsterns oder Planeten an der \textbf{Himmelskugel}. @@ -19,7 +10,7 @@ Das Nautische Dreieck definiert sich durch folgende Ecken: \end{itemize} Der Zenit ist jener Punkt, der vom Erdmittelpunkt durch denn eigenen Standort an die Himmelskugel verlängert wird. Ein Gestirn ist ein Planet oder ein Fixstern, zu welchen es diverse Jahrbücher mit allen astronomischen Eigenschaften gibt. -Der Himmelspol ist der Nordpol an die Himmelskugel projeziert. +Der Himmelspol ist der Nordpol an die Himmelskugel projiziert. \\ Zur Anwendung der Formeln der sphärischen Trigonometrie gelten folgende einfache Zusammenhänge: \begin{itemize} @@ -35,7 +26,7 @@ $\alpha \ \widehat{=} \ Rektaszension $ $\delta \ \widehat{=} \ Deklination =$ Breitengrad des Gestirns -$\theta \ \widehat{=} \ Sternzeit$ +$\theta \ \widehat{=} \ Sternzeit\ von\ Greenwich$ $\phi \ \widehat{=} \ Geographische \ Breite $ @@ -46,24 +37,31 @@ $a \ \widehat{=} \ Azimut $ $h \ \widehat{=} \ Hoehe$ - +\newpage \subsection{Zusammenhang des Nautischen Dreiecks und des Kugeldreiecks auf der Erdkugel} - +\begin{figure}[h] \begin{center} - \includegraphics[height=5cm,width=5cm]{Bilder/kugel3.png} + \includegraphics[height=5cm,width=5cm]{papers/nav/bilder/kugel3.png} + \caption[Nautisches Dreieck]{Nautisches Dreieck} \end{center} +\end{figure} + Wie man im oberen Bild sieht und auch am Anfang dieses Kapitels bereits erwähnt wurde, liegt das Nautische Dreieck auf der Himmelskugel mit den Ecken Zenit, Gestirn und Himmelsnordpol. Das selbe Dreieck kann man aber auch auf die Erdkugel projezieren und hat dann die Ecken Standort, Bildpunkt und Nordpol. Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem eine gedachte Linie vom Mittelpunkt eines beobachteten Gestirns zum Mittelpunkt der Erde die Erdoberfläche schneidet. -\subsection{Varianten vom Nautischen Dreieck} + \section{Standortbestimmung ohne elektronische Hilfsmittel} Um den eigenen Standort herauszufinden, wird in diesem Kapitel die Projektion Nautische Dreieck auf der Erdkugel zur Hilfe genommen. Mithilfe einiger Hilfsmittel und der Sphärischen Trigonometrie kann man dann die Längen- und Breitengrade des eigenen Standortes bestimmen. +\begin{figure}[h] \begin{center} - \includegraphics[width=6cm]{Bilder/dreieck.png} - \end{center} + \includegraphics[width=6cm]{papers/nav/bilder/dreieck.png} + \caption[Dreieck für die Standortbestimmung]{Dreieck für die Standortbestimmung} + \end{center} +\end{figure} + @@ -73,8 +71,8 @@ Unser eigener Standort ist der gesuchte Punkt A. \subsection{Ecke A - Nordpol} Der Vorteil ander Idee des Nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol (in der Himmelskugel der Himmelsnordpol) ist. Somit ist diese Ecke immer bekannt und nur deswegen sind die Zusammenhänge von Rektaszension, Sternzeit und Deklination so simpel. - -\subsection{Ecke B und C - Bildpunkt XXX und YYY} +\newpage +\subsection{Ecke B und C - Bildpunkt X und Y} Für die Standortermittlung benötigt man als weiteren Punkt ein Gestirn bzw. seinen Bildpunkt auf der Erdkugel. Damit das trigonometrische Rechnen einfacher wird, werden hier zwei Gestirne zur Hilfe genommen. \\ @@ -96,64 +94,80 @@ Die Tatsache, dass sich die Himmelskugel ca. vier Minuten schneller um die eige Die Lösung ist die Sternzeit. Am Frühlingspunkt (21. März) 12:00 Uhr ist die Sternzeit $\theta = 0$. - + Die Sternzeit geht vom Frühlungspunkt aus, an welchem die Sonne den Himmelsäquator schneidet. Für die Standortermittlung auf der Erdkugel ist es am einfachsten, wenn man die Sternzeit von Greenwich berechnet. -Für die Sternzeit von Greenwich braucht man als erstes das Julianische Datum vom aktuellen Tag, welches sich leicht recherchieren oder berechnen lässt: \hl{$JD=....$} - -Nun berechnet man $T=\frac{JD-2451545}{36525}$ und damit die mittlere Sternzeit von Greenwich +Für die Sternzeit von Greenwich braucht man als erstes das Julianische Datum $T$ vom aktuellen Tag, welches sich leicht recherchieren lässt. +Im Anschluss berechnet man die Sternzeit von Greenwich +\\ +\\ +$T_{Greenwich} = 6^h 41^m 50^s,54841 + 8640184^s,812866 \cdot T + 0^s,093104 \cdot T^2 - 0^s,0000062 \cdot T^3$. +\\ +\\ +Wenn mann die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ mithilfe der Rektaszension und Sternzeit bestimmen. +Dies gilt analog auch für das zweite Gestirn. - $T_{Greenwich} = 6^h 41^m 50^s,54841 + 8640184^s,812866 * T + 0^s,093104*T^2 - 0^s,0000062 * T^3$. - - Wenn mann die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ mithilfe der Rektaszension und Sternzeit bestimmen. - Dies gilt analog auch für das zweite Gestirn. - - \subsubsection{Deklination} - Die Deklination $\delta$ beschreibt den Winkel zwischen dem Himmelsäquator und Gestirn und ergibt schlussendlich den Breitengrad $\psi = \delta$. - +\subsubsection{Deklination} +Die Deklination $\delta$ beschreibt den Winkel zwischen dem Himmelsäquator und Gestirn und ergibt schlussendlich den Breitengrad. +\newpage \subsection{Bestimmung des eigenen Standortes P} Nun hat man die Koordinaten der beiden Gestirne und man weiss die Koordinaten des Nordpols. Somit können wir ein erstes Kugeldreieck auf der Erde aufspannen. +\begin{figure}[h] \begin{center} - \includegraphics[width=5cm]{Bilder/dreieck.png} - \end{center} + \includegraphics[width=4.5cm]{papers/nav/bilder/dreieck.png} + \caption[Dreieck für die Standortbestimmung]{Dreieck für die Standortbestimmung} + \end{center} +\end{figure} \subsubsection{Bestimmung des ersten Dreiecks} - Mithilfe des sphärischen Trigonometrie und den darausfolgenden Zusammenhängen des Nautischen Dreiecks können wir nun alle Seiten des Dreiecks $ABC$ berechnen. - - Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt XXX" sei $c$. - Dann ist $c = \frac{\pi}{2} - \delta_1$. - - Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt YYY" sei $b$. - Dann ist $b = \frac{\pi}{2} - \delta_2$. - - Der Innenwinkel beim der Ecke "Nordpol" sei $\alpha$. - Dann ist $ \alpha = |\lambda_1 - \lambda_2|$. - + +$A=$ Nordpol + +$B=$ Bildpunkt des Gestirns XXX + +$C=$ Bildpunkt des Gestirns YYY +\\ +\\ +Mithilfe des sphärischen Trigonometrie und den darausfolgenden Zusammenhängen des Nautischen Dreiecks können wir nun alle Seiten des Dreiecks $ABC$ berechnen. + +Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt XXX" sei $c$. +Dann ist $c = \frac{\pi}{2} - \delta_1$. + +Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt YYY" sei $b$. +Dann ist $b = \frac{\pi}{2} - \delta_2$. + +Der Innenwinkel beim der Ecke "Nordpol" sei $\alpha$. +Dann ist $ \alpha = |\lambda_1 - \lambda_2|$. + mit - - $\delta_1 =$ Deklination Bildpunkt XXX - + +$\delta_1 =$ Deklination Bildpunkt XXX + $\delta_2 =$ Deklination Bildpunk YYY $\lambda_1 =$ Längengrad Bildpunkt XXX $\lambda_2 =$ Längengrad Bildpunkt YYY - Wichtig ist: Die Differenz der Längengrade ist gleich der Innenwinkel Alpha, deswegen der Betrag! + +Wichtig ist: Die Differenz der Längengrade ist gleich der Innenwinkel Alpha, deswegen der Betrag! Nun haben wir die beiden Seiten $c\ und\ b$ und den Winkel $\alpha$, der sich zwischen diesen Seiten befindet. -Mithilfe des Seiten-Kosinussatzes $cos(a) = cos(b)*cos(c) + sin(b) * sin(c)*cos(\alpha)$ können wir nun die dritte Seitenlänge bestimmen. +Mithilfe des Seiten-Kosinussatzes + +$cos(a) = \cos(b)\cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha)$ können wir nun die dritte Seitenlänge bestimmen. + Es ist darauf zu achten, dass hier natürlich die Seitenlängen in Bogenmass sind und dementsprechend der Kosinus und Sinus verwendet wird. Jetzt fehlen noch die beiden anderen Innenwinkel $\beta \ und\ \gamma$. Dieser bestimmen wir mithilfe des Sinussatzes $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}$. -Hier muss man aufpassen, dass man Seite von Winkel unterscheiden kann. Im Zähler sind die Seiten, im Nenner die Winkel. Somit ist $sin(\beta) = sin(b) * \frac{sin(\alpha)}{sin(a)} $. +Hier muss man aufpassen, dass man Seite von Winkel unterscheiden kann. Im Zähler sind die Seiten, im Nenner die Winkel. Somit ist $\beta =\sin^{-1} [\sin(b) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\sin(a)}] $. Schlussendlich haben wir die Seiten $a,b\ und \ c$, die Ecken A,B und C und die Winkel $\alpha, \beta \ und \ \gamma$ bestimmt und somit das ganze erste Kugeldreieck berechnet. @@ -168,23 +182,22 @@ Die beiden Seitenlängen kann man mit dem Sextant messen und durch eine einfache mit $h_B=$ Höhe von Gestirn in B und $h_C=$ Höhe von Gestirn in C mit Sextant gemessen. \\ -Nun muss man eine Verbindungslinie ziehen zwischen P und A. Die Länge $l$ dieser Linie entspricht der gesuchten geographischen Breite $\delta$. Diese lässt sich mithilfe des Dreiecks $ABP$ mit den bekannten Seiten $c\ und \ pb$ und des Seiten-Kosinussatzes +Nun muss man eine Verbindungslinie ziehen zwischen P und A. Die Länge $l$ dieser Linie entspricht der gesuchten geographischen Breite $\delta$. Diese lässt sich mithilfe des Dreiecks $ABP$, den bekannten Seiten $c\ und \ pb$ und des Seiten-Kosinussatzes berechnen. -$cos(l) = cos(c)*cos(pb) + sin(c) * sin(pb)*cos(\beta)$ berechnen. +Für den Seiten-Kosinussatz benötigt es noch $\kappa$. +Da wir aber $pc$, $pb$ und $a$ kennen, kann man mit dem Seiten-Kosinussatz den Winkel $\beta1$ berechnen und anschliessend $\beta + \beta1 =\kappa$. -Es fehlt uns noch $\beta1$. -Da wir aber $pc$, $pb$ und $a$ kennen, kann man mit dem Seiten-Kosinussatz den Winkel $\beta1$ berechnen -\\ +Somit ist $cos(l) = \cos(c)\cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)$ -Somit ist $\delta = cos(l) = cos(c)*cos(pb) + sin(c) * sin(pb)*cos(\beta)$. -\\ +und -Für die Geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes muss man den Winkel $\omega$, welcher sich im Dreieck $ABP$ în der Ecke bei $A$ befindet mithilfe des Sinussatzes $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}$ bestimmen. +$\delta =\cos^{-1} [\cos(c) \cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)]$. \\ -Somit ist $\omega=sin(pb)*\frac{sin(\beta)}{sin(l)}$ und unsere gesuchte geographische Länge schlussendlich -$\lambda=\lambda_1 - \omega$ - - +Für die Geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes muss man den Winkel $\omega$, welcher sich im Dreieck $ACP$ in der Ecke bei $A$ befindet mithilfe des Sinussatzes $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}$ bestimmen. +\\ -\end{document} \ No newline at end of file +Somit ist $\omega=\sin^{-1}[\sin(pc) \cdot \frac{\sin(\gamma)}{\sin(l)}]$ und unsere gesuchte geographische Länge schlussendlich +$\lambda=\lambda_1 - \omega$ mit $\lambda_1$=Längengrad Bildpunkt XXX. +\newpage +\listoffigures \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/packages.tex b/buch/papers/nav/packages.tex index 16d3a3c..9faa48d 100644 --- a/buch/papers/nav/packages.tex +++ b/buch/papers/nav/packages.tex @@ -8,8 +8,3 @@ % following example %\usepackage{packagename} -\usepackage{ucs} -\usepackage[utf8]{inputenc} -\usepackage[T1]{fontenc} -\usepackage{graphicx} -\usepackage{xcolor, soul} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/sincos.tex b/buch/papers/nav/sincos.tex new file mode 100644 index 0000000..23e3303 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/sincos.tex @@ -0,0 +1,16 @@ + + + +\section{Warum sind die Sinus- und Kosinusfunktionen spezielle Funktionen?} +Es gibt Hinweise, dass sich schon die Babylonier und Ägypter vor 4000 Jahren sich mit Problemen der sphärischen Trigonometrie beschäftigt haben um den Lauf von Gestirnen (Himmelskörper) zu berechnen. +Jedoch konnten sie sie nicht lösen. +Die Geschichte der sphärischen Trigonometrie ist daher eng mit der Astronomie verknüpft. Ca. 350 vor Christus dachten die Griechen über Kugelgeometrie nach und wurde zu einer Hilfswissenschaft der Astronomen. +In Folge werden auch die ersten Sätze aufgestellt und wenige Jahrhunderte später wurden Berechnungen zu diesem Thema angestellt. +In dieser Zeit wurden auch die ersten Sternenkarten angefertigt, jedoch kannte man damals die Sinusfunktion noch nicht. +Aus Indien stammten die ersten Ansätze zu den Kosinussätzen. +Aufbauend auf den indischen und griechischen Forschungen entwickeln die Araber um 900 den Sinussatz. +Zur Zeit der großen Entdeckungsreisen im 15. Jahrhundert wurden die Forschungen in sphärischer Trigonometrie wieder forciert. +Der Sinussatz, die Tangensfunktion und der neu entwickelte Seitenkosinussatz wurden in dieser Zeit bereits verwendet. +Im nächsten Jahrhundert folgte der Winkelkosinussatz. +Durch weitere mathematische Entwicklungen wie den Logarithmus wurden im Laufe des nächsten Jahrhunderts viele neue Methoden und kartographische Anwendungen der Kugelgeometrie entdeckt. +Im 19. und 20. Jahrhundert wurden weitere nicht-euklidische Geometrien entwickelt und die sphärische Trigonometrie fand auch ihre Anwendung in der Relativitätstheorie. \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/trigo.tex b/buch/papers/nav/trigo.tex index 0dbd7a1..2edd651 100644 --- a/buch/papers/nav/trigo.tex +++ b/buch/papers/nav/trigo.tex @@ -1,14 +1,6 @@ -\documentclass[12pt]{scrartcl} -\usepackage{ucs} -\usepackage[utf8]{inputenc} -\usepackage[T1]{fontenc} -\usepackage{graphicx} +\section{Sphärische Trigonometrie} +\subsection{Das Kugeldreieck} - -\begin{document} - \section{Sphärische Trigonometrie} - \subsection{Das Kugeldreieck} - Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden, so entsteht ein Kugeldreieck ABC. A, B und C sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten. Da die Länge der Grosskreisbögen wegen der Abhängigkeit vom Kugelradius ungeeignet ist, wird die Grösse einer Seite mit dem zugehörigen Mittelpunktwinkel des Grosskreisbogens angegeben. @@ -19,7 +11,8 @@ Wenn man drei Eckpunkte miteinander verbindet, ergeben sich immer 16 Kugeldreiec Jenes Kugeldreieck mit den Seitenlängen $a, b, c < \pi$ und den Winkeln $\alpha, \beta, \gamma < \pi$ nennt man Eulersche Dreiecke. \begin{figure}[h] \begin{center} - \includegraphics[width=6cm]{Bilder/kugel1.png} + \includegraphics[width=6cm]{papers/nav/bilder/kugel1.png} + \caption[Das Kugeldreieck]{Das Kugeldreieck} \end{center} \end{figure} @@ -27,12 +20,15 @@ Jenes Kugeldreieck mit den Seitenlängen $a, b, c < \pi$ und den Winkeln $\alpha \subsection{Rechtwinkliges Dreieck und Rechtseitiges Dreieck} Wie auch im uns bekannten Dreieck gibt es beim Kugeldreieck auch ein Rechtwinkliges Kugeldreieck, bei dem ein Winkel $\frac{\pi}{2}$ ist. Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss. - \newpage +\newpage \subsection{Winkelangabe} - +\begin{figure}[h] + \begin{center} - \includegraphics[width=8cm]{Bilder/kugel2.png} + \includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel2.png} + \caption[Winkelangabe im Kugeldreieck]{Winkelangabe im Kugeldreieck} \end{center} +\end{figure} Die Winkel eines Kugeldreiecks sind die, welche die Halbtangenten in den Eckpunkten einschliessen. Für die Summe der Innenwinkel gilt $\alpha+\beta+\gamma = \frac{A}{r^2} + \pi$ und @@ -46,6 +42,4 @@ Das bedeutet, dass $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta) \subsection{Sphärischer Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Kugeldreieck} Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich garkeinen "Satz des Pythagoras", wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt. In der sphärischen Trigonometrie gibt es aber auch einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks in eine Beziehung bringt. -Es gilt nämlich: $\cos c = \cos a * \cos b$ wenn $\alpha \lor \beta \lor \gamma = \frac{\pi}{2} $. - -\end{document} \ No newline at end of file +Es gilt nämlich: $\cos c = \cos a \cdot \cos b$ wenn $\alpha= \frac{\pi}{2} \lor \beta=\frac{\pi}{2} \lor \gamma = \frac{\pi}{2} $. \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From c0f7b4bd46fa66526f8ddfb20ce9edbcfbb03d81 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "ENEZ-PC\\erdem" Date: Tue, 17 May 2022 16:02:53 +0200 Subject: no message --- buch/papers/nav/main.tex | 5 +++-- buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex | 37 +++++++++++++++++++---------------- buch/papers/nav/packages.tex | 1 + buch/papers/nav/trigo.tex | 36 +++++++++++++++++++++++++++------- 4 files changed, 53 insertions(+), 26 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/nav/main.tex b/buch/papers/nav/main.tex index 8688421..de8d1d6 100644 --- a/buch/papers/nav/main.tex +++ b/buch/papers/nav/main.tex @@ -3,7 +3,7 @@ % % (c) 2020 Hochschule Rapperswil % -\chapter{Thema\label{chapter:nav}} +\chapter{Spährische Navigation\label{chapter:nav}} \lhead{Sphärische Navigation} \begin{refsection} \chapterauthor{Enez Erdem, Marc Kühne} @@ -11,11 +11,12 @@ \input{papers/nav/einleitung.tex} +\input{papers/nav/sincos.tex} \input{papers/nav/geschichte.tex} \input{papers/nav/flatearth.tex} \input{papers/nav/trigo.tex} \input{papers/nav/nautischesdreieck.tex} -\input{papers/nav/sincos.tex} + \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex index d6e1388..b61e908 100644 --- a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex +++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex @@ -37,6 +37,7 @@ $a \ \widehat{=} \ Azimut $ $h \ \widehat{=} \ Hoehe$ + \newpage \subsection{Zusammenhang des Nautischen Dreiecks und des Kugeldreiecks auf der Erdkugel} \begin{figure}[h] @@ -129,45 +130,47 @@ Somit können wir ein erstes Kugeldreieck auf der Erde aufspannen. $A=$ Nordpol -$B=$ Bildpunkt des Gestirns XXX +$B=$ Bildpunkt des Gestirns X -$C=$ Bildpunkt des Gestirns YYY +$C=$ Bildpunkt des Gestirns Y \\ \\ Mithilfe des sphärischen Trigonometrie und den darausfolgenden Zusammenhängen des Nautischen Dreiecks können wir nun alle Seiten des Dreiecks $ABC$ berechnen. -Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt XXX" sei $c$. +Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt X" sei $c$. Dann ist $c = \frac{\pi}{2} - \delta_1$. -Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt YYY" sei $b$. +Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt Y" sei $b$. Dann ist $b = \frac{\pi}{2} - \delta_2$. Der Innenwinkel beim der Ecke "Nordpol" sei $\alpha$. Dann ist $ \alpha = |\lambda_1 - \lambda_2|$. - +\\ +\\ mit -$\delta_1 =$ Deklination Bildpunkt XXX - -$\delta_2 =$ Deklination Bildpunk YYY +$\delta_1 =$ Deklination Bildpunkt X -$\lambda_1 =$ Längengrad Bildpunkt XXX +$\delta_2 =$ Deklination Bildpunk Y -$\lambda_2 =$ Längengrad Bildpunkt YYY +$\lambda_1 =$ Längengrad Bildpunkt X +$\lambda_2 =$ Längengrad Bildpunkt Y Wichtig ist: Die Differenz der Längengrade ist gleich der Innenwinkel Alpha, deswegen der Betrag! - +\\ +\\ Nun haben wir die beiden Seiten $c\ und\ b$ und den Winkel $\alpha$, der sich zwischen diesen Seiten befindet. Mithilfe des Seiten-Kosinussatzes - -$cos(a) = \cos(b)\cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha)$ können wir nun die dritte Seitenlänge bestimmen. - +$cos(a) = \cos(b)\cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha)$ +können wir nun die dritte Seitenlänge bestimmen. Es ist darauf zu achten, dass hier natürlich die Seitenlängen in Bogenmass sind und dementsprechend der Kosinus und Sinus verwendet wird. -Jetzt fehlen noch die beiden anderen Innenwinkel $\beta \ und\ \gamma$. -Dieser bestimmen wir mithilfe des Sinussatzes $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}$. -Hier muss man aufpassen, dass man Seite von Winkel unterscheiden kann. Im Zähler sind die Seiten, im Nenner die Winkel. Somit ist $\beta =\sin^{-1} [\sin(b) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\sin(a)}] $. +Jetzt fehlen noch die beiden anderen Innenwinkel $\beta \ und\ \gamma$. +Diese bestimmen wir mithilfe des Sinussatzes $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}$. +Hier muss man aufpassen, dass man Seite von Winkel unterscheiden kann. +Im Zähler sind die Seiten, im Nenner die Winkel. +Somit ist $\beta =\sin^{-1} [\sin(b) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\sin(a)}] $. Schlussendlich haben wir die Seiten $a,b\ und \ c$, die Ecken A,B und C und die Winkel $\alpha, \beta \ und \ \gamma$ bestimmt und somit das ganze erste Kugeldreieck berechnet. diff --git a/buch/papers/nav/packages.tex b/buch/papers/nav/packages.tex index 9faa48d..5b87303 100644 --- a/buch/papers/nav/packages.tex +++ b/buch/papers/nav/packages.tex @@ -8,3 +8,4 @@ % following example %\usepackage{packagename} +\usepackage{amsmath} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/trigo.tex b/buch/papers/nav/trigo.tex index 2edd651..8b4634f 100644 --- a/buch/papers/nav/trigo.tex +++ b/buch/papers/nav/trigo.tex @@ -1,3 +1,4 @@ +\setlength{\parindent}{0em} \section{Sphärische Trigonometrie} \subsection{Das Kugeldreieck} @@ -11,7 +12,7 @@ Wenn man drei Eckpunkte miteinander verbindet, ergeben sich immer 16 Kugeldreiec Jenes Kugeldreieck mit den Seitenlängen $a, b, c < \pi$ und den Winkeln $\alpha, \beta, \gamma < \pi$ nennt man Eulersche Dreiecke. \begin{figure}[h] \begin{center} - \includegraphics[width=6cm]{papers/nav/bilder/kugel1.png} + %\includegraphics[width=6cm]{papers/nav/bilder/kugel1.png} \caption[Das Kugeldreieck]{Das Kugeldreieck} \end{center} @@ -25,21 +26,42 @@ Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine S \begin{figure}[h] \begin{center} - \includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel2.png} + %\includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel2.png} \caption[Winkelangabe im Kugeldreieck]{Winkelangabe im Kugeldreieck} \end{center} \end{figure} + Die Winkel eines Kugeldreiecks sind die, welche die Halbtangenten in den Eckpunkten einschliessen. -Für die Summe der Innenwinkel gilt $\alpha+\beta+\gamma = \frac{A}{r^2} + \pi$ und -$\alpha+\beta+\gamma > \pi$. -Der sphärische Exzess $\epsilon = \alpha+\beta+\gamma - \pi$ beschreibt die Abweichung der Innenwinkelsumme von $\pi$ und ist proportional zum Flächeninhalt des Kugeldreiecks. +Für die Summe der Innenwinkel gilt +\begin{align} + \alpha+\beta+\gamma &= \frac{A}{r^2} + \pi \ \text{und} \ \alpha+\beta+\gamma > \pi. \nonumber +\end{align} + +Der sphärische Exzess +\begin{align} + \epsilon = \alpha+\beta+\gamma - \pi \nonumber +\end{align} +beschreibt die Abweichung der Innenwinkelsumme von $\pi$ und ist proportional zum Flächeninhalt des Kugeldreiecks. \subsection{Sphärischer Sinussatz} In jedem Dreieck ist das Verhältnis des Sinus einer Seite zum Sinus des Gegenwinkels konstant. -Das bedeutet, dass $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)} $ auch beim Kugeldreieck gilt. + +Das bedeutet, dass + +\begin{align} + \frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)} \nonumber \ \text{auch beim Kugeldreieck gilt.} +\end{align} + + \subsection{Sphärischer Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Kugeldreieck} Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich garkeinen "Satz des Pythagoras", wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt. In der sphärischen Trigonometrie gibt es aber auch einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks in eine Beziehung bringt. -Es gilt nämlich: $\cos c = \cos a \cdot \cos b$ wenn $\alpha= \frac{\pi}{2} \lor \beta=\frac{\pi}{2} \lor \gamma = \frac{\pi}{2} $. \ No newline at end of file + +Es gilt nämlich: +\begin{align} + \cos c = \cos a \cdot \cos b \ \text{wenn} \nonumber & + \alpha = \frac{\pi}{2} \lor \beta =\frac{\pi}{2} \lor \gamma = \frac{\pi}{2}.\nonumber +\end{align} + \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From 955047b8a63a3b08b27d9203030e2b5193e21dab Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Andrea Mozzini Vellen Date: Wed, 18 May 2022 13:55:56 +0200 Subject: Ersten Entwurf --- buch/papers/kreismembran/main.tex | 10 -- buch/papers/kreismembran/teil1.tex | 181 ++++++++++++++++++------------------- buch/papers/kreismembran/teil2.tex | 128 +++++++++++++++++++------- buch/papers/kreismembran/teil3.tex | 102 ++++++++++++++------- 4 files changed, 255 insertions(+), 166 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/kreismembran/main.tex b/buch/papers/kreismembran/main.tex index eafec18..e63a118 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/main.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/main.tex @@ -7,16 +7,6 @@ \lhead{Schwingungen einer kreisförmligen Membran} \begin{refsection} \chapterauthor{Andrea Mozzini Vellen und Tim Tönz} -\begin{itemize} -\item -Tim ist ein snitch -\item -ich dachte wir sind gute Freunden -\item -du schuldest mir ein bier -\item -auch ein gin tonic -\end{itemize} \input{papers/kreismembran/teil0.tex} \input{papers/kreismembran/teil1.tex} diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil1.tex b/buch/papers/kreismembran/teil1.tex index 29a47a6..aef5b79 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil1.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil1.tex @@ -3,101 +3,98 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -\section{Die Hankel Transformation \label{kreismembran:section:teil1}} -\rhead{Die Hankel Transformation} - -Hermann Hankel (1839-1873) war ein deutscher Mathematiker, der für seinen Beitrag zur mathematischen Analyse und insbesondere für seine namensgebende Transformation bekannt ist. -Diese Transformation tritt bei der Untersuchung von funktionen auf, die nur von der Enternung des Ursprungs abhängen. -Er studierte auch funktionen, jetzt Hankel- oder Bessel- Funktionen genannt, der dritten Art. -Die Hankel Transformation mit Bessel Funktionen al Kern taucht natürlich bei achsensymmetrischen Problemen auf, die in Zylindrischen Polarkoordinaten formuliert sind. -In diesem Kapitel werden die Theorie der Transformation und einige Eigenschaften der Grundoperationen erläutert. - -Wir führen die Definition der Hankel Transformation aus der zweidimensionalen Fourier Transformation und ihrer Umkehrung ein, die durch: -\begin{align} - \mathscr{F}\{f(x,y)\} & = F(k,l)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i( \bm{\kappa}\cdot \mathbf{r})}f(x,y) dx dy,\label{equation:fourier_transform}\\ - \mathscr{F}^{-1}\{F(x,y)\} & = f(x,y)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i(\bm{\kappa}\cdot \mathbf{r}))}F(k,l) dx dy \label{equation:inv_fourier_transform} -\end{align} -wo $\mathbf{r}=(x,y)$ und $\bm{\kappa}=(k,l)$. Wie bereits erwähnt, sind Polarkoordinaten für diese Art von Problemen am besten geeignet, also mit, $(x,y)=r(\cos\theta,\sin\theta)$ und $(k,l)=\kappa(\cos\phi,\sin\phi)$, findet man $\bm{\kappa}\cdot\mathbf{r}=\kappa r(\cos(\theta-\phi))$ und danach: -\begin{align} - F(k,\phi)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}r dr \int_{0}^{2\pi}e^{-ikr\cos(\theta-\phi)}f(r,\theta) d\phi. - \label{equation:F_ohne_variable_wechsel} -\end{align} -Dann wird angenommen dass, $f(r,\theta)=e^{in\theta}f(r)$, was keine strenge Einschränkung ist, und es wird eine Änderung der Variabeln vorgenommen $\theta-\phi=\alpha-\frac{\pi}{2}$, um \ref{equation:F_ohne_variable_wechsel} zu reduzieren: -\begin{align} - F(k,\phi)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}rf(r) dr \int_{\phi_{0}}^{2\pi+\phi_{0}}e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})+i(n\alpha-kr\sin\alpha)} d\alpha, - \label{equation:F_ohne_bessel} -\end{align} -wo $\phi_{0}=(\frac{\pi}{2}-\phi)$. - -Unter Verwendung der Integral Darstellung der Besselfunktion vom Ordnung n -\begin{align} - J_n(\kappa r)=\frac{1}{2\pi}\int_{\phi_{0}}^{2\pi + \phi_{0}}e^{i(n\alpha-\kappa r \sin \alpha)} d\alpha - \label{equation:bessel_n_ordnung} -\end{align} -\eqref{equation:F_ohne_bessel} wird sie zu: -\begin{align} - F(k,\phi)&=e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})}\int_{0}^{\infty}rJ_n(\kappa r) f(r) dr \label{equation:F_mit_bessel_step_1} \\ - &=e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})}\tilde{f}_n(\kappa), - \label{equation:F_mit_bessel_step_2} -\end{align} -wo $\tilde{f}_n(\kappa)$ ist die \textit{Hankel Transformation} von $f(r)$ und ist formell definiert durch: -\begin{align} - \mathscr{H}_n\{f(r)\}=\tilde{f}_n(\kappa)=\int_{0}^{\infty}rJ_n(\kappa r) f(r) dr. - \label{equation:hankel} -\end{align} - -Ähnlich verhält es sich mit der inversen Fourier Transformation in Form von polaren Koordinaten unter der Annahme $f(r,\theta)=e^{in\theta}f(r)$ mit \ref{equation:F_mit_bessel_step_2}, wird die inverse Fourier Transformation \ref{equation:inv_fourier_transform}: +\section{Lösungsmethode 1: Separationsmethode  + \label{kreismembran:section:teil1}} +\rhead{Lösungsmethode 1: Separationsmethode} +An diesem Punkt bleibt also nur noch die Lösung der partiellen Differentialgleichung. In diesem Kapitel wird sie mit Hilfe der Separationsmetode gelöst. + +Wie im vorherigen Kapitel gezeigt, lautet die partielle Differentialgleichung, die die Schwingungen einer Membran beschreibt: +\begin{equation*} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \Delta u +\end{equation*} +Da es sich um eine Kreisscheibe handelt, werden Polarkoordinaten verwendet, so dass sich der Laplaceoperator ergibt: +\begin{equation*} + \Delta + = + \frac{\partial^2}{\partial r^2} + + + \frac1r + \frac{\partial}{\partial r} + + + \frac{1}{r 2} + \frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}. + \label{buch:pde:kreis:laplace} +\end{equation*} + +Es wird eine runde elastische Membran berücksichtigt, die den Gebietbereich $\Omega$ abdeckt und am Rand $\Gamma$ befestigt ist. +Es wird daher davon ausgegangen, dass die Membran aus einem homogenen Material von vernachlässigbarer Dicke gefertigt ist. +Die Membran kann verformt werden, aber innere elastische Kräfte wirken den Verformungen entgegen. Es wirken keine äusseren Kräfte. Es handelt sich somit von einer kreisförmligen eigespannten homogenen schwingenden Membran. + +Daher ist die Membranabweichung im Punkt $(r,\varphi)$ $\in$ $\overline{\rm \Omega}$ zum Zeitpunkt $t$: \begin{align*} - e^{in\theta}f(r)&=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\kappa d\kappa \int_{0}^{2\pi}e^{i\kappa r \cos (\theta - \phi)}F(\kappa,\phi) d\phi\\ - &= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\kappa \tilde{f}_n(\kappa) d\kappa \int_{0}^{2\pi}e^{in(\phi - \frac{\pi}{2})- i\kappa r \cos (\theta - \phi)} d\phi, + u: \overline{\rm \Omega} \times \mathbb{R}_{\geq 0} &\longrightarrow \mathbb{R}\\ + (r,\varphi,t) &\longmapsto u(r,\varphi,t) \end{align*} -was durch den Wechsel der Variablen $\theta-\phi=-(\alpha+\frac{\pi}{2})$ und $\theta_0=-(\theta+\frac{\pi}{2})$, - -\begin{align} - &= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\kappa \tilde{f}_n(\kappa) d\kappa \int_{\theta_0}^{2\pi+\theta_0}e^{in(\theta + \alpha - i\kappa r \sin\alpha)} d\alpha \nonumber \\ - &= e^{in\theta}\int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) \tilde{f}_n(\kappa) d\kappa,\quad \text{von \eqref{equation:bessel_n_ordnung}} -\end{align} - -Also, die inverse \textit{Hankel Transformation} ist so definiert: -\begin{align} - \mathscr{H}^{-1}_n\{\tilde{f}_n(\kappa)\}=f(r)=\int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) \tilde{f}_n(\kappa) d\kappa. - \label{equation:inv_hankel} -\end{align} - -Anstelle von $\tilde{f}_n(\kappa)$, wird häufig für die Hankel Transformation verwendet, indem die Ordnung angegeben wird. -\eqref{equation:hankel} und \eqref{equation:inv_hankel} Integralen existieren für eine grosse Klasse von Funktionen, die normalerweise in physikalischen Anwendungen benötigt werden. -Alternativ kann auch die berühmte Hankel Transformationsformel verwendet werden, - -\begin{align} - f(r) = \int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) d\kappa \int_{0}^{\infty} p J_n(\kappa p)f(p) dp, - \label{equation:hankel_integral_formula} -\end{align} -um die Hankel Transformation \eqref{equation:hankel} und ihre Inverse \eqref{equation:inv_hankel} zu definieren. -Insbesondere die Hankel Transformation der nullten Ordnung ($n=0$) und der ersten Ordnung ($n=1$) sind häufig nützlich, um Lösungen für Probleme mit der Laplace Gleichung in einer achsensymmetrischen zylindrischen Geometrie zu finden. - -\subsection{Operative Eigenschaften der Hankel Transformation\label{sub:op_properties_hankel}} -In diesem Kapitel werden die operativen Eigenschaften der Hankel Transformation aufgeführt. Der Beweis für ihre Gültigkeit wird jedoch nicht analysiert. - -\subsubsection{Skalierung \label{subsub:skalierung}} -Wenn $\mathscr{H}_n\{f(r)\}=\tilde{f}_n(\kappa)$, dann: - -\begin{equation} - \mathscr{H}_n\{f(ar)\}=\frac{1}{a^{2}}\tilde{f}_n \left(\frac{\kappa}{a}\right), \quad a>0. -\end{equation} - -\subsubsection{Persevalsche Relation \label{subsub:perseval}} -Wenn $\tilde{f}(\kappa)=\mathscr{H}_n\{f(r)\}$ und $\tilde{g}(\kappa)=\mathscr{H}_n\{g(r)\}$, dann: - +Da die Membran am Rand befestigt ist, kann es keine Schwingungen geben, so dass die \textit{Dirichlet-Randbedingung} gilt: +\begin{equation*} + u\big|_{\Gamma} = 0 +\end{equation*} +Um eine eindeutige Lösung bestimmen zu können, werden die folgenden Anfangsbedingungen festgelegt: +\begin{align*} + u(r,\varphi, 0) &= f(r,\varphi)\\ + \frac{\partial}{\partial t} u(r,\varphi, 0) &= g(r,\varphi) +\end{align*} +Daher muss an dieser Stelle von einer Separation der Variablen ausgegangen werden: +\begin{equation*} + u(r,\varphi, t) = F(r)G(\varphi)T(t) +\end{equation*} +Dank der Randbedingungen kann also gefordert werden, dass $F(R)=0$ ist, und natürlich, dass $G(\varphi)$ $2\pi$ periodisch ist. Eingesetz in der Differenzialgleichung ergibt: +\begin{equation*} + \frac{1}{c^2}\frac{T''(t)}{T(t)}=\frac{F''(r)}{F(r)}+\frac{1}{r}\frac{F'(r)}{F(r)}+\frac{1}{r^2}\frac{G''(\varphi)}{G(\varphi)} +\end{equation*} +Da die linke Seite nur von $t$ und die rechte Seite nur von $r$ und $\varphi$ abhängt, müssen sie gleich einer reellen Zahl sein. Aus physikalischen Grunden suchen wir nach Lösungen, die weder exponentiell in der Zeit wachsen noch exponentiell abklingen. Dies bedeutet, dass die Konstante negativ sein muss, also schreibt man $k=-k^2$. Daraus ergeben sich die folgenden zwei Gleichungen: +\begin{gather*} + T''(t) + c^2\kappa^2T(t) = 0\\ + r^2\frac{F''(r)}{F(r)} + r \frac{F'(r)}{F(r)} +\kappa^2 r^2 = - \frac{G''(\varphi)}{G(\varphi)} +\end{gather*} +In der zweiten Gleichung hängt die linke Seite nur von $r$ ab, während die rechte Seite nur von $\varphi$ abhängt. Sie müssen also wiederum gleich einer reellen Zahl $\nu$ sein. Also das: +\begin{gather*} + r^2F''(r) + rF'(r) + (\kappa^2 r^2 - \nu)F(r) = 0 \\ + G''(\varphi) = \nu G(\varphi) +\end{gather*} +$G$ kann in einer Fourierreihe entwickelt werden, so dass man sieht, dass $\nu$ die Form $n^2$ mit einer positiven ganzen Zahl sein muss, also: +\begin{equation*} + G(\varphi) = C_n \cos(\varphi) + D_n \sin(\varphi) +\end{equation*} +Die Gleichung $F$ hat die Gestalt +\begin{equation*} + r^2F''(r) + rF'(r) + (\kappa^2 r^2 - n^2)F(r) = 0 \quad (*) +\end{equation*} +Wir bereits in der Vorlesung von Prof. Müller gezeigt, sind die Besselfunktionen +\begin{equation*} + J_{\nu}(x) = r^\nu \displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m x^{2m}}{2^{2m+\nu}m! \Gamma (\nu + m+1)} +\end{equation*} +Lösungen der "Besselschen Differenzialgleichung" +\begin{equation*} + x^2 y'' + xy' + (x^2 - \nu^2)y = 0 +\end{equation*} +Die Funktionen $F(r) = J_n(\kappa r)$ lösen also die Differentialgleichung $(*)$. Die +Randbedingung $F(R)=0$ impliziert, dass $\kappa R$ eine Nullstelle der Besselfunktion +$J_n$ sein muss. Man kann zeigen, dass die Besselfunktionen $J_n, n \geq 0$, alle unendlich +viele Nullstellen +\begin{equation*} + \alpha_{1n} < \alpha_{2n} < ... +\end{equation*} +haben, und dass $\underset{\substack{m\to\infty}}{\text{lim}} \alpha_{mn}=\infty$. Somit ergit sich, dass $\kappa = \frac{\alpha_{mn}}{R}$ für ein $m\geq 1$, und dass +\begin{equation*} + F(r) = J_n (\kappa_{mn}r) \quad mit \quad \kappa_{mn}=\frac{\alpha_{mn}}{R} +\end{equation*} +Die Differenzialgleichung $T''(t) + c^2\kappa^2T(t) = 0$, wird auf ähnliche Weise gelöst wie $G(\varphi)$. Durch Überlagerung aller Ergebnisse erhält man die Lösung \begin{equation} - \int_{0}^{\infty}rf(r) dr = \int_{0}^{\infty}\kappa\tilde{f}(\kappa)\tilde{g}(\kappa) d\kappa. + u(r, \varphi, t) = \displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} J_n (k_{mn}r)\cos(n\varphi)[a_{mn}\cos(c \kappa_{mn} t)+b_{mn}\sin(c \kappa_{mn} t)] \end{equation} +Dabei sind m und n ganze Zahlen, wobei m für die Anzahl der Knotenkreise und n +für die Anzahl der Knotenlinien steht. Es gibt bestimmte Bereiche auf der Membran, in denen es keine Bewegung oder Vibration gibt. Wenn der nicht schwingende Bereich ein Kreis ist, nennt man ihn einen Knotenkreis, und wenn er eine Linie ist, nennt man ihn ebenfalls eine Knotenlinie. $Jn(\kappa_{mn}r)$ ist die Besselfunktion $n$-ter Ordnung, wobei kmn die Wellenzahl und $r$ der Radius ist. $a_{mn}$ und $b_{mn}$ sind die zu bestimmenden Konstanten. -\subsubsection{Hankel Transformationen von Ableitungen \label{subsub:ableitungen}} -Wenn $\tilde{f}_n(\kappa)=\mathscr{H}_n\{f(r)\}$, dann: - -\begin{align} - &\mathscr{H}_n\{f'(r)\}=\frac{\kappa}{2n}\left[(n-1)\tilde{f}_{n+1}(\kappa)-(n+1)\tilde{f}_{n-1}(\kappa)\right], \quad n\geq1, \\ - &\mathscr{H}_1\{f'(r)\}=-\kappa \tilde{f}_0(\kappa), -\end{align} -bereitgestellt dass $[rf(r)]$ verschwindet als $r\to0$ und $r\to\infty=0$. \ No newline at end of file +An diesem Punkt stellte sich die Frage, ob es möglich wäre, die partielle Differentialgleichung mit einer anderen Methode als der der Trennung der Variablen zu lösen. Nach einer kurzen Recherche und Diskussion mit Prof. Müller wurde festgestellt, dass die beste Methode die Transformationsmethode ist, genauer gesagt die Anwendung der Hankel-Transformation. Im nächsten Kapitel wird daher diese Integraltransformation vorgestellt und entwickelt, und es wird erläutert, warum sie für diese Art von Problem geeignet ist. diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil2.tex b/buch/papers/kreismembran/teil2.tex index 45357f2..8afe817 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil2.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil2.tex @@ -2,48 +2,112 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Lösung der partiellen Differentialgleichung - \label{kreismembran:section:teil2}} -\rhead{Lösung der partiellen Differentialgleichung} +\section{Die Hankel Transformation \label{kreismembran:section:teil2}} +\rhead{Die Hankel Transformation} + +Hermann Hankel (1839-1873) war ein deutscher Mathematiker, der für seinen Beitrag zur mathematischen Analyse und insbesondere für seine namensgebende Transformation bekannt ist. +Diese Transformation tritt bei der Untersuchung von funktionen auf, die nur von der Enternung des Ursprungs abhängen. +Er studierte auch funktionen, jetzt Hankel- oder Bessel- Funktionen genannt, der dritten Art. +Die Hankel Transformation mit Bessel Funktionen al Kern taucht natürlich bei achsensymmetrischen Problemen auf, die in Zylindrischen Polarkoordinaten formuliert sind. +In diesem Kapitel werden die Theorie der Transformation und einige Eigenschaften der Grundoperationen erläutert. + + +Wir führen die Definition der Hankel Transformation aus der zweidimensionalen Fourier Transformation und ihrer Umkehrung ein, die durch: +\begin{align} + \mathscr{F}\{f(x,y)\} & = F(k,l)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i( \bm{\kappa}\cdot \mathbf{r})}f(x,y) dx dy,\label{equation:fourier_transform}\\ + \mathscr{F}^{-1}\{F(x,y)\} & = f(x,y)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i(\bm{\kappa}\cdot \mathbf{r}))}F(k,l) dx dy \label{equation:inv_fourier_transform} +\end{align} +wo $\mathbf{r}=(x,y)$ und $\bm{\kappa}=(k,l)$. Wie bereits erwähnt, sind Polarkoordinaten für diese Art von Problemen am besten geeignet, also mit, $(x,y)=r(\cos\theta,\sin\theta)$ und $(k,l)=\kappa(\cos\phi,\sin\phi)$, findet man $\bm{\kappa}\cdot\mathbf{r}=\kappa r(\cos(\theta-\phi))$ und danach: +\begin{align} + F(k,\phi)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}r dr \int_{0}^{2\pi}e^{-ikr\cos(\theta-\phi)}f(r,\theta) d\phi. + \label{equation:F_ohne_variable_wechsel} +\end{align} +Dann wird angenommen dass, $f(r,\theta)=e^{in\theta}f(r)$, was keine strenge Einschränkung ist, und es wird eine Änderung der Variabeln vorgenommen $\theta-\phi=\alpha-\frac{\pi}{2}$, um \eqref{equation:F_ohne_variable_wechsel} zu reduzieren: +\begin{align} + F(k,\phi)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}rf(r) dr \int_{\phi_{0}}^{2\pi+\phi_{0}}e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})+i(n\alpha-kr\sin\alpha)} d\alpha, + \label{equation:F_ohne_bessel} +\end{align} +wo $\phi_{0}=(\frac{\pi}{2}-\phi)$. + +Unter Verwendung der Integral Darstellung der Besselfunktion vom Ordnung n +\begin{align} + J_n(\kappa r)=\frac{1}{2\pi}\int_{\phi_{0}}^{2\pi + \phi_{0}}e^{i(n\alpha-\kappa r \sin \alpha)} d\alpha + \label{equation:bessel_n_ordnung} +\end{align} +\eqref{equation:F_ohne_bessel} wird sie zu: +\begin{align} + F(k,\phi)&=e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})}\int_{0}^{\infty}rJ_n(\kappa r) f(r) dr \label{equation:F_mit_bessel_step_1} \\ + &=e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})}\tilde{f}_n(\kappa), + \label{equation:F_mit_bessel_step_2} +\end{align} +wo $\tilde{f}_n(\kappa)$ ist die \textit{Hankel Transformation} von $f(r)$ und ist formell definiert durch: +\begin{align} + \mathscr{H}_n\{f(r)\}=\tilde{f}_n(\kappa)=\int_{0}^{\infty}rJ_n(\kappa r) f(r) dr. + \label{equation:hankel} +\end{align} + +Ähnlich verhält es sich mit der inversen Fourier Transformation in Form von polaren Koordinaten unter der Annahme $f(r,\theta)=e^{in\theta}f(r)$ mit \eqref{equation:F_mit_bessel_step_2}, wird die inverse Fourier Transformation \eqref{equation:inv_fourier_transform}: + +\begin{align} + e^{in\theta}f(r)&=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\kappa d\kappa \int_{0}^{2\pi}e^{i\kappa r \cos (\theta - \phi)}F(\kappa,\phi) d\phi\\ + &= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\kappa \tilde{f}_n(\kappa) d\kappa \int_{0}^{2\pi}e^{in(\phi - \frac{\pi}{2})- i\kappa r \cos (\theta - \phi)} d\phi, +\end{align} +was durch den Wechsel der Variablen $\theta-\phi=-(\alpha+\frac{\pi}{2})$ und $\theta_0=-(\theta+\frac{\pi}{2})$, + +\begin{align} + &= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\kappa \tilde{f}_n(\kappa) d\kappa \int_{\theta_0}^{2\pi+\theta_0}e^{in(\theta + \alpha - i\kappa r \sin\alpha)} d\alpha \nonumber \\ + &= e^{in\theta}\int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) \tilde{f}_n(\kappa) d\kappa,\quad \text{von \eqref{equation:bessel_n_ordnung}} +\end{align} + +Also, die inverse \textit{Hankel Transformation} ist so definiert: +\begin{align} + \mathscr{H}^{-1}_n\{\tilde{f}_n(\kappa)\}=f(r)=\int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) \tilde{f}_n(\kappa) d\kappa. + \label{equation:inv_hankel} +\end{align} + +Anstelle von $\tilde{f}_n(\kappa)$, wird häufig für die Hankel Transformation verwendet, indem die Ordnung angegeben wird. +\eqref{equation:hankel} und \eqref{equation:inv_hankel} Integralen existieren für eine grosse Klasse von Funktionen, die normalerweise in physikalischen Anwendungen benötigt werden. +Alternativ kann auch die berühmte Hankel Transformationsformel verwendet werden, + +\begin{align} + f(r) = \int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) d\kappa \int_{0}^{\infty} p J_n(\kappa p)f(p) dp, + \label{equation:hankel_integral_formula} +\end{align} +um die Hankel Transformation \eqref{equation:hankel} und ihre Inverse \eqref{equation:inv_hankel} zu definieren. +Insbesondere die Hankel Transformation der nullten Ordnung ($n=0$) und der ersten Ordnung ($n=1$) sind häufig nützlich, um Lösungen für Probleme mit der Laplace Gleichung in einer achsensymmetrischen zylindrischen Geometrie zu finden. + +\subsection{Operative Eigenschaften der Hankel Transformation\label{sub:op_properties_hankel}} +In diesem Kapitel werden die operativen Eigenschaften der Hankel Transformation aufgeführt. Der Beweis für ihre Gültigkeit wird jedoch nicht analysiert. + +\subsubsection{Theorem 1: Skalierung \label{subsub:skalierung}} +Wenn $\mathscr{H}_n\{f(r)\}=\tilde{f}_n(\kappa)$, dann: -Wie im vorherigen Kapitel gezeigt, lautet die partielle Differentialgleichung, die die Schwingungen einer Membran beschreibt: \begin{equation*} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \Delta u + \mathscr{H}_n\{f(ar)\}=\frac{1}{a^{2}}\tilde{f}_n \left(\frac{\kappa}{a}\right), \quad a>0. \end{equation*} -Da es sich um eine Kreisscheibe handelt, werden Polarkoordinaten verwendet, so dass sich der Laplaceoperator ergibt: + +\subsubsection{Theorem 2: Persevalsche Relation \label{subsub:perseval}} +Wenn $\tilde{f}(\kappa)=\mathscr{H}_n\{f(r)\}$ und $\tilde{g}(\kappa)=\mathscr{H}_n\{g(r)\}$, dann: + \begin{equation*} - \Delta - = - \frac{\partial^2}{\partial r^2} - + - \frac1r - \frac{\partial}{\partial r} - + - \frac{1}{r 2} - \frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}. - \label{buch:pde:kreis:laplace} + \int_{0}^{\infty}rf(r) dr = \int_{0}^{\infty}\kappa\tilde{f}(\kappa)\tilde{g}(\kappa) d\kappa. \end{equation*} -Es wird eine runde elastische Membran berücksichtigt, die den Gebietbereich $\Omega$ abdeckt und am Rand $\Gamma$ befestigt ist. -Es wird daher davon ausgegangen, dass die Membran aus einem homogenen Material von vernachlässigbarer Dicke gefertigt ist. -Die Membran kann verformt werden, aber innere elastische Kräfte wirken den Verformungen entgegen. Es wirken keine äusseren Kräfte. Es handelt sich somit von einer kreisförmligen eigespannten homogenen schwingenden Membran. +\subsubsection{Theorem 3: Hankel Transformationen von Ableitungen \label{subsub:ableitungen}} +Wenn $\tilde{f}_n(\kappa)=\mathscr{H}_n\{f(r)\}$, dann: -Daher ist die Membranabweichung im Punkt $(r,\theta)$ $\in$ $\overline{\rm \Omega}$ zum Zeitpunkt $t$: \begin{align*} - u: \overline{\rm \Omega} \times \mathbb{R}_{\geq 0} &\longrightarrow \mathbb{R}\\ - (r,\theta,t) &\longmapsto u(r,\theta,t) + &\mathscr{H}_n\{f'(r)\}=\frac{\kappa}{2n}\left[(n-1)\tilde{f}_{n+1}(\kappa)-(n+1)\tilde{f}_{n-1}(\kappa)\right], \quad n\geq1, \\ + &\mathscr{H}_1\{f'(r)\}=-\kappa \tilde{f}_0(\kappa), \end{align*} -Da die Membran am Rand befestigt ist, kann es keine Schwingungen geben, so dass die \textit{Dirichlet-Randbedingung} gilt: -\begin{equation*} - u\big|_{\Gamma} = 0 -\end{equation*} +bereitgestellt dass $[rf(r)]$ verschwindet als $r\to0$ und $r\to\infty$. +\subsubsection{Theorem 4 \label{subsub:thorem4}} +Wenn $\mathscr{H}_n\{f(r)\}=\tilde{f}_n(\kappa)$, dann: -Um eine eindeutige Lösung bestimmen zu können, werden die folgenden Anfangsbedingungen festgelegt: +\begin{equation*} + \mathscr{H}_n \left\{ \left( \nabla^2 - \frac{n^2}{r^2} f(r)\right)\right\}= \mathscr{H}_n\left\{\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{df}{dr}\right) - \frac{n^2}{r^2}f(r)\right\}=-\kappa^2\tilde{f}_{n}(\kappa), +\end{equation*} +bereitgestellt dass $rf'(r)$ und $rf(r)$ verschwinden als $r\to0$ und $r\to\infty$. -\begin{align*} - u(r,\theta, 0) &:= f(x,y)\\ - \frac{\partial}{\partial t} u(r,\theta, 0) &:= g(x,y) -\end{align*} -An dieser Stelle könnte man zum Beispiel die bereits in Kapitel (TODO:refKAPITEL) vorgestellte Methode der Separation anwenden. Da es sich in diesem Fall jedoch um einem achsensymmetrischen Problem handelt, das in Polarkoordinaten formuliert ist, wird man die Transformationsmethode verwenden, insbesondere die Hankel Transformation. diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil3.tex b/buch/papers/kreismembran/teil3.tex index 73dee0f..bef8b5f 100644 --- a/buch/papers/kreismembran/teil3.tex +++ b/buch/papers/kreismembran/teil3.tex @@ -3,38 +3,76 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Teil 3 +\section{Lösungsmethode 2: Transformationsmethode \label{kreismembran:section:teil3}} -\rhead{Teil 3} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{kreismembran:subsection:malorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. +\rhead{Lösungsmethode 2: Transformationsmethode} +Die Hankel-Transformation wird dann zur Lösung der Differentialgleichung verwendet. Es müssen jedoch einige Änderungen an dem Problem vorgenommen werden, damit es mit den Annahmen übereinstimmt, die für die Verwendung der Hankel-Transformation erforderlich sind. Das heisst, dass die Funktion u nur von der Entfernung zum Ausgangspunkt abhängt. Wir führen also das Konzept einer unendlichen und achsensymmetrischen Membran ein: +\begin{equation*} + \frac{\partial^2u}{\partial t^2} + = + c^2 \left(\frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + + + \frac{1}{r} + \frac{\partial u}{\partial r} \right), \quad 00 + \label{eq:PDE_inf_membane} +\end{equation*} + +\begin{align} + u(r,0)=f(r), \quad \frac{\partial}{\partial t} u(r,0) = g(r), \quad \text{für} \quad 0 Date: Wed, 18 May 2022 14:20:41 +0200 Subject: =?UTF-8?q?Dreiecke=20f=C3=BCr=20Nav?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- buch/papers/nav/images/Makefile | 10 +++- buch/papers/nav/images/common.inc | 28 ++++++++-- buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pdf | Bin 0 -> 90451 bytes buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pov | 12 ++--- buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pdf | Bin 0 -> 69523 bytes buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pov | 6 +-- buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pdf | Bin 0 -> 82512 bytes buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pov | 8 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buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pdf create mode 100644 buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pov create mode 100644 buch/papers/nav/images/dreieck3d8.tex (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/nav/images/Makefile b/buch/papers/nav/images/Makefile index c9dcacc..bbdea2f 100644 --- a/buch/papers/nav/images/Makefile +++ b/buch/papers/nav/images/Makefile @@ -50,7 +50,8 @@ DREIECKE3D = \ dreieck3d4.pdf \ dreieck3d5.pdf \ dreieck3d6.pdf \ - dreieck3d7.pdf + dreieck3d7.pdf \ + dreieck3d8.pdf dreiecke3d: $(DREIECKE3D) @@ -106,3 +107,10 @@ dreieck3d7.jpg: dreieck3d7.png dreieck3d7.pdf: dreieck3d7.tex dreieck3d7.jpg pdflatex dreieck3d7.tex +dreieck3d8.png: dreieck3d8.pov common.inc + povray +A0.1 $(POVRAYOPTIONS) -Odreieck3d8.png dreieck3d8.pov +dreieck3d8.jpg: dreieck3d8.png + convert dreieck3d8.png -density 300 -units PixelsPerInch dreieck3d8.jpg +dreieck3d8.pdf: dreieck3d8.tex dreieck3d8.jpg + pdflatex dreieck3d8.tex + diff --git a/buch/papers/nav/images/common.inc b/buch/papers/nav/images/common.inc index 33d9384..e2a1ed0 100644 --- a/buch/papers/nav/images/common.inc +++ b/buch/papers/nav/images/common.inc @@ -97,13 +97,13 @@ union { } #end -#macro winkel(w, p, q, staerke) +#macro winkel(w, p, q, staerke, r) #declare n = vnormalize(w); #declare pp = vnormalize(p - vdot(n, p) * n); #declare qq = vnormalize(q - vdot(n, q) * n); intersection { sphere { <0, 0, 0>, 1 + staerke } - cone { <0, 0, 0>, 0, 1.2 * vnormalize(w), 0.4 } + cone { <0, 0, 0>, 0, 1.2 * vnormalize(w), r } plane { -vcross(n, qq) * vdot(vcross(n, qq), pp), 0 } plane { -vcross(n, pp) * vdot(vcross(n, pp), qq), 0 } } @@ -113,8 +113,30 @@ union { sphere { p, 1.5 * staerke } #end +#macro dreieck(p, q, r, farbe) + #declare n1 = vnormalize(vcross(p, q)); + #declare n2 = vnormalize(vcross(q, r)); + #declare n3 = vnormalize(vcross(r, p)); + intersection { + plane { n1, 0 } + plane { n2, 0 } + plane { n3, 0 } + sphere { <0, 0, 0>, 1 + 0.001 } + pigment { + color farbe + } + finish { + metallic + specular 0.4 + } + } +#end + #declare fett = 0.015; -#declare fine = 0.010; +#declare fein = 0.010; + +#declare klein = 0.3; +#declare gross = 0.4; #declare dreieckfarbe = rgb<0.6,0.6,0.6>; #declare rot = rgb<0.8,0.2,0.2>; diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pdf new file mode 100644 index 0000000..015bce7 Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pov index 8afe60e..e491075 100644 --- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pov +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d1.pov @@ -12,9 +12,9 @@ union { punkt(A, fett) punkt(B, fett) punkt(C, fett) - punkt(P, fine) - seite(B, P, fine) - seite(C, P, fine) + punkt(P, fein) + seite(B, P, fein) + seite(C, P, fein) pigment { color dreieckfarbe } @@ -25,7 +25,7 @@ union { } object { - winkel(A, B, C, fine) + winkel(A, B, C, fein, gross) pigment { color rot } @@ -36,7 +36,7 @@ object { } object { - winkel(B, C, A, fine) + winkel(B, C, A, fein, gross) pigment { color gruen } @@ -47,7 +47,7 @@ object { } object { - winkel(C, A, B, fine) + winkel(C, A, B, fein, gross) pigment { color blau } diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pdf new file mode 100644 index 0000000..6b3f09d Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pov index c23a54c..c0625ce 100644 --- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pov +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d2.pov @@ -12,9 +12,9 @@ union { punkt(A, fett) punkt(B, fett) punkt(C, fett) - punkt(P, fine) - seite(B, P, fine) - seite(C, P, fine) + punkt(P, fein) + seite(B, P, fein) + seite(C, P, fein) pigment { color dreieckfarbe } diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pdf new file mode 100644 index 0000000..7d79455 Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pov index f2496b5..b6f64d5 100644 --- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pov +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d3.pov @@ -12,9 +12,9 @@ union { punkt(A, fett) punkt(B, fett) punkt(C, fett) - punkt(P, fine) - seite(B, P, fine) - seite(C, P, fine) + punkt(P, fein) + seite(B, P, fein) + seite(C, P, fein) pigment { color dreieckfarbe } @@ -25,7 +25,7 @@ union { } object { - winkel(A, B, C, fine) + winkel(A, B, C, fein, gross) pigment { color rot } diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pdf new file mode 100644 index 0000000..e1ea757 Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pov index bddcf7c..b6f17e3 100644 --- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pov +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d4.pov @@ -6,9 +6,9 @@ #include "common.inc" union { - seite(A, B, fine) - seite(A, C, fine) - punkt(A, fine) + seite(A, B, fein) + seite(A, C, fein) + punkt(A, fein) punkt(B, fett) punkt(C, fett) punkt(P, fett) @@ -25,7 +25,7 @@ union { } object { - winkel(B, C, P, fine) + winkel(B, C, P, fein, gross) pigment { color rgb<0.6,0.4,0.2> } diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pdf new file mode 100644 index 0000000..6848331 Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pov index 32fc9e6..188f181 100644 --- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pov +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pov @@ -6,9 +6,9 @@ #include "common.inc" union { - seite(A, B, fine) - seite(A, C, fine) - punkt(A, fine) + seite(A, B, fein) + seite(A, C, fein) + punkt(A, fein) punkt(B, fett) punkt(C, fett) punkt(P, fett) diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d6.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d6.pov index 7611950..191a1e7 100644 --- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d6.pov +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d6.pov @@ -25,7 +25,7 @@ union { } object { - winkel(B, A, P, fine) + winkel(B, A, P, fein, gross) pigment { color rgb<0.6,0.2,0.6> } diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d7.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d7.pov index fa48f5b..aae5c6c 100644 --- a/buch/papers/nav/images/dreieck3d7.pov +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d7.pov @@ -10,13 +10,13 @@ union { seite(A, P, fett) seite(C, P, fett) - seite(A, B, fine) - seite(B, C, fine) - seite(B, P, fine) + seite(A, B, fein) + seite(B, C, fein) + seite(B, P, fein) punkt(A, fett) punkt(C, fett) punkt(P, fett) - punkt(B, fine) + punkt(B, fein) pigment { color dreieckfarbe } @@ -27,7 +27,7 @@ union { } object { - winkel(A, P, C, fine) + winkel(A, P, C, fein, gross) pigment { color rgb<0.4,0.4,1> } diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.jpg b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.jpg new file mode 100644 index 0000000..52bd25e Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.jpg differ diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pdf new file mode 100644 index 0000000..9d630aa Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pov b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pov new file mode 100644 index 0000000..9e9921a --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.pov @@ -0,0 +1,96 @@ +// +// dreiecke3d8.pov +// +// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +// +#include "common.inc" + +union { + seite(A, B, fett) + seite(B, C, fett) + seite(A, C, fett) + seite(A, P, fein) + seite(B, P, fett) + seite(C, P, fett) + punkt(A, fett) + punkt(B, fett) + punkt(C, fett) + punkt(P, fett) + pigment { + color dreieckfarbe + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +object { + winkel(A, B, C, fein, klein) + pigment { + color rot + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +object { + winkel(B, C, A, fein, klein) + pigment { + color gruen + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +object { + winkel(C, A, B, fein, gross) + pigment { + color blau + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +object { + winkel(A, P, C, fein/2, gross) + pigment { + color rgb<0.8,0,0.8> + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +object { + winkel(B, P, C, fein, klein) + pigment { + color rgb<1,0.8,0> + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +object { + winkel(B, P, A, fein/2, gross) + pigment { + color rgb<0.4,0.6,0.8> + } + finish { + specular 0.95 + metallic + } +} + +dreieck(A, B, C, White) + + diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.tex b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.tex new file mode 100644 index 0000000..c59c7b0 --- /dev/null +++ b/buch/papers/nav/images/dreieck3d8.tex @@ -0,0 +1,57 @@ +% +% dreieck3d8.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{times} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{txfonts} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{graphics} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\usepackage{ifthen} +\begin{document} + +\newboolean{showgrid} +\setboolean{showgrid}{false} +\def\breite{4} +\def\hoehe{4} + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + +% Povray Bild +\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{dreieck3d8.jpg}}; + +% Gitter +\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ +\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\fill (0,0) circle[radius=0.05]; +}{} + +\node at (0.7,3.8) {$A$}; +\node at (-3.4,-0.8) {$B$}; +\node at (3.3,-2.1) {$C$}; +\node at (-1.4,-3.5) {$P$}; + +\node at (-1.9,2.1) {$c$}; +\node at (-0.2,-1.2) {$a$}; +\node at (2.6,1.5) {$b$}; +\node at (-0.8,0) {$l$}; + +\node at (-2.6,-2.2) {$p_b$}; +\node at (1,-2.9) {$p_c$}; + +\node at (0.7,3.3) {$\alpha$}; +\node at (0.8,2.85) {$\omega$}; +\node at (-2.6,-0.6) {$\beta$}; +\node at (2.3,-1.2) {$\gamma$}; +\node at (-2.6,-1.3) {$\beta_1$}; +\node at (-2.1,-0.8) {$\kappa$}; + +\end{tikzpicture} + +\end{document} + -- cgit v1.2.1 From 525ff82400b685dc6dd0d6376253545720471be0 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Wed, 18 May 2022 14:25:26 +0200 Subject: remove bad files --- buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pdf | Bin 70054 -> 70045 bytes 1 file changed, 0 insertions(+), 0 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pdf b/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pdf index 6848331..0c86d36 100644 Binary files a/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pdf and b/buch/papers/nav/images/dreieck3d5.pdf differ -- cgit v1.2.1 From 93bdfca3b41397e43537ee334e57883a9ef79279 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Wed, 18 May 2022 14:30:12 +0200 Subject: fix nav/makefile.inc --- buch/papers/nav/Makefile.inc | 12 +++++++----- 1 file changed, 7 insertions(+), 5 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/nav/Makefile.inc b/buch/papers/nav/Makefile.inc index b30377e..24ab4ee 100644 --- a/buch/papers/nav/Makefile.inc +++ b/buch/papers/nav/Makefile.inc @@ -6,9 +6,11 @@ dependencies-nav = \ papers/nav/packages.tex \ papers/nav/main.tex \ - papers/nav/references.bib \ - papers/nav/teil0.tex \ - papers/nav/teil1.tex \ - papers/nav/teil2.tex \ - papers/nav/teil3.tex + papers/nav/einleitung.tex \ + papers/nav/flatearth.tex \ + papers/nav/geschichte.tex \ + papers/nav/nautischesdreieck.tex \ + papers/nav/sincos.tex \ + papers/nav/trigo.tex \ + papers/nav/references.bib -- cgit v1.2.1 From b37f9519bbfd57b3a7d25cca887ff44ff2253921 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "ENEZ-PC\\erdem" Date: Thu, 19 May 2022 14:40:25 +0200 Subject: Korrektur von Feedback --- buch/papers/nav/bilder/dreieck.pdf | Bin 0 -> 107370 bytes buch/papers/nav/bilder/ephe.png | Bin 0 -> 184799 bytes buch/papers/nav/einleitung.tex | 6 +- buch/papers/nav/flatearth.tex | 12 ++- buch/papers/nav/geschichte.tex | 22 ---- buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex | 190 ++++++++++++++++------------------ buch/papers/nav/sincos.tex | 21 ++-- buch/papers/nav/trigo.tex | 57 +++++++--- 8 files changed, 158 insertions(+), 150 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/nav/bilder/dreieck.pdf create mode 100644 buch/papers/nav/bilder/ephe.png delete mode 100644 buch/papers/nav/geschichte.tex (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/nav/bilder/dreieck.pdf b/buch/papers/nav/bilder/dreieck.pdf new file mode 100644 index 0000000..9d630aa Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/bilder/dreieck.pdf differ diff --git a/buch/papers/nav/bilder/ephe.png b/buch/papers/nav/bilder/ephe.png new file mode 100644 index 0000000..0aeef6f Binary files /dev/null and b/buch/papers/nav/bilder/ephe.png differ diff --git a/buch/papers/nav/einleitung.tex b/buch/papers/nav/einleitung.tex index e24f294..8d8c5c1 100644 --- a/buch/papers/nav/einleitung.tex +++ b/buch/papers/nav/einleitung.tex @@ -1,9 +1,9 @@ \section{Einleitung} -Heut zu Tage ist die Navigation ein Teil des Lebens. -Man versendet dem Kollegen seinen Standort, um sich das ewige Erklären zu sparen oder gibt die Adresse des Ziels ein um sich die Sucherei zu schenken. +Heutzutage ist die Navigation ein Teil des Lebens. +Man sendet dem Kollegen seinen eigenen Standort, um sich das ewige Erklären zu sparen oder gibt die Adresse des Ziels ein, damit man seinen Aufenthaltsort zum Beispiel auf einer riesigen Wiese am See findet. Dies wird durch Technologien wie Funknavigation, welches ein auf Langzeitmessung beruhendes Hyperbelverfahren mit Langwellen ist oder die verbreitete Satellitennavigation, welche vier Satelliten für eine Messung zur Standortbestimmung nutzt. Vor all diesen technologischen Fortschritten gab es lediglich die Astronavigation, welche heute noch auf kleineren Schiffen benötigt wird im Falle eines Stromausfalls. Aber wie funktioniert die Navigation mit den Sternen? Welche Hilfsmittel benötigt man, welche Rolle spielt die Mathematik und weshalb kann die Erde nicht flach sein? -In diesem Kapitel werden genau diese Fragen mithilfe des Nautischen Dreiecks, der Sphärischen Trigonometrie und einigen Hilfsmitteln und Messgeräten beantwortet. \ No newline at end of file +In diesem Kapitel werden genau diese Fragen mithilfe des nautischen Dreiecks, der sphärischen Trigonometrie und einigen Hilfsmitteln und Messgeräten beantwortet. \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/flatearth.tex b/buch/papers/nav/flatearth.tex index fbabbde..bec242e 100644 --- a/buch/papers/nav/flatearth.tex +++ b/buch/papers/nav/flatearth.tex @@ -2,7 +2,7 @@ \section{Warum ist die Erde nicht flach?} -\begin{figure}[h] +\begin{figure} \begin{center} \includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/projektion.png} \caption[Mercator Projektion]{Mercator Projektion} @@ -14,10 +14,14 @@ Die Fotos von unserem Planeten oder die Berichte der Astronauten. Aber schon vor ca. 2300 Jahren hat Aristotoles bemerkt, dass Schiffe im Horizont verschwinden und die einzige Erklärung dafür die Kugelgestalt der Erde ist oder der Erdschatten bei einer Mondfinsternis immer rund ist. Eratosthenes konnte etwa 100 Jahre später den Erdumfang berechnen. Er beobachtete, dass die Sonne in Syene mittags im Zenit steht und gleichzeitig in Alexandria unter einem Winkel einfällt. -Mithilfe der Geometrie konnte er mit dem Abstand der Städte und dem Einfallswinkel den Umfang berechnen. +Mithilfe der Trigonometrie konnte er mit dem Abstand der Städte und dem Einfallswinkel den Umfang berechnen. + Auch in der Navigation würden grobe Fehler passieren, wenn man davon ausgeht, dass die Erde eine Scheibe ist. -Man sieht es zum Beispiel sehr gut, wenn man die Anwendung Google Earth und eine Weltkarte vergleicht. Grönland ist auf der Weltkarte so gross wie Afrika. +Man sieht es zum Beispiel sehr gut, wenn man die Anwendung Google Earth und eine Weltkarte vergleicht. +Grönland ist auf der Weltkarte so gross wie Afrika. In der Anwendung Google Earth jedoch ist Grönland etwa so gross wie Algerien. Das liegt daran, das man die 3D – Weltkarte nicht einfach auslegen kann. -Der Kartograph Gerhard Mercator projizierte die Erdkugel auf ein Papier und erstellte so eine winkeltreue Karte. Jedoch wurden die Länder, die einen grösseren Abstand zum Äquator haben vergrössert, damit die Winkel stimmen können. + +Der Kartograph Gerhard Mercator projizierte die Erdkugel auf ein Papier und erstellte so eine winkeltreue Karte. +Jedoch wurden die Länder, die einen grösseren Abstand zum Äquator haben vergrössert, damit die Winkel stimmen können. Wurde man also nun davon ausgehen, dass die Erde flach ist so würden wir nie dort ankommen wo wir es wollen. \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/geschichte.tex b/buch/papers/nav/geschichte.tex deleted file mode 100644 index a20eb6d..0000000 --- a/buch/papers/nav/geschichte.tex +++ /dev/null @@ -1,22 +0,0 @@ -\documentclass[12pt]{scrartcl} -\usepackage{ucs} -\usepackage[utf8]{inputenc} -\usepackage[T1]{fontenc} -\usepackage{graphicx} - -\begin{document} -\section{Geschichte der sphärischen Navigation} -Die Orientierung mit Hilfe der Sterne und der sphärischen Trigonometrie bewegt die Menschheit schon seit mehreren tausend Jahren. -Nach Hinweisen und Schätzungen von Forscher haben schon vor 4000 Jahren die Ägypter und Gelehrten aus Babylon mit Hilfe der Astronomie den Lauf der Gestirne (Himmelskörper) zu berechnen versucht, jedoch ohne Erfolg. -Etwa 350 vor Christus waren es die Griechen, welche den damaligen Astronomen Hilfestellungen mittels Kugel-Geometrien leisten konnten. -Aus diesen Geometrien wurden erste mathematische Sätze aufgestellt und ein paar Jahrhunderte später kamen zu diesem Thema auch Berechnungen dazu. -Ebenso wurden Kartenmaterial mit Sternenbilder angefertigt. -Die Sinusfunktion war noch nicht bekannt, jedoch kamen zu dieser Zeit die ersten Ansätze der Cosinusfunktion aus Indien. -Von diesen Hilfen darauf aufbauend konnte um 900 die Araber der Sinussatz entwickeln. -Doch ein paar weitere Jahrhunderte vergingen bis zu diesem Thema wieder verstärkt Forschung betrieben wurde. -Dies aus dem Grund, da im 15. Jahrhundert grosse Entdeckungsreisen, hauptsächlich per Schiff, erfolgten und die Orientierung vermehrt an Wichtigkeit gewann. -Auch die Verwendung der Tangens- und Sinusfunktion sowie der neu entwickelte Seitencosinussatz trugen zu einer Verbesserung der Orientierung herbei. -Im 16. Jahrhundert wurde dann ein weiterer trigonometrischer Satz, der Winkelcosinussatz hergeleitet. Stück für Stück wurden infolge der Entdeckung des Logarithmus im 17. Jahrhundert viele neue Methoden entwickelt. -Auch eine Verbesserung der kartographischen Verwendung der Kugelgeometrie wurde vorgenommen. -Es folgten weitere Entwicklungen in nicht euklidische Geometrien und im 19. Jahrhundert sowie auch im 20. Jahrhundert wurde zudem für die Relativitätstheorie auch die sphärische Trigonometrie beigezogen. -\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex index b61e908..a85b119 100644 --- a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex +++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex @@ -1,17 +1,13 @@ \section{Das Nautische Dreieck} \subsection{Definition des Nautischen Dreiecks} -Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astronomie um die momentane Position eines Fixsterns oder Planeten an der \textbf{Himmelskugel}. -Die Himmelskugel ist eine gedachte Kugel, welche die Erde und dessen Beobachter umgibt und als Rechenfläche für Koordinaten in der Astronomie und Geodäsie dient.\\ -Das Nautische Dreieck definiert sich durch folgende Ecken: -\begin{itemize} - \item Zenit - \item Gestirn - \item Himmelspol -\end{itemize} +Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astronomie um die momentane Position eines Fixsterns oder Planeten an der Himmelskugel}. +Die Himmelskugel ist eine gedachte Kugel, welche die Erde und dessen Beobachter umgibt und als Rechenfläche für Koordinaten in der Astronomie und Geodäsie dient. +Das nautische Dreieck definiert sich durch folgende Ecken: Zenit, Gestirn und Himmelspol. + Der Zenit ist jener Punkt, der vom Erdmittelpunkt durch denn eigenen Standort an die Himmelskugel verlängert wird. Ein Gestirn ist ein Planet oder ein Fixstern, zu welchen es diverse Jahrbücher mit allen astronomischen Eigenschaften gibt. Der Himmelspol ist der Nordpol an die Himmelskugel projiziert. -\\ + Zur Anwendung der Formeln der sphärischen Trigonometrie gelten folgende einfache Zusammenhänge: \begin{itemize} \item Seitenlänge Zenit zu Himmelspol $= \frac{\pi}{2} - \phi $ @@ -21,34 +17,30 @@ Zur Anwendung der Formeln der sphärischen Trigonometrie gelten folgende einfach \item Winkel von Himmelsnordpol zu Zenit und Gestirn$= \tau$ \end{itemize} Um mit diesen Zusammenhängen zu rechnen benötigt man folgende Legende: - -$\alpha \ \widehat{=} \ Rektaszension $ - -$\delta \ \widehat{=} \ Deklination =$ Breitengrad des Gestirns - -$\theta \ \widehat{=} \ Sternzeit\ von\ Greenwich$ - -$\phi \ \widehat{=} \ Geographische \ Breite $ - -$\tau = \theta-\alpha \ \widehat{=} \ Stundenwinkel =$ Längengrad des Gestirns - -$a \ \widehat{=} \ Azimut $ - -$h \ \widehat{=} \ Hoehe$ - - - -\newpage -\subsection{Zusammenhang des Nautischen Dreiecks und des Kugeldreiecks auf der Erdkugel} -\begin{figure}[h] +\begin{center} + \begin{tabular}{ c c c } + Winkel && Name / Beziehung \\ + \hline + $\alpha$ && Rektaszension \\ + $\delta$ && Deklination \\ + $\theta$ && Sternzeit von Greenwich\\ + $\phi$ && Geographische Breite\\ + $\tau=\theta-\alpha$ && Stundenwinkel und Längengrad des Gestirns. \\ + $a$ && Azimut\\ + $h$ && Höhe + \end{tabular} +\end{center} + +\subsection{Zusammenhang des nautischen Dreiecks und des Kugeldreiecks auf der Erdkugel} +\begin{figure} \begin{center} - \includegraphics[height=5cm,width=5cm]{papers/nav/bilder/kugel3.png} + \includegraphics[height=5cm,width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel3.png} \caption[Nautisches Dreieck]{Nautisches Dreieck} \end{center} \end{figure} -Wie man im oberen Bild sieht und auch am Anfang dieses Kapitels bereits erwähnt wurde, liegt das Nautische Dreieck auf der Himmelskugel mit den Ecken Zenit, Gestirn und Himmelsnordpol. -Das selbe Dreieck kann man aber auch auf die Erdkugel projezieren und hat dann die Ecken Standort, Bildpunkt und Nordpol. +Wie man im oberen Bild sieht, liegt das nautische Dreieck auf der Himmelskugel mit den Ecken Zenit, Gestirn und Himmelsnordpol. +Das selbe Dreieck kann man aber auch auf die Erdkugel projizieren und es hat dann die Ecken Standort, Bildpunkt und Nordpol. Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem eine gedachte Linie vom Mittelpunkt eines beobachteten Gestirns zum Mittelpunkt der Erde die Erdoberfläche schneidet. @@ -56,9 +48,9 @@ Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem Um den eigenen Standort herauszufinden, wird in diesem Kapitel die Projektion Nautische Dreieck auf der Erdkugel zur Hilfe genommen. Mithilfe einiger Hilfsmittel und der Sphärischen Trigonometrie kann man dann die Längen- und Breitengrade des eigenen Standortes bestimmen. -\begin{figure}[h] +\begin{figure} \begin{center} - \includegraphics[width=6cm]{papers/nav/bilder/dreieck.png} + \includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/dreieck.pdf} \caption[Dreieck für die Standortbestimmung]{Dreieck für die Standortbestimmung} \end{center} \end{figure} @@ -66,75 +58,76 @@ Mithilfe einiger Hilfsmittel und der Sphärischen Trigonometrie kann man dann di -\subsection{Ecke P - Unser Standort} -Unser eigener Standort ist der gesuchte Punkt A. - -\subsection{Ecke A - Nordpol} -Der Vorteil ander Idee des Nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol (in der Himmelskugel der Himmelsnordpol) ist. +\subsection{Ecke $P$ und $A$} +Unser eigener Standort ist der gesuchte Ecke $P$ und die Ecke $A$ ist in unserem Fall der Nordpol. +Der Vorteil ander Idee des Nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol ist. Somit ist diese Ecke immer bekannt und nur deswegen sind die Zusammenhänge von Rektaszension, Sternzeit und Deklination so simpel. -\newpage -\subsection{Ecke B und C - Bildpunkt X und Y} + +\subsection{Ecke $B$ und $C$ - Bildpunkt X und Y} Für die Standortermittlung benötigt man als weiteren Punkt ein Gestirn bzw. seinen Bildpunkt auf der Erdkugel. Damit das trigonometrische Rechnen einfacher wird, werden hier zwei Gestirne zur Hilfe genommen. -\\ -Es gibt diverse Gestirne, die man nutzen kann. -\begin{itemize} - \item Sonne - \item Mond - \item Die vier Navigationsplaneten Venus, Mars, Jupiter und Saturn -\end{itemize} +Es gibt diverse Gestirne, die man nutzen kann wie zum Beispiel die Sonne, der Mond oder die vier Navigationsplaneten Venus, Mars, Jupiter und Saturn. + +\subsection{Ephemeriden} +Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeriden, die man auch Jahrbücher nennt. +In diesen findet man Begriffe wie Rektaszension, Deklination und Sternzeit. +Da diese Angaben in Stundenabständen gegeben sind, muss man für die minutengenaue Bestimmung zwischen den Stunden interpolieren. +Was diese Begriffe bedeuten, wird in den kommenden beiden Abschnitten erklärt. -Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeriden (Jahrbücher). -Dort findet man unter Anderem die Rektaszension und Deklination, welche für jeden Tag und Stunde beschrieben ist. Für Minuten genaue Angaben muss man dann zwischen den Stunden interpolieren. -Mithilfe dieser beiden Angaben kann man die Längen- und Breitengrade diverser Gestirne berechnen. +\begin{figure} + \begin{center} + \includegraphics[width=18cm]{papers/nav/bilder/ephe.png} + \caption[Astrodienst - Ephemeriden Januar 2022]{Astrodienst - Ephemeriden Januar 2022} + \end{center} +\end{figure} + +\subsubsection{Deklination} +Die Deklination $\delta$ beschreibt den Winkel zwischen dem Himmelsäquator und Gestirn und ergibt schlussendlich den Breitengrad. \subsubsection{Sternzeit und Rektaszension} -Die Rektaszension $\alpha$ gibt an, in welchem Winkel das Gestirn zum Frühlingspunkt steht. +Die Rektaszension $\alpha$ gibt an, in welchem Winkel das Gestirn zum Frühlingspunkt steht und geht vom Koordinatensystem der Himmelskugel aus. Der Frühlungspunkt ist der Nullpunkt auf dem Himmelsäquator. Die Tatsache, dass sich die Himmelskugel ca. vier Minuten schneller um die eigene Achse dreht als die Erdkugel, stellt hier ein kleines Problem dar. Die Lösung ist die Sternzeit. +Mit dieser können wir die schnellere Drehung der Himmelskugel ausgleichen und können die Am Frühlingspunkt (21. März) 12:00 Uhr ist die Sternzeit $\theta = 0$. Die Sternzeit geht vom Frühlungspunkt aus, an welchem die Sonne den Himmelsäquator schneidet. Für die Standortermittlung auf der Erdkugel ist es am einfachsten, wenn man die Sternzeit von Greenwich berechnet. -Für die Sternzeit von Greenwich braucht man als erstes das Julianische Datum $T$ vom aktuellen Tag, welches sich leicht recherchieren lässt. +Für die Sternzeit von Greenwich $\theta $braucht man als erstes das Julianische Datum $T$ vom aktuellen Tag, welches sich leicht recherchieren lässt. Im Anschluss berechnet man die Sternzeit von Greenwich -\\ -\\ -$T_{Greenwich} = 6^h 41^m 50^s,54841 + 8640184^s,812866 \cdot T + 0^s,093104 \cdot T^2 - 0^s,0000062 \cdot T^3$. -\\ -\\ -Wenn mann die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ mithilfe der Rektaszension und Sternzeit bestimmen. -Dies gilt analog auch für das zweite Gestirn. -\subsubsection{Deklination} -Die Deklination $\delta$ beschreibt den Winkel zwischen dem Himmelsäquator und Gestirn und ergibt schlussendlich den Breitengrad. +$\theta = 6^h 41^m 50^s,54841 + 8640184^s,812866 \cdot T + 0^s,093104 \cdot T^2 - 0^s,0000062 \cdot T^3$. +Wenn mann die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ mithilfe der Rektaszension und Sternzeit von Greenwich bestimmen. +Dies gilt analog auch für das zweite Gestirn. -\newpage \subsection{Bestimmung des eigenen Standortes P} Nun hat man die Koordinaten der beiden Gestirne und man weiss die Koordinaten des Nordpols. -Somit können wir ein erstes Kugeldreieck auf der Erde aufspannen. - +Damit wir unseren Standort bestimmen können, bilden wir zuerst das Dreieck $ABC$, dann das Dreieck $BPC$ und zum Schluss noch das Dreieck $ABP$. +Mithilfe dieser Dreiecken können wir die einfachen Sätze der sphärischen Trigonometrie anwenden und benötigen lediglich ein Ephemeride zu den Gestirnen und einen Sextant. -\begin{figure}[h] +\begin{figure} \begin{center} - \includegraphics[width=4.5cm]{papers/nav/bilder/dreieck.png} + \includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/dreieck.pdf} \caption[Dreieck für die Standortbestimmung]{Dreieck für die Standortbestimmung} \end{center} \end{figure} -\subsubsection{Bestimmung des ersten Dreiecks} - -$A=$ Nordpol +\subsubsection{Dreieck $ABC$} -$B=$ Bildpunkt des Gestirns X +\begin{center} + \begin{tabular}{ c c c } + Ecke && Name \\ + \hline + $A$ && Nordpol \\ + $B$ && Bildpunkt des Gestirns $X$ \\ + $C$&& Bildpunkt des Gestirns $Y$ + \end{tabular} +\end{center} -$C=$ Bildpunkt des Gestirns Y -\\ -\\ Mithilfe des sphärischen Trigonometrie und den darausfolgenden Zusammenhängen des Nautischen Dreiecks können wir nun alle Seiten des Dreiecks $ABC$ berechnen. Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt X" sei $c$. @@ -145,24 +138,24 @@ Dann ist $b = \frac{\pi}{2} - \delta_2$. Der Innenwinkel beim der Ecke "Nordpol" sei $\alpha$. Dann ist $ \alpha = |\lambda_1 - \lambda_2|$. -\\ -\\ -mit - -$\delta_1 =$ Deklination Bildpunkt X -$\delta_2 =$ Deklination Bildpunk Y - -$\lambda_1 =$ Längengrad Bildpunkt X - -$\lambda_2 =$ Längengrad Bildpunkt Y +mit +\begin{center} + \begin{tabular}{ c c c } + Ecke && Name \\ + \hline + $\delta_1$ && Deklination Bildpunkt $X$ \\ + $\delta_2$ && Deklination Bildpunk $Y$ \\ + $\lambda_1 $&& Längengrad Bildpunkt $X$\\ + $\lambda_2$ && Längengrad Bildpunkt $Y$ + \end{tabular} +\end{center} Wichtig ist: Die Differenz der Längengrade ist gleich der Innenwinkel Alpha, deswegen der Betrag! -\\ -\\ + Nun haben wir die beiden Seiten $c\ und\ b$ und den Winkel $\alpha$, der sich zwischen diesen Seiten befindet. Mithilfe des Seiten-Kosinussatzes -$cos(a) = \cos(b)\cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha)$ +$\cos(a) = \cos(b)\cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha)$ können wir nun die dritte Seitenlänge bestimmen. Es ist darauf zu achten, dass hier natürlich die Seitenlängen in Bogenmass sind und dementsprechend der Kosinus und Sinus verwendet wird. @@ -174,7 +167,7 @@ Somit ist $\beta =\sin^{-1} [\sin(b) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\sin(a)}] $. Schlussendlich haben wir die Seiten $a,b\ und \ c$, die Ecken A,B und C und die Winkel $\alpha, \beta \ und \ \gamma$ bestimmt und somit das ganze erste Kugeldreieck berechnet. -\subsubsection{Bestimmung des zweiten Dreiecks} +\subsubsection{Dreieck $BPC$} Wir bilden nun ein zweites Dreieck, welches die Ecken B und C des ersten Dreiecks besitzt. Die dritte Ecke ist der eigene Standort P. Unser Standort definiere sich aus einer geographischen Breite $\delta$ und einer geographischen Länge $\lambda$. @@ -183,24 +176,23 @@ Die Seite von P zu B sei $pb$ und die Seite von P zu C sei $pc$. Die beiden Seitenlängen kann man mit dem Sextant messen und durch eine einfache Formel bestimmen, nämlich $pb=\frac{\pi}{2} - h_{B}$ und $pc=\frac{\pi}{2} - h_{C}$ mit $h_B=$ Höhe von Gestirn in B und $h_C=$ Höhe von Gestirn in C mit Sextant gemessen. -\\ +Zum Schluss müssen wir noch den Winkel $\beta1$ mithilfe des Seiten-Kosinussatzes mit den bekannten Seiten $pc$, $pb$ und $a$ bestimmen. +\subsubsection{Dreieck $ABP$} Nun muss man eine Verbindungslinie ziehen zwischen P und A. Die Länge $l$ dieser Linie entspricht der gesuchten geographischen Breite $\delta$. Diese lässt sich mithilfe des Dreiecks $ABP$, den bekannten Seiten $c\ und \ pb$ und des Seiten-Kosinussatzes berechnen. -Für den Seiten-Kosinussatz benötigt es noch $\kappa$. -Da wir aber $pc$, $pb$ und $a$ kennen, kann man mit dem Seiten-Kosinussatz den Winkel $\beta1$ berechnen und anschliessend $\beta + \beta1 =\kappa$. +Für den Seiten-Kosinussatz benötigt es noch $\kappa=\beta + \beta1$. -Somit ist $cos(l) = \cos(c)\cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)$ +Somit ist $\cos(l) = \cos(c)\cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)$ und -$\delta =\cos^{-1} [\cos(c) \cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)]$. -\\ +\[ +\delta =\cos^{-1} [\cos(c) \cdot \cos(pb) + \sin(c) \cdot \sin(pb) \cdot \cos(\kappa)]. +\] Für die Geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes muss man den Winkel $\omega$, welcher sich im Dreieck $ACP$ in der Ecke bei $A$ befindet mithilfe des Sinussatzes $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}$ bestimmen. -\\ -Somit ist $\omega=\sin^{-1}[\sin(pc) \cdot \frac{\sin(\gamma)}{\sin(l)}]$ und unsere gesuchte geographische Länge schlussendlich -$\lambda=\lambda_1 - \omega$ mit $\lambda_1$=Längengrad Bildpunkt XXX. -\newpage -\listoffigures \ No newline at end of file +Somit ist \[ \omega=\sin^{-1}[\sin(pc) \cdot \frac{\sin(\gamma)}{\sin(l)}] \]und unsere gesuchte geographische Länge schlussendlich +\[\lambda=\lambda_1 - \omega\] +mit $\lambda_1$=Längengrad Bildpunkt XXX. diff --git a/buch/papers/nav/sincos.tex b/buch/papers/nav/sincos.tex index 23e3303..bb7f1e4 100644 --- a/buch/papers/nav/sincos.tex +++ b/buch/papers/nav/sincos.tex @@ -1,16 +1,19 @@ -\section{Warum sind die Sinus- und Kosinusfunktionen spezielle Funktionen?} -Es gibt Hinweise, dass sich schon die Babylonier und Ägypter vor 4000 Jahren sich mit Problemen der sphärischen Trigonometrie beschäftigt haben um den Lauf von Gestirnen (Himmelskörper) zu berechnen. -Jedoch konnten sie sie nicht lösen. -Die Geschichte der sphärischen Trigonometrie ist daher eng mit der Astronomie verknüpft. Ca. 350 vor Christus dachten die Griechen über Kugelgeometrie nach und wurde zu einer Hilfswissenschaft der Astronomen. -In Folge werden auch die ersten Sätze aufgestellt und wenige Jahrhunderte später wurden Berechnungen zu diesem Thema angestellt. +\section{Sphärische Navigation und Winkelfunktionen} +Es gibt Hinweise, dass sich schon die Babylonier und Ägypter vor 4000 Jahren sich mit Problemen der sphärischen Trigonometrie beschäftigt haben um den Lauf von Gestirnen zu berechnen. +Jedoch konnten sie dieses Problem nicht lösen. + +Die Geschichte der sphärischen Trigonometrie ist daher eng mit der Astronomie verknüpft. Ca. 350 vor Christus dachten die Griechen über Kugelgeometrie nach und sie wurde zu einer Hilfswissenschaft der Astronomen. +In Folge werden auch die ersten Sätze aufgestellt und wenige Jahrhunderte später wurden Berechnungen mithilfe des Sternkataloges von Hipparchos angestellt und darauffolgend Kartenmaterial erstellt. In dieser Zeit wurden auch die ersten Sternenkarten angefertigt, jedoch kannte man damals die Sinusfunktion noch nicht. Aus Indien stammten die ersten Ansätze zu den Kosinussätzen. -Aufbauend auf den indischen und griechischen Forschungen entwickeln die Araber um 900 den Sinussatz. -Zur Zeit der großen Entdeckungsreisen im 15. Jahrhundert wurden die Forschungen in sphärischer Trigonometrie wieder forciert. -Der Sinussatz, die Tangensfunktion und der neu entwickelte Seitenkosinussatz wurden in dieser Zeit bereits verwendet. -Im nächsten Jahrhundert folgte der Winkelkosinussatz. +Aufbauend auf den indischen und griechischen Forschungen entwickeln die Araber um das 9. Jahrhundert den Sinussatz. +Doch ein paar weitere Jahrhunderte vergingen bis zu diesem Thema wieder verstärkt Forschung betrieben wurde, da im 15. Jahrhundert grosse Entdeckungsreisen, hauptsächlich per Schiff, erfolgten und die Orientierung mit Sternen vermehrt an Wichtigkeit gewann. +Man nutzte für die Kartographie nun die Kugelgeometrie, um die Genauigkeit zu erhöhen. +Der Sinussatz, die Tangensfunktion und der neu entwickelte Seitenkosinussatz wurden in dieser Zeit bereits verwendet und im darauffolgenden Jahrhundert folgte der Winkelkosinussatz. + + Durch weitere mathematische Entwicklungen wie den Logarithmus wurden im Laufe des nächsten Jahrhunderts viele neue Methoden und kartographische Anwendungen der Kugelgeometrie entdeckt. Im 19. und 20. Jahrhundert wurden weitere nicht-euklidische Geometrien entwickelt und die sphärische Trigonometrie fand auch ihre Anwendung in der Relativitätstheorie. \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/nav/trigo.tex b/buch/papers/nav/trigo.tex index 8b4634f..cf2f242 100644 --- a/buch/papers/nav/trigo.tex +++ b/buch/papers/nav/trigo.tex @@ -1,18 +1,38 @@ -\setlength{\parindent}{0em} + \section{Sphärische Trigonometrie} +In der sphärischen Trigonometrie gibt es eine Symetrie zwischen Seiten und Winkel, also zu jedem Satz über Seiten und Winkel gibt es einen entsprechenden Satz, mit dem man Winkel durch Seiten und Seiten durch Winkel ersetzt hat. +Dabei gibt es folgenden Zusammenhang zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie: +\begin{center} + + +\begin{tabular}{ccc} + Eben & $\leftrightarrow$ & sphärisch \\ + \hline + $a$ & $\leftrightarrow$ & $\sin \ a$ \\ + + $a^2$ & $\leftrightarrow$ & $-\cos \ a$ \\ +\end{tabular} +\end{center} + \subsection{Das Kugeldreieck} -Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden, so entsteht ein Kugeldreieck ABC. -A, B und C sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten. +Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden, so entsteht ein Kugeldreieck $ABC$. +Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $2\pi$ aber grösser als 0 ist. +$A$, $B$ und $C$ sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten. +Ein Grosskreis ist ein größtmöglicher Kreis auf einer Kugeloberfläche. +Sein Mittelpunkt fällt immer mit dem Mittelpunkt der Kugel zusammen und ein Schnitt auf dem Großkreis teilt die Kugel in jedem Fall in zwei gleich grosse Hälften. + +Da es unendlich viele Möglichkeiten gibt, eine Kugel so zu zerschneiden, dass die Schnittebene den Kugelmittelpunkt trifft, gibt es auch unendlich viele Grosskreise. Da die Länge der Grosskreisbögen wegen der Abhängigkeit vom Kugelradius ungeeignet ist, wird die Grösse einer Seite mit dem zugehörigen Mittelpunktwinkel des Grosskreisbogens angegeben. -Laut dieser Definition ist die Seite c der Winkel AMB. -Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $2\pi$ aber grösser als 0 ist. +Laut dieser Definition ist die Seite $c$ der Winkel $AMB$. + Man kann bei Kugeldreiecken nicht so einfach unterscheiden, was Innen oder Aussen ist. Wenn man drei Eckpunkte miteinander verbindet, ergeben sich immer 16 Kugeldreiecke. Jenes Kugeldreieck mit den Seitenlängen $a, b, c < \pi$ und den Winkeln $\alpha, \beta, \gamma < \pi$ nennt man Eulersche Dreiecke. -\begin{figure}[h] + +\begin{figure} \begin{center} - %\includegraphics[width=6cm]{papers/nav/bilder/kugel1.png} + \includegraphics[width=6cm]{papers/nav/bilder/kugel1.png} \caption[Das Kugeldreieck]{Das Kugeldreieck} \end{center} @@ -21,12 +41,12 @@ Jenes Kugeldreieck mit den Seitenlängen $a, b, c < \pi$ und den Winkeln $\alpha \subsection{Rechtwinkliges Dreieck und Rechtseitiges Dreieck} Wie auch im uns bekannten Dreieck gibt es beim Kugeldreieck auch ein Rechtwinkliges Kugeldreieck, bei dem ein Winkel $\frac{\pi}{2}$ ist. Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss. -\newpage -\subsection{Winkelangabe} -\begin{figure}[h] + +\subsection{Winkelsumme} +\begin{figure} \begin{center} - %\includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel2.png} + \includegraphics[width=8cm]{papers/nav/bilder/kugel2.png} \caption[Winkelangabe im Kugeldreieck]{Winkelangabe im Kugeldreieck} \end{center} \end{figure} @@ -37,13 +57,15 @@ Für die Summe der Innenwinkel gilt \begin{align} \alpha+\beta+\gamma &= \frac{A}{r^2} + \pi \ \text{und} \ \alpha+\beta+\gamma > \pi. \nonumber \end{align} - +\subsubsection{Sphärischer Exzess} Der sphärische Exzess \begin{align} \epsilon = \alpha+\beta+\gamma - \pi \nonumber \end{align} beschreibt die Abweichung der Innenwinkelsumme von $\pi$ und ist proportional zum Flächeninhalt des Kugeldreiecks. +\subsubsection{Flächeninnhalt} +Der Flächeninhalt $A$ lässt sich aus den Winkeln $\alpha,\ \beta, \ \gamma$ und dem Kugelradius $r$ berechnen. \subsection{Sphärischer Sinussatz} In jedem Dreieck ist das Verhältnis des Sinus einer Seite zum Sinus des Gegenwinkels konstant. @@ -53,7 +75,16 @@ Das bedeutet, dass \frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)} \nonumber \ \text{auch beim Kugeldreieck gilt.} \end{align} +\subsection{Sphärischer Kosinussätze} +Auch in der sphärischen Trigonometrie gibt es den Seitenkosinussatz +\begin{align} + cos \ a = \cos b \cdot \cos c + \sin b \cdot \sin c \cdot \cos \alpha \nonumber +\end{align} %Seitenkosinussatz +und den Winkelkosinussatz +\begin{align} + \cos \gamma = -\cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos c \nonumber +\end{align} \subsection{Sphärischer Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Kugeldreieck} Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich garkeinen "Satz des Pythagoras", wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt. @@ -62,6 +93,6 @@ In der sphärischen Trigonometrie gibt es aber auch einen Satz, der alle drei Se Es gilt nämlich: \begin{align} \cos c = \cos a \cdot \cos b \ \text{wenn} \nonumber & - \alpha = \frac{\pi}{2} \lor \beta =\frac{\pi}{2} \lor \gamma = \frac{\pi}{2}.\nonumber + \alpha = \frac{\pi}{2} \nonumber \end{align} \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From b3283eb05091a88841668c39d422da53d66e1cdd Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "ENEZ-PC\\erdem" Date: Thu, 19 May 2022 14:51:50 +0200 Subject: update korrektur --- buch/papers/nav/main.tex | 5 ++--- buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex | 4 ++-- 2 files changed, 4 insertions(+), 5 deletions(-) (limited to 'buch/papers') diff --git a/buch/papers/nav/main.tex b/buch/papers/nav/main.tex index de8d1d6..47764e8 100644 --- a/buch/papers/nav/main.tex +++ b/buch/papers/nav/main.tex @@ -6,14 +6,13 @@ \chapter{Spährische Navigation\label{chapter:nav}} \lhead{Sphärische Navigation} \begin{refsection} -\chapterauthor{Enez Erdem, Marc Kühne} +\chapterauthor{Enez Erdem und Marc Kühne} \input{papers/nav/einleitung.tex} -\input{papers/nav/sincos.tex} -\input{papers/nav/geschichte.tex} \input{papers/nav/flatearth.tex} +\input{papers/nav/sincos.tex} \input{papers/nav/trigo.tex} \input{papers/nav/nautischesdreieck.tex} diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex index a85b119..0a498f0 100644 --- a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex +++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \section{Das Nautische Dreieck} \subsection{Definition des Nautischen Dreiecks} -Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astronomie um die momentane Position eines Fixsterns oder Planeten an der Himmelskugel}. +Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astronomie um die momentane Position eines Fixsterns oder Planeten an der Himmelskugel. Die Himmelskugel ist eine gedachte Kugel, welche die Erde und dessen Beobachter umgibt und als Rechenfläche für Koordinaten in der Astronomie und Geodäsie dient. Das nautische Dreieck definiert sich durch folgende Ecken: Zenit, Gestirn und Himmelspol. @@ -195,4 +195,4 @@ Für die Geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes muss man den Wink Somit ist \[ \omega=\sin^{-1}[\sin(pc) \cdot \frac{\sin(\gamma)}{\sin(l)}] \]und unsere gesuchte geographische Länge schlussendlich \[\lambda=\lambda_1 - \omega\] -mit $\lambda_1$=Längengrad Bildpunkt XXX. +mit $\lambda_1$=Längengrad Bildpunkt $X -- cgit v1.2.1