From 964db187eaf5512601a04c6326094d6a1975d941 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Thu, 11 Aug 2022 22:11:59 +0200
Subject: Rewrote everything in passive form.
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.../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 25 ++++++++++++----------
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@@ -6,8 +6,8 @@
\subsection{Wärmeleitung in einem Homogenen Stab}
-In diesem Abschnitt betrachten wir das Problem der Wärmeleitung in einem
-homogenen Stab und wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung dieses
+In diesem Abschnitt wird das Problem der Wärmeleitung in einem homogenen Stab
+betrachtet und wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung dieses
physikalischen Phänomenes auftritt.
Zunächst wird ein eindimensionaler homogener Stab der Länge $l$ und
@@ -141,8 +141,9 @@ erfüllt sein und es muss ausserdem
\end{equation}
gelten.
-Um zu verifizieren, ob die Randbedingungen erfüllt sind, benötigen wir zunächst
-$p(x)$.
+Um zu verifizieren, ob die Randbedingungen erfüllt sind, wird zunächst
+$p(x)$
+benötigt.
Dazu wird die Gleichung \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} mit der
Sturm-Liouville-Form \eqref{eq:sturm-liouville-equation} verglichen, was zu
$p(x) = 1$ führt.
@@ -169,7 +170,7 @@ Analog dazu kann gezeit werden, dass die Randbedingungen für einen Stab mit
isolierten Enden ebenfalls die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen und
somit auch zu orthogonalen Lösungen führen.
-Widmen wir uns zunächst der ersten Gleichung.
+Als erstes wird auf die erste erste Gleichung eingegangen.
Aufgrund der Struktur der Gleichung
\[
X^{\prime \prime}(x) - \mu X(x)
@@ -290,7 +291,7 @@ Verletzung der Randbedingungen.
Durch alanoges Vorgehen kann nun auch das Problem mit isolierten Enden gelöst
werden.
-Setzen wir nun die Randbedingungen
+Setzt man nun die Randbedingungen
\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} in $X^{\prime}$
ein, beginnend für $x = 0$. Es ergibt sich
\[
@@ -342,7 +343,7 @@ Zunächst ist wegen vorhergehender Rechnung ersichtlich, dass es sich bei
$A$ und $B$ nicht um einzelne Koeffizienten handelt.
Stattdessen können die Koeffizienten für jedes $n \in \mathbb{N}$
unterschiedlich sein.
-Schreiben wir also die Lösung $X(x)$ um zu
+Die Lösung $X(x)$ wird nun umgeschrieben zu
\[
X(x)
=
@@ -433,14 +434,16 @@ Das Skalarodukt kann nun geschrieben werden als
\end{aligned}
\]
-Betrachten wir zuletzt die zweite Gleichung der Separation
-\eqref{eq:slp-example-fourier-separated-t}.
-Diese Lösen wir über das charakteristische Polynom
+Zuletzt wird die zweite Gleichung der Separation
+\eqref{eq:slp-example-fourier-separated-t} betrachtet.
+Diese wird über das charakteristische Polynom
\[
\lambda - \kappa \mu
=
- 0.
+ 0
\]
+gelöst.
+
Es ist direkt ersichtlich, dass $\lambda = \kappa \mu$ gelten muss, was zur
Lösung
\[
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