From 3213e60d21021f8101dbd558cf3b9c45db20e47a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 20 Dec 2021 07:12:54 +0100 Subject: euler transform and stuff --- buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex | 17 +- buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex | 6 +- .../chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex | 476 +++++++++++++++++++++ buch/chapters/060-integral/Makefile.inc | 1 + buch/chapters/060-integral/chapter.tex | 1 + buch/chapters/060-integral/eulertransformation.tex | 174 ++++++++ buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex | 1 + 7 files changed, 672 insertions(+), 4 deletions(-) create mode 100644 buch/chapters/060-integral/eulertransformation.tex (limited to 'buch') diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex index 9bbbd13..407be66 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex @@ -692,13 +692,26 @@ geschrieben werden:} &= \frac{(x+y)_n}{(y)_n} \int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y+n-1}\,dt. -\intertext{Wir streben an, mit dem Grenzübergang $n\to\infty$ aus den +\end{align*} +Wir halten dieses Zwischenresultat für spätere Verwendung fest. + +\begin{lemma} +\label{buch:rekursion:gamma:betareklemma} +Für $n\in\mathbb{N}$ gilt +\[ +B(x,y+n) = \frac{(y)_n}{(x+y)_n} B(x,y). +\] +\end{lemma} + +Wir streben an, mit dem Grenzübergang $n\to\infty$ aus den Pochhammer-Symbolen Gamma-Funktionen zu machen, dazu müssen gemäss Definition~\ref{buch:rekursion:gamma:def:definition} weitere Faktoren $1/(n!\,n^{x-1})$ vorhanden sein. Wir erweitern geeignet und nehmen die übrig bleibenden Faktoren in das Integral. -So ergibt sich} +So ergibt sich +\begin{align*} +B(x,y) &= \frac{(x+y)_n}{n!\, n^{x+y-1}} \frac{n!\,n^{y-1}}{(y)_n} diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex index e6bf213..4d4fb0d 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex @@ -571,7 +571,7 @@ Damit lässt sich die Sinus-Funktion als = x\,\mathstrut_1F_2\biggl(\begin{matrix}1\\1,\frac32\end{matrix};-x^2\biggr) = -x\,\mathstrut_1F_2\biggl(\begin{matrix}\text{---}\\\frac32\end{matrix};-x^2\biggr) +x\,\mathstrut_0F_1\biggl(\begin{matrix}\text{---}\\\frac32\end{matrix};-x^2\biggr) \label{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:sinhyper} \end{equation} durch eine hypergeometrische Funktion ausdrücken. @@ -600,7 +600,7 @@ x\,\mathstrut_1F_2\biggl( \biggr) = x\,\mathstrut_0F_1\biggl( -\begin{matrix}\text{---}\\,\frac{3}{2}\end{matrix} +\begin{matrix}\text{---}\\\frac{3}{2}\end{matrix} ;x^2 \biggr). \end{align*} @@ -909,6 +909,8 @@ Integraldarstellung \] \end{satz} +TODO: Dies ist ein Spezialfall der Eulerschen Integraltransformation für +hypergeometrische Funktionen. \subsection{TODO} \begin{itemize} diff --git a/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex b/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex index 275d6f6..cee75de 100644 --- a/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex +++ b/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex @@ -398,8 +398,484 @@ eine zweite, linear unabhängige Lösung. % \subsection{Verallgemeinerte hypergeometrische Differentialgleichung} % https://de.wikipedia.org/wiki/Verallgemeinerte_hypergeometrische_Funktion +Die Ableitungsformel für die hypergeometrischen Funktionen +\[ +w(z) += +\mathstrut_nF_m +\biggl(\begin{matrix}a_1,\dots,a_m\\b_1,\dots,b_n\end{matrix};z\biggr) +\] +drückt die Ableitung $f'(z)$ durch einen Wert einer hypergeometrischen +Funktion mit ganz anderen Parametern aus, nämlich +\[ +w'(z) += +\frac{a_1\cdot\ldots\cdot a_n}{b_1\cdot\ldots\cdot b_m} +\mathstrut_mF_n\biggl( +\begin{matrix}a_1+1,\dots,a_n+1\\b_1+1,\dots,b_m+1\end{matrix};z +\biggr). +\] +Dies erlaubt aber noch nicht, eine Differentialgleichung für $w(z)$ +aufzustellen, da auf der rechten Seite alle Parameter inkrementiert +worden sind. +Um eine Differentialgleichung zu erhalten, muss man den gleichen +Effekt auf einem anderen Weg erreichen. +\subsubsection{Operatoren, die genau ein $a_i$ inkrementieren} +Wir suchen einen Operator, der in der hypergeometrischen Funktion +$\mathstrut_nF_m$ nur genau den Parameter $a_i$ inkrementiert. +Der folgende Operator schafft dies: +\begin{align*} +\biggl(z\frac{d}{dz}+a_i\biggr) +\mathstrut_nF_m\biggl(\begin{matrix}a_1,\dots,a_n\\b_1,\dots,b_m\end{matrix}; +z\biggr) +&= +\biggl(z\frac{d}{dz}+a_i\biggr) +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(a_1)_k\cdot\ldots\cdot(a_n)_k}{(b_1)_k\cdot\ldots\cdot(b_m)_k} +\frac{z^k}{k!} +\\ +&= +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(a_1)_k\cdot\ldots\cdot(a_n)_k}{(b_1)_k\cdot\ldots\cdot(b_m)_k} +\frac{z^k}{(k-1)!} ++ +\sum_{k=0}^\infty +a_i +\frac{(a_1)_k\cdot\ldots\cdot(a_n)_k}{(b_1)_k\cdot\ldots\cdot(b_m)_k} +\frac{z^k}{k!} +\\ +&= +\sum_{k=0}^\infty +\frac{ +(a_1)_k\cdots\widehat{(a_i)_k}\cdots(a_n)_k +}{ +(b_1)_k\cdots(b_m)_k +} +( +k(a_i)_k ++ +a_i(a_i)_k +) +\frac{z^k}{k!} +\\ +&= +\sum_{k=0}^\infty +\frac{ +(a_1)_k\cdots\widehat{(a_i)_k}\cdots(a_n)_k +}{ +(b_1)_k\cdots(b_m)_k +} +\underbrace{(a_i)_k(a_i+k)}_{a_i(a_i+1)_k} +\frac{z^k}{k!} +\\ +&= +a_i +\sum_{k=0}^\infty +\frac{ +(a_1)_k\cdots (a_i+1)_k\cdots(a_n)_k +}{ +(b_1)_k\cdots(b_m)_k +} +\underbrace{(a_i)_k(a_i+k)}_{a_i(a_i+1)_k} +\frac{z^k}{k!} +\\ +&= +a_i\cdot\mathstrut_nF_m\biggl( +\begin{matrix} +a_1,\dots,a_i+1,\dots,a_n\\ +b_1,\dots,b_m +\end{matrix} +;z +\biggr). +\end{align*} +Durch Anwendung aller Operatoren +\[ +D_{a_i} = z\frac{d}{dz}+a_i +\] +kann man jetzt die Inkrementierung der $a_i$, die in der Ableitung +von $w(z)$ zu beobachten war, in Einzelschritten erreichen: +\[ +D_{a_1}D_{a_2}\cdots D_{a_n} w(z) += +a_1a_2\cdots a_n \, +\mathstrut_nF_m\biggl( +\begin{matrix}a_1+1,\dots,a_n+1\\b_1,\dots,b_m\end{matrix}; z +\biggr). +\] +\subsubsection{Operatoren, die genau ein $b_j$ dekrementieren} +Die Rechnung für die Operatoren $D_{a_i}$ ist nicht direkt auf die +$b_i$ übertragbar, wir versuchen daher erneut: +\begin{align*} +D_{b_i-1} +\,\mathstrut_nF_m +\biggl( +\begin{matrix}a_1,\dots,a_n\\b_1,\dots,a_m\end{matrix};z +\biggr) +&= +\biggl(z\frac{d}{dz}+b_j-1\biggr) +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(a_1)_k\cdots (a_n)_k}{(b_1)_k\cdots (b_m)_k} +\frac{z^k}{k!} +\\ +&= +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(a_1)_k\cdots (a_n)_k}{(b_1)_k\cdots (b_m)_k} +\frac{z^k}{(k-1)!} ++ +(b_j-1) +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(a_1)_k\cdots (a_n)_k}{(b_1)_k\cdots (b_m)_k} +\frac{z^k}{k!} +\\ +&= +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(a_1)_k\cdots (a_n)_k}{(b_1)_k\cdots\widehat{(b_j)_k}\cdots (b_m)_k} +\biggl(\frac{k}{(b_j)_k}+\frac{b_j-1}{(b_j)_k}\biggr) +\frac{z^k}{k!} +\\ +&= +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(a_1)_k\cdots (a_n)_k}{(b_1)_k\cdots \widehat{(b_j)_k}\cdots (b_m)_k} +\frac{b_j+k-1}{(b_j)_k} +\frac{z^k}{k!} +\\ +&= +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(a_1)_k\cdots (a_n)_k}{(b_1)_k\cdots \widehat{(b_j)_k}\cdots (b_m)_k} +\frac{b_j-1}{(b_j-1)_k} +\frac{z^k}{k!} +\\ +&= +(b_j-1) +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(a_1)_k\cdots (a_n)_k}{(b_1)_k\cdots(b_j-1)_k\cdots (b_m)_k} +\frac{z^k}{k!} +\\ +&=(b_j-1) +\, +\mathstrut_nF_m\biggl( +\begin{matrix}a_1,\dots,a_n\\ +b_1,\dots,b_j-1,\dots,b_m +\end{matrix} +;z +\biggr). +\end{align*} +Durch Anwendung aller Operatoren $D_{b_j-1}$ kann also jeder $b$-Parameter +dekrementiert werden, es gilt also +\[ +D_{b_1-1}D_{b_2-1}\cdots D_{b_m-1}w += +(b_1-1)(b_2-1)\cdots(b_m-1) \, +\mathstrut_nF_m\biggl( +\begin{matrix} +a_1,\dots,a_n\\ +b_1-1,\dots,b_m-1 +\end{matrix} +;z +\biggr). +\] + +\subsubsection{Die Differentialgleichung} +Aus den Operatoren $D_{a_i}$ und $D_{b_j-1}$ kann jetzt eine +Differentialgleichung für die Funktion $w(z)$ konstruieren. +Durch Anwendung von aller Operatoren $D_{b_i-1}$ werden die +$b$-Parameter dekrementiert und die Faktoren $(b_i-1)$ kommen hinzu. +Leitet man dies ab, werden alle Parameter inkrementiert: +\begin{align*} +\frac{d}{dz} +\mathstrut_nF_m\biggl( +\begin{matrix}a_1,\dots,a_n\\ +b_1,\dots,b_m\end{matrix};z +\biggr) +&= +\frac{a_1\cdots a_n}{(b_1-1)\cdots(b_m-1)} +(b_1-1)\cdots(b_m-1) +\,\mathstrut_nF_m\biggl( +\begin{matrix}a_1+1,\dots,a_n+1\\ +b_1,\dots,b_m\end{matrix};z +\biggr) +\\ +&= +a_1\dots a_n +\,\mathstrut_nF_m\biggl( +\begin{matrix}a_1+1,\dots,a_n+1\\ +b_1,\dots,b_m\end{matrix};z +\biggr) +\end{align*} +Dies ist aber die gleiche Operation, wie alle Operatoren $D_{a_i}$ +anzuwenden. +Es folgt daher die Differentialgleichung +\[ +D_{a_1}\cdots D_{a_n} w = \frac{d}{dz} D_{b_1-1}\cdots D_{b_m-1} w +\] +für die Funktion $w(z)$. + +\begin{beispiel} +Im Spezialfall $\mathstrut_0F_0$ gibt es keine Operatoren $D_{a_i}$ +oder $D_{b_j-1}$ anzuwenden, so dass nur die Differentialgleichung +\[ +w=\frac{d}{dz}w +\] +stehen bleibt. +Dies ist natürlich die Differentialgleichung der Exponentialfunktion. +\end{beispiel} + +% +% Differentialgleichung für 1F0 +% +\subsubsection{Die Differentialgleichungen für $\mathstrut_1F_0$} +In diesen Fälle gibt es nur jeweils einen einzigen Operator +anzuwenden. +Wir betrachten zunächst den Fall $w(z) = \mathstrut_1F_0(\alpha; z)$ +und finden direkt die Differentialgleichung +\begin{align*} +\biggl(z\frac{d}{dz}+\alpha\biggr)w +&= +\frac{d}{dz}w +\\ +zw'+\alpha w +&= +w' +\\ +(1-z)w' +&= +\alpha w. +\end{align*} + +\begin{beispiel} +Wir bestimmen die Differentialgleichung für die als hypergeometrische +Reihe darstellbare Funktion +\[ +f(x) += +\sqrt{1+x} = \mathstrut_1F_0(-{\textstyle\frac12};-x). +\] +Zunächst erfüllt die hypergeometrische Funktion +$w(z)=\mathstrut_1F_0(-\frac12;z)$ die Differentialgleichung +\[ +(1-z)w'(z) = -\frac12 w(z). +\] +Jetzt setzen wir $z=-x$ in die Funktion ein. +Wegen $f(x)=w(-x)$ folgt $f'(x)=-w'(-x)$ +\[ +-f'(x)(1+x) = -\frac12 f(x) +\qquad\Rightarrow\qquad +f'(x) = \frac{f(x)}{2(1+x)}. +\] +Tatsächlich ist die Ableitung der Wurzelfunktion $f(x)$ +\[ +\frac{d}{dx}f(x) += +\frac{d}{dx}\sqrt{1+x} += +\frac{1}{2\sqrt{1+x}} += +\frac{\sqrt{1+x}}{2(1+x)} += +\frac{f(x)}{2(1+x)}, +\] +sie erfüllt also die genannte Differentialgleichung. +\end{beispiel} + +% +% Differentialgleichung für 0F1 +% +\subsubsection{Die Differentialgleichungen für $\mathstrut_0F_1$} +Für die Funktion $\mathstrut_0F_1$ setzen wir +$w(z)=\mathstrut_0F_1(;\beta;z)$. +In diesem Fall gibt es keine Operatoren $D_{a_i}$ anzuwenden, die +linke Seite der Differentialgleichung ist also einfach die Funktion $w$. +Für die rechte Seite ist der Operator $D_{\beta-1}$ anzuwenden, was auf +die Differentialgleichung +\begin{align*} +w +&= +\frac{d}{dz} +\biggl(z\frac{d}{dz}+\beta -1\biggr)w +\\ +w +&= +\frac{d}{dz}(zw'+\beta w - w) +\\ +w +&= +zw''+w'+\beta w' -w' +\\ +0 +&= +zw''+\beta w' - w +\end{align*} +führt. + +\begin{beispiel} +Die Kosinus-Funktion kann durch die hypergeometrische Funktion +$\mathstrut_0F_1$ ausgedrückt werden. +Wir schreiben +\[ +w(z) += +\mathstrut_0F_1\biggl( +\begin{matrix}\text{---}\\\frac12\end{matrix} +;z\biggr), +\] +$w(z)$ erfüllt die Differentialgleichung +\[ +zw''(z) +w'(z) -\frac{3}{2} w(z) = 0. +\] +Die Kosinus-Funktion als Funktion von $w(z)$ ist +\[ +f(x) += +\cos x = \mathstrut_0F_1\biggl(;\frac12;-\frac{x^2}4\biggr) += +w\biggl(-\frac{x^2}4\biggr), +\] +es muss also $z=-x^2/4$ gesetzt werden. +Wir müssen die Ableitungen von $w$ durch die Ableitungen von $f$ +ausdrücken. +Die Ableitungen sind +\begin{align*} +f'(x) +&= +-\frac{x}{2} +w'\biggl(-\frac{x^2}4\biggr) +&&\Rightarrow& +w'\biggl(-\frac{x^2}4\biggr) +&= +-\frac{2}{x}f'(x) +\\ +f''(x) +&= +\frac{x^2}{4}w''\biggl(-\frac{x^2}4\biggr) +-\frac12w'\biggl(-\frac{x^2}4\biggr) +&&\Rightarrow& +w''\biggl(-\frac{x^2}4\biggr) +&= +\frac{4}{x^2}f''(x) ++\frac{2}{x^2}w'\biggl(-\frac{x^2}4\biggr) +\\ +&&&& +&= +\frac{4}{x^2}f''(x) +-\frac{4}{x^3}f'(x). +\end{align*} +Einsetzen in die Differentialgleichung von $w(z)$ ergibt +\begin{align*} +0= +zw''+\beta w'-w +&= +-\frac{x^2}4 +\biggl( +\frac{4}{x^2}f''(x)-\frac{4}{x^3}f'(x) +\biggr) ++\frac12\biggl( +-\frac2xf'(x) +\biggr) +-f(x) +\\ +&= +-f''(x) +-f(x), +\end{align*} +was gleichbedeutend ist mit der Differentialgleichung $f''=-f$, die +tatsächlich die Kosinus-Funktion als Lösung hat. +\end{beispiel} + +% +% Die Differentialgleichung für 1F1 +% +\subsubsection{Die Differentialgleichung für $\mathstrut_1F_1$} +Wir setzen wieder $w(z) = \mathstrut_1F_1(\alpha;\beta;z)$. +Es sind die Operatoren $D_\alpha$ und $D_{\beta-1}$ anzuwenden. +Es ergibt sich die Differentialgleichung +\begin{align*} +\biggl(z\frac{d}{dz}+\alpha\biggr)w +&= +\frac{d}{dz}\biggl(z\frac{d}{dz} +\beta-1\biggr)w +\\ +zw'+\alpha w +&= +\frac{d}{dz} +(zw'+\beta w - w) +\\ +zw'+\alpha w +&= +zw'' +w'+\beta w' - w' +\\ +0 +&= +zw'' + (\beta - z)w' - \alpha w. +\end{align*} + +% +% Die hypergeometrische Differentialgleichung für 2F1 +% +\subsubsection{Die Differentialgleichung für $\mathstrut_2F_1$} +Für die hypergeometrische Funktion $\mathstrut_2F_1(\alpha,\beta;\gamma;z)$ +ist die Difrentialgleichung von der Form +\[ +\biggl(z\frac{d}{dz} + \alpha\biggr) +\biggl(z\frac{d}{dz} + \beta\biggr)w += +\frac{d}{dz} +\biggl(z\frac{d}{dz}+\gamma -1\biggr) +w. +\] +Durchführen der Ableitungen auf beiden Seiten ergibt für die linke Seite +\begin{align*} +\biggl(z\frac{d}{dz} + \alpha\biggr) +\biggl(z\frac{d}{dz} + \beta\biggr)w +&= +\biggl(z\frac{d}{dz} + \alpha\biggr) +(zw'+\beta w) +\\ +&= +z^2w'' + zw' + \beta zw' + \alpha(zw'+\beta w) +\\ +&= +z^2w'' + (1+\alpha+\beta )zw' + \beta\alpha w +\intertext{und die rechte Seite} +\frac{d}{dz}\biggl(z\frac{d}{dz}+\gamma-1\biggr)w +&= +\frac{d}{dz}(zw'+\gamma w-w) +\\ +&= +zw''+w'+\gamma w' - w' +\\ +&= +zw'' +\gamma w'. +\end{align*} +Durch Gleichsetzen ergibt sich jetzt +\begin{align*} +z^2w'' + (1+\alpha+\beta )zw' + \alpha\beta w +&= +zw'' +\gamma w' +\\ +0 +&= +z(1-z)w'' ++ +(\gamma-z(1+\alpha+\beta))w' +- +\alpha\beta +w +\end{align*} +Dies ist die früher definierte hypergeometrische Differentialgleichung. + +% +% +% +\subsubsection{Hypereometrische Funktionen von $x^2$ und $x^3$} +Die hypergeometrischen Funktionen $w(z)$ als Lösungen der hypergeometrischen +Differentialgleichungen sind Potenzreihen, in denen kein Koeffizient +verschwindet, sofern die Lösung nicht ein Polynom ist. +Die trigonometrischen Funktionen sind nicht von dieser Art. +Sie lassen sich als Funktionen von $x^2$ schreiben. +Wir untersuchen in diesem Abschnitt, wie sich eine Differentialgleichung +von $y(x) = x^lw(tx^k)$ aus der Differentialgleichung für $w(z)$ gewinnen +lässt. diff --git a/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc b/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc index 09be355..73bc804 100644 --- a/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/060-integral/Makefile.inc @@ -6,6 +6,7 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ chapters/060-integral/fehlerfunktion.tex \ + chapters/060-integral/eulertransformation.tex \ chapters/060-integral/differentialkoerper.tex \ chapters/060-integral/risch.tex \ chapters/060-integral/orthogonal.tex \ diff --git a/buch/chapters/060-integral/chapter.tex b/buch/chapters/060-integral/chapter.tex index ced3ab2..142abd8 100644 --- a/buch/chapters/060-integral/chapter.tex +++ b/buch/chapters/060-integral/chapter.tex @@ -40,6 +40,7 @@ Der Risch-Algorithmus von Abschnitt~\ref{buch:integral:section:risch} gibt darauf eine Antwort. \input{chapters/060-integral/fehlerfunktion.tex} +\input{chapters/060-integral/eulertransformation.tex} \input{chapters/060-integral/differentialkoerper.tex} \input{chapters/060-integral/risch.tex} \input{chapters/060-integral/orthogonal.tex} diff --git a/buch/chapters/060-integral/eulertransformation.tex b/buch/chapters/060-integral/eulertransformation.tex new file mode 100644 index 0000000..4e424f1 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/060-integral/eulertransformation.tex @@ -0,0 +1,174 @@ +% +% eulertransformation.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Euler-Transformation der hypergeometrischen Funktionen +\label{buch:integral:section:eulertransformation}} +\rhead{Euler-Transformation} +Die hypergeometrischen Funktionen wurden bisher einerseits +als Reihen mit einer speziellen Rekursionsrelation der Reihenglieder +und als Lösungen einer speziellen Art von Differentialgleichung +erkannt. +In diesem Abschnitt soll untersucht werden, ob man sie auch +auch durch Integrale definieren kann. + +\subsection{Integraldarstellung der hypergeometrischen Funktion +$\mathstrut_2F_1$} + +XXX An dieser Stelle Abschnitt 4.3.5 (Integraldarstellung) einfügen + +\begin{satz}[Euler] +Die hypergeometrische Funktion $\mathstrut_2F_1$ kann durch das +Integral +\begin{equation} +\mathstrut_2F_1\biggl(\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};z\biggr) += +\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)} +\int_0^1 +t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-zt)^{-a} +\,dt +\end{equation} +dargestellt werden. +\end{satz} + +\subsection{Integraldarstellung als Integraltransformation} +Im vorangegangenen Abschnitt wurde gezeigt, wie sich die Funktion +$\mathstrut_2F_1$ als ein Integral des Integranden +\[ +t^{b-1}(1-t)^{c-b-1} (1-xt)^{-a} +\] +ausdrücken lässt. +Der letzte Faktor $(1-xt)^{-a}$ kann mit der Binomialreihe +\begin{align*} +(1+x)^\alpha +&= +1 ++ +\alpha x ++ +\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 ++ +\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3 ++ +\\ +&= +1 ++ +\frac{-\alpha}{1}(-x) ++ +\frac{-\alpha(-\alpha+1)}{2!} (-x)^2 ++ +\frac{-\alpha(-\alpha+1)(-\alpha+2)}{3!} (-x)^3 ++ +\dots +\\ +&= +\sum_{k=0}^\infty \frac{(-\alpha)_k}{k!} (-x)^k += +\mathstrut_0F_1\biggl( +\begin{matrix} +\text{---}\\-\alpha +\end{matrix} +;-x +\biggr) +\end{align*} +als hypergeometrische Funktion geschrieben werden. +Die Integraldarstellung von $\mathstrut_2F_1$ kann daher auch als +\[ +\mathstrut_2F_1\biggl(\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};z\biggr) += +\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)} +\int_0^1 t^{b-1}(1-t)^{c-b-1} +\, +\mathstrut_0F_1(;a;zt)\,dt +\] +Eine gewisse Ähnlichkeit zur Laplace-Transformation ist dieser +Formel nicht abzusprechen. +Die Funktion \( t^{b-1}(1-t)^{c-b-1} \) wird statt mit der +Exponentialfunktion $e^{xt} = \mathstrut_0F_0(xt)$ mit der +hypergeometrischen Funktion $\mathstrut_0F_1(;a;xt)$ multipliziert und +integriert. +Dies suggeriert, dass sich möglicherweise jede der hypergeometrischen +Funktionen $\mathstrut_{p+1}F_{q+1}$ durch ein Integral, dessen +Integrand $\mathstrut pF_q$ enthält, ausdrücken lässt. + +\begin{satz} +Es gilt +\[ +\mathstrut_{p+1}F_{q+1}\biggl( +\begin{matrix} +a_1,\dots,a_{p+1}\\ +b_1,\dots,b_{q+1} +\end{matrix} +;z +\biggr) += +\frac{\Gamma(b_{q+1})}{\Gamma(a_{p+1})\Gamma(b_{q-1}-a_{p+1})} +\int_0^1 +t^{a_{p+1}-1}(1-t)^{b_{q+1}-a_{p+1}-1} +\mathstrut_pF_q\biggl( +\begin{matrix} +a_1,\dots,a_p\\ +b_1,\dots,b_q +\end{matrix};zt +\biggr) +\,dt +\] +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] +Sei $I$ das Integral auf der rechten Seite. +Wir setzen die Reihenentwicklung der Funktion $\mathstrut_pF_q$ in +die Integralformel ein und erhalten +\begin{align*} +I +&= +\int_0^1 t^{a_{p+1}-1}(1-t)^{b_{q+1}-a_{p+1}-1} +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(a_1)_k\cdots (a_p)_k}{(b_1)_k\cdots (b_q)_k} +\frac{(zt)^k}{k!} +\,dt +\\ +&= +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(a_1)_k\cdots (a_p)_k}{(b_1)_k\cdots (b_q)_k} +\frac{z^k}{k!} +\int_0^1 +t^{a_{p+1}+k-1}(1-t)^{b_{q+1}-a_{p+1}-1} +\,dt. +\intertext{Das verbleibende Integral auf der rechten Seite ist das +Beta-Integral $B(a_{p+1}+k, b_{q+1}-a_{p+1})$: +} +&= +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(a_1)_k\cdots (a_p)_k}{(b_1)_k\cdots (b_q)_k} +\frac{z^k}{k!} +B(a_{p+1}+k, b_{q+1}-a_{p+1}). +\intertext{Mit der Rekursionsformel aus +Lemma~\ref{buch:rekursion:gamma:betareklemma} +für das Beta-Integral folgt} +&= +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(a_1)_k\cdots (a_p)_k}{(b_1)_k\cdots (b_q)_k} +\frac{z^k}{k!} +\frac{(a_{p+1})_k}{(b_{q+1})_k} B(a_{p+1},b_{q+1}-a_{p+1}) +\\ +&= +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(a_1)_k\cdots (a_{p+1})_k}{(b_1)_k\cdots (b_{q+})_k} +\frac{z^k}{k!} +\frac{\Gamma(a_{p+1})\Gamma(b_{q+1}-a_{p+1})}{\Gamma(b_{q+1})} +\\ +&= +\frac{\Gamma(a_{p+1})\Gamma(b_{q+1}-a_{p+1})}{\Gamma(b_{q+1})} +\,\mathstrut_{p+1}F_{q+1}\biggl( +\begin{matrix}a_1,\dots,a_{p+1}\\ +b_1,\dots,b_{q+1} +\end{matrix}; z\biggr). +\end{align*} +Auflösen nach $\mathstrut_{p+1}F_{q+1}$ ergibt die behauptete +Formel. +\end{proof} + + diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex index 67891f2..1306b51 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex @@ -572,4 +572,5 @@ fest. \subsection{Potenzreihe} XXX Potenzreihen \\ XXX Als hypergeometrische Funktionen \\ +\url{https://www.youtube.com/watch?v=j0t1yWrvKmE} XXX Berechnung mit der Landen-Transformation https://en.wikipedia.org/wiki/Landen%27s_transformation -- cgit v1.2.1