From 330038bafaaf6ed6462a3efdcf9869b6ecf645ce Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Erik=20L=C3=B6ffler?= Date: Thu, 11 Aug 2022 14:34:39 +0200 Subject: Added mu calculation to both fourier examples. --- buch/papers/sturmliouville/standalone.tex | 31 ------- .../sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 99 ++++++++++++++++++++-- 2 files changed, 94 insertions(+), 36 deletions(-) delete mode 100644 buch/papers/sturmliouville/standalone.tex (limited to 'buch') diff --git a/buch/papers/sturmliouville/standalone.tex b/buch/papers/sturmliouville/standalone.tex deleted file mode 100644 index cd0e8dc..0000000 --- a/buch/papers/sturmliouville/standalone.tex +++ /dev/null @@ -1,31 +0,0 @@ -\documentclass{book} - -\def\IncludeBookCover{0} -\input{common/packages.tex} - -% additional packages used by the individual papers, add a line for -% each paper -\input{papers/common/addpackages.tex} - -% workaround for biblatex bug -\makeatletter -\def\blx@maxline{77} -\makeatother -\addbibresource{chapters/references.bib} - -% Bibresources for each article -\input{papers/common/addbibresources.tex} - -% make sure the last index starts on an odd page -\AtEndDocument{\clearpage\ifodd\value{page}\else\null\clearpage\fi} -\makeindex - -%\pgfplotsset{compat=1.12} -\setlength{\headheight}{15pt} % fix headheight warning -\DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{} - -\begin{document} - \input{common/macros.tex} - \def\chapterauthor#1{{\large #1}\bigskip\bigskip} - \input{papers/sturmliouville/main.tex} -\end{document} diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index 92ecc49..89d158c 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -216,7 +216,7 @@ und durch umformen somit \mu A\sin(\alpha x) + \mu B\cos(\beta x). \] -Durch Koeffizientenvergleich von +Mittels Koeffizientenvergleich von \[ \begin{aligned} -\alpha^{2}A\sin(\alpha x) @@ -238,16 +238,105 @@ Dazu werden nochmals die Randbedingungen Zu bemerken ist, dass die Randbedingungen nur Anforderungen in $x$ stellen und somit direkt für $X(x)$ übernomen werden können. -Daraus ergibt sich für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur +Da die Koeffizienten $A$ und $B$, sowie die Parameter $\alpha$ uns $\beta$ im +allgemeninen ungleich $0$ sind, müssen die Randbedingungen durch die +trigonometrischen Funktionen erfüllt werden. +Es werden nun die Randbedingungen +\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant} für einen Stab +mit Enden auf konstanter Temperatur in die Gleichung +\eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} eingesetzt. +Betrachten wir zunächst die Bedingung für $x = 0$. +Dies fürht zu +\[ + X(0) + = + A \sin(0 \alpha) + B \cos(0 \beta) + = + 0. +\] +Da $\cos(0) \neq 0$ ist, muss in diesem Fall $B = 0$ gelten. +Für den ersten Summanden ist wegen $\sin(0) = 0$ die Randbedingung erfüllt. + +Wird nun die zweite Randbedingung für $x = l$ mit $B = 0$ eingesetzt, ergibt +sich +\[ + X(l) + = + A \sin(\alpha l) + 0 \cos(\beta l) + = + A \sin(\alpha l) + = 0. +\] + +$\alpha$ muss also so gewählt werden, dass $\sin(\alpha l) = 0$ gilt. +Es gilt nun nach $\alpha$ aufzulösen: +\[ +\begin{aligned} + \sin(\alpha l) &= 0 \\ + \alpha l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N} \\ + \alpha &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N} +\end{aligned} +\] + +Es folgt nun wegen $\mu = -\alpha^{2}$, dass +\begin{equation} + \mu_1 = -\alpha^{2} = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}} +\end{equation} +sein muss. +Ausserdem ist zu bemerken, dass dies auch gleich $-\beta^{2}$ ist. +Da aber $B = 0$ gilt und der Summand mit $\beta$ verschwindet, ist dies keine +Verletzung der Randbedingungen. + +Durch alanoges Vorgehen kann nun auch das Problem mit isolierten Enden gelöst +werden. +Setzen wir nun die Randbedingungen +\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} in $X^{\prime}$ +ein, beginnend für $x = 0$. Es ergibt sich +\[ + X^{\prime}(0) + = + \alpha A \cos(\alpha 0) - \beta B \sin(\beta 0) + = 0. +\] +In diesem Fall muss $A = 0$ gelten. +Zusammen mit der Bedignung für $x = l$ +folgt nun +\[ + X^{\prime}(l) + = + \alpha A \cos(\alpha l) - \beta B \sin(\beta l) + = + -\beta B \sin(\beta l) + = 0. +\] + +Wiedrum muss über die $\sin$-Funktion sicher gestellt werden, dass der Ausdruck +den Randbedingungen entspricht. Es folgt nun +\[ +\begin{aligned} + \sin(\beta l) &= 0 \\ + \beta l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N} \\ + \beta &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N} +\end{aligned} +\] +und somit +\[ + \mu_2 = -\alpha^{2} = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}. +\] + +Es ergibt sich also sowohl für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur +wie auch mit isolierten Enden \begin{equation} \label{eq:slp-example-fourier-mu-solution} \mu = - -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}} + -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}. \end{equation} -Betrachten wir nun die zweite Gleichung der Separation + + +Betrachten wir zuletzt die zweite Gleichung der Separation \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-t}. Diese Lösen wir über das charakteristische Polynom \[ @@ -263,7 +352,7 @@ Lösung e^{-\kappa \mu t} \] führt. -Und mit dem Resultat \eqref{eq:slp-example-fourier-mu-solution} die Lösung +Und mit dem Resultat \eqref{eq:slp-example-fourier-mu-solution} \[ T(t) = -- cgit v1.2.1