From 5bd294f334dc1d99e3db29996482f0f2cd1c8b49 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Wed, 27 Oct 2021 08:51:17 +0200 Subject: add gamma function section --- buch/buch.tex | 6 + buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc | 9 ++ buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex | 21 +++ buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex | 157 +++++++++++++++++++++ buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile | 12 ++ buch/chapters/040-rekursion/images/gammaplot.m | 52 +++++++ buch/chapters/040-rekursion/images/gammaplot.pdf | Bin 0 -> 30468 bytes buch/chapters/040-rekursion/images/gammaplot.tex | 89 ++++++++++++ .../chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf | Bin 57199 -> 57192 bytes buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex | 104 +++++++++++++- buch/chapters/Makefile.inc | 2 + buch/chapters/part1.tex | 2 +- 12 files changed, 449 insertions(+), 5 deletions(-) create mode 100644 buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc create mode 100644 buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex create mode 100644 buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex create mode 100644 buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile create mode 100644 buch/chapters/040-rekursion/images/gammaplot.m create mode 100644 buch/chapters/040-rekursion/images/gammaplot.pdf create mode 100644 buch/chapters/040-rekursion/images/gammaplot.tex (limited to 'buch') diff --git a/buch/buch.tex b/buch/buch.tex index b255ace..de40b1f 100644 --- a/buch/buch.tex +++ b/buch/buch.tex @@ -10,6 +10,12 @@ % each paper \input{papers/common/addpackages.tex} +% PDF info +\hypersetup{ +pdftitle={Mathematisches Seminar Spezielle Funktionen}, +pdfauthor={Andreas Müller} +} + % workaround for biblatex bug \makeatletter \def\blx@maxline{77} diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc b/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc new file mode 100644 index 0000000..c9b454c --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc @@ -0,0 +1,9 @@ +# +# Makefile.inc -- Makefile dependencies for chapter 4 +# +# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# + +CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ + chapters/040-rekursion/gamma.tex \ + chapters/040-rekursion/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex b/buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex new file mode 100644 index 0000000..68a5e7a --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex @@ -0,0 +1,21 @@ +% +% chapter.tex -- Beschreibung des Inhaltes +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +% !TeX spellcheck = de_CH +\chapter{Spezielle Funktionen und Rekursion +\label{buch:chapter:rekursion}} +\lhead{Spezielle Funktionen und Rekursion} +\rhead{} + +\input{chapters/040-rekursion/gamma.tex} + +%\section*{Übungsaufgaben} +%\rhead{Übungsaufgaben} +%\aufgabetoplevel{chapters/020-exponential/uebungsaufgaben} +%\begin{uebungsaufgaben} +%\uebungsaufgabe{0} +%\uebungsaufgabe{1} +%\end{uebungsaufgaben} + diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex new file mode 100644 index 0000000..1691fc0 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex @@ -0,0 +1,157 @@ +% +% gamma.tex -- Abschnitt über die Gamma-funktion +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Die Gamma-Funktion +\label{buch:rekursion:section:gamma}} +Die Fakultät $x!$ kann rekursiv durch +\[ + x! = x\cdot (x-1)! \qquad\text{und}\qquad 0!=1 +\] +für alle natürlichen Zahlen $x\in\mathbb{N}$ definiert werden. +Äquivalent damit ist eine Funktion +\begin{equation} +\Gamma(x+1) = x\Gamma(x) +\qquad\text{und}\qquad +\Gamma(1)=1. +\label{buch:rekursion:eqn:gammadef} +\end{equation} +Kann man eine reelle oder komplexe Funktion finden, die die +Funktionalgleichung~\eqref{buch:rekursion:eqn:gammadef} +erfüllt und damit die Fakultät auf beliebige Argumente ausdehnt? + +\subsection{Integralformel für die Gamma-Funktion} +Euler hat die folgende Integraldefinition der Gamma-Funktion gegeben. + +\begin{definition} +\label{buch:rekursion:def:gamma} +Die Gamma-Funktion ist die Funktion +\[ +\Gamma +\colon +\{z\in\mathbb{C} \mid \operatorname{Re}z>0\} +\to \mathbb{C} +: +z +\mapsto +\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}\,dt +\] +\end{definition} + +Man beachte, dass das Integral für $x=0$ nicht definiert ist, eine +Potenzreihenentwicklung um einen Punkt $x_0$ auf der positiven reellen +Achse kann also höchstens den Konvergenzradius $\varrho=|x_0|$ haben. + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/040-rekursion/images/gammaplot.pdf} +\caption{Graph der Gamma-Funktion $z\mapsto\Gamma(z)$ und der alternativen +Funktion $\Gamma(z)+\sin(\pi z)$, die für ganzzahlige Argumente ebenfalls +die Werte der Fakultät annimmt. +\label{buch:rekursion:fig:gamma}} +\end{figure} + +\subsubsection{Alternative Lösungen} +Die Funktion $\Gamma(z)$ ist nicht die einzige Funktion, die natürlichen +Zahlen die Werte $\Gamma(n+1) = n!$ der Fakultät annimmt. +Indem man eine beliebige Funktion $f(z)$ addiert, die auf alle +natürlichen Zahlen verschwindet, also $f(n)=0$ für $n\in\mathbb{N}$, +erhält man eine weitere Funktion, die auf natürlichen Zahlen +die Werte der Fakultät annimmt. +Ein Beispiel einer solchen Funktion ist +\begin{equation} +z\mapsto f(z)=\Gamma(z) + \sin \pi z, +\label{buch:rekursion:eqn:gammaalternative} +\end{equation} +die Funktion $f(z)=\sin\pi z$ verschwindet sogar auf allen ganzen +Zahlen. + +In Abbildung~\ref{buch:rekursion:fig:gamma} ist die Gamma-Funktion +in rot geplotet, die Funktion~\eqref{buch:rekursion:eqn:gammaalternative} +in grün. +Die Punkte $(n,(n-1)!)$ sind in blau bezeichnet, sie sind beiden Graphen +gemeinsam. + +\subsubsection{Pol erster Ordnung bei $z=0$} +Wir haben zu prüfen, dass sowohl der Wert $\Gamma(1)$ korrekt ist als +auch die Rekursionsformel~\eqref{buch:rekursion:eqn:gammadef} gilt. +Der Wert für $z=1$ ist +\begin{align*} +\Gamma(1) +&= +\int_0^\infty t^{1-1}e^{-t}\,dt += +\left[ -e^{-t} \right]_0^\infty += +1. +\end{align*} +Für die Rekursionsformel kann mit Hilfe von partieller Integration +bekommen: +\begin{align*} +\Gamma(z+1) +&= +\int_0^\infty t^{z+1-1}e^{-t}\,dt += +\biggl[-t^{z}e^{-t}\biggr]_0^\infty ++ +\int_0^\infty z t^{z-1}e^{-t}\,dt +\\ +&= +z +\int_0^\infty +t^{z-1}e^{-t}\,dt += +z \Gamma(z). +\end{align*} + +Für $00$ folgt aus der +Funktionalgleichung +\[ +\Gamma(z) = \frac{\Gamma(1+z)}{z}. +\] +Da $\Gamma(1)=1$ ist und $\Gamma$ eine in einer +Umgebung von $1$ stetige Funktion ist, kann sie in der Form +\( +\Gamma(1+z)=\Gamma(1) + zf(z) +\) +schreiben, wobei $f(z)$ eine differenzierbare Funktion ist mit +$f'(1)=\Gamma'(1)$. +Daraus ergibt sich für $\Gamma(z)$ der Ausdruck +\[ +\Gamma(z) = \frac{\Gamma(1)}{z} + f(z) = \frac{1}{z} + f(z). +\] +Die Gamma-Funktion hat daher and er Stelle $z=0$ einen Pol erster Ordnung. + +\subsubsection{Ausdehnung auf $\operatorname{Re}z<0$} +Die Integralformel konvergiert nicht für $\operatorname{Re}z\le 0$. +Durch analytische Fortsetzung, wie sie im +Abschnitt~\ref{buch:funktionentheorie:section:fortsetzung} +beschrieben wird, kann die Funktion auf ganz $\mathbb{C}$ ausgedehnt +werden, mit Ausnahme einzelner Pole. +Die Funktionalgleichung gilt natürlich für alle $z\in\mathbb{C}$, +für die $\Gamma(z)$ definiert ist. +In einer Umgebung von $z=-n$ gilt +\[ +\Gamma(z) += +\frac{\Gamma(z+1)}{z} += +\frac{\Gamma(z+2)}{z(z+1)} += +\frac{\Gamma(z+3)}{z(z+1)(z+2)} += +\dots += +\frac{\Gamma(z+n)}{z(z+1)(z+2)\cdots(z+n-1)} +\] +Keiner der Faktoren im Nenner verschwindet in der Nähe von $z=-n$, der +Zähler hat aber einen Pol erster Ordnung an dieser Stelle. +Daher hat auch der Quotient einen Pol erster Ordnung. +Abbildung~\ref{buch:rekursion:fig:gamma} zeigt die Pole bei den +nicht negativen ganzen Zahlen. + + + + + diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile b/buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile new file mode 100644 index 0000000..58f79b8 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/Makefile @@ -0,0 +1,12 @@ +# +# Makefile +# +# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +all: gammaplot.pdf + +gammaplot.pdf: gammaplot.tex gammapaths.tex + pdflatex gammaplot.tex + +gammapaths.tex: gammaplot.m + octave gammaplot.m diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/gammaplot.m b/buch/chapters/040-rekursion/images/gammaplot.m new file mode 100644 index 0000000..3b1d23d --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/gammaplot.m @@ -0,0 +1,52 @@ +# +# gammaplot.m +# +# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# + +fn = fopen("gammapaths.tex", "w"); + +function finterval(f, fn, from, to, name, delta) + fprintf(fn, "\\def\\gamma%s{", name); + x = from + delta; + fprintf(fn, "({\\dx*%.4f},{\\dy*%.4f})", x, f(x)); + x = from + 0.02; + for x = (from+0.02:0.02:to-0.02) + fprintf(fn, "\n -- "); + fprintf(fn, "({\\dx*%.4f},{\\dy*%.4f})", x, f(x)); + endfor + x = to - delta; + fprintf(fn, "\n -- "); + fprintf(fn, "({\\dx*%.4f},{\\dy*%.4f})", x, f(x)); + fprintf(fn, "}\n"); +endfunction + +function gammainterval(fn, from, to, name, delta) + finterval(@gamma, fn, from, to, name, delta) +endfunction + +function retval = gammasin(x) + retval = gamma(x) + sin(x * pi); +endfunction + +function gammasininterval(fn, from, to, name, delta) + finterval(@gammasin, fn, from, to, name, delta) +endfunction + +gammainterval(fn, 0, 4.1, "plus", 0.019); +gammainterval(fn, -1, 0, "one", 0.019); +gammainterval(fn, -2, -1, "two", 0.019); +gammainterval(fn, -3, -2, "three", 0.019); +gammainterval(fn, -4, -3, "four", 0.005); +gammainterval(fn, -5, -4, "five", 0.001); +gammainterval(fn, -6, -5, "six", 0.0002); + +gammasininterval(fn, 0, 4.1, "sinplus", 0.019); +gammasininterval(fn, -1, 0, "sinone", 0.019); +gammasininterval(fn, -2, -1, "sintwo", 0.019); +gammasininterval(fn, -3, -2, "sinthree", 0.019); +gammasininterval(fn, -4, -3, "sinfour", 0.005); +gammasininterval(fn, -5, -4, "sinfive", 0.001); +gammasininterval(fn, -6, -5, "sinsix", 0.0002); + +fclose(fn); diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/gammaplot.pdf b/buch/chapters/040-rekursion/images/gammaplot.pdf new file mode 100644 index 0000000..d0a766e Binary files /dev/null and b/buch/chapters/040-rekursion/images/gammaplot.pdf differ diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/images/gammaplot.tex b/buch/chapters/040-rekursion/images/gammaplot.tex new file mode 100644 index 0000000..4e11d32 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/images/gammaplot.tex @@ -0,0 +1,89 @@ +% +% gammaplot.tex -- template for standalon tikz images +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\input{gammapaths.tex} +\begin{document} +\def\skala{1} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.8,0} + +\draw[->] (-6.1,0) -- (5.3,0) coordinate[label={$z$}]; +\draw[->] (0,-5.1) -- (0,6.4) coordinate[label={right:$\Gamma(z)$}]; + +\foreach \x in {-1,-2,-3,-4,-5,-6}{ + \draw (\x,-0.1) -- (\x,0.1); + \draw[line width=0.1pt] (\x,-5) -- (\x,6.2); +} +\foreach \x in {1,2,3,4,5}{ + \draw (\x,-0.1) -- (\x,0.1); + \node at (\x,0) [below] {$\x$}; +} +\foreach \y in {-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6}{ + \draw (-0.1,\y) -- (0.1,\y); +} +\foreach \y in {1,2,3,4,5,6}{ + \node at (0,\y) [left] {$\y$}; +} +\foreach \y in {-1,-2,-3,-4,-5}{ + \node at (0,\y) [right] {$\y$}; +} +\foreach \x in {-1,-3,-5}{ + \node at (\x,0) [below left] {$\x$}; +} +\foreach \x in {-2,-4,-6}{ + \node at (\x,0) [above left] {$\x$}; +} + +\def\dx{1} +\def\dy{1} + +\begin{scope} +\clip (-6.1,-5) rectangle (4.3,6.2); + +\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] \gammasinplus; +\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] \gammasinone; +\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] \gammasintwo; +\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] \gammasinthree; +\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] \gammasinfour; +\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] \gammasinfive; +\draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] \gammasinsix; + +\draw[color=red,line width=1.4pt] \gammaplus; +\draw[color=red,line width=1.4pt] \gammaone; +\draw[color=red,line width=1.4pt] \gammatwo; +\draw[color=red,line width=1.4pt] \gammathree; +\draw[color=red,line width=1.4pt] \gammafour; +\draw[color=red,line width=1.4pt] \gammafive; +\draw[color=red,line width=1.4pt] \gammasix; + +\end{scope} + +\fill[color=blue] (1,1) circle[radius=0.08]; +\node[color=blue] at (1,1-0.2) [below] {$\Gamma(1)=0!$}; +\fill[color=blue] (2,1) circle[radius=0.08]; +\node[color=blue] at (2,1) [below right] {$\Gamma(2)=1!$}; +\fill[color=blue] (3,2) circle[radius=0.08]; +\node[color=blue] at (3,2) [right] {$\Gamma(3)=2!$}; +\fill[color=blue] (4,6) circle[radius=0.08]; +\node[color=blue] at (4,6) [right] {$\Gamma(4)=3!$}; + +\begin{scope}[xshift=3cm,yshift=-2.4cm] + \draw[color=red,line width=1.4pt] (-1,0) -- (0,0); + \draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (-1,-0.7) -- (0,-0.7); + \node at (0.1,0) [right] {$\Gamma(z)$}; + \node at (0.1,-0.7) [right] {$\Gamma(z)+\sin\pi z$}; +\end{scope} + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf index c1885c9..47870ef 100644 Binary files a/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf and b/buch/chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf differ diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex index 1f52c2a..72cc70e 100644 --- a/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex +++ b/buch/chapters/110-elliptisch/jacobi.tex @@ -499,11 +499,11 @@ Für die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ ergibt analoge Rechnung \text{Funktion $y=$}&\text{Differentialgleichung}&\alpha&\beta&\gamma&\multicolumn{3}{c|}{Signatur}\\ \hline \operatorname{sn}(u,k) - & y'^2 = (1-y^2)(1-k^2y^2) + & y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(1-k^2y^2) &k^2&1&1 &+&+&+ \\ \operatorname{cn}(u,k) - &y'^2 = (1-y^2)(1-k^2+k^2y^2) + &y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(1-k^2+k^2y^2) &-k^2 &2k^2-1&1-k^2 &-&&+ \\ \operatorname{dn}(u,k) @@ -715,7 +715,8 @@ x(t) = a\operatorname{zn}(b(t-t_0)), wobei die Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ auf Grund der Vorzeichen von $A$, $B$ und $C$ gewählt werden müssen. -\subsubsection{Das mathematische Pendel} +\subsection{Das mathematische Pendel +\label{buch:elliptisch:subsection:mathpendel}} \begin{figure} \centering \includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/pendel.pdf} @@ -794,6 +795,96 @@ tatsächlich eine Differentialgleichung der Art, wie wir sie für elliptische Funktionen gefunden haben, wir möchten aber eine exakte Lösung konstruieren. +Die maximale Energie für eine Bewegung, bei der sich das Pendel gerade +über den höchsten Punkt hinweg zu bewegen vermag, ist +$E=2lmg$. +Falls $E<2mgl$ ist, erwarten wir Schwingungslösungen, bei denen +der Winkel $\vartheta$ immer im offenen Interval $(-\pi,\pi)$ +bleibt. +Für $E>2mgl$ wird sich das Pendel im Kreis bewegen, für sehr grosse +Energie ist die kinetische Energie dominant, die Verlangsamung im +höchsten Punkt wird immer weniger ausgeprägt sein. + +\subsubsection{Koordinatentransformation auf elliptische Funktionen} +Wir verwenden als neue Variable +\[ +y = \sin\frac{\vartheta}2 +\] +mit der Ableitung +\[ +\dot{y}=\frac12\cos\frac{\vartheta}{2}\cdot \dot{\vartheta}. +\] +Man beachte, dass $y$ nicht eine Koordinate in +Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:mathpendel} ist. + +Aus den Halbwinkelformeln finden wir +\[ +\cos\vartheta += +1-2\sin^2 \frac{\vartheta}2 += +1-2y^2. +\] +Dies können wir zusammen mit der +Identität $\cos^2\vartheta/2 = 1-\sin^2\vartheta/2 = 1-y^2$ +in die Energiegleichung einsetzen und erhalten +\[ +\frac12ml^2\dot{\vartheta}^2 + mgly^2 = E +\qquad\Rightarrow\qquad +\frac14 \dot{\vartheta}^2 = \frac{E}{2ml^2} - \frac{g}{2l}y^2. +\] +Der konstante Term auf der rechten Seite ist grösser oder kleiner als +$1$ je nachdem, ob das Pendel sich im Kreis bewegt oder nicht. + +Durch Multiplizieren mit $\cos^2\frac{\vartheta}{2}=1-y^2$ +erhalten wir auf der linken Seite einen Ausdruck, den wir +als Funktion von $\dot{y}$ ausdrücken können. +Wir erhalten +\begin{align*} +\frac14 +\cos^2\frac{\vartheta}2 +\cdot +\dot{\vartheta}^2 +&= +\frac14 +(1-y^2) +\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr) +\\ +\dot{y}^2 +&= +\frac{1}{4} +(1-y^2) +\biggl(\frac{E}{2ml^2} -\frac{g}{2l}y^2\biggr) +\end{align*} +Die letzte Gleichung hat die Form einer Differentialgleichung +für elliptische Funktionen. +Welche Funktion verwendet werden muss, hängt von der Grösse der +Koeffizienten in der zweiten Klammer ab. +Die Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen} +zeigt, dass in der zweiten Klammer jeweils einer der Terme +$1$ sein muss. + +\subsubsection{Der Fall $E<2mgl$} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/110-elliptisch/images/jacobiplots.pdf} +\caption{% +Abhängigkeit der elliptischen Funktionen von $u$ für +verschiedene Werte von $k^2=m$. +Für $m=0$ ist $\operatorname{sn}(u,0)=\sin u$, +$\operatorname{cn}(u,0)=\cos u$ und $\operatorname{dn}(u,0)=1$, diese +sind in allen Plots in einer helleren Farbe eingezeichnet. +Für kleine Werte von $m$ weichen die elliptischen Funktionen nur wenig +von den trigonometrischen Funktionen ab, +es ist aber klar erkennbar, dass die anharmonischen Terme in der +Differentialgleichung die Periode mit steigender Amplitude verlängern. +Sehr grosse Werte von $m$ nahe bei $1$ entsprechen der Situation, dass +die Energie des Pendels fast ausreicht, dass es den höchsten Punkt +erreichen kann, was es für $m$ macht. +\label{buch:elliptisch:fig:jacobiplots}} +\end{figure} + + Wir verwenden als neue Variable \[ y = \sin\frac{\vartheta}2 @@ -846,7 +937,12 @@ Wir erhalten \end{align*} Dies ist genau die Form der Differentialgleichung für die elliptische Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ -mit $k^2 = gml/2E$. +mit $k^2 = 2gml/E< 1$. + +\subsection{Der Fall $E > 2mgl$} +In diesem Fall hat das Pendel im höchsten Punkte immer noch genügend +kinetische Energie, so dass es sich im Kreise dreht. +Indem wir die Gleichung XXX Differentialgleichung \\ XXX Mathematisches Pendel \\ diff --git a/buch/chapters/Makefile.inc b/buch/chapters/Makefile.inc index f5346d7..9a452e0 100644 --- a/buch/chapters/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/Makefile.inc @@ -11,6 +11,8 @@ CHAPTERFILES = \ include chapters/000-einleitung/Makefile.inc include chapters/010-potenzen/Makefile.inc include chapters/020-exponential/Makefile.inc +include chapters/030-geometrie/Makefile.inc +include chapters/040-rekursion/Makefile.inc include chapters/060-integral/Makefile.inc include chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc diff --git a/buch/chapters/part1.tex b/buch/chapters/part1.tex index 04aba57..b449aa2 100644 --- a/buch/chapters/part1.tex +++ b/buch/chapters/part1.tex @@ -12,7 +12,7 @@ \input{chapters/010-potenzen/chapter.tex} \input{chapters/020-exponential/chapter.tex} \input{chapters/030-geometrie/chapter.tex} -%\input{chapters/040-rekursion/chapter.tex} +\input{chapters/040-rekursion/chapter.tex} % analytisch definierte spezielle Funktionen \input{chapters/050-differential/chapter.tex} -- cgit v1.2.1