From c32bd2a662c56007f6e0be7899ffca982bb00e80 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Wed, 17 Aug 2022 20:53:48 +0200
Subject: korrekturen

---
 buch/papers/parzyl/references.bib |   9 +++
 buch/papers/parzyl/teil0.tex      |   2 +-
 buch/papers/parzyl/teil1.tex      | 115 +++++++++++++++++++++++++-------------
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(limited to 'buch')

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index 40be69a..390d5ed 100644
--- a/buch/papers/parzyl/references.bib
+++ b/buch/papers/parzyl/references.bib
@@ -56,4 +56,13 @@
   timestamp = {2008-06-25T06:25:58.000+0200},
   title = {Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables},
   year = 1972
+}
+
+@online{parzyl:coordinates,
+	title = {Parabolic cylindrical coordinates},
+	url = {https://en.wikipedia.org/wiki/Parabolic_cylindrical_coordinates},
+	date = {2022-08-17},
+	year = {2022},
+	month = {8},
+	day = {17}
 }
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
index 4a6f8f4..f24a5c1 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
@@ -65,7 +65,7 @@ in zwei Differentialgleichungen aufgeteilt wird. Die Helmholtz-Gleichung ist der
 %An ladungsfreien Stellen ist der rechte Teil der Gleichung $0$. 
 \subsection{Parabolische Zylinderkoordinaten
 \label{parzyl:subsection:finibus}}
-Im parabolischen Zylinderkoordinatensystem bilden parabolische Zylinder die Koordinatenflächen.
+Im parabolischen Zylinderkoordinatensystem \cite{parzyl:coordinates} bilden parabolische Zylinder die Koordinatenflächen.
 Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt mit
 \begin{align}
     x & = \sigma \tau \\
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
index 673fa7f..a4253b8 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
@@ -25,63 +25,92 @@ Die Lösung ist somit
 Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} werden in \cite{parzyl:whittaker}
 mit Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst.
 \begin{definition}
-    Die Funktion 
+    Die Funktionen
     \begin{equation*}
-        W_{k,m}(z) = 
+        M_{k,m}(z) = 
     e^{-z/2} z^{m+1/2} \,
     {}_{1} F_{1}
     (
         {\textstyle \frac{1}{2}} 
         + m - k, 1 + 2m; z)
     \end{equation*}
-    heisst Whittaker Funktion und ist eine Lösung
+    und
+    \begin{equation*}
+        W_{k,m}(z) = \frac{
+            \Gamma \left( -2m\right)
+        }{
+            \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} - m - k\right)
+        }
+        M_{-k, m} \left(z\right)
+        +
+        \frac{
+            \Gamma \left( 2m\right)
+        }{
+            \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} + m - k\right)
+        }
+        M_{k, -m} \left(z\right)
+    \end{equation*}
+    gehören zu den Whittaker Funktionen und sind die Lösungen
     von der Whittaker Differentialgleichung
     \begin{equation}
         \frac{d^2W}{d z^2} +
         \left(-\frac{1}{4}  + \frac{k}{z} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{z^2} \right) W = 0.
         \label{parzyl:eq:whitDiffEq}
     \end{equation}
+
 \end{definition}
 Es wird nun die Differentialgleichung bestimmt, welche
 \begin{equation}
     w = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)
 \end{equation}
 als Lösung hat.
-Dafür wird $w$ in \eqref{parzyl:eq:whitDiffEq} eingesetzt woraus
+Dafür wird $w$ in \eqref{parzyl:eq:whitDiffEq} eingesetzt, woraus
 \begin{equation}
     \frac{d^2 w}{dz^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 - 2k\right) w = 0
 \label{parzyl:eq:weberDiffEq}
 \end{equation}
-resultiert. DIese Differentialgleichung ist dieselbe wie 
+resultiert. Diese Differentialgleichung ist dieselbe wie 
 \eqref{parzyl:sep_dgl_2} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2}, welche somit
 $w$ als Lösung haben.
-Da es sich um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung handelt, hat sie nicht nur
-eine sondern zwei Lösungen.
-Die zweite Lösung der Whittaker-Gleichung ist $W_{k,-m} (z)$.
-Somit hat \eqref{parzyl:eq:weberDiffEq}
-\begin{align}
-    w_1(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)\\
-    w_2(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)
-\end{align}
-als Lösungen.
-Mit der Hypergeometrischen Funktion ausgeschrieben ergeben sich die Lösungen
-\begin{align}
-	\label{parzyl:eq:solution_dgl}
-    w_1(k,z) &= e^{-z^2/4} \,
-    {}_{1} F_{1}
-    (
-        {\textstyle \frac{1}{4}} 
-         - k, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) \\
-    w_2(k,z) & = z e^{-z^2/4} \,
-         {}_{1} F_{1}
-         ({\textstyle \frac{3}{4}} 
-              - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2).
-\end{align}
-In der Literatur gibt es verschiedene Standartlösungen für $w(k,z)$ präsentiert.
-Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} eine Lösung
+%Da es sich um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung handelt, hat sie nicht nur
+%eine sondern zwei Lösungen.
+%Die zweite Lösung der Whittaker-Gleichung ist $W_{k,-m} (z)$.
+%Somit hat \eqref{parzyl:eq:weberDiffEq}
+%\begin{align}
+%    w_1(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)\\
+%    w_2(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)
+%\end{align}
+%als Lösungen.
+%Mit der Hypergeometrischen Funktion ausgeschrieben ergeben sich die Lösungen
+%\begin{align}
+%	\label{parzyl:eq:solution_dgl}
+%    w_1(k,z) &= e^{-z^2/4} \,
+%    {}_{1} F_{1}
+%    (
+%        {\textstyle \frac{1}{4}} 
+%         - k, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) \\
+%    w_2(k,z) & = z e^{-z^2/4} \,
+%         {}_{1} F_{1}
+%         ({\textstyle \frac{3}{4}} 
+%              - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2).
+%\end{align}
+
+In der Literatur gibt es verschiedene Standartlösungen für 
+\eqref{parzyl:eq:weberDiffEq} präsentiert, wobei die Differentialgleichung jeweils 
+unterschiedlich geschrieben wird.
+Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} die Lösung
+\begin{equation}
+    D_n(z) = 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} z^{-\frac{1}{2}} W_{n/2 + 1/4, -1/4}\left(\frac{1}{2}z^2\right)
+\end{equation}
+welche die Differentialgleichung
+\begin{equation}
+    \frac{d^2D_n(z)}{dz^2} + \left(n + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} z^2\right)D_n(z) = 0
+\end{equation}
+löst.
+Mit $M_{k,m}(z)$ geschrieben resultiert
 \begin{equation}
     D_n(z) = \frac{
-            \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} z^{-\frac{1}{2}}
+            \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{4}} z^{-\frac{1}{2}}
         }{
             \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} \right) - {\textstyle \frac{1}{2}} n)
         }
@@ -92,14 +121,8 @@ Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} eine Lösung
         }{
             \Gamma\left(- {\textstyle \frac{1}{2}} n\right)
         }
-        M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right)
+        M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right).
 \end{equation}
-welche die Differentialgleichung
-\begin{equation}
-    \frac{d^2D_n(z)}{dz^2} + \left(n + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} z^2\right)D_n(z) = 0
-\end{equation}
-löst.
-
 In \cite{parzyl:abramowitz-stegun} sind zwei Lösungen $U(a, z)$ und $V(a,z)$ 
 \begin{align}
     U(a,z) &= 
@@ -115,11 +138,22 @@ mit
     Y_1 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} 
             \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{1}{4} - 
             {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)}
-            {2^{\frac{1}{2} a + \frac{1}{4}}} w_1\\
+            {2^{\frac{1}{2} a + \frac{1}{4}}}
+            e^{-z^2/4} 
+            {}_{1} F_{1}
+                \left({\textstyle \frac{1}{2}}a + {\textstyle \frac{1}{4}}, 
+                {\textstyle \frac{1}{2}} ; 
+                {\textstyle \frac{1}{2}}z^2\right)
+            \\
     Y_2 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} 
             \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{3}{4} - 
             {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)}
-            {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} w_2
+            {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} 
+            z e^{-z^2/4} 
+            {}_{1} F_{1}
+                \left({\textstyle \frac{1}{2}}a + {\textstyle \frac{3}{4}}, 
+                {\textstyle \frac{3}{2}} ; 
+                {\textstyle \frac{1}{2}}z^2\right)
 \end{align}
 der Differentialgleichung
 \begin{equation}
@@ -132,7 +166,8 @@ ausgedrückt werden
     V(a,z) &= \frac{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2}} + a\right)}{\pi}
     \left[\sin\left(\pi a\right) D_{-a-1/2}(z) + D_{-a-1/2}(-x)\right].
 \end{align}
-TODO Plot
+In den Abbildungen \ref{parzyl:fig:dnz} und \ref{parzyl:fig:Vnz} sind 
+die Funktionen $D_a(z)$ und $V(a,z)$ mit verschiedenen Werten für $a$ abgebildet.
 \begin{figure}
     \centering
     \includegraphics[scale=0.3]{papers/parzyl/img/D_plot.png}
-- 
cgit v1.2.1


From a8b82aafff82dbff739714d7009419a0015eebcf Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Wed, 17 Aug 2022 23:41:00 +0200
Subject: =?UTF-8?q?n=C3=B6d=20ganz?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 buch/papers/parzyl/img/D_plot.png | Bin 712446 -> 704810 bytes
 buch/papers/parzyl/teil1.tex      |  16 +++++++++-------
 buch/papers/parzyl/teil3.tex      |  39 ++++++++++++++++++++++----------------
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(limited to 'buch')

diff --git a/buch/papers/parzyl/img/D_plot.png b/buch/papers/parzyl/img/D_plot.png
index f76e35b..94b483b 100644
Binary files a/buch/papers/parzyl/img/D_plot.png and b/buch/papers/parzyl/img/D_plot.png differ
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
index a4253b8..c5ece66 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
@@ -112,7 +112,7 @@ Mit $M_{k,m}(z)$ geschrieben resultiert
     D_n(z) = \frac{
             \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{4}} z^{-\frac{1}{2}}
         }{
-            \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} \right) - {\textstyle \frac{1}{2}} n)
+            \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} - {\textstyle \frac{1}{2}} n \right)
         }
         M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right)
         +
@@ -127,11 +127,14 @@ In \cite{parzyl:abramowitz-stegun} sind zwei Lösungen $U(a, z)$ und $V(a,z)$
 \begin{align}
     U(a,z) &= 
     \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1
-    - \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2 \\
+    - \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2 
+    \label{parzyl:eq:Uaz}
+    \\
     V(a,z) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left\{
     \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1
     + \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2
     \right\}
+    \label{parzyl:eq:Vaz}
 \end{align}
 mit
 \begin{align}
@@ -143,9 +146,8 @@ mit
             {}_{1} F_{1}
                 \left({\textstyle \frac{1}{2}}a + {\textstyle \frac{1}{4}}, 
                 {\textstyle \frac{1}{2}} ; 
-                {\textstyle \frac{1}{2}}z^2\right)
-            \\
-    Y_2 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} 
+                {\textstyle \frac{1}{2}}z^2\right)\\
+        Y_2 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} 
             \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{3}{4} - 
             {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)}
             {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} 
@@ -167,11 +169,11 @@ ausgedrückt werden
     \left[\sin\left(\pi a\right) D_{-a-1/2}(z) + D_{-a-1/2}(-x)\right].
 \end{align}
 In den Abbildungen \ref{parzyl:fig:dnz} und \ref{parzyl:fig:Vnz} sind 
-die Funktionen $D_a(z)$ und $V(a,z)$ mit verschiedenen Werten für $a$ abgebildet.
+die Funktionen $D_n(z)$ und $V(a,z)$ mit verschiedenen Werten für $a$ abgebildet.
 \begin{figure}
     \centering
     \includegraphics[scale=0.3]{papers/parzyl/img/D_plot.png}
-    \caption{$D_a(z)$ mit unterschiedlichen Werten für $a$.}
+    \caption{$D_n(z)$ mit unterschiedlichen Werten für $n$.}
     \label{parzyl:fig:dnz}
 \end{figure}
 \begin{figure}
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
index 972fd33..78950e1 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
@@ -9,41 +9,45 @@
 
 \subsection{Potenzreihenentwicklung
 	\label{parzyl:potenz}}
-Die parabolischen Zylinderfunktionen, welche in Gleichung \ref{parzyl:eq:solution_dgl} gegeben sind, können auch als Potenzreihen geschrieben werden
+%Die parabolischen Zylinderfunktionen, welche in Gleichung \ref{parzyl:eq:solution_dgl} gegeben sind, 
+%können auch als Potenzreihen geschrieben werden
+Die parabolischen Zylinderfunktionen können auch als Potenzreihen geschrieben werden.
+Im folgenden Abschnitt werden die Terme welche nur von $n$ oder $a$ abhängig sind vernachlässigt.
+Die parabolischen Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, z)$ 
+und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, z)$, welche als Potenzreihe
 \begin{align}
-	w_1(k,z)
+	w_1(\alpha,z)
 	&=  
 	e^{-z^2/4} \,
 	{}_{1} F_{1}
 	(
-	{\textstyle \frac{1}{4}} 
-	- k, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) 
+	\alpha, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) 
 	= 
 	e^{-\frac{z^2}{4}}
 	\sum^{\infty}_{n=0}
-	\frac{\left ( \frac{1}{4} - k \right )_{n}}{\left ( \frac{1}{2}\right )_{n}}
+	\frac{\left ( \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{1}{2}\right )_{n}}
 	\frac{\left ( \frac{1}{2} z^2\right )^n}{n!} \\
 	&=
 	e^{-\frac{z^2}{4}}
 	\left ( 
 	1 
 	+
-	\left ( \frac{1}{2} - 2k \right )\frac{z^2}{2!}
+	\left ( 2\alpha \right )\frac{z^2}{2!}
 	+
-	\left ( \frac{1}{2} - 2k \right )\left ( \frac{5}{2} - 2k \right )\frac{z^4}{4!}  
+	\left ( 2\alpha \right )\left ( 2 + 2\alpha \right )\frac{z^4}{4!}  
 	+
 	\dots
 	\right )
 \end{align}
 und
 \begin{align}
-	w_2(k,z)
+	w_2(\alpha,z)
 	&=  
 	ze^{-z^2/4} \,
 	{}_{1} F_{1}
 	(
-	{\textstyle \frac{3}{4}} 
-	- k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) 
+	{\textstyle \frac{1}{2}} 
+	+ \alpha, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) 
 	= 
 	ze^{-\frac{z^2}{4}}
 	\sum^{\infty}_{n=0}
@@ -54,20 +58,23 @@ und
 	\left ( 
 	z 
 	+
-	\left ( \frac{3}{2} - 2k \right )\frac{z^3}{3!}
+	\left ( 1 + 2\alpha \right )\frac{z^3}{3!}
 	+
-	\left ( \frac{3}{2} - 2k \right )\left ( \frac{7}{2} - 2k \right )\frac{z^5}{5!}  
+	\left ( 1 + 2\alpha \right )\left ( 3 + 2\alpha \right )\frac{z^5}{5!}  
 	+
 	\dots
 	\right ).
 \end{align}
-Bei den Potenzreihen sieht man gut, dass die Ordnung des Polynoms im generellen ins unendliche geht. Es gibt allerdings die Möglichkeit für bestimmte k das die Terme in der Klammer gleich null werden und das Polynom somit eine endliche Ordnung $n$ hat. Dies geschieht bei $w_1(k,z)$ falls
+sind.
+Bei den Potenzreihen sieht man gut, dass die Ordnung des Polynoms im generellen ins unendliche geht. 
+Es gibt allerdings die Möglichkeit für bestimmte $\alpha$ das die Terme in der Klammer gleich null werden 
+und das Polynom somit eine endliche Ordnung $n$ hat. Dies geschieht bei $w_1(\alpha,z)$ falls
 \begin{equation}
-	k = \frac{1}{4} + n \qquad n \in \mathbb{N}_0
+	\alpha =  -n \qquad n \in \mathbb{N}_0
 \end{equation}
-und bei $w_2(k,z)$ falls
+und bei $w_2(\alpha,z)$ falls
 \begin{equation}
-	k = \frac{3}{4} + n \qquad n \in \mathbb{N}_0.
+	\alpha = -\frac{1}{2} - n \qquad n \in \mathbb{N}_0.
 \end{equation}
 
 \subsection{Ableitung}
-- 
cgit v1.2.1


From a5bf03e77ac18012b8608ba6b3c46c301d66528c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Thu, 18 Aug 2022 09:47:52 +0200
Subject: ableitung

---
 buch/papers/parzyl/teil3.tex | 21 ++++++++++++++++-----
 1 file changed, 16 insertions(+), 5 deletions(-)

(limited to 'buch')

diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
index 78950e1..b68229f 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
@@ -78,13 +78,24 @@ und bei $w_2(\alpha,z)$ falls
 \end{equation}
 
 \subsection{Ableitung}
-Es kann gezeigt werden, dass die Ableitungen $\frac{\partial w_1(z,k)}{\partial z}$ und $\frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z}$ einen Zusammenhang zwischen $w_1(z,k)$ und $w_2(z,k)$ zeigen. Die Ableitung von $w_1(z,k)$ nach $z$ kann über die Produktregel berechnet werden und ist gegeben als
+Die Ableitungen $\frac{\partial w_1(z,k)}{\partial z}$ und $\frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z}$ 
+können mit den Eigenschaften der hypergeometrischen Funktionen in Abschnitt 
+\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:stammableitung} berechnet werden. 
+Zusammen mit der Produktregel ergeben sich die Ableitungen
 \begin{equation}
-	\frac{\partial w_1(z,k)}{\partial z} = \left (\frac{1}{2} - 2k \right ) w_2(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_1(z,k),
+	\frac{\partial w_1(\alpha,z)}{\partial z} = 2\alpha w_2(\alpha + \frac{1}{2}, z) - \frac{1}{2} z w_1(\alpha, z),
 \end{equation} 
-und die Ableitung von $w_2(z,k)$ als
+und
+%\begin{equation}
+%	\frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z} = w_1(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_2(z,k).
+%\end{equation}
 \begin{equation}
-	\frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z} = w_1(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_2(z,k).
+	\frac{\partial w_2(\alpha,z)}{\partial z} = e^{-z^2/4} \left(
+		z^{-1} w_2(\alpha, z) - \frac{z}{2} w_2(\alpha, z) + 2 z^2 \left(\frac{\alpha + 1}{3}\right)
+		{}_{1} F_{1} (
+	{\textstyle \frac{3}{2}} 
+	+ \alpha, {\textstyle \frac{5}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2)
+	\right)
 \end{equation}
-Über diese Eigenschaft können einfach weitere Ableitungen berechnet werden. 
+Nach dem selben Vorgehen können weitere Ableitungen berechnet werden.
 
-- 
cgit v1.2.1


From 7cdb2904f851c326a4fd72b58491f3b8199620df Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Thu, 18 Aug 2022 11:46:08 +0200
Subject: verbesserungen

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 buch/papers/parzyl/teil0.tex      |  32 +++++++++--------
 buch/papers/parzyl/teil1.tex      |  74 +++++++++++++++++++-------------------
 buch/papers/parzyl/teil2.tex      |  29 +++++++--------
 buch/papers/parzyl/teil3.tex      |  61 ++++++++++++++++---------------
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(limited to 'buch')

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index 94b483b..6c61eea 100644
Binary files a/buch/papers/parzyl/img/D_plot.png and b/buch/papers/parzyl/img/D_plot.png differ
diff --git a/buch/papers/parzyl/img/v_plot.png b/buch/papers/parzyl/img/v_plot.png
index b8c803e..7cd5455 100644
Binary files a/buch/papers/parzyl/img/v_plot.png and b/buch/papers/parzyl/img/v_plot.png differ
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
index f24a5c1..8be936d 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
@@ -9,15 +9,18 @@
 %Mit ihr lässt sich zum Beispiel das elektrische Feld in einem ladungsfreien Raum bestimmen.
 %In diesem Kapitel wird die Lösung der Laplace-Gleichung im 
 %parabolischen Zylinderkoordinatensystem genauer untersucht.
-Die Helmholtz-Gleichung ist eine wichtige Gleichung in der Physik. Mit ihr lässt sich zum Beispiel das Verhalten von elektromagnetischen Wellen beschreiben.
-In diesem Kapitel wird die Lösung der Helmholtz-Gleichung im parabolischen Zylinderkoordinatensystem, die parabolischen Zylinderfunktionen, genauer untersucht.
+Die Helmholtz-Gleichung ist eine wichtige Gleichung in der Physik. 
+Mit ihr lässt sich zum Beispiel das Verhalten von elektromagnetischen Wellen beschreiben.
+In diesem Kapitel werden die Lösungen der Helmholtz-Gleichung im parabolischen Zylinderkoordinatensystem, 
+die parabolischen Zylinderfunktionen, genauer untersucht.
 
 \subsection{Helmholtz-Gleichung}
 Die partielle Differentialgleichung 
 \begin{equation}
-	\nabla f = \lambda f
+	\Delta f = \lambda f
 \end{equation}
-ist als Helmholtz-Gleichung bekannt und beschreibt das Eigenwert Problem für den Laplace-Operator. Sie ist eine der Gleichungen welche auftritt wenn die Wellengleichung
+ist als Helmholtz-Gleichung bekannt und beschreibt das Eigenwert Problem für den Laplace-Operator. 
+Sie ist eine der Gleichungen welche auftritt wenn die Wellengleichung
 \begin{equation}
 	\left ( \nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}  \right ) u(\textbf{r},t)
 	=
@@ -27,7 +30,8 @@ mit Hilfe von Separation
 \begin{equation}
 	u(\textbf{r},t) = A(\textbf{r})T(t)
 \end{equation} 
-in zwei Differentialgleichungen aufgeteilt wird. Die Helmholtz-Gleichung ist der Teil, welcher Zeit unabhängig ist
+in zwei Differentialgleichungen aufgeteilt wird. Die Helmholtz-Gleichung ist der Teil, 
+welcher zeitunabhängig ist
 \begin{equation}
 	\nabla^2 A(\textbf{r}) = \lambda A(\textbf{r}).
 \end{equation}
@@ -65,7 +69,8 @@ in zwei Differentialgleichungen aufgeteilt wird. Die Helmholtz-Gleichung ist der
 %An ladungsfreien Stellen ist der rechte Teil der Gleichung $0$. 
 \subsection{Parabolische Zylinderkoordinaten
 \label{parzyl:subsection:finibus}}
-Im parabolischen Zylinderkoordinatensystem \cite{parzyl:coordinates} bilden parabolische Zylinder die Koordinatenflächen.
+Das parabolischen Zylinderkoordinatensystem \cite{parzyl:coordinates} ist ein krummliniges Koordinatensystem, 
+bei dem parabolische Zylinder die Koordinatenflächen bilden.
 Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt mit
 \begin{align}
     x & = \sigma \tau \\
@@ -97,15 +102,15 @@ Ebene gezogen werden.
 Um in diesem Koordinatensystem integrieren und differenzieren zu 
 können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$.
 
-Wird eine infinitessimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten betrachtet
-kann dies im kartesischen Koordinatensystem mit
+Eine infinitessimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten
+kann im kartesischen Koordinatensystem mit
 \begin{equation}
     \left(ds\right)^2 = \left(dx\right)^2 + \left(dy\right)^2 + 
     \left(dz\right)^2
     \label{parzyl:eq:ds}
 \end{equation}
 ausgedrückt werden.
-Die Skalierungsfaktoren werden so bestimmt, dass
+Die Skalierungsfaktoren werden in einem orthogonalen Koordinatensystem so bestimmt, dass
 \begin{equation}
     \left(ds\right)^2 = \left(h_{\sigma}d\sigma\right)^2 + 
     \left(h_{\tau}d\tau\right)^2 + \left(h_z dz\right)^2
@@ -145,16 +150,16 @@ Daraus ergeben sich die Skalierungsfaktoren
 \end{align}
 \subsection{Differentialgleichung}
 Möchte man eine Differentialgleichung im parabolischen 
-Zylinderkoordinatensystem aufstellen müssen die Skalierungsfaktoren
+Zylinderkoordinatensystem aufstellen, müssen die Skalierungsfaktoren
 mitgerechnet werden.
-Der Laplace Operator ist dadurch gegeben als
+Der Laplace Operator wird dadurch zu
 \begin{equation}
     \Delta f = \frac{1}{\sigma^2 + \tau^2} 
         \left( 
             \frac{\partial^2 f}{\partial \sigma ^2} +
             \frac{\partial^2 f}{\partial \tau ^2}
         \right)
-        + \frac{\partial^2 f}{\partial z}.
+        + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}.
     \label{parzyl:eq:laplaceInParZylCor}
 \end{equation}
 \subsubsection{Lösung der Helmholtz-Gleichung im parabolischen Zylinderfunktion}
@@ -201,8 +206,7 @@ Diese partielle Differentialgleichung kann mit Hilfe von Separation gelöst werd
 \begin{equation}
 	f(\sigma,\tau,z) = g(\sigma)h(\tau)i(z)
 \end{equation}
-gesetzt. 
-Was dann schlussendlich zu den Differentialgleichungen 
+gesetzt, was dann schlussendlich zu den Differentialgleichungen 
 \begin{equation}\label{parzyl:sep_dgl_1}
 	g''(\sigma) 
 	- 
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
index c5ece66..13d8109 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
@@ -27,50 +27,50 @@ mit Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst.
 \begin{definition}
     Die Funktionen
     \begin{equation*}
-        M_{k,m}(z) = 
-    e^{-z/2} z^{m+1/2} \,
+        M_{k,m}(x) = 
+    e^{-x/2} x^{m+1/2} \,
     {}_{1} F_{1}
     (
         {\textstyle \frac{1}{2}} 
-        + m - k, 1 + 2m; z)
+        + m - k, 1 + 2m; x) \qquad x \in \mathbb{C}
     \end{equation*}
     und
     \begin{equation*}
-        W_{k,m}(z) = \frac{
+        W_{k,m}(x) = \frac{
             \Gamma \left( -2m\right)
         }{
             \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} - m - k\right)
         }
-        M_{-k, m} \left(z\right)
+        M_{-k, m} \left(x\right)
         +
         \frac{
             \Gamma \left( 2m\right)
         }{
             \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} + m - k\right)
         }
-        M_{k, -m} \left(z\right)
+        M_{k, -m} \left(x\right)
     \end{equation*}
-    gehören zu den Whittaker Funktionen und sind die Lösungen
+    gehören zu den Whittaker Funktionen und sind Lösungen
     von der Whittaker Differentialgleichung
     \begin{equation}
-        \frac{d^2W}{d z^2} +
-        \left(-\frac{1}{4}  + \frac{k}{z} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{z^2} \right) W = 0.
+        \frac{d^2W}{d x^2} +
+        \biggl( -\frac{1}{4}  + \frac{k}{x} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{x^2} \biggr) W = 0.
         \label{parzyl:eq:whitDiffEq}
     \end{equation}
 
 \end{definition}
 Es wird nun die Differentialgleichung bestimmt, welche
 \begin{equation}
-    w = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)
+    w = x^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} x^2\right)
 \end{equation}
 als Lösung hat.
 Dafür wird $w$ in \eqref{parzyl:eq:whitDiffEq} eingesetzt, woraus
 \begin{equation}
-    \frac{d^2 w}{dz^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 - 2k\right) w = 0
+    \frac{d^2 w}{dx^2} - \left(\frac{1}{4} x^2 - 2k\right) w = 0
 \label{parzyl:eq:weberDiffEq}
 \end{equation}
 resultiert. Diese Differentialgleichung ist dieselbe wie 
-\eqref{parzyl:sep_dgl_2} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2}, welche somit
+\eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2}, welche somit
 $w$ als Lösung haben.
 %Da es sich um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung handelt, hat sie nicht nur
 %eine sondern zwei Lösungen.
@@ -96,41 +96,41 @@ $w$ als Lösung haben.
 %\end{align}
 
 In der Literatur gibt es verschiedene Standartlösungen für 
-\eqref{parzyl:eq:weberDiffEq} präsentiert, wobei die Differentialgleichung jeweils 
+\eqref{parzyl:eq:weberDiffEq}, wobei die Differentialgleichung jeweils 
 unterschiedlich geschrieben wird.
 Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} die Lösung
 \begin{equation}
-    D_n(z) = 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} z^{-\frac{1}{2}} W_{n/2 + 1/4, -1/4}\left(\frac{1}{2}z^2\right)
+    D_n(x) = 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} x^{-\frac{1}{2}} W_{n/2 + 1/4, -1/4}\left(\frac{1}{2}x^2\right),
 \end{equation}
 welche die Differentialgleichung
 \begin{equation}
-    \frac{d^2D_n(z)}{dz^2} + \left(n + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} z^2\right)D_n(z) = 0
+    \frac{d^2D_n(x)}{dx^2} + \left(n + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} x^2\right)D_n(x) = 0
 \end{equation}
 löst.
-Mit $M_{k,m}(z)$ geschrieben resultiert
+Mit $M_{k,m}(x)$ geschrieben resultiert
 \begin{equation}
-    D_n(z) = \frac{
-            \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{4}} z^{-\frac{1}{2}}
+    D_n(x) = \frac{
+            \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{4}} x^{-\frac{1}{2}}
         }{
             \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} - {\textstyle \frac{1}{2}} n \right)
         }
-        M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right)
+        M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}x^2\right)
         +
         \frac{
-            \Gamma\left(-{\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{4}} z^{-\frac{1}{2}}
+            \Gamma\left(-{\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{4}} x^{-\frac{1}{2}}
         }{
             \Gamma\left(- {\textstyle \frac{1}{2}} n\right)
         }
-        M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right).
+        M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}x^2\right).
 \end{equation}
-In \cite{parzyl:abramowitz-stegun} sind zwei Lösungen $U(a, z)$ und $V(a,z)$ 
+In \cite{parzyl:abramowitz-stegun} sind zwei Lösungen $U(a, x)$ und $V(a,x)$ 
 \begin{align}
-    U(a,z) &= 
+    U(a,x) &= 
     \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1
     - \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2 
     \label{parzyl:eq:Uaz}
     \\
-    V(a,z) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left\{
+    V(a,x) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left\{
     \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1
     + \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2
     \right\}
@@ -142,43 +142,43 @@ mit
             \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{1}{4} - 
             {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)}
             {2^{\frac{1}{2} a + \frac{1}{4}}}
-            e^{-z^2/4} 
+            e^{-x^2/4} 
             {}_{1} F_{1}
                 \left({\textstyle \frac{1}{2}}a + {\textstyle \frac{1}{4}}, 
                 {\textstyle \frac{1}{2}} ; 
-                {\textstyle \frac{1}{2}}z^2\right)\\
+                {\textstyle \frac{1}{2}}x^2\right)\\
         Y_2 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} 
             \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{3}{4} - 
             {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)}
             {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} 
-            z e^{-z^2/4} 
+            x e^{-x^2/4} 
             {}_{1} F_{1}
                 \left({\textstyle \frac{1}{2}}a + {\textstyle \frac{3}{4}}, 
                 {\textstyle \frac{3}{2}} ; 
-                {\textstyle \frac{1}{2}}z^2\right)
+                {\textstyle \frac{1}{2}}x^2\right)
 \end{align}
 der Differentialgleichung
 \begin{equation}
-    \frac{d^2 y}{d z^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 + a\right) y = 0
+    \frac{d^2 y}{d x^2} - \left(\frac{1}{4} x^2 + a\right) y = 0
 \end{equation}
 beschrieben. Die Lösungen $U(a,z)$ und $V(a, z)$ können auch mit $D_n(z)$
 ausgedrückt werden
 \begin{align}
-    U(a,z) &= D_{-a-1/2}(z) \\
-    V(a,z) &= \frac{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2}} + a\right)}{\pi}
-    \left[\sin\left(\pi a\right) D_{-a-1/2}(z) + D_{-a-1/2}(-x)\right].
+    U(a,x) &= D_{-a-1/2}(x) \\
+    V(a,x) &= \frac{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2}} + a\right)}{\pi}
+    \left[\sin\left(\pi a\right) D_{-a-1/2}(x) + D_{-a-1/2}(-x)\right].
 \end{align}
 In den Abbildungen \ref{parzyl:fig:dnz} und \ref{parzyl:fig:Vnz} sind 
-die Funktionen $D_n(z)$ und $V(a,z)$ mit verschiedenen Werten für $a$ abgebildet.
+die Funktionen $D_n(x)$ und $V(a,x)$ mit verschiedenen Werten für $a$ abgebildet.
 \begin{figure}
     \centering
-    \includegraphics[scale=0.3]{papers/parzyl/img/D_plot.png}
-    \caption{$D_n(z)$ mit unterschiedlichen Werten für $n$.}
+    \includegraphics[scale=0.35]{papers/parzyl/img/D_plot.png}
+    \caption{$D_n(x)$ mit unterschiedlichen Werten für $n$.}
     \label{parzyl:fig:dnz}
 \end{figure}
 \begin{figure}
     \centering
-    \includegraphics[scale=0.3]{papers/parzyl/img/v_plot.png}
-    \caption{$V(a,z)$ mit unterschiedlichen Werten für $a$.}
+    \includegraphics[scale=0.35]{papers/parzyl/img/v_plot.png}
+    \caption{$V(a,x)$ mit unterschiedlichen Werten für $a$.}
     \label{parzyl:fig:Vnz}
 \end{figure}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
index 4af6860..573432a 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
@@ -19,7 +19,7 @@ Jede komplexe Funktion $F(z)$ kann geschrieben werden als
 \begin{equation}
 	F(s) = U(x,y) + iV(x,y) \qquad s \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}.
 \end{equation}  
-Dabei muss gelten, falls die Funktion differenzierbar ist, dass
+Dabei müssen, falls die Funktion differenzierbar ist, die Cauchy-Riemann Differentialgleichungen 
 \begin{equation}
 	\frac{\partial U(x,y)}{\partial x} 
 	=
@@ -27,8 +27,9 @@ Dabei muss gelten, falls die Funktion differenzierbar ist, dass
 	\qquad
 	\frac{\partial V(x,y)}{\partial x}
 	=
-	-\frac{\partial U(x,y)}{\partial y}.
+	-\frac{\partial U(x,y)}{\partial y}
 \end{equation}
+gelten.
 Aus dieser Bedingung folgt 
 \begin{equation}
 	\label{parzyl_e_feld_zweite_ab}
@@ -53,7 +54,7 @@ Der Zusammenhang zum elektrischen Feld ist jetzt, dass das Potential an einem qu
 \begin{equation}
 	\nabla^2\phi(x,y) = 0.
 \end{equation}
-Dies ist eine Bedingung welche differenzierbare Funktionen, wie in Gleichung \ref{parzyl_e_feld_zweite_ab} gezeigt wird, bereits besitzen. 
+Dies ist eine Bedingung welche differenzierbare Funktionen, wie in Gleichung \eqref{parzyl_e_feld_zweite_ab} gezeigt wird, bereits besitzen. 
 Nun kann zum Beispiel $U(x,y)$ als das Potential angeschaut werden
 \begin{equation}
 	\phi(x,y) = U(x,y).
@@ -62,7 +63,8 @@ Orthogonal zum Potential ist das elektrische Feld
 \begin{equation}
 	E(x,y) = V(x,y).
 \end{equation}
-Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen muss nur noch eine geeignete komplexe Funktion $F(s)$ gefunden werden, 
+Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen muss nur noch eine geeignete 
+komplexe Funktion $F(s)$ gefunden werden, 
 welche eine semi-infinite Platte beschreiben kann.
 Die gesuchte Funktion in diesem Fall ist
 \begin{equation}
@@ -81,23 +83,22 @@ Dies kann umgeformt werden zu
 	i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{V(x,y)}
 	.
 \end{equation}
-Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden, indem man die Funktion welche das Potential beschreibt gleich eine Konstante setzt,
+Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden, 
+indem man die Funktion, welche das Potential beschreibt, gleich eine Konstante setzt,
 \begin{equation}
-	\sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}},
+	\sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}.
 \end{equation}
-und die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als
+Die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als
 \begin{equation}
 	\tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}
 \end{equation}
-beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun wie man vom kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt. Werden diese Formeln nun nach x und y aufgelöst so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann
+beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom 
+kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt. 
+Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst 
 \begin{equation}
 	x = \sigma \tau,
 \end{equation}
 \begin{equation}
-	y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right )
+	y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ),
 \end{equation}
-
-
-
-
-
+so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann.
\ No newline at end of file
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index b68229f..166eebf 100644
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@@ -13,88 +13,91 @@
 %können auch als Potenzreihen geschrieben werden
 Die parabolischen Zylinderfunktionen können auch als Potenzreihen geschrieben werden.
 Im folgenden Abschnitt werden die Terme welche nur von $n$ oder $a$ abhängig sind vernachlässigt.
-Die parabolischen Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, z)$ 
-und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, z)$, welche als Potenzreihe
+Die parabolischen Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, x)$ 
+und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihe
 \begin{align}
-	w_1(\alpha,z)
+	w_1(\alpha,x)
 	&=  
-	e^{-z^2/4} \,
+	e^{-x^2/4} \,
 	{}_{1} F_{1}
 	(
-	\alpha, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) 
+	\alpha, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) 
 	= 
-	e^{-\frac{z^2}{4}}
+	e^{-\frac{x^2}{4}}
 	\sum^{\infty}_{n=0}
 	\frac{\left ( \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{1}{2}\right )_{n}}
-	\frac{\left ( \frac{1}{2} z^2\right )^n}{n!} \\
+	\frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\
 	&=
-	e^{-\frac{z^2}{4}}
+	e^{-\frac{x^2}{4}}
 	\left ( 
 	1 
 	+
-	\left ( 2\alpha \right )\frac{z^2}{2!}
+	\left ( 2\alpha \right )\frac{x^2}{2!}
 	+
-	\left ( 2\alpha \right )\left ( 2 + 2\alpha \right )\frac{z^4}{4!}  
+	\left ( 2\alpha \right )\left ( 2 + 2\alpha \right )\frac{x^4}{4!}  
 	+
 	\dots
 	\right )
 \end{align}
 und
 \begin{align}
-	w_2(\alpha,z)
+	w_2(\alpha,x)
 	&=  
-	ze^{-z^2/4} \,
+	xe^{-x^2/4} \,
 	{}_{1} F_{1}
 	(
 	{\textstyle \frac{1}{2}} 
-	+ \alpha, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) 
+	+ \alpha, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) 
 	= 
-	ze^{-\frac{z^2}{4}}
+	xe^{-\frac{x^2}{4}}
 	\sum^{\infty}_{n=0}
 	\frac{\left ( \frac{3}{4} - k \right )_{n}}{\left ( \frac{3}{2}\right )_{n}}
-	\frac{\left ( \frac{1}{2} z^2\right )^n}{n!} \\
+	\frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\
 	&=
-	e^{-\frac{z^2}{4}}
+	e^{-\frac{x^2}{4}}
 	\left ( 
-	z 
+	x 
 	+
-	\left ( 1 + 2\alpha \right )\frac{z^3}{3!}
+	\left ( 1 + 2\alpha \right )\frac{x^3}{3!}
 	+
-	\left ( 1 + 2\alpha \right )\left ( 3 + 2\alpha \right )\frac{z^5}{5!}  
+	\left ( 1 + 2\alpha \right )\left ( 3 + 2\alpha \right )\frac{x^5}{5!}  
 	+
 	\dots
-	\right ).
+	\right )
 \end{align}
 sind.
-Bei den Potenzreihen sieht man gut, dass die Ordnung des Polynoms im generellen ins unendliche geht. 
+Die Potenzreihen sind in der regel unendliche Reihen. 
 Es gibt allerdings die Möglichkeit für bestimmte $\alpha$ das die Terme in der Klammer gleich null werden 
-und das Polynom somit eine endliche Ordnung $n$ hat. Dies geschieht bei $w_1(\alpha,z)$ falls
+und die Reihe somit eine endliche Anzahl $n$ Summanden hat.
+Dies geschieht bei $w_1(\alpha,x)$ falls
 \begin{equation}
 	\alpha =  -n \qquad n \in \mathbb{N}_0
 \end{equation}
-und bei $w_2(\alpha,z)$ falls
+und bei $w_2(\alpha,x)$ falls
 \begin{equation}
 	\alpha = -\frac{1}{2} - n \qquad n \in \mathbb{N}_0.
 \end{equation}
-
+Der Wert des von $\alpha$ ist abhängig, ob man $D_n(x)$ oder $U(a,x)$ / $V(a,x)$ verwendet.
+Bei $D_n(x)$ gilt $\alpha = -{\textstyle \frac{1}{2}} n$ und bei $U(a,z)$ oder $V(a,x)$ gilt 
+$\alpha = {\textstyle \frac{1}{2}} a + {\textstyle \frac{1}{4}}$.
 \subsection{Ableitung}
-Die Ableitungen $\frac{\partial w_1(z,k)}{\partial z}$ und $\frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z}$ 
+Die Ableitungen $\frac{\partial w_1(\alpha, x)}{\partial x}$ und $\frac{\partial w_2(\alpha, x)}{\partial x}$ 
 können mit den Eigenschaften der hypergeometrischen Funktionen in Abschnitt 
 \ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:stammableitung} berechnet werden. 
 Zusammen mit der Produktregel ergeben sich die Ableitungen
 \begin{equation}
-	\frac{\partial w_1(\alpha,z)}{\partial z} = 2\alpha w_2(\alpha + \frac{1}{2}, z) - \frac{1}{2} z w_1(\alpha, z),
+	\frac{\partial w_1(\alpha,x)}{\partial x} = 2\alpha w_2(\alpha + \frac{1}{2}, x) - \frac{1}{2} x w_1(\alpha, x),
 \end{equation} 
 und
 %\begin{equation}
 %	\frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z} = w_1(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_2(z,k).
 %\end{equation}
 \begin{equation}
-	\frac{\partial w_2(\alpha,z)}{\partial z} = e^{-z^2/4} \left(
-		z^{-1} w_2(\alpha, z) - \frac{z}{2} w_2(\alpha, z) + 2 z^2 \left(\frac{\alpha + 1}{3}\right)
+	\frac{\partial w_2(\alpha,x)}{\partial x} = e^{-x^2/4} \left(
+		x^{-1} w_2(\alpha, x) - \frac{x}{2} w_2(\alpha, x) + 2 x^2 \left(\frac{\alpha + 1}{3}\right)
 		{}_{1} F_{1} (
 	{\textstyle \frac{3}{2}} 
-	+ \alpha, {\textstyle \frac{5}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2)
+	+ \alpha, {\textstyle \frac{5}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2)
 	\right)
 \end{equation}
 Nach dem selben Vorgehen können weitere Ableitungen berechnet werden.
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cgit v1.2.1


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Date: Thu, 18 Aug 2022 11:51:34 +0200
Subject: Delete SeminarSpezielleFunktionen.pdf

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