From b72c171ecac28671740a594f89a02fd3bc4d0e96 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@othello.ch>
Date: Tue, 19 Jul 2022 07:44:42 +0200
Subject: dependencies fixed
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buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex | 34 +++++++++++++++++++++++------
buch/chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex | 4 +++-
buch/papers/fm/Makefile.inc | 6 +----
3 files changed, 31 insertions(+), 13 deletions(-)
(limited to 'buch')
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex
index 613f130..c5b3a5c 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex
@@ -230,7 +230,8 @@ folgenden Satz.
\begin{satz}
\index{Satz!Differentialgleichung von $1/\operatorname{pq}(u,k)$}%
Wenn die Jacobische elliptische Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$
-der Differentialgleichung genügt, dann genügt der Kehrwert
+der Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}
+genügt, dann genügt der Kehrwert
$\operatorname{qp}(u,k) = 1/\operatorname{pq}(u,k)$ der Differentialgleichung
\begin{equation}
(\operatorname{qp}'(u,k))^2
@@ -277,8 +278,8 @@ vertauscht worden sind.
% Differentialgleichung zweiter Ordnung
%
\subsubsection{Differentialgleichung zweiter Ordnung}
-Leitet die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}
-man dies nochmals nach $u$ ab, erhält man die Differentialgleichung
+Leitet man die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}
+nochmals nach $u$ ab, erhält man die Differentialgleichung
\[
2\operatorname{pq}''(u,k)\operatorname{pq}'(u,k)
=
@@ -340,6 +341,25 @@ y(u) = F^{-1}(u+C).
Die Jacobischen elliptischen Funktionen sind daher inverse Funktionen
der unvollständigen elliptischen Integrale.
+\begin{beispiel}
+Die Differentialgleichung der Funktion $y=\operatorname{sn}(u,k)$ ist
+\[
+(y')^2
+=
+(1-y^2)(1-k^2y^2).
+\]
+Aus \eqref{buch:elliptisch:eqn:yintegral} folgt daher, dass
+\[
+u+C
+=
+\int\frac{dy}{(1-y^2)(1-k^2y^2)}.
+\]
+Das Integral ist das unvollständige elliptische Integral erster Art.
+Mit der Wahl der Konstanten $C$ so, dass $y(0)=0$ ist, ist
+$y(u)=\operatorname{sn}(u,k)$ daher die Umkehrfunktion von
+$y\mapsto F(y,k)=u$.
+\end{beispiel}
+
%
% Numerische Berechnung mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel
%
@@ -545,7 +565,7 @@ Wir möchten die nichtlineare Differentialgleichung
\biggr)^2
=
Ax^4+Bx^2 + C
-\label{buch:elliptisch:eqn:allgdgl}
+\label{buch:elliptisch:eqn:anhdgl}
\end{equation}
mit Hilfe elliptischer Funktionen lösen.
Wir nehmen also an, dass die gesuchte Lösung eine Funktion der Form
@@ -562,7 +582,7 @@ a\operatorname{zn}'(bt,k).
\]
Indem wir diesen Lösungsansatz in die
-Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl}
+Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:anhdgl}
einsetzen, erhalten wir
\begin{equation}
a^2b^2 \operatorname{zn}'(bt,k)^2
@@ -672,13 +692,13 @@ Da alle Parameter im
Lösungsansatz~\eqref{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz} bereits
festgelegt sind stellt sich die Frage, woher man einen weiteren
Parameter nehmen kann, mit dem Anfangsbedingungen erfüllen kann.
-Die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} ist
+Die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:anhdgl} ist
autonom, die Koeffizienten der rechten Seite der Differentialgleichung
sind nicht von der Zeit abhängig.
Damit ist eine zeitverschobene Funktion $x(t-t_0)$ ebenfalls eine
Lösung der Differentialgleichung.
Die allgmeine Lösung der
-Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} hat
+Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:anhdgl} hat
also die Form
\[
x(t) = a\operatorname{zn}(b(t-t_0)),
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex
index 54b7531..e029ffd 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex
@@ -209,7 +209,7 @@ Dazu setzt man $z(t) = y(bt)$ und bekommt
=
\frac{d}{dt}y(bt) \frac{d\,bt}{dt}
=
-b\dot{y}(bt).
+b\,\dot{y}(bt).
\]
Die Zeit muss also mit dem Faktor $\sqrt{2ml^2/E}$ skaliert werden.
@@ -240,6 +240,8 @@ Damit ergeben sich zwei Fälle.
Wenn $y_0<1$ ist, dann schwingt das Pendel.
Der Fall $y_0>1$ entspricht einer Bewegung, bei der das Pendel
um den Punkt $O$ rotiert.
+In den folgenden zwei Abschnitten werden die beiden Fälle ausführlicher
+diskutiert.
\begin{figure}
diff --git a/buch/papers/fm/Makefile.inc b/buch/papers/fm/Makefile.inc
index 0f144b6..dcdecd2 100644
--- a/buch/papers/fm/Makefile.inc
+++ b/buch/papers/fm/Makefile.inc
@@ -6,9 +6,5 @@
dependencies-fm = \
papers/fm/packages.tex \
papers/fm/main.tex \
- papers/fm/references.bib \
- papers/fm/teil0.tex \
- papers/fm/teil1.tex \
- papers/fm/teil2.tex \
- papers/fm/teil3.tex
+ papers/fm/references.bib
--
cgit v1.2.1