From cad4eafcbc40c17a7873c9e8d632908d46992ba2 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Alain Date: Mon, 22 Aug 2022 21:13:47 +0200 Subject: changes --- buch/papers/parzyl/teil0.tex | 3 ++- buch/papers/parzyl/teil1.tex | 2 +- buch/papers/parzyl/teil2.tex | 21 --------------------- buch/papers/parzyl/teil3.tex | 34 +++++++++++++++++++++++++++++++--- 4 files changed, 34 insertions(+), 26 deletions(-) (limited to 'buch') diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex index bc7f734..eb1a152 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex @@ -245,7 +245,8 @@ und 0 \end{equation} führt. $\lambda$ und $\mu$ sind dabei die Separationskonstanten. - +\eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} sind auch +als Webersche Differentialgleichungen bekannt. diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index 30f33e4..e6a55b2 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -22,7 +22,7 @@ Die Lösung ist somit \sqrt{\lambda + \mu} \right )}. \end{equation} -\subsection{Lösung ???} +\subsection{Lösung der Weberschen Differentialgleichung} Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} werden in \cite{parzyl:whittaker} mit Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst. \begin{satz} diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex index 217b105..1b63c8e 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex @@ -105,24 +105,3 @@ und \right) \end{equation} Nach dem selben Vorgehen können weitere Ableitungen berechnet werden. -\begin{equation} -% \tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}} - c_2 = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}} -\end{equation} -beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom -kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt. -%Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst -%\begin{equation} -% x = \sigma \tau, -%\end{equation} -%\begin{equation} -% y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ), -%\end{equation} -%so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann. -Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst -\begin{align} - x &= c_1^2 - c_2^2 ,\\ - y &= 2c_1 c_2, -\end{align} -so beschreiben sie mit $\tau = c_1 \sqrt{2}$ und $\sigma = c_2 \sqrt{2}$ die Beziehung -zwischen dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem und dem kartesischen Koordinatensystem. diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex index 1535605..12c28fe 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex @@ -102,18 +102,46 @@ Dies kann umgeformt werden zu \end{equation} +%Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden, +%indem man die Funktion, welche das Potential beschreibt, gleich eine Konstante setzt, +%\begin{equation} +% \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. +%\end{equation} +%Die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als +%\begin{equation} +% \tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}} +%\end{equation} +%beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom +%kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt. + Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden, indem man die Funktion, welche das Potential beschreibt, gleich eine Konstante setzt, \begin{equation} - \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. +% \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. + c_1 = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. \end{equation} Die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als \begin{equation} - \tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}} +% \tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}} + c_2 = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}} \end{equation} beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt. - +%Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst +%\begin{equation} +% x = \sigma \tau, +%\end{equation} +%\begin{equation} +% y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ), +%\end{equation} +%so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann. +Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst +\begin{align} + x &= c_1^2 - c_2^2 ,\\ + y &= 2c_1 c_2, +\end{align} +so beschreiben sie mit $\tau = c_1 \sqrt{2}$ und $\sigma = c_2 \sqrt{2}$ die Beziehung +zwischen dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem und dem kartesischen Koordinatensystem. Nun wurde gezeigt wieso sich das parabolische Zylinderkoordinatensystem am besten eignet um das Potential und das elektrische Feld einer semi-infiniten Leiterplatte zu beschreien. Falls man nun die Helmholtz-Gleichung in diesem Bereich lösen müsste, da man zum Beispiel am Verhalten einer elektromagnetischne Welle in der Nähe der Platte interessiert wäre, so würde man auf die parabolischen Zylinderfunktionen kommen. %Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst -- cgit v1.2.1