From e17a1e21efc407031292b95a6f1a1f2f1ef3993e Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Sun, 2 Jan 2022 20:21:57 +0100
Subject: more problems

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 buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc           |  1 +
 buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex            |  3 +-
 .../chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/403.tex | 37 ++++++++++++++++++++--
 .../chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/404.tex | 36 +++++++++++++++++++++
 4 files changed, 74 insertions(+), 3 deletions(-)
 create mode 100644 buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/404.tex

(limited to 'buch')

diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc b/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc
index 9536684..b9cac58 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/Makefile.inc
@@ -12,4 +12,5 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
 	chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/401.tex			\
 	chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/402.tex			\
 	chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/403.tex			\
+	chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/404.tex			\
 	chapters/040-rekursion/chapter.tex
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex b/buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex
index a92740e..0bd8249 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex
@@ -19,8 +19,9 @@
 \aufgabetoplevel{chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben}
 \begin{uebungsaufgaben}
 %\uebungsaufgabe{0}
-\uebungsaufgabe{401}
+\uebungsaufgabe{404}
 \uebungsaufgabe{402}
 \uebungsaufgabe{403}
+\uebungsaufgabe{401}
 \end{uebungsaufgaben}
 
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/403.tex b/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/403.tex
index a747ecb..b1ac897 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/403.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/403.tex
@@ -2,10 +2,43 @@ Finden Sie eine Formel für $\Gamma(\frac12+n)$ für $n\in\mathbb{N}$.
 
 \begin{loesung}
 Die Funktionalgleichung für die Gamma-Funktion bedeutet
-\[
+\begin{align*}
 \Gamma({\textstyle\frac12}+n)
-=
+&=
 ({\textstyle\frac12}+n-1)
 \Gamma({\textstyle\frac12}+n-1)
+\\
+&=
+({\textstyle\frac12}+n-1)
+({\textstyle\frac12}+n-2)
+\Gamma({\textstyle\frac12}+n-2)
+\\
+&=
+({\textstyle\frac12}+n-1)
+({\textstyle\frac12}+n-2)
+\dots
+({\textstyle\frac12})
+\cdot
+\Gamma({\textstyle\frac12})
+\\
+&=
+\Gamma({\textstyle\frac12})
+\cdot
+({\textstyle\frac12})
+\dots
+({\textstyle\frac12}+n-1)
+=
+\Gamma({\textstyle\frac12})\cdot ({\textstyle\frac12})_n
+=
+\sqrt{\pi\mathstrut}\cdot ({\textstyle\frac12})_n.
+\end{align*}
+Mit dem Resultat von Aufgaben~\ref{404} kann jetzt das Pochhammer-Symbol
+durch bekanntere Funktionen dargestellt und somit der
+gesuchte $\Gamma$-Funktionswert als
+\[
+\Gamma({\textstyle\frac12}+n)
+=
+\frac{(2n)!\cdot \sqrt{\pi\mathstrut}}{n!\cdot 2^{2n}}
 \]
+geschrieben werden.
 \end{loesung}
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/404.tex b/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/404.tex
new file mode 100644
index 0000000..f9d014e
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/404.tex
@@ -0,0 +1,36 @@
+Finden Sie einen einfachen Ausdruck für $(\frac12)_n$, der nur
+Fakultäten und andere elmentare Funktionen verwendet.
+
+\begin{loesung}
+Das Pochhammer-Symbol $(\frac12)_n$ kann wie folgt durch bekanntere
+Funktionen dargestellt werden:
+\begin{align*}
+({\textstyle\frac12})_n
+&=
+\frac12
+\biggl(\frac12 + 1\biggr)
+\biggl(\frac12 + 2\biggr)
+\dots
+\biggl(\frac12 + n-1\biggr)
+\\
+&=
+\frac12\cdot
+\frac32\cdot
+\ldots
+\cdot
+\frac{2n-1}2
+\\
+&=
+\frac{
+1\cdot 3 \cdot\ldots\cdot (2n-1)
+}{
+2^n
+}
+\\
+&=
+\frac{(2n)!}{2^n\cdot n!}\cdot\frac{1}{2^n}
+=
+\frac{(2n)!}{n!\cdot 2^{2n}}.
+\qedhere
+\end{align*}
+\end{loesung}
-- 
cgit v1.2.1