From b492fb3ba89205b984c390a39cc9f57d4b2059fa Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: samuel niederer Date: Thu, 19 May 2022 18:00:01 +0200 Subject: add tick figure of simple mass system --- buch/papers/kra/images/simple_mass_spring.tex | 64 +++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 64 insertions(+) create mode 100644 buch/papers/kra/images/simple_mass_spring.tex (limited to 'buch') diff --git a/buch/papers/kra/images/simple_mass_spring.tex b/buch/papers/kra/images/simple_mass_spring.tex new file mode 100644 index 0000000..e98ee3e --- /dev/null +++ b/buch/papers/kra/images/simple_mass_spring.tex @@ -0,0 +1,64 @@ +% create tikz drawing of a simple mass spring system + +\tikzstyle{hmline}=[{Latex[length=3.3,width=2.2]}-{Latex[length=3.3,width=2.2]},line width=0.3] +\tikzstyle{vmline}=[red, dashed,line width=0.4,dash pattern=on 1pt off 1pt] +\tikzstyle{ground}=[pattern=north east lines] +\tikzstyle{mass}=[line width=0.6,red!30!black,fill=red!40!black!10,rounded corners=1,top color=red!40!black!20,bottom color=red!40!black!10,shading angle=20] +\tikzstyle{spring}=[line width=0.8,blue!7!black!80,snake=coil,segment amplitude=5,line cap=round] + +\begin{tikzpicture}[scale=2] + \newcommand{\ticks}[2] + { + % arguments: x, y coordinates + \draw[thick] (#1, #2 - 0.1 / 2) --++ (0, 0.1); + } + + \tikzmath{ + \hWall = 1.5; + \wWall = 0.3; + \lWall = 3.5; + \hMass = 0.6; + \wMass = 1.1; + \xMass1 = 1.2; + \xMass2 = 2.2; + \xAxisYpos = 0; + \originX1 = 0; + \originY1 = 0.5; + \originX2 = 0; + \originY2 = -2; + \springscale=7; + } + + % create x axis + \draw[->,thick] (0,\xAxisYpos) --+ (\lWall, 0) node[right]{$x$}; + + % create ticks on x axis + \ticks{\wWall}{\xAxisYpos} + \ticks{\xMass1}{\xAxisYpos} + \ticks{\xMass2}{\xAxisYpos} + + % create underground + \draw[ground] (\originX1, \originY1) ++ (0, 0) --+(\lWall,0) --+(\lWall, \wWall) --+(\wWall, \wWall) --+(\wWall, \hWall) --+(0, \hWall) -- cycle; + \draw[ground] (\originX2, \originY2) ++ (0, 0) --+(\lWall,0) --+(\lWall, \wWall) --+(\wWall, \wWall) --+(\wWall, \hWall) --+(0, \hWall) -- cycle; + + % create masses + \draw[mass] (\originX1, \originY1) ++ (\xMass1, \wWall) rectangle ++ (\wMass,\hMass) node[midway] {$m$}; + \draw[mass] (\originX2, \originY2) ++ (\xMass2, \wWall) rectangle ++ (\wMass,\hMass) node[midway] {$m$}; + + % create springs + \draw[spring, segment length=(\xMass1 - \wWall) * \springscale] (\originX1, \originY1) ++ (\wWall, \wWall + \hMass / 2) --+ (\xMass1 - \wWall, 0); + \draw[spring, segment length=(\xMass2 - \wWall) * \springscale] (\originX2, \originY2) ++ (\wWall, \wWall + \hMass / 2) --+ (\xMass2 - \wWall, 0); + + % create vertical measurement line + \draw[vmline] (\xMass1, \xAxisYpos) --+(0, \originY1 + \wWall); + \draw[vmline] (\xMass2, \xAxisYpos) --+(0, \originY2 + \hMass+\wWall); + \draw[vmline] (\wWall, \originY1+\wWall) --(\wWall, \originY2 + \hWall); + + % create horizontal measurement line + \draw[hmline] (\wWall, \xAxisYpos + 0.2) -- (\xMass1, \xAxisYpos + 0.2) node[midway,fill=white,inner sep=0] {$\ell_0$}; + \draw[hmline] (\xMass1, \xAxisYpos + 0.2) -- (\xMass2, \xAxisYpos + 0.2) node[midway,fill=white,inner sep=0] {$\Delta_{x}$}; + \draw[hmline] (\wWall, \xAxisYpos - 0.3) -- (\xMass2, \xAxisYpos - 0.3) node[midway,fill=white,inner sep=0] {$\ell_{1}$}; + + % create force arrow + \draw[->,blue, very thick,line cap=round] (\xMass2 + \wMass / 2, \originY2 + \wWall + \hMass + 0.15) node[above] {$\vb{F_{R}}$} --+ (-0.5, 0); +\end{tikzpicture} \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From ffb50c6574c53b805df068fd2ce2e89726597911 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: samuel niederer Date: Thu, 26 May 2022 11:36:20 +0200 Subject: add spring constant --- buch/papers/kra/images/simple_mass_spring.tex | 6 ++++-- 1 file changed, 4 insertions(+), 2 deletions(-) (limited to 'buch') diff --git a/buch/papers/kra/images/simple_mass_spring.tex b/buch/papers/kra/images/simple_mass_spring.tex index e98ee3e..207f1e0 100644 --- a/buch/papers/kra/images/simple_mass_spring.tex +++ b/buch/papers/kra/images/simple_mass_spring.tex @@ -46,8 +46,10 @@ \draw[mass] (\originX2, \originY2) ++ (\xMass2, \wWall) rectangle ++ (\wMass,\hMass) node[midway] {$m$}; % create springs - \draw[spring, segment length=(\xMass1 - \wWall) * \springscale] (\originX1, \originY1) ++ (\wWall, \wWall + \hMass / 2) --+ (\xMass1 - \wWall, 0); - \draw[spring, segment length=(\xMass2 - \wWall) * \springscale] (\originX2, \originY2) ++ (\wWall, \wWall + \hMass / 2) --+ (\xMass2 - \wWall, 0); + \draw[spring, segment length=(\xMass1 - \wWall) * \springscale] (\originX1, \originY1) ++ + (\wWall, \wWall + \hMass / 2) --++ (\xMass1 - \wWall, 0) node[midway,above=0.2] {$k$}; + \draw[spring, segment length=(\xMass2 - \wWall) * \springscale] (\originX2, \originY2) ++ + (\wWall, \wWall + \hMass / 2) --++ (\xMass2 - \wWall, 0) node[midway,above=0.2] {$k$}; % create vertical measurement line \draw[vmline] (\xMass1, \xAxisYpos) --+(0, \originY1 + \wWall); -- cgit v1.2.1 From a0b6394bd559e7d2e1a6d7c028cfc73586503d58 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: samuel niederer Date: Thu, 26 May 2022 11:46:24 +0200 Subject: add drawing --- buch/papers/kra/images/multi_mass_spring.tex | 54 ++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 54 insertions(+) create mode 100644 buch/papers/kra/images/multi_mass_spring.tex (limited to 'buch') diff --git a/buch/papers/kra/images/multi_mass_spring.tex b/buch/papers/kra/images/multi_mass_spring.tex new file mode 100644 index 0000000..f255cc8 --- /dev/null +++ b/buch/papers/kra/images/multi_mass_spring.tex @@ -0,0 +1,54 @@ +% create tikz drawing of a multi mass multi spring system + +\tikzstyle{vmline}=[red, dashed,line width=0.4,dash pattern=on 1pt off 1pt] +\tikzstyle{ground}=[pattern=north east lines] +\tikzstyle{mass}=[line width=0.6,red!30!black,fill=red!40!black!10,rounded corners=1,top color=red!40!black!20,bottom color=red!40!black!10,shading angle=20] +\tikzstyle{spring}=[line width=0.8,blue!7!black!80,snake=coil,segment amplitude=5,line cap=round] + +\begin{tikzpicture}[scale=2] + \newcommand{\ticks}[3] + { + % x, y coordinates + \draw[thick] (#1, #2 - 0.1 / 2) --++ (0, 0.1) node[scale=0.8,below=0.2] {#3}; + } + \tikzmath{ + \hWall = 1.2; + \wWall = 0.3; + \lWall = 5; + \hMass = 0.6; + \wMass = 1.1; + \xMass1 = 1.0; + \xMass2 = 3.0; + \xAxisYpos = 0; + \originX1 = 0; + \originY1 = 0.5; + \springscale=7; + } + + % create axis + \draw[->,thick] (0,\xAxisYpos) --+ (\xMass2 + \wMass, 0) node[right]{$q$}; + % create ticks on x / q axis + \ticks{\xMass1}{\xAxisYpos}{$q_{1}$} + \ticks{\xMass2}{\xAxisYpos}{$q_{2}$} + + % create non-moving backgrounds + \draw[ground] (\originX1, \originY1) ++ (0, 0) --+(\lWall,0) --+(\lWall, \hWall) + --+ (\lWall - \wWall, \hWall) --+(\lWall - \wWall, \wWall) --+ (\wWall, \wWall) --+(\wWall, \hWall) --+(0, \hWall) -- cycle; + + % create masses + \draw[mass] (\originX1, \originY1) ++ (\xMass1, \wWall) rectangle ++ (\wMass,\hMass) node[midway] {$m_{1}$}; + \draw[mass] (\originX1, \originY1) ++ (\xMass2, \wWall) rectangle ++ (\wMass,\hMass) node[midway] {$m_{2}$}; + + % create springs + \draw[spring, segment length=(\xMass1 - \wWall) * \springscale] (\originX1, \originY1) ++ + (\wWall, \wWall + \hMass / 2) --++ (\xMass1 - \wWall, 0) node[midway,above=0.2] {$k_1$}; + \draw[spring, segment length=(\xMass1 - \wWall) * \springscale] (\originX1, \originY1) ++ + (\xMass1 + \wMass, \wWall + \hMass / 2) --++ (\xMass2 - \xMass1 - \wMass, 0) node[midway,above=0.2] {$k_c$}; + \draw[spring, segment length=(\xMass1 - \wWall) * \springscale] (\originX1, \originY1) ++ + (\xMass2 + \wMass, \wWall + \hMass / 2) --++ (\lWall - \xMass2 - \wMass - \wWall, 0) node[midway,above=0.2] {$k_2$}; + + % create vertical measurement line + \draw[vmline] (\xMass1, \xAxisYpos) --+(0, \originY1 + \wWall); + \draw[vmline] (\xMass2, \xAxisYpos) --+(0, \originY1 + \wWall); + +\end{tikzpicture} -- cgit v1.2.1 From 052ccbe27e19d53ac7272bf29c9c16e071d7059b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: samuel niederer Date: Wed, 1 Jun 2022 13:34:26 +0200 Subject: add phase space plot --- buch/papers/kra/images/phase_space.tex | 67 ++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 67 insertions(+) create mode 100644 buch/papers/kra/images/phase_space.tex (limited to 'buch') diff --git a/buch/papers/kra/images/phase_space.tex b/buch/papers/kra/images/phase_space.tex new file mode 100644 index 0000000..cd51ea4 --- /dev/null +++ b/buch/papers/kra/images/phase_space.tex @@ -0,0 +1,67 @@ +\colorlet{mypurple}{red!50!blue!90!black!80} + +% style to create arrows +\tikzset{ + traj/.style 2 args={thick, postaction={decorate},decoration={markings, + mark=at position #1 with {\arrow{<}}, + mark=at position #2 with {\arrow{<}}} + } +} + +\begin{tikzpicture}[scale=0.6] + % p(t=0) = 0, q(t=0) = A, max(p) = mwA + \tikzmath{ + \axh = 5.2; + \axw1 = 4.2; + \axw2 = 4.8; + \d1 = 0.9; + \a0 = 1; + \b0 = 2; + \a1 = \a0 + \d1; + \b1 = \b0 + \d1; + \a2 = \a1 + \d1; + \b2 = \b1 + \d1; + \a3 = \a2 + \d1; + \b3 = \b2 + \d1; + \d2 = 0.75; + \aa0 = 2; + \bb0 = 1; + \aa1 = \aa0 + \d2; + \bb1 = \bb0 + \d2; + \aa2 = \aa1 + \d2; + \bb2 = \bb1 + \d2; + \aa3 = \aa2 + \d2; + \bb3 = \bb2 + \d2; + } + + \draw[->,thick] (-\axw1,0) -- (\axw1,0) node[right] {$q$}; + \draw[->,thick] (0,-\axh) -- (0,\axh) node[above] {$p$}; + + \draw[traj={0.375}{0.875},darkgreen] ellipse (\a0 and \b0); + \draw[traj={0.375}{0.875},blue] ellipse (\a1 and \b1); + \draw[traj={0.375}{0.875},cyan] ellipse (\a2 and \b2); + \draw[traj={0.375}{0.875},mypurple] ellipse (\a3 and \b3); + + \node[right,darkgreen] at (45:{\a0} and {\b0}) {$E_A$}; + \node[right, blue] at (45:{\a1} and {\b1}) {$E_B$}; + \node[right, cyan] at (45:{\a2} and {\b2}) {$E_C$}; + \node[right, mypurple] at (45:{\a3} and {\b3}) {$E_D$}; + \node[above left] at (110:\b3 + 0.1) {grosses $\omega$}; + + \begin{scope}[xshift=12cm] + \draw[->,thick] (-\axw2,0) -- (\axw2,0) node[right] {$q$}; + \draw[->,thick] (0,-\axh) -- (0,\axh) node[above] {$p$}; + + \draw[traj={0.375}{0.875},darkgreen] ellipse (\aa0 and \bb0); + \draw[traj={0.375}{0.875},blue] ellipse (\aa1 and \bb1); + \draw[traj={0.375}{0.875},cyan] ellipse (\aa2 and \bb2); + \draw[traj={0.375}{0.875},mypurple] ellipse (\aa3 and \bb3); + + \node[above, darkgreen] at (45:{\aa0} and {\bb0}) {$E_A$}; + \node[above, blue] at (45:{\aa1} and {\bb1}) {$E_B$}; + \node[above, cyan] at (45:{\aa2} and {\bb2}) {$E_C$}; + \node[above, mypurple] at (45:{\aa3} and {\bb3}) {$E_D$}; + + \node[above left] at (110:\b3 + 0.1) {kleines $\omega$}; + \end{scope} +\end{tikzpicture} \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From 5e25727877da020b0b23132fec8c0ea70288a18b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: samuel niederer Date: Sun, 24 Jul 2022 12:03:25 +0200 Subject: add presentation files --- buch/papers/kra/images/simple_mass_spring.tex | 2 +- buch/papers/kra/presentation/presentation.tex | 491 ++++++++++++++++++++++++++ buch/papers/kra/scripts/animation.py | 243 +++++++++++++ buch/papers/kra/scripts/simulation.py | 40 +++ 4 files changed, 775 insertions(+), 1 deletion(-) create mode 100644 buch/papers/kra/presentation/presentation.tex create mode 100644 buch/papers/kra/scripts/animation.py create mode 100644 buch/papers/kra/scripts/simulation.py (limited to 'buch') diff --git a/buch/papers/kra/images/simple_mass_spring.tex b/buch/papers/kra/images/simple_mass_spring.tex index 207f1e0..e0e869a 100644 --- a/buch/papers/kra/images/simple_mass_spring.tex +++ b/buch/papers/kra/images/simple_mass_spring.tex @@ -14,7 +14,7 @@ } \tikzmath{ - \hWall = 1.5; + \hWall = 1.2; \wWall = 0.3; \lWall = 3.5; \hMass = 0.6; diff --git a/buch/papers/kra/presentation/presentation.tex b/buch/papers/kra/presentation/presentation.tex new file mode 100644 index 0000000..eb6541b --- /dev/null +++ b/buch/papers/kra/presentation/presentation.tex @@ -0,0 +1,491 @@ +\documentclass[ngerman, aspectratio=169, xcolor={rgb}]{beamer} + +% style +\mode{ + \usetheme{Frankfurt} +} +%packages +\usepackage[utf8]{inputenc}\DeclareUnicodeCharacter{2212}{-} +\usepackage[english]{babel} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{array} + +\newcolumntype{L}[1]{>{\raggedright\let\newline\\\arraybackslash\hspace{0pt}}m{#1}} +\usepackage{ragged2e} + +\usepackage{bm} % bold math +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{mathtools} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{multirow} % multi row in tables +\usepackage{booktabs} %toprule midrule bottomrue in tables +\usepackage{scrextend} +\usepackage{textgreek} +\usepackage[rgb]{xcolor} + +\usepackage[normalem]{ulem} % \sout + +\usepackage{ marvosym } % \Lightning + +\usepackage{multimedia} % embedded videos + +\usepackage{tikz} +\usepackage{pgf} +\usepackage{pgfplots} + +\usepackage{algorithmic} + +%citations +\usepackage[style=verbose,backend=biber]{biblatex} +\addbibresource{references.bib} + + +%math font +\usefonttheme[onlymath]{serif} + +%Beamer Template modifications +%\definecolor{mainColor}{HTML}{0065A3} % HSR blue +\definecolor{mainColor}{HTML}{D72864} % OST pink +\definecolor{invColor}{HTML}{28d79b} % OST pink +\definecolor{dgreen}{HTML}{38ad36} % Dark green + +%\definecolor{mainColor}{HTML}{000000} % HSR blue +\setbeamercolor{palette primary}{bg=white,fg=mainColor} +\setbeamercolor{palette secondary}{bg=orange,fg=mainColor} +\setbeamercolor{palette tertiary}{bg=yellow,fg=red} +\setbeamercolor{palette quaternary}{bg=mainColor,fg=white} %bg = Top bar, fg = active top bar topic +\setbeamercolor{structure}{fg=black} % itemize, enumerate, etc (bullet points) +\setbeamercolor{section in toc}{fg=black} % TOC sections +\setbeamertemplate{section in toc}[sections numbered] +\setbeamertemplate{subsection in toc}{% + \hspace{1.2em}{$\bullet$}~\inserttocsubsection\par} + +\setbeamertemplate{itemize items}[circle] +\setbeamertemplate{description item}[circle] +\setbeamertemplate{title page}[default][colsep=-4bp,rounded=true] +\beamertemplatenavigationsymbolsempty + +\setbeamercolor{footline}{fg=gray} +\setbeamertemplate{footline}{% + \hfill\usebeamertemplate***{navigation symbols} + \hspace{0.5cm} + \insertframenumber{}\hspace{0.2cm}\vspace{0.2cm} +} + +\usepackage{caption} +\captionsetup{labelformat=empty} + +%Title Page +\title{KRA} +\subtitle{Kalman Riccati Abel} +\author{Samuel Niederer} +% \institute{OST Ostschweizer Fachhochschule} +% \institute{\includegraphics[scale=0.3]{../img/ost_logo.png}} +\date{\today} + +\input{../packages.tex} + +\newcommand*{\QED}{\hfill\ensuremath{\blacksquare}}% + +\newcommand*{\HL}{\textcolor{mainColor}} +\newcommand*{\RD}{\textcolor{red}} +\newcommand*{\BL}{\textcolor{blue}} +\newcommand*{\GN}{\textcolor{dgreen}} +\newcommand{\dt}[0]{\frac{d}{dt}} + +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} + + +\makeatletter +\newcount\my@repeat@count +\newcommand{\myrepeat}[2]{% + \begingroup + \my@repeat@count=\z@ + \@whilenum\my@repeat@count<#1\do{#2\advance\my@repeat@count\@ne}% + \endgroup +} +\makeatother + +\usetikzlibrary{automata,arrows,positioning,calc,shapes.geometric, fadings} + +\begin{document} + +\begin{frame} + \titlepage +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{Content} + \tableofcontents +\end{frame} + +\section{Einführung} + +\begin{frame} + \begin{itemize} + \item<1|only@1> \textbf{K}alman + \item<1|only@1> \textbf{R}iccati + \item<1|only@1> \textbf{A}bel + + \item<2|only@2> \textcolor{red}{\sout{\textbf{K}alman}} + \item<2|only@2> \textbf{R}iccati + \item<2|only@2> \textbf{A}bel + + \item<3|only@3> \textcolor{red}{\sout{\textbf{K}alman}} \textcolor{green}{Federmassesytem} + \item<3|only@3> \textbf{R}iccati + \item<3|only@3> \textbf{A}bel + + \item<4|only@4> \textcolor{red}{\sout{\textbf{K}alman}} \textcolor{green}{Federmassesytem} + \item<4|only@4> \textbf{R}iccati + \item<4|only@4> \uwave{\textbf{A}bel} + \end{itemize} +\end{frame} + +\section{Riccati} + +\begin{frame} + \frametitle{Riccatische Differentialgleichung} + \begin{equation*} + % y'(x) = f(x)y^2(x) + g(x)y(x) + h(x) + x'(t) = f(t)x^2(t) + g(t)x(t) + h(t) + \end{equation*} + + \pause + + \begin{equation*} + \dot{X}(t) = - X(t)BX(t) - X(t)A + DX(t) + C + \end{equation*} + + % \pause + % Anwendungen + % \begin{itemize} + % \item Zeitkontinuierlicher Kalmanfilter + % \item Regelungstechnik LQ-Regler + % \item Federmassesyteme + % \end{itemize} +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{Auftreten der Gleichung} + \begin{columns} + \column{0.4 \textwidth} + \begin{equation*} + \dt + \begin{pmatrix} + X \\ + Y + \end{pmatrix} + = + \underbrace{ + \begin{pmatrix} + A & B \\ + C & D + \end{pmatrix} + }_{H} + \begin{pmatrix} + X \\ + Y + \end{pmatrix} + \end{equation*} + + \pause + + \column{0.4 \textwidth} + \begin{equation*} + U = YX^{-1} \qquad \dt U = ? + \end{equation*} + \end{columns} + + \pause + + \begin{align*} + \dt U & = \dot{Y} X^{-1} + Y \dt X^{-1} \\ + \uncover<4->{ & = (CX + DY) X^{-1} - Y (X^{-1} \dot{X} X^{-1})\\} + \uncover<5->{ & = C\underbrace{XX^{-1}}_\text{I} + D\underbrace{YX^{-1}}_\text{U} - Y(X^{-1} (AX + BY) X^{-1})\\} + \uncover<6->{ & = C + DU - \underbrace{YX^{-1}}_\text{U}(A\underbrace{XX^{-1}}_\text{I} + B\underbrace{YX^{-1}}_\text{U})\\} + \uncover<7->{ & = C + DU - UA - UBU} + \end{align*} +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{Lösen der Gleichung} + \begin{equation*} + \begin{pmatrix} + X(t) \\ + Y(t) + \end{pmatrix} + = + \Phi(t_0, t) + \begin{pmatrix} + I(t) \\ + U_0(t) + \end{pmatrix} + = + \begin{pmatrix} + \Phi_{11}(t_0, t) & \Phi_{12}(t_0, t) \\ + \Phi_{21}(t_0, t) & \Phi_{22}(t_0, t) + \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} + I(t) \\ + U_0(t) + \end{pmatrix} + \end{equation*} + + \pause + + \begin{equation*} + U(t) = + \begin{pmatrix} + \Phi_{21}(t_0, t) + \Phi_{22}(t_0, t) U_0(t) + \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} + \Phi_{11}(t_0, t) + \Phi_{12}(t_0, t) U_0(t) + \end{pmatrix} + ^{-1} + \end{equation*} + + \pause + + % wobei $\Phi(t, t_0)$ die sogennante Zustandsübergangsmatrix ist. + + \begin{equation*} + \Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)} + \end{equation*} +\end{frame} + +\section{Federmassystem} +\begin{frame} + \frametitle{Federmassesystem} + \begin{columns} + \column{0.5 \textwidth} + \input{../images/simple_mass_spring.tex} + + \column{0.5 \textwidth} + \begin{align*} + \uncover<2->{F_R & = k \Delta_x \\} + \uncover<3->{F_a & = am = \ddot{x} m \\} + \uncover<4->{F_R & = F_a \Leftrightarrow k \Delta_x = \ddot{x} m\\} + \uncover<5->{\ddot{x} & = \frac{k \Delta_x}{m} \\} + \uncover<6->{x(t) & = A \cos(\omega_0 + \Phi), \quad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}} + \end{align*} + \end{columns} +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{Phasenraum} + \begin{columns} + \column{0.3 \textwidth} + \begin{tikzpicture}[scale=3] + \draw[->, thick] (0, 0) -- (1,0) node[right] {$q$}; + \draw[->, thick] (0.5, -0.5) -- (0.5,0.5) node[above]{$p$}; + \end{tikzpicture} + \column{0.7 \textwidth} + Impulskoordinaten $p = (p_{1}, p_{2}, ..., p_{n}), \quad p=mv$ \\ + Ortskoordinaten $q = (q_{1}, q_{2}, ..., q_{n})$ \\ + + + + \begin{align*} + \uncover<2->{\mathcal{H}(q, p) & = \underbrace{T(p)}_{E_{kin}} + \underbrace{V(q)}_{E_{pot}} = E_{tot} \\} + \uncover<3->{ & = \frac{p^2}{2m}+ \frac{k q^2}{2}} + \end{align*} + + + + \begin{equation*} + \uncover<4->{ + \dot{q_{k}} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k} + \qquad + \dot{p_{k}} = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k} + } + \end{equation*} + + \pause + + \begin{equation*} + \uncover<5->{ + \begin{pmatrix} + \dot{q} \\ + \dot{p} + \end{pmatrix} + = + \begin{pmatrix} + 0 & \frac{1}{m} \\ + -k & 0 + \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} + q \\ + p + \end{pmatrix} + } + \end{equation*} + + \end{columns} +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{Phasenraum} + \input{../images/phase_space.tex} +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{Federmassesystem} + \begin{columns} + \column{0.6 \textwidth} + \scalebox{0.8}{\input{../images/multi_mass_spring.tex}} + \begin{align*} + \uncover<2->{\mathcal{H} & = T + V \\} + \uncover<7->{ & = \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2}} + \end{align*} + + \column{0.4 \textwidth} + \begin{align*} + \uncover<3->{T & = T_1 + T_2} \\ + \uncover<5->{ & = \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} } \\ + \uncover<4->{V & = V_1 + V_c + V_2 } \\ + \uncover<6->{ & = \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2}} + \end{align*} + \end{columns} +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{Federmassesystem} + \begin{equation*} + \begin{pmatrix} + \dot{q_1} \\ + \dot{q_2} \\ + \dot{p_1} \\ + \dot{p_2} \\ + \end{pmatrix} + = + \begin{pmatrix} + 0 & 0 & \frac{1}{2m_1} & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2m_2} \\ + -(k_1 + k_c) & k_c & 0 & 0 \\ + k_c & -(k_c + k_2) & 0 & 0 \\ + \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} + q_1 \\ + q_2 \\ + p_1 \\ + p_2 \\ + \end{pmatrix} + \Leftrightarrow + \dt + \begin{pmatrix} + Q \\ + P \\ + \end{pmatrix} + \underbrace{ + \begin{pmatrix} + 0 & M \\ + K & 0 + \end{pmatrix} + }_{H} + \begin{pmatrix} + Q \\ + P \\ + \end{pmatrix} + \end{equation*} + + \pause + + $U = PQ^{-1} \qquad \dt U = ?$ + + \pause + + \begin{align*} + \dt U & = C + DU - UA - UBU \\ + & = K - UMU + \end{align*} + +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{Einfluss der Anfangsbedingung:} + \begin{columns} + \column{0.4 \textwidth} + \begin{equation*} + \uncover<2->{q_0 = + \begin{pmatrix} + q_{10} \\ + q_{20} + \end{pmatrix} + = + \begin{pmatrix} + 3 \\ + 1 + \end{pmatrix} + } + \end{equation*} + \begin{equation*} + \uncover<3->{q_0 = + \begin{pmatrix} + q_{10} \\ + q_{20} + \end{pmatrix} + = + \begin{pmatrix} + 3 \\ + 3 + \end{pmatrix} + } + \end{equation*} + \begin{equation*} + \uncover<4->{q_0 = + \begin{pmatrix} + q_{10} \\ + q_{20} + \end{pmatrix} + = + \begin{pmatrix} + 2 \\ + -2 + \end{pmatrix} + } + \end{equation*} + \column{0.6 \textwidth} + \scalebox{0.8}{\input{../images/multi_mass_spring.tex}} + \end{columns} +\end{frame} + +\section{Schlussteil} +\begin{frame} + \frametitle{Zusammenfassung} + \begin{itemize} + \pause + \item{Riccatische Differentialgleichung} + \pause + \begin{itemize} + \item{Ausgansgleichung} + \pause + \item{Lösung} + \end{itemize} + \pause + \item{Harmonischer Ozillator} + \pause + \begin{itemize} + \item{Hamiltonfunktion} + \pause + \item{Phasenraum} + \end{itemize} + \pause + \item{Gekoppelter harmonischer Ozillator} + \pause + \begin{itemize} + \item{Riccatische Differentialgleichung} + \pause + \item{Einfluss der Anfangsbedingungen} + \end{itemize} + \pause + \item{\uwave{Abel}} + \begin{itemize} + \pause + \item{Nichtlineare Federkonstante} + \end{itemize} + + \end{itemize} +\end{frame} + +\end{document} diff --git a/buch/papers/kra/scripts/animation.py b/buch/papers/kra/scripts/animation.py new file mode 100644 index 0000000..5e805ae --- /dev/null +++ b/buch/papers/kra/scripts/animation.py @@ -0,0 +1,243 @@ +import numpy as np +import matplotlib.pyplot as plt +import matplotlib.patches +import matplotlib.transforms +import matplotlib.text +from matplotlib.animation import FuncAnimation +import imageio + +from simulation import Simulation + + +class Mass: + def __init__(self, x_0, width, height, **kwargs): + self._x_0 = x_0 + xy = (x_0, 0) + self._rect = matplotlib.patches.Rectangle(xy, width, height, **kwargs) + + @property + def patch(self): + return self._rect + + @property + def x(self): + return self._rect.get_x() + + @property + def width(self): + return self._rect.get_width() + + def move(self, x): + self._rect.set_x(self._x_0 + x) + + +class Spring: + def __init__(self, n, height, ax, resolution=1000, **kwargs): + self._n = n + self._height = height + self._N = resolution + (self._line,) = ax.plot([], [], "-", **kwargs) + + def set(self, x_0, x_1): + T = (x_1 - x_0) / self._n + x = np.linspace(x_0, x_1, self._N, endpoint=True) + t = np.linspace(0, x_1 - x_0, self._N) + y = (np.sin(2 * np.pi * t / T) + 1.5) * self._height / 2 + self.line.set_data(x, y) + + @property + def line(self): + return self._line + + +class LinePlot: + def __init__(self, ax, **kwargs): + (self._line,) = ax.plot([], [], "-", **kwargs) + self._x = [] + self._y = [] + + @property + def line(self): + return self._line + + def update(self, x, y): + self._x.append(x) + self._y.append(y) + self._line.set_data(self._x, self._y) + + +class ScatterPlot: + def __init__(self, ax, **kwargs): + self._color = kwargs.get("color", "tab:green") + self._line = ax.scatter([], [], **kwargs) + self._ax = ax + self._x = [] + self._y = [] + + @property + def line(self): + return self._line + + def update(self, x, y, **kwargs): + self._x.append(x) + self._y.append(y) + self._line.remove() + self._line = self._ax.scatter(self._x, self._y, color=self._color, **kwargs) + + +class QuiverPlot: + def __init__(self, ax, **kwargs): + self.x = [] + self.y = [] + self.u = [] + self.v = [] + self.ax = ax + self.ln = self.ax.quiver([], [], [], []) + + def update(self, x, y, u, v): + self.x.append(x) + self.y.append(y) + self.u.append(u) + self.v.append(v) + self.ln.remove() + self.ln = self.ax.quiver(self.x, self.y, self.u, self.v) + + @property + def line(self): + return self.ln + + +anim_folder = "anim_0" +img_counter = 0 + +sim = Simulation() +params = { + "x_0": [2, -2], + "k_1": 1, + "k_c": 2, + "k_2": 1, + "m_1": 0.5, + "m_2": 0.5, +} + +time = 2.1 + + +# create axis +fig = plt.figure(figsize=(20, 15), constrained_layout=True) +fig.suptitle( + " ,".join([f"${key} = {val}$" for (key, val) in params.items()]), fontsize=20 +) +spec = fig.add_gridspec(3, 4) +ax0 = fig.add_subplot(spec[-1, :]) +ax1 = fig.add_subplot(spec[:-1, :2]) +ax2 = fig.add_subplot(spec[:-1, 2:]) + +ax0.set_yticks([]) + +mass_height = 0.5 +spring_height = 0.6 * mass_height +x_max = 21 +y_max = 2 * mass_height + +mass_1 = Mass( + 7, + 2, + mass_height, + color="tab:red", +) +mass_2 = Mass(14, 2, mass_height, color="tab:blue") +masses = [mass_1, mass_2] +patches = [mass.patch for mass in masses] + +spring_1 = Spring(4, spring_height, ax0, color="tab:red", linewidth=10) +spring_2 = Spring(4, spring_height, ax0, color="tab:gray", linewidth=10) +spring_3 = Spring(4, spring_height, ax0, color="tab:blue", linewidth=10) +springs = [spring_1, spring_2, spring_3] + +linePlot_1 = LinePlot(ax1, color="tab:red", label="$m_1$", alpha=1) +linePlot_2 = LinePlot(ax1, color="tab:blue", label="$m_2$", alpha=1) +linePlots = [linePlot_1, linePlot_2] + +# quiverPlot = QuiverPlot(ax2) +scatterPlot = ScatterPlot(ax2) + +lines = [spring.line for spring in springs] +lines.extend([plot.line for plot in linePlots]) +# lines.append(quiverPlot.line) +lines.append(scatterPlot.line) + +objects = lines + patches + +ax0.plot( + np.repeat(mass_1.x, 2), + [0, y_max], + "--", + color="tab:red", + label="Ruhezustand $m_1$", +) +ax0.plot( + np.repeat(mass_2.x, 2), + [0, y_max], + "--", + color="tab:blue", + label="Ruhezustand $m_2$", +) + + +def init(): + ax0.set_xlim(0, x_max) + ax0.set_ylim(0, y_max) + + ax1.set_xlim(0, time) + ax1.set_ylim(-4, 4) + ax1.set_xlabel("time", fontsize=20) + ax1.set_ylabel("$q$", fontsize=20) + + ax2.set_xlim(-4, 4) + ax2.set_ylim(-4, 4) + ax2.set_xlabel("$q_1$", fontsize=20) + ax2.set_ylabel("$q_2$", fontsize=20) + + for patch in patches: + ax0.add_patch(patch) + + spring_1.set(0, mass_1.x) + spring_2.set(mass_1.x + mass_1.width, mass_2.x) + spring_2.set(mass_2.x + mass_2.width, x_max) + + return objects + + +def update(frame): + global img_counter + x_1, x_2 = sim(frame, **params) + + mass_1.move(x_1) + mass_2.move(x_2) + + spring_1.set(0, mass_1.x) + spring_2.set(mass_1.x + mass_1.width, mass_2.x) + spring_3.set(mass_2.x + mass_2.width, x_max) + + linePlot_1.update(frame, x_1) + linePlot_2.update(frame, x_2) + + scatterPlot.update(x_1, x_2, alpha=0.25) + + img_counter += 1 + return objects + + +anim = FuncAnimation( + fig, + update, + frames=np.linspace(0, time, int(time * 30)), + init_func=init, + blit=False, +) + +ax0.legend(fontsize=20) +ax1.legend(fontsize=20) +FFwriter = matplotlib.animation.FFMpegWriter(fps=30) +anim.save("animation.mp4", writer=FFwriter) diff --git a/buch/papers/kra/scripts/simulation.py b/buch/papers/kra/scripts/simulation.py new file mode 100644 index 0000000..8bccb6a --- /dev/null +++ b/buch/papers/kra/scripts/simulation.py @@ -0,0 +1,40 @@ +import sympy as sp + + +class Simulation: + def __init__(self): + self.k_1, self.k_2, self.k_c = sp.symbols("k_1 k_2 k_c") + self.m_1, self.m_2 = sp.symbols("m_1 m_2") + self.t = sp.symbols("t") + K = sp.Matrix( + [[-(self.k_1 + self.k_c), self.k_c], [self.k_c, -(self.k_2 + self.k_c)]] + ) + M = sp.Matrix([[1 / self.m_1, 0], [0, 1 / self.m_2]]) + A = M * K + + self.eigenvecs = [] + self.eigenvals = [] + for ev, mult, vecs in A.eigenvects(): + self.eigenvecs.append(sp.Matrix(vecs)) + self.eigenvals.extend([ev] * mult) + + def __call__(self, t, x_0, k_1, k_c, k_2, m_1, m_2): + params = { + self.k_1: k_1, + self.k_c: k_c, + self.k_2: k_2, + self.m_1: m_1, + self.m_2: m_2, + } + x_0 = sp.Matrix(x_0) + eig_mat = sp.Matrix.hstack(*self.eigenvecs).subs(params) + g = eig_mat.inv() * x_0 + L = sp.Matrix( + [ + g[0] * sp.cos(self.eigenvals[0].subs(params) * self.t), + g[1] * sp.cos(self.eigenvals[1].subs(params) * self.t), + ] + ) + x = eig_mat * L + f = sp.lambdify(self.t, x, "numpy") + return f(t).squeeze() -- cgit v1.2.1 From 433b838cd7a68bb45abf0023edfb5439097693f2 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: samuel niederer Date: Sun, 24 Jul 2022 12:03:46 +0200 Subject: update packages --- buch/papers/kra/packages.tex | 12 ++++++++++++ 1 file changed, 12 insertions(+) (limited to 'buch') diff --git a/buch/papers/kra/packages.tex b/buch/papers/kra/packages.tex index df34dcf..b16f074 100644 --- a/buch/papers/kra/packages.tex +++ b/buch/papers/kra/packages.tex @@ -8,3 +8,15 @@ % following example %\usepackage{packagename} +\usepackage{physics} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{tikz} +\usepackage[outline]{contour} +\pgfplotsset{compat=1.16} +\usetikzlibrary{patterns} +\usetikzlibrary{snakes} +\usetikzlibrary{math} +\usetikzlibrary{arrows.meta} +\usetikzlibrary{decorations} +\usetikzlibrary{decorations.markings} +\usetikzlibrary{calc} \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From c5a26d2d7bde694d08bff948c48b2615a7e2e973 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: samuel niederer Date: Sun, 24 Jul 2022 12:16:02 +0200 Subject: add current work --- buch/papers/kra/hamilton.tex | 185 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ buch/papers/kra/main.tex | 32 ++----- buch/papers/kra/references.bib | 41 ++++----- buch/papers/kra/riccati.tex | 93 +++++++++++++++++++++ buch/papers/kra/teil0.tex | 22 ----- buch/papers/kra/teil1.tex | 55 ------------ buch/papers/kra/teil2.tex | 40 --------- buch/papers/kra/teil3.tex | 40 --------- buch/papers/kra/test.tex | 12 +++ 9 files changed, 313 insertions(+), 207 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/kra/hamilton.tex create mode 100644 buch/papers/kra/riccati.tex delete mode 100644 buch/papers/kra/teil0.tex delete mode 100644 buch/papers/kra/teil1.tex delete mode 100644 buch/papers/kra/teil2.tex delete mode 100644 buch/papers/kra/teil3.tex create mode 100644 buch/papers/kra/test.tex (limited to 'buch') diff --git a/buch/papers/kra/hamilton.tex b/buch/papers/kra/hamilton.tex new file mode 100644 index 0000000..14a5e8c --- /dev/null +++ b/buch/papers/kra/hamilton.tex @@ -0,0 +1,185 @@ +\newcommand{\dt}[0]{\frac{d}{dt}} + +\section{Teil abc\label{kra:section:teilabc}} +\rhead{Teil abc} + +\subsection{Hamilton-Funktion} +Die Bewegung der Masse $m$ kann mit Hilfe der hamiltonschen Mechanik im Phasenraum untersucht werden. +Die hamiltonschen Gleichungen verwenden dafür die veralgemeinerten Ortskoordinaten +$q = (q_{1}, q_{2}, ..., q_{n})$ und die verallgemeinerten Impulskoordinaten $p = (p_{1}, p_{2}, ..., p_{n})$, +wobei der Impuls definiert ist als $p_k = m_k \cdot v_k$. +Liegen keine zeitabhängigen Zwangsbedingungen vor, so entspricht die Hamitlon-Funktion der Gesamtenergie des Systems \cite{kra:hamilton}. +Im Falle des einfachen Federmassesystems, Abbildung \ref{kra:fig:simple_spring_mass}, +setzt sich die Hamilton-Funktion aus kinetischer und potentieller Energie zusammen. + +\begin{equation} + \label{hamilton} + \begin{split} + \mathcal{H}(q, p) &= T(p) + V(q) = E \\ + &= \underbrace{\frac{p^2}{2m}}_{E_{kin}} + \underbrace{\frac{k q^2}{2}}_{E_{pot}} + \end{split} +\end{equation} + +Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen liefern \cite{kra:kanonischegleichungen} +\begin{equation} + \label{kra:hamilton:bewegungsgleichung} + \dot{q_{k}} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k} + \qquad + \dot{p_{k}} = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k} +\end{equation} + +daraus folgt + +\[ + \dot{q} = \frac{p}{m} + \qquad + \dot{p} = -kq +\] + +in Matrixschreibweise erhalten wir also + +\[ + \begin{pmatrix} + \dot{q} \\ + \dot{p} + \end{pmatrix} + = + \begin{pmatrix} + 0 & \frac{1}{m} \\ + -k & 0 + \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} + q \\ + p + \end{pmatrix} +\] + +Für das erweiterte Federmassesystem, Abbildung \ref{kra:fig:multi_spring_mass}, können wir analog vorgehen. +Die kinetische Energie setzt sich nun aus den kinetischen Energien der einzelnen Massen $m_1$ und $m_2$ zusammen. +Die Potentielle Energie erhalten wir aus der Summe der kinetischen Energien der einzelnen Federn mit den Federkonstanten $k_1$, $k_c$ und $k_2$. + +\begin{align*} + \begin{split} + T &= T_1 + T_2 \\ + &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \end{split} + \\ + \begin{split} + V &= V_1 + V_c + V_2 \\ + &= \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2} + \end{split} +\end{align*} + +Die Hamilton-Funktion ist also + +\begin{align*} + \begin{split} + \mathcal{H} &= T + V \\ + &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2} + \end{split} +\end{align*} + +Die Bewegungsgleichungen \ref{kra:hamilton:bewegungsgleichung} liefern +\begin{align*} + \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k} & = \dot{q_k} + \Rightarrow + \left\{ + \begin{alignedat}{2} + \dot{q_1} &= \frac{2p_1}{2m_1} &&= \frac{p_1}{m_1}\\ + \dot{q_2} &= \frac{2p_2}{2m_2} &&= \frac{p_2}{m_2} + \end{alignedat} + \right. + \\ + -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k} & = \dot{p_k} + \Rightarrow + \left\{ + \begin{alignedat}{2} + \dot{p_1} &= -(\frac{2k_1q_1}{2} - \frac{2k_c(q_2-q_1)}{2}) &&= -q_1(k_1+k_c) + q_2k_c \\ + \dot{p_1} &= -(\frac{2k_c(q_2-q_1)}{2} - \frac{2k_2q_2}{2}) &&= q_1k_c - (k_c + k_2) + \end{alignedat} + \right. +\end{align*} + +In Matrixschreibweise erhalten wir + +\begin{equation} + \label{kra:hamilton:multispringmass} + \begin{pmatrix} + \dot{q_1} \\ + \dot{q_2} \\ + \dot{p_1} \\ + \dot{p_2} \\ + \end{pmatrix} + = + \begin{pmatrix} + 0 & 0 & \frac{1}{2m_1} & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2m_2} \\ + -(k_1 + k_c) & k_c & 0 & 0 \\ + k_c & -(k_c + k_2) & 0 & 0 \\ + \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} + q_1 \\ + q_2 \\ + p_1 \\ + p_2 \\ + \end{pmatrix} + \Leftrightarrow + \dt + \begin{pmatrix} + Q \\ + P \\ + \end{pmatrix} + \underbrace{ + \begin{pmatrix} + 0 & M \\ + K & 0 + \end{pmatrix} + }_{G} + \begin{pmatrix} + Q \\ + P \\ + \end{pmatrix} +\end{equation} + + +Wir intressieren uns nun dafür wie der Phasenwinkel $U = PQ^{-1}$ von der Zeit abhängt, +wir suchen also die Grösse $\Theta = \dt U$. + +Ersetzten wir in der Gleichung \ref{kra:hamilton:multispringmass} die Matrix $G$ mit $\tilde{G}$ so erhalten wir +\begin{equation} + \dt + \begin{pmatrix} + Q \\ + P + \end{pmatrix} + = + \underbrace{ + \begin{pmatrix} + A & B \\ + C & D + \end{pmatrix} + }_{\tilde{G}} + \begin{pmatrix} + Q \\ + P + \end{pmatrix} +\end{equation} + +Mit einsetzten folgt + +\begin{align*} + \dot{Q} = AQ + BP \\ + \dot{P} = CQ + DP +\end{align*} +\begin{equation} + \begin{split} + \dt U &= \dot{P} Q^{-1} + P \dt Q^{-1} \\ + &= (CQ + DP) Q^{-1} - P (Q^{-1} \dot{Q} Q^{-1}) \\ + &= C\underbrace{QQ^{-1}}_\text{I} + D\underbrace{PQ^{-1}}_\text{U} - P(Q^{-1} (AQ + BP) Q^{-1}) \\ + &= C + DU - \underbrace{PQ^{-1}}_\text{U}(A\underbrace{QQ^{-1}}_\text{I} + B\underbrace{PQ^{-1}}_\text{U}) \\ + &= C + DU - UA - UBU + \end{split} +\end{equation} + +was uns auf die zeitkontinuierliche Matrix-Riccati-Gleichung führt. + diff --git a/buch/papers/kra/main.tex b/buch/papers/kra/main.tex index fcee25b..456b6ee 100644 --- a/buch/papers/kra/main.tex +++ b/buch/papers/kra/main.tex @@ -6,31 +6,9 @@ \chapter{Kalman, Riccati und Abel\label{chapter:kra}} \lhead{Kalman, Riccati und Abel} \begin{refsection} - \chapterauthor{Samuel Niederer} - - Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes - \begin{itemize} - \item - Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt. - Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet. - \item - Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende - Optionen werden gelöscht. - Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen. - \item - Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. - Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen - in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt - anzuwenden. - \item - Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren - Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern. - \end{itemize} - - \input{papers/kra/teil0.tex} - \input{papers/kra/teil1.tex} - \input{papers/kra/teil2.tex} - \input{papers/kra/teil3.tex} - - \printbibliography[heading=subbibliography] + \chapterauthor{Samuel Niederer} + \input{papers/kra/hamilton.tex} + \newpage + \input{papers/kra/riccati.tex} + \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} diff --git a/buch/papers/kra/references.bib b/buch/papers/kra/references.bib index f13c3d8..7f972ec 100644 --- a/buch/papers/kra/references.bib +++ b/buch/papers/kra/references.bib @@ -4,32 +4,27 @@ % (c) 2020 Autor, Hochschule Rapperswil % -@online{kra:bibtex, - title = {BibTeX}, - url = {https://de.wikipedia.org/wiki/BibTeX}, - date = {2020-02-06}, - year = {2020}, - month = {2}, - day = {6} +@online{kra:hamilton, + title = {Hamilton-Funktion}, + url = {https://de.wikipedia.org/wiki/Hamilton-Funktion}, + date = {2022-05-26} } -@book{kra:numerical-analysis, - title = {Numerical Analysis}, - author = {David Kincaid and Ward Cheney}, - publisher = {American Mathematical Society}, - year = {2002}, - isbn = {978-8-8218-4788-6}, - inseries = {Pure and applied undegraduate texts}, - volume = {2} +@misc{kra:kanonischegleichungen, + title = {Kanonische Gleichungen}, + url = {https://de.wikipedia.org/wiki/Kanonische_Gleichungen}, + date = {2022-05-26} } -@article{kra:mendezmueller, - author = { Tabea Méndez and Andreas Müller }, - title = { Noncommutative harmonic analysis and image registration }, - journal = { Appl. Comput. Harmon. Anal.}, - year = 2019, - volume = 47, - pages = {607--627}, - url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004} +@misc{kra:newton, + title = {Newtonsche Gesetze}, + url = {https://de.wikipedia.org/wiki/Newtonsche_Gesetze}, + date = {2022-05-26} } +@misc{kra:kalmanisae, + author = {D.Alazard}, + title = {Introduction to Kalman filtering}, + url = {https://pagespro.isae-supaero.fr/IMG/pdf/introKalman_e_151211.pdf}, + date = {2022-05-26} +} diff --git a/buch/papers/kra/riccati.tex b/buch/papers/kra/riccati.tex new file mode 100644 index 0000000..df2921d --- /dev/null +++ b/buch/papers/kra/riccati.tex @@ -0,0 +1,93 @@ +\section{Riccati + \label{kra:section:riccati}} +\rhead{Riccati} + +\begin{equation} + y'(x) = f(x)y^2(x) + g(x)y(x) + h(x) +\end{equation} +% einfache (normale riccati gleichung und ihre loesung) +% (kann man diese bei einfachem federmasse system benutzten?) +% matrix riccati gleichung + + +Die zeitkontinuierliche Riccati-Matrix-Gleichung hat die Form +\begin{equation} + \label{kra:riccati:riccatiequation} + \dot{U(t)} = DU(t) - UA(t) - U(t)BU(t) +\end{equation} + +Betrachten wir das Differentialgleichungssystem \ref{kra:riccati:derivation} + +\begin{equation} + \label{kra:riccati:derivation} + \dt + \begin{pmatrix} + X \\ + Y + \end{pmatrix} + = + \underbrace{ + \begin{pmatrix} + A & B \\ + C & D + \end{pmatrix} + }_{H} + \begin{pmatrix} + X \\ + Y + \end{pmatrix} +\end{equation} + +interessieren wir uns für die zeitliche Änderung der Grösse $U = YX^{-1}$, so erhalten wir durch einsetzten + +\begin{align*} + \dt U & = \dot{Y} X^{-1} + Y \dt X^{-1} \\ + & = (CX + DY) X^{-1} - Y (X^{-1} \dot{X} X^{-1}) \\ + & = C\underbrace{XX^{-1}}_\text{I} + D\underbrace{YX^{-1}}_\text{U} - Y(X^{-1} (AX + BY) X^{-1}) \\ + & = C + DU - \underbrace{YX^{-1}}_\text{U}(A\underbrace{XX^{-1}}_\text{I} + B\underbrace{YX^{-1}}_\text{U}) \\ + & = C + DU - UA - UBU +\end{align*} + +was uns auf die Riccati-Matrix-Gleichung \ref{kra:riccati:riccatiequation} führt. +Die Lösung dieser Gleichung erhalten wir nach \cite{kra:kalmanisae} folgendermassen +\begin{equation} + \begin{pmatrix} + X(t) \\ + Y(t) + \end{pmatrix} + = + \Phi(t_0, t) + \begin{pmatrix} + I(t) \\ + U_0(t) + \end{pmatrix} + = + \begin{pmatrix} + \Phi_{11}(t_0, t) & \Phi_{12}(t_0, t) \\ + \Phi_{21}(t_0, t) & \Phi_{22}(t_0, t) + \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} + I(t) \\ + U_0(t) + \end{pmatrix} +\end{equation} + +\begin{equation} + U(t) = + \begin{pmatrix} + \Phi_{21}(t_0, t) + \Phi_{22}(t_0, t) + \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} + \Phi_{11}(t_0, t) + \Phi_{12}(t_0, t) + \end{pmatrix} + ^{-1} +\end{equation} + +wobei $\Phi(t, t_0)$ die sogennante Zustandsübergangsmatrix ist. + +\begin{equation} + \Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)} +\end{equation} + + + diff --git a/buch/papers/kra/teil0.tex b/buch/papers/kra/teil0.tex deleted file mode 100644 index d06a055..0000000 --- a/buch/papers/kra/teil0.tex +++ /dev/null @@ -1,22 +0,0 @@ -% -% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 0\label{kra:section:teil0}} -\rhead{Teil 0} -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua \cite{kra:bibtex}. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. -Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum -dolor sit amet. - -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita -kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit -amet. - - diff --git a/buch/papers/kra/teil1.tex b/buch/papers/kra/teil1.tex deleted file mode 100644 index 0c0977d..0000000 --- a/buch/papers/kra/teil1.tex +++ /dev/null @@ -1,55 +0,0 @@ -% -% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 1 -\label{kra:section:teil1}} -\rhead{Problemstellung} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. -Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit -aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione -voluptatem sequi nesciunt -\begin{equation} -\int_a^b x^2\, dx -= -\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b -= -\frac{b^3-a^3}3. -\label{kra:equation1} -\end{equation} -Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, -consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora -incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. - -Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis -suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? -Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit -esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum -fugiat quo voluptas nulla pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{kra:subsection:finibus}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}. - -Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio -\ref{kra:section:loesung}. -Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil -impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis -voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus -\ref{kra:section:folgerung}. -Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum -necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et -molestiae non recusandae. -Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis -voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus -asperiores repellat. - - diff --git a/buch/papers/kra/teil2.tex b/buch/papers/kra/teil2.tex deleted file mode 100644 index 249f078..0000000 --- a/buch/papers/kra/teil2.tex +++ /dev/null @@ -1,40 +0,0 @@ -% -% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 2 -\label{kra:section:teil2}} -\rhead{Teil 2} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{kra:subsection:bonorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. - - diff --git a/buch/papers/kra/teil3.tex b/buch/papers/kra/teil3.tex deleted file mode 100644 index 2515c7d..0000000 --- a/buch/papers/kra/teil3.tex +++ /dev/null @@ -1,40 +0,0 @@ -% -% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3 -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 3 -\label{kra:section:teil3}} -\rhead{Teil 3} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{kra:subsection:malorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. - - diff --git a/buch/papers/kra/test.tex b/buch/papers/kra/test.tex new file mode 100644 index 0000000..ebe0aa0 --- /dev/null +++ b/buch/papers/kra/test.tex @@ -0,0 +1,12 @@ +\begin{figure} + \input{papers/kra/images/phase_space.tex} + % \begin{minipage}{.45\textwidth} + % \input{papers/kra/images/phase_space_small_omega.tex} + % \end{minipage} + % \begin{minipage}{.45\textwidth} + % \input{papers/kra/images/phase_space_large_omega.tex} + % \end{minipage} + % \begin{minipage}[.5\textwidth] + % \input{papers/kra/images/phase_space_large_omega.tex} + % \end{minipage} +\end{figure} \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From 1d78360ee72a8d0d6cd4b440a2244624c284887f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: samuel niederer Date: Sun, 24 Jul 2022 17:12:49 +0200 Subject: update paper --- buch/papers/kra/Makefile.inc | 11 +- buch/papers/kra/anwendung.tex | 235 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ buch/papers/kra/einleitung.tex | 14 +++ buch/papers/kra/hamilton.tex | 185 -------------------------------- buch/papers/kra/loesung.tex | 47 +++++++++ buch/papers/kra/main.tex | 10 +- buch/papers/kra/riccati.tex | 93 ---------------- 7 files changed, 306 insertions(+), 289 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/kra/anwendung.tex create mode 100644 buch/papers/kra/einleitung.tex delete mode 100644 buch/papers/kra/hamilton.tex create mode 100644 buch/papers/kra/loesung.tex delete mode 100644 buch/papers/kra/riccati.tex (limited to 'buch') diff --git a/buch/papers/kra/Makefile.inc b/buch/papers/kra/Makefile.inc index f453e6e..a521e4b 100644 --- a/buch/papers/kra/Makefile.inc +++ b/buch/papers/kra/Makefile.inc @@ -4,11 +4,10 @@ # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # dependencies-kra = \ - papers/kra/packages.tex \ + papers/kra/packages.tex \ papers/kra/main.tex \ - papers/kra/references.bib \ - papers/kra/teil0.tex \ - papers/kra/teil1.tex \ - papers/kra/teil2.tex \ - papers/kra/teil3.tex + papers/kra/references.bib \ + papers/kra/einleitung.tex \ + papers/kra/loesung.tex \ + papers/kra/anwendung.tex \ diff --git a/buch/papers/kra/anwendung.tex b/buch/papers/kra/anwendung.tex new file mode 100644 index 0000000..4d4d351 --- /dev/null +++ b/buch/papers/kra/anwendung.tex @@ -0,0 +1,235 @@ +\section{Anwendungen \label{kra:section:anwendung}} +\rhead{Anwendungen} +\newcommand{\dt}[0]{\frac{d}{dt}} + +Die Matrix-Riccati Differentialgleichung findet unter anderem Anwendung in der Regelungstechnik beim RQ- und RQG-Regler oder aber auch beim Kalmanfilter. +Im folgenden Abschnitt möchten wir uns an einem Beispiel anschauen wie wir mit Hilfe der Matrix-Riccati Differentialgleichung (\ref{kra:matrixriccati}) ein Feder-Masse-System untersuchen können. + +\subsection{Feder-Masse-System} +Die Einfachste Form eines Feder-Masse-Systems ist dargestellt in Abbildung \ref{kra:fig:simple_mass_spring}. +Es besteht aus einer Masse $m$ welche reibungsfrei gelagert ist und einer Feder mit der Federkonstante $k$. +Die im System wirkenden Kräfte teilen sich auf in die auf dem hookeschen Gesetz basierenden Rückstellkraft $F_R = k \Delta_x$ und der auf dem Aktionsprinzip basierenden Kraft $F_a = am = \ddot{x} m$. +Das Kräftegleichgewicht fordert $F_R = F_a$ woraus folgt, dass + +\begin{equation*} + k \Delta_x = \ddot{x} m \Leftrightarrow \ddot{x} = \frac{k \Delta_x}{m} +\end{equation*} +Die funktion die diese Differentialgleichung löst ist die harmonische Schwingung +\begin{equation} + x(t) = A \cos(\omega_0 t + \Phi), \quad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} +\end{equation} + + +\begin{figure} + \input{papers/kra/images/simple_mass_spring.tex} + \caption{Einfaches Feder-Masse-System.} + \label{kra:fig:simple_mass_spring} +\end{figure} + +\begin{figure} + \input{papers/kra/images/multi_mass_spring.tex} + \caption{Feder-Masse-System mit zwei Massen und drei Federn.} + \label{kra:fig:multi_mass_spring} +\end{figure} + + +\subsection{Hamilton-Funktion} +Die Bewegung der Masse $m$ kann mit Hilfe der hamiltonschen Mechanik im Phasenraum untersucht werden. +Die hamiltonschen Gleichungen verwenden dafür die veralgemeinerten Ortskoordinaten +$q = (q_{1}, q_{2}, ..., q_{n})$ und die verallgemeinerten Impulskoordinaten $p = (p_{1}, p_{2}, ..., p_{n})$, wobei der Impuls definiert ist als $p_k = m_k \cdot v_k$. +Liegen keine zeitabhängigen Zwangsbedingungen vor, so entspricht die Hamitlon-Funktion der Gesamtenergie des Systems \cite{kra:hamilton}. +Im Falle des einfachen Feder-Masse-Systems, Abbildung \ref{kra:fig:simple_mass_spring}, setzt sich die Hamilton-Funktion aus kinetischer und potentieller Energie zusammen. + +\begin{equation} + \label{kra:harmonischer_oszillator} + \begin{split} + \mathcal{H}(q, p) &= T(p) + V(q) = E \\ + &= \underbrace{\frac{p^2}{2m}}_{E_{kin}} + \underbrace{\frac{k q^2}{2}}_{E_{pot}} + \end{split} +\end{equation} + +Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen liefern \cite{kra:kanonischegleichungen} +\begin{equation} + \label{kra:hamilton:bewegungsgleichung} + \dot{q_{k}} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k} + \qquad + \dot{p_{k}} = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k} +\end{equation} + +daraus folgt + +\[ + \dot{q} = \frac{p}{m} + \qquad + \dot{p} = -kq +\] + +in Matrixschreibweise erhalten wir also + +\[ + \begin{pmatrix} + \dot{q} \\ + \dot{p} + \end{pmatrix} + = + \begin{pmatrix} + 0 & \frac{1}{m} \\ + -k & 0 + \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} + q \\ + p + \end{pmatrix} +\] + +Für das erweiterte Federmassesystem, Abbildung \ref{kra:fig:multi_mass_spring}, können wir analog vorgehen. +Die kinetische Energie setzt sich nun aus den kinetischen Energien der einzelnen Massen $m_1$ und $m_2$ zusammen. +Die Potentielle Energie erhalten wir aus der Summe der kinetischen Energien der einzelnen Federn mit den Federkonstanten $k_1$, $k_c$ und $k_2$. + +\begin{align*} + \begin{split} + T &= T_1 + T_2 \\ + &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \end{split} + \\ + \begin{split} + V &= V_1 + V_c + V_2 \\ + &= \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2} + \end{split} +\end{align*} + +Die Hamilton-Funktion ist also + +\begin{align*} + \begin{split} + \mathcal{H} &= T + V \\ + &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2} + \end{split} +\end{align*} + +Die Bewegungsgleichungen \ref{kra:hamilton:bewegungsgleichung} liefern +\begin{align*} + \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k} & = \dot{q_k} + \Rightarrow + \left\{ + \begin{alignedat}{2} + \dot{q_1} &= \frac{2p_1}{2m_1} &&= \frac{p_1}{m_1}\\ + \dot{q_2} &= \frac{2p_2}{2m_2} &&= \frac{p_2}{m_2} + \end{alignedat} + \right. + \\ + -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k} & = \dot{p_k} + \Rightarrow + \left\{ + \begin{alignedat}{2} + \dot{p_1} &= -(\frac{2k_1q_1}{2} - \frac{2k_c(q_2-q_1)}{2}) &&= -q_1(k_1+k_c) + q_2k_c \\ + \dot{p_1} &= -(\frac{2k_c(q_2-q_1)}{2} - \frac{2k_2q_2}{2}) &&= q_1k_c - (k_c + k_2) + \end{alignedat} + \right. +\end{align*} + +In Matrixschreibweise erhalten wir + +\begin{equation} + \label{kra:hamilton:multispringmass} + \begin{pmatrix} + \dot{q_1} \\ + \dot{q_2} \\ + \dot{p_1} \\ + \dot{p_2} \\ + \end{pmatrix} + = + \begin{pmatrix} + 0 & 0 & \frac{1}{2m_1} & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2m_2} \\ + -(k_1 + k_c) & k_c & 0 & 0 \\ + k_c & -(k_c + k_2) & 0 & 0 \\ + \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} + q_1 \\ + q_2 \\ + p_1 \\ + p_2 \\ + \end{pmatrix} + \Leftrightarrow + \dt + \begin{pmatrix} + Q \\ + P \\ + \end{pmatrix} + = + \underbrace{ + \begin{pmatrix} + 0 & M \\ + K & 0 + \end{pmatrix} + }_{G} + \begin{pmatrix} + Q \\ + P \\ + \end{pmatrix} +\end{equation} + +\subsection{Phasenraum} +Der Phasenraum erlaubt die eindeutige Beschreibung aller möglichen Bewegungszustände eines mechanischen System durch einen Punkt. +Die Phasenraumdarstellung eignet sich somit sehr gut für die systematische Untersuchung der Feder-Masse-Systeme. + +\subsubsection{Harmonischer Oszillator} +Die Hamiltonfunktion des harmonischen Oszillators \ref{kra:harmonischer_oszillator} führt auf eine Lösung der Form +\begin{equation*} + q(t) = A \cos(\omega_0 T + \Phi), \quad p(t) = -m \omega_0 A \sin(\omega_0 t + \Phi) +\end{equation*} +die Phasenraumtrajektorien bilden also Ellipsen mit Zentrum $q=0, p=0$ und Halbachsen $A$ und $m \omega A$. +Abbildung \ref{kra:fig:phasenraum} zeigt Phasenraumtrajektorien mit den Energien $E_{x \in \{A, B, C, D\}}$ und verschiedenen Werten von $\omega$. + +\begin{figure} + \input{papers/kra/images/phase_space.tex} + \caption{Phasenraumdarstellung des einfachen Feder-Masse-Systems.} + \label{kra:fig:phasenraum} +\end{figure} + +\subsubsection{Erweitertes Feder-Masse-System} +Wir intressieren uns nun dafür wie der Phasenwinkel $U = PQ^{-1}$ von der Zeit abhängt, +wir suchen also die Grösse $\Theta = \dt U$. + +Ersetzten wir in der Gleichung \ref{kra:hamilton:multispringmass} die Matrix $G$ mit $\tilde{G}$ so erhalten wir +\begin{equation} + \dt + \begin{pmatrix} + Q \\ + P + \end{pmatrix} + = + \underbrace{ + \begin{pmatrix} + A & B \\ + C & D + \end{pmatrix} + }_{\tilde{G}} + \begin{pmatrix} + Q \\ + P + \end{pmatrix} +\end{equation} + +Mit einsetzten folgt + +\begin{align*} + \dot{Q} = AQ + BP \\ + \dot{P} = CQ + DP +\end{align*} +\begin{equation} + \begin{split} + \dt U &= \dot{P} Q^{-1} + P \dt Q^{-1} \\ + &= (CQ + DP) Q^{-1} - P (Q^{-1} \dot{Q} Q^{-1}) \\ + &= C\underbrace{QQ^{-1}}_\text{I} + D\underbrace{PQ^{-1}}_\text{U} - P(Q^{-1} (AQ + BP) Q^{-1}) \\ + &= C + DU - \underbrace{PQ^{-1}}_\text{U}(A\underbrace{QQ^{-1}}_\text{I} + B\underbrace{PQ^{-1}}_\text{U}) \\ + &= C + DU - UA - UBU + \end{split} +\end{equation} + +was uns auf die Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:matrixriccati} führt. + + +\subsection{Fazit} +% @TODO diff --git a/buch/papers/kra/einleitung.tex b/buch/papers/kra/einleitung.tex new file mode 100644 index 0000000..1a347a8 --- /dev/null +++ b/buch/papers/kra/einleitung.tex @@ -0,0 +1,14 @@ +\section{Einleitung} \label{kra:section:einleitung} +\rhead{Einleitung} +Die riccatische Differentialgleichung ist eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichunge erster Ordnung der form +\begin{equation} + \label{kra:riccati} + y'(x) = f(x)y^2(x) + g(x)y(x) + h(x) +\end{equation} +Sie ist bennant nach dem italienischen Grafen Jacopo Francesco Riccati (1676–1754) der sich mit der Klassifizierung von Differentialgleichungen befasste und Methoden zur Verringerung der Ordnung von Gleichungen entwickelte. +Als Riccati Gleichung werden auch Matrixgleichugen der Form +\begin{equation} + \label{kra:matrixriccati} + \dot{U}(t) = DU(t) - UA(t) - U(t)BU(t) % +Q ? +\end{equation} +bezeichnet, welche aufgrund ihres quadratischen Terms eine gewisse ähnlichkeit aufweisen. \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/kra/hamilton.tex b/buch/papers/kra/hamilton.tex deleted file mode 100644 index 14a5e8c..0000000 --- a/buch/papers/kra/hamilton.tex +++ /dev/null @@ -1,185 +0,0 @@ -\newcommand{\dt}[0]{\frac{d}{dt}} - -\section{Teil abc\label{kra:section:teilabc}} -\rhead{Teil abc} - -\subsection{Hamilton-Funktion} -Die Bewegung der Masse $m$ kann mit Hilfe der hamiltonschen Mechanik im Phasenraum untersucht werden. -Die hamiltonschen Gleichungen verwenden dafür die veralgemeinerten Ortskoordinaten -$q = (q_{1}, q_{2}, ..., q_{n})$ und die verallgemeinerten Impulskoordinaten $p = (p_{1}, p_{2}, ..., p_{n})$, -wobei der Impuls definiert ist als $p_k = m_k \cdot v_k$. -Liegen keine zeitabhängigen Zwangsbedingungen vor, so entspricht die Hamitlon-Funktion der Gesamtenergie des Systems \cite{kra:hamilton}. -Im Falle des einfachen Federmassesystems, Abbildung \ref{kra:fig:simple_spring_mass}, -setzt sich die Hamilton-Funktion aus kinetischer und potentieller Energie zusammen. - -\begin{equation} - \label{hamilton} - \begin{split} - \mathcal{H}(q, p) &= T(p) + V(q) = E \\ - &= \underbrace{\frac{p^2}{2m}}_{E_{kin}} + \underbrace{\frac{k q^2}{2}}_{E_{pot}} - \end{split} -\end{equation} - -Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen liefern \cite{kra:kanonischegleichungen} -\begin{equation} - \label{kra:hamilton:bewegungsgleichung} - \dot{q_{k}} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k} - \qquad - \dot{p_{k}} = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k} -\end{equation} - -daraus folgt - -\[ - \dot{q} = \frac{p}{m} - \qquad - \dot{p} = -kq -\] - -in Matrixschreibweise erhalten wir also - -\[ - \begin{pmatrix} - \dot{q} \\ - \dot{p} - \end{pmatrix} - = - \begin{pmatrix} - 0 & \frac{1}{m} \\ - -k & 0 - \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} - q \\ - p - \end{pmatrix} -\] - -Für das erweiterte Federmassesystem, Abbildung \ref{kra:fig:multi_spring_mass}, können wir analog vorgehen. -Die kinetische Energie setzt sich nun aus den kinetischen Energien der einzelnen Massen $m_1$ und $m_2$ zusammen. -Die Potentielle Energie erhalten wir aus der Summe der kinetischen Energien der einzelnen Federn mit den Federkonstanten $k_1$, $k_c$ und $k_2$. - -\begin{align*} - \begin{split} - T &= T_1 + T_2 \\ - &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} - \end{split} - \\ - \begin{split} - V &= V_1 + V_c + V_2 \\ - &= \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2} - \end{split} -\end{align*} - -Die Hamilton-Funktion ist also - -\begin{align*} - \begin{split} - \mathcal{H} &= T + V \\ - &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2} - \end{split} -\end{align*} - -Die Bewegungsgleichungen \ref{kra:hamilton:bewegungsgleichung} liefern -\begin{align*} - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k} & = \dot{q_k} - \Rightarrow - \left\{ - \begin{alignedat}{2} - \dot{q_1} &= \frac{2p_1}{2m_1} &&= \frac{p_1}{m_1}\\ - \dot{q_2} &= \frac{2p_2}{2m_2} &&= \frac{p_2}{m_2} - \end{alignedat} - \right. - \\ - -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k} & = \dot{p_k} - \Rightarrow - \left\{ - \begin{alignedat}{2} - \dot{p_1} &= -(\frac{2k_1q_1}{2} - \frac{2k_c(q_2-q_1)}{2}) &&= -q_1(k_1+k_c) + q_2k_c \\ - \dot{p_1} &= -(\frac{2k_c(q_2-q_1)}{2} - \frac{2k_2q_2}{2}) &&= q_1k_c - (k_c + k_2) - \end{alignedat} - \right. -\end{align*} - -In Matrixschreibweise erhalten wir - -\begin{equation} - \label{kra:hamilton:multispringmass} - \begin{pmatrix} - \dot{q_1} \\ - \dot{q_2} \\ - \dot{p_1} \\ - \dot{p_2} \\ - \end{pmatrix} - = - \begin{pmatrix} - 0 & 0 & \frac{1}{2m_1} & 0 \\ - 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2m_2} \\ - -(k_1 + k_c) & k_c & 0 & 0 \\ - k_c & -(k_c + k_2) & 0 & 0 \\ - \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} - q_1 \\ - q_2 \\ - p_1 \\ - p_2 \\ - \end{pmatrix} - \Leftrightarrow - \dt - \begin{pmatrix} - Q \\ - P \\ - \end{pmatrix} - \underbrace{ - \begin{pmatrix} - 0 & M \\ - K & 0 - \end{pmatrix} - }_{G} - \begin{pmatrix} - Q \\ - P \\ - \end{pmatrix} -\end{equation} - - -Wir intressieren uns nun dafür wie der Phasenwinkel $U = PQ^{-1}$ von der Zeit abhängt, -wir suchen also die Grösse $\Theta = \dt U$. - -Ersetzten wir in der Gleichung \ref{kra:hamilton:multispringmass} die Matrix $G$ mit $\tilde{G}$ so erhalten wir -\begin{equation} - \dt - \begin{pmatrix} - Q \\ - P - \end{pmatrix} - = - \underbrace{ - \begin{pmatrix} - A & B \\ - C & D - \end{pmatrix} - }_{\tilde{G}} - \begin{pmatrix} - Q \\ - P - \end{pmatrix} -\end{equation} - -Mit einsetzten folgt - -\begin{align*} - \dot{Q} = AQ + BP \\ - \dot{P} = CQ + DP -\end{align*} -\begin{equation} - \begin{split} - \dt U &= \dot{P} Q^{-1} + P \dt Q^{-1} \\ - &= (CQ + DP) Q^{-1} - P (Q^{-1} \dot{Q} Q^{-1}) \\ - &= C\underbrace{QQ^{-1}}_\text{I} + D\underbrace{PQ^{-1}}_\text{U} - P(Q^{-1} (AQ + BP) Q^{-1}) \\ - &= C + DU - \underbrace{PQ^{-1}}_\text{U}(A\underbrace{QQ^{-1}}_\text{I} + B\underbrace{PQ^{-1}}_\text{U}) \\ - &= C + DU - UA - UBU - \end{split} -\end{equation} - -was uns auf die zeitkontinuierliche Matrix-Riccati-Gleichung führt. - diff --git a/buch/papers/kra/loesung.tex b/buch/papers/kra/loesung.tex new file mode 100644 index 0000000..ece0f15 --- /dev/null +++ b/buch/papers/kra/loesung.tex @@ -0,0 +1,47 @@ +\section{Lösungsmethoden} \label{kra:section:loesung} +\rhead{Lösungsmethoden} +% @TODO Lösung normal riccati +Lösung der Riccatischen Differentialgleichung \ref{kra:riccati}. + + +% Lösung matrix riccati +Die Lösung der Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:matrixriccati} erhalten wir nach \cite{kra:kalmanisae} folgendermassen +\begin{equation} + \label{kra:matrixriccati-solution} + \begin{pmatrix} + X(t) \\ + Y(t) + \end{pmatrix} + = + \Phi(t_0, t) + \begin{pmatrix} + I(t) \\ + U_0(t) + \end{pmatrix} + = + \begin{pmatrix} + \Phi_{11}(t_0, t) & \Phi_{12}(t_0, t) \\ + \Phi_{21}(t_0, t) & \Phi_{22}(t_0, t) + \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} + I(t) \\ + U_0(t) + \end{pmatrix} +\end{equation} + +\begin{equation} + U(t) = + \begin{pmatrix} + \Phi_{21}(t_0, t) + \Phi_{22}(t_0, t) + \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} + \Phi_{11}(t_0, t) + \Phi_{12}(t_0, t) + \end{pmatrix} + ^{-1} +\end{equation} + +wobei $\Phi(t, t_0)$ die sogennante Zustandsübergangsmatrix ist. + +\begin{equation} + \Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)} +\end{equation} diff --git a/buch/papers/kra/main.tex b/buch/papers/kra/main.tex index 456b6ee..a84ebaf 100644 --- a/buch/papers/kra/main.tex +++ b/buch/papers/kra/main.tex @@ -3,12 +3,12 @@ % % (c) 2020 Hochschule Rapperswil % -\chapter{Kalman, Riccati und Abel\label{chapter:kra}} -\lhead{Kalman, Riccati und Abel} +\chapter{Riccati Differentialgleichung\label{chapter:kra}} +\lhead{Riccati Differentialgleichung} \begin{refsection} \chapterauthor{Samuel Niederer} - \input{papers/kra/hamilton.tex} - \newpage - \input{papers/kra/riccati.tex} + \input{papers/kra/einleitung.tex} + \input{papers/kra/loesung.tex} + \input{papers/kra/anwendung.tex} \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} diff --git a/buch/papers/kra/riccati.tex b/buch/papers/kra/riccati.tex deleted file mode 100644 index df2921d..0000000 --- a/buch/papers/kra/riccati.tex +++ /dev/null @@ -1,93 +0,0 @@ -\section{Riccati - \label{kra:section:riccati}} -\rhead{Riccati} - -\begin{equation} - y'(x) = f(x)y^2(x) + g(x)y(x) + h(x) -\end{equation} -% einfache (normale riccati gleichung und ihre loesung) -% (kann man diese bei einfachem federmasse system benutzten?) -% matrix riccati gleichung - - -Die zeitkontinuierliche Riccati-Matrix-Gleichung hat die Form -\begin{equation} - \label{kra:riccati:riccatiequation} - \dot{U(t)} = DU(t) - UA(t) - U(t)BU(t) -\end{equation} - -Betrachten wir das Differentialgleichungssystem \ref{kra:riccati:derivation} - -\begin{equation} - \label{kra:riccati:derivation} - \dt - \begin{pmatrix} - X \\ - Y - \end{pmatrix} - = - \underbrace{ - \begin{pmatrix} - A & B \\ - C & D - \end{pmatrix} - }_{H} - \begin{pmatrix} - X \\ - Y - \end{pmatrix} -\end{equation} - -interessieren wir uns für die zeitliche Änderung der Grösse $U = YX^{-1}$, so erhalten wir durch einsetzten - -\begin{align*} - \dt U & = \dot{Y} X^{-1} + Y \dt X^{-1} \\ - & = (CX + DY) X^{-1} - Y (X^{-1} \dot{X} X^{-1}) \\ - & = C\underbrace{XX^{-1}}_\text{I} + D\underbrace{YX^{-1}}_\text{U} - Y(X^{-1} (AX + BY) X^{-1}) \\ - & = C + DU - \underbrace{YX^{-1}}_\text{U}(A\underbrace{XX^{-1}}_\text{I} + B\underbrace{YX^{-1}}_\text{U}) \\ - & = C + DU - UA - UBU -\end{align*} - -was uns auf die Riccati-Matrix-Gleichung \ref{kra:riccati:riccatiequation} führt. -Die Lösung dieser Gleichung erhalten wir nach \cite{kra:kalmanisae} folgendermassen -\begin{equation} - \begin{pmatrix} - X(t) \\ - Y(t) - \end{pmatrix} - = - \Phi(t_0, t) - \begin{pmatrix} - I(t) \\ - U_0(t) - \end{pmatrix} - = - \begin{pmatrix} - \Phi_{11}(t_0, t) & \Phi_{12}(t_0, t) \\ - \Phi_{21}(t_0, t) & \Phi_{22}(t_0, t) - \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} - I(t) \\ - U_0(t) - \end{pmatrix} -\end{equation} - -\begin{equation} - U(t) = - \begin{pmatrix} - \Phi_{21}(t_0, t) + \Phi_{22}(t_0, t) - \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} - \Phi_{11}(t_0, t) + \Phi_{12}(t_0, t) - \end{pmatrix} - ^{-1} -\end{equation} - -wobei $\Phi(t, t_0)$ die sogennante Zustandsübergangsmatrix ist. - -\begin{equation} - \Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)} -\end{equation} - - - -- cgit v1.2.1 From 0a59be0b3c470a0f7d71ba2e39fb6ec323d89f84 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "samuel.niederer" Date: Sat, 13 Aug 2022 18:48:50 +0200 Subject: add content --- buch/papers/kra/anwendung.tex | 45 +++++++++-------------------------- buch/papers/kra/einleitung.tex | 16 ++++++------- buch/papers/kra/loesung.tex | 53 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++------ buch/papers/kra/references.bib | 15 ++++++++++++ 4 files changed, 80 insertions(+), 49 deletions(-) (limited to 'buch') diff --git a/buch/papers/kra/anwendung.tex b/buch/papers/kra/anwendung.tex index 4d4d351..0deaf3c 100644 --- a/buch/papers/kra/anwendung.tex +++ b/buch/papers/kra/anwendung.tex @@ -1,45 +1,40 @@ -\section{Anwendungen \label{kra:section:anwendung}} -\rhead{Anwendungen} +\section{Anwendung \label{kra:section:anwendung}} +\rhead{Anwendung} \newcommand{\dt}[0]{\frac{d}{dt}} Die Matrix-Riccati Differentialgleichung findet unter anderem Anwendung in der Regelungstechnik beim RQ- und RQG-Regler oder aber auch beim Kalmanfilter. -Im folgenden Abschnitt möchten wir uns an einem Beispiel anschauen wie wir mit Hilfe der Matrix-Riccati Differentialgleichung (\ref{kra:matrixriccati}) ein Feder-Masse-System untersuchen können. +Im folgenden Abschnitt möchten wir uns an einem Beispiel anschauen wie wir mit Hilfe der Matrix-Riccati Differentialgleichung (\ref{kra:equation:matrixriccati}) ein Feder-Masse-System untersuchen können \cite{kra:riccati}. \subsection{Feder-Masse-System} -Die Einfachste Form eines Feder-Masse-Systems ist dargestellt in Abbildung \ref{kra:fig:simple_mass_spring}. -Es besteht aus einer Masse $m$ welche reibungsfrei gelagert ist und einer Feder mit der Federkonstante $k$. +Die einfachste Form eines Feder-Masse-Systems ist dargestellt in Abbildung \ref{kra:fig:simple_mass_spring}. +Es besteht aus einer reibungsfrei gelagerten Masse $m$ ,welche an eine Feder mit der Federkonstante $k$ gekoppelt ist. Die im System wirkenden Kräfte teilen sich auf in die auf dem hookeschen Gesetz basierenden Rückstellkraft $F_R = k \Delta_x$ und der auf dem Aktionsprinzip basierenden Kraft $F_a = am = \ddot{x} m$. Das Kräftegleichgewicht fordert $F_R = F_a$ woraus folgt, dass \begin{equation*} k \Delta_x = \ddot{x} m \Leftrightarrow \ddot{x} = \frac{k \Delta_x}{m} \end{equation*} -Die funktion die diese Differentialgleichung löst ist die harmonische Schwingung +Die Funktion die diese Differentialgleichung löst, ist die harmonische Schwingung \begin{equation} x(t) = A \cos(\omega_0 t + \Phi), \quad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \end{equation} - - \begin{figure} \input{papers/kra/images/simple_mass_spring.tex} \caption{Einfaches Feder-Masse-System.} \label{kra:fig:simple_mass_spring} \end{figure} - \begin{figure} \input{papers/kra/images/multi_mass_spring.tex} \caption{Feder-Masse-System mit zwei Massen und drei Federn.} \label{kra:fig:multi_mass_spring} \end{figure} - \subsection{Hamilton-Funktion} Die Bewegung der Masse $m$ kann mit Hilfe der hamiltonschen Mechanik im Phasenraum untersucht werden. -Die hamiltonschen Gleichungen verwenden dafür die veralgemeinerten Ortskoordinaten +Die hamiltonschen Gleichungen verwenden dafür die verallgemeinerten Ortskoordinaten $q = (q_{1}, q_{2}, ..., q_{n})$ und die verallgemeinerten Impulskoordinaten $p = (p_{1}, p_{2}, ..., p_{n})$, wobei der Impuls definiert ist als $p_k = m_k \cdot v_k$. Liegen keine zeitabhängigen Zwangsbedingungen vor, so entspricht die Hamitlon-Funktion der Gesamtenergie des Systems \cite{kra:hamilton}. Im Falle des einfachen Feder-Masse-Systems, Abbildung \ref{kra:fig:simple_mass_spring}, setzt sich die Hamilton-Funktion aus kinetischer und potentieller Energie zusammen. - \begin{equation} \label{kra:harmonischer_oszillator} \begin{split} @@ -47,7 +42,6 @@ Im Falle des einfachen Feder-Masse-Systems, Abbildung \ref{kra:fig:simple_mass_s &= \underbrace{\frac{p^2}{2m}}_{E_{kin}} + \underbrace{\frac{k q^2}{2}}_{E_{pot}} \end{split} \end{equation} - Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen liefern \cite{kra:kanonischegleichungen} \begin{equation} \label{kra:hamilton:bewegungsgleichung} @@ -55,17 +49,13 @@ Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen liefern \cite{kra:kanonischegleichungen} \qquad \dot{p_{k}} = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k} \end{equation} - daraus folgt - \[ \dot{q} = \frac{p}{m} \qquad \dot{p} = -kq \] - in Matrixschreibweise erhalten wir also - \[ \begin{pmatrix} \dot{q} \\ @@ -81,11 +71,9 @@ in Matrixschreibweise erhalten wir also p \end{pmatrix} \] - Für das erweiterte Federmassesystem, Abbildung \ref{kra:fig:multi_mass_spring}, können wir analog vorgehen. Die kinetische Energie setzt sich nun aus den kinetischen Energien der einzelnen Massen $m_1$ und $m_2$ zusammen. Die Potentielle Energie erhalten wir aus der Summe der kinetischen Energien der einzelnen Federn mit den Federkonstanten $k_1$, $k_c$ und $k_2$. - \begin{align*} \begin{split} T &= T_1 + T_2 \\ @@ -97,16 +85,13 @@ Die Potentielle Energie erhalten wir aus der Summe der kinetischen Energien der &= \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2} \end{split} \end{align*} - Die Hamilton-Funktion ist also - \begin{align*} \begin{split} \mathcal{H} &= T + V \\ &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2} \end{split} \end{align*} - Die Bewegungsgleichungen \ref{kra:hamilton:bewegungsgleichung} liefern \begin{align*} \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k} & = \dot{q_k} @@ -127,9 +112,7 @@ Die Bewegungsgleichungen \ref{kra:hamilton:bewegungsgleichung} liefern \end{alignedat} \right. \end{align*} - In Matrixschreibweise erhalten wir - \begin{equation} \label{kra:hamilton:multispringmass} \begin{pmatrix} @@ -171,7 +154,7 @@ In Matrixschreibweise erhalten wir \end{equation} \subsection{Phasenraum} -Der Phasenraum erlaubt die eindeutige Beschreibung aller möglichen Bewegungszustände eines mechanischen System durch einen Punkt. +Der Phasenraum erlaubt die eindeutige Beschreibung aller möglichen Bewegungszustände eines mechanischen Systems durch einen Punkt. Die Phasenraumdarstellung eignet sich somit sehr gut für die systematische Untersuchung der Feder-Masse-Systeme. \subsubsection{Harmonischer Oszillator} @@ -181,7 +164,6 @@ Die Hamiltonfunktion des harmonischen Oszillators \ref{kra:harmonischer_oszillat \end{equation*} die Phasenraumtrajektorien bilden also Ellipsen mit Zentrum $q=0, p=0$ und Halbachsen $A$ und $m \omega A$. Abbildung \ref{kra:fig:phasenraum} zeigt Phasenraumtrajektorien mit den Energien $E_{x \in \{A, B, C, D\}}$ und verschiedenen Werten von $\omega$. - \begin{figure} \input{papers/kra/images/phase_space.tex} \caption{Phasenraumdarstellung des einfachen Feder-Masse-Systems.} @@ -191,7 +173,6 @@ Abbildung \ref{kra:fig:phasenraum} zeigt Phasenraumtrajektorien mit den Energien \subsubsection{Erweitertes Feder-Masse-System} Wir intressieren uns nun dafür wie der Phasenwinkel $U = PQ^{-1}$ von der Zeit abhängt, wir suchen also die Grösse $\Theta = \dt U$. - Ersetzten wir in der Gleichung \ref{kra:hamilton:multispringmass} die Matrix $G$ mit $\tilde{G}$ so erhalten wir \begin{equation} \dt @@ -211,9 +192,7 @@ Ersetzten wir in der Gleichung \ref{kra:hamilton:multispringmass} die Matrix $G$ P \end{pmatrix} \end{equation} - Mit einsetzten folgt - \begin{align*} \dot{Q} = AQ + BP \\ \dot{P} = CQ + DP @@ -227,9 +206,7 @@ Mit einsetzten folgt &= C + DU - UA - UBU \end{split} \end{equation} +was uns auf die Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} führt. -was uns auf die Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:matrixriccati} führt. - - -\subsection{Fazit} -% @TODO +% @TODO Einfluss auf anfangsbedingungen, plots? +% @TODO Fazit ? diff --git a/buch/papers/kra/einleitung.tex b/buch/papers/kra/einleitung.tex index 1a347a8..cde2e66 100644 --- a/buch/papers/kra/einleitung.tex +++ b/buch/papers/kra/einleitung.tex @@ -1,14 +1,14 @@ \section{Einleitung} \label{kra:section:einleitung} \rhead{Einleitung} -Die riccatische Differentialgleichung ist eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichunge erster Ordnung der form +Die riccatische Differentialgleichung ist eine nicht lineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung der Form \begin{equation} - \label{kra:riccati} - y'(x) = f(x)y^2(x) + g(x)y(x) + h(x) + \label{kra:equation:riccati} + y' = f(x)y + g(x)y^2 + h(x) \end{equation} -Sie ist bennant nach dem italienischen Grafen Jacopo Francesco Riccati (1676–1754) der sich mit der Klassifizierung von Differentialgleichungen befasste und Methoden zur Verringerung der Ordnung von Gleichungen entwickelte. -Als Riccati Gleichung werden auch Matrixgleichugen der Form +Sie ist benannt nach dem italienischen Grafen Jacopo Francesco Riccati (1676–1754) der sich mit der Klassifizierung von Differentialgleichungen befasste. +Als Riccati Gleichung werden auch Matrixgleichungen der Form \begin{equation} - \label{kra:matrixriccati} - \dot{U}(t) = DU(t) - UA(t) - U(t)BU(t) % +Q ? + \label{kra:equation:matrixriccati} + \dot{X}(t) = C + DX(t) - X(t)A -X(t)BX(t) \end{equation} -bezeichnet, welche aufgrund ihres quadratischen Terms eine gewisse ähnlichkeit aufweisen. \ No newline at end of file +bezeichnet, welche aufgrund ihres quadratischen Terms eine gewisse Ähnlichkeit aufweisen \cite{kra:ethz} \cite{kra:riccati}. diff --git a/buch/papers/kra/loesung.tex b/buch/papers/kra/loesung.tex index ece0f15..4e0da1c 100644 --- a/buch/papers/kra/loesung.tex +++ b/buch/papers/kra/loesung.tex @@ -1,11 +1,53 @@ \section{Lösungsmethoden} \label{kra:section:loesung} \rhead{Lösungsmethoden} -% @TODO Lösung normal riccati -Lösung der Riccatischen Differentialgleichung \ref{kra:riccati}. +\subsection{Riccatische Differentialgleichung} \label{kra:loesung:riccati} +Eine allgemeine analytische Lösung der Riccati Differentialgleichung ist nicht möglich. +Es gibt aber Spezialfälle, in denen sich die Gleichung vereinfachen lässt und so eine analytische Lösung gefunden werden kann. +Diese wollen wir im folgenden Abschnitt genauer anschauen. +\subsubsection{Fall 1: Konstante Koeffizienten} +Sind die Koeffizienten $f(x), g(x), h(x)$ Konstanten, so lässt sich die DGL separieren und reduziert sich auf die Lösung des Integrals \ref{kra:equation:case1_int}. +\begin{equation} + y' = fy^2 + gy + h +\end{equation} +\begin{equation} + \frac{dy}{dx} = fy^2 + gy + h +\end{equation} +\begin{equation} \label{kra:equation:case1_int} + \int \frac{dy}{fy^2 + gy + h} = \int dx +\end{equation} + +\subsubsection{Fall 2: Bekannte spezielle Lösung} +Kennt man eine spezielle Lösung $y_p$ so kann die riccatische DGL mit Hilfe einer Substitution auf eine lineare Gleichung reduziert werden. +Wir wählen als Substitution +\begin{equation} \label{kra:equation:substitution} + z = \frac{1}{y - y_p} +\end{equation} +durch Umstellen von \ref{kra:equation:substitution} folgt +\begin{equation} + y = y_p + \frac{1}{z^2} \label{kra:equation:backsubstitution} +\end{equation} +\begin{equation} + y' = y_p' - \frac{1}{z^2}z' +\end{equation} +mit Einsetzten in die DGL \ref{kra:equation:riccati} folgt +\begin{equation} + y_p' - \frac{1}{z^2}z' = f(x)(y_p + \frac{1}{z}) + g(x)(y_p + \frac{1}{z})^2 + h(x) +\end{equation} +\begin{equation} + -z^{2}y_p' + z' = -z^2\underbrace{(y_{p}f(x) + g(x)y_p^2 + h(x))}_{y_p'} - z(f(x) + 2y_{p}g(x)) - g(x) +\end{equation} +was uns direkt auf eine lineare Differentialgleichung 1.Ordnung führt. +\begin{equation} + z' = -z(f(x) + 2y_{p}g(x)) - g(x) +\end{equation} +Diese kann nun mit den Methoden zur Lösung von linearen Differentialgleichungen 1.Ordnung gelöst werden. +Durch die Rücksubstitution \ref{kra:equation:backsubstitution} erhält man dann die Lösung von \ref{kra:equation:riccati}. + +\subsection{Matrix-Riccati Differentialgleichung} \label{kra:loesung:riccati} % Lösung matrix riccati -Die Lösung der Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:matrixriccati} erhalten wir nach \cite{kra:kalmanisae} folgendermassen +Die Lösung der Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} erhalten wir nach \cite{kra:kalmanisae} folgendermassen \begin{equation} \label{kra:matrixriccati-solution} \begin{pmatrix} @@ -28,7 +70,6 @@ Die Lösung der Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:matrixriccati} erhalten wir na U_0(t) \end{pmatrix} \end{equation} - \begin{equation} U(t) = \begin{pmatrix} @@ -39,9 +80,7 @@ Die Lösung der Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:matrixriccati} erhalten wir na \end{pmatrix} ^{-1} \end{equation} - -wobei $\Phi(t, t_0)$ die sogennante Zustandsübergangsmatrix ist. - +wobei $\Phi(t, t_0)$ die sogenannte Zustandsübergangsmatrix ist. \begin{equation} \Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)} \end{equation} diff --git a/buch/papers/kra/references.bib b/buch/papers/kra/references.bib index 7f972ec..a9a8ede 100644 --- a/buch/papers/kra/references.bib +++ b/buch/papers/kra/references.bib @@ -4,6 +4,19 @@ % (c) 2020 Autor, Hochschule Rapperswil % +@misc{kra:riccati, +title = {Riccatische Differentialgleichung}, +url = {https://de.wikipedia.org/wiki/Riccatische_Differentialgleichung}, +date = {2022-05-26} +} + +@misc{kra:ethz, +author = {Ch. Roduner}, +title = {Die-Riccati-Gleichung}, +url = {https://www.imrtweb.ethz.ch/users/geering/Riccati.pdf}, +date = {2022-05-26} +} + @online{kra:hamilton, title = {Hamilton-Funktion}, url = {https://de.wikipedia.org/wiki/Hamilton-Funktion}, @@ -28,3 +41,5 @@ url = {https://pagespro.isae-supaero.fr/IMG/pdf/introKalman_e_151211.pdf}, date = {2022-05-26} } + + -- cgit v1.2.1 From ac66147d7ac9b65ead1946ea4e72d681fc4abcf4 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "samuel.niederer" Date: Sat, 13 Aug 2022 18:55:22 +0200 Subject: remove dev file --- buch/papers/kra/test.tex | 12 ------------ 1 file changed, 12 deletions(-) delete mode 100644 buch/papers/kra/test.tex (limited to 'buch') diff --git a/buch/papers/kra/test.tex b/buch/papers/kra/test.tex deleted file mode 100644 index ebe0aa0..0000000 --- a/buch/papers/kra/test.tex +++ /dev/null @@ -1,12 +0,0 @@ -\begin{figure} - \input{papers/kra/images/phase_space.tex} - % \begin{minipage}{.45\textwidth} - % \input{papers/kra/images/phase_space_small_omega.tex} - % \end{minipage} - % \begin{minipage}{.45\textwidth} - % \input{papers/kra/images/phase_space_large_omega.tex} - % \end{minipage} - % \begin{minipage}[.5\textwidth] - % \input{papers/kra/images/phase_space_large_omega.tex} - % \end{minipage} -\end{figure} \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1