From f144be56b0c7ec03f74c46928b1354a959a59246 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Sun, 22 May 2022 13:36:59 +0200 Subject: add hermite application presentation --- vorlesungen/slides/hermite/Makefile.inc | 5 ++ vorlesungen/slides/hermite/hermiteentwicklung.tex | 69 ++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/hermite/loesung.tex | 56 +++++++++++++++ vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex | 88 +++++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/hermite/normalintegrale.tex | 54 ++++++++++++++ vorlesungen/slides/hermite/skalarprodukt.tex | 72 +++++++++++++++++++ 6 files changed, 344 insertions(+) create mode 100644 vorlesungen/slides/hermite/hermiteentwicklung.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/hermite/loesung.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/hermite/normalintegrale.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/hermite/skalarprodukt.tex (limited to 'vorlesungen/slides/hermite') diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/hermite/Makefile.inc index 5c55467..58c21f2 100644 --- a/vorlesungen/slides/hermite/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/hermite/Makefile.inc @@ -4,4 +4,9 @@ # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # chapterhermite = \ + ../slides/hermite/normalintegrale.tex \ + ../slides/hermite/normalhermite.tex \ + ../slides/hermite/hermiteentwicklung.tex \ + ../slides/hermite/loesung.tex \ + ../slides/hermite/skalarprodukt.tex \ ../slides/hermite/test.tex diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/hermiteentwicklung.tex b/vorlesungen/slides/hermite/hermiteentwicklung.tex new file mode 100644 index 0000000..e1ced30 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/hermite/hermiteentwicklung.tex @@ -0,0 +1,69 @@ +% +% hermiteentwicklung.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Beliebige Polynome} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Polynom} +\[ +P(x) += +p_0 + p_1x + p_2x^2 + \dots + p_nx^n +\] +als Linearkombination von Hermite-Polynome schreiben: +\begin{align*} +P(x) +&= +a_0H_0(x)% + a_1H_1(x) ++ \dots + a_nH_n(x) +\\ +&= +a_0\cdot 1 +\\ +&\quad + a_1\cdot 2x +\\ +&\quad + a_2\cdot(4x^2-2) +\\ +&\quad + a_3\cdot(8x^3-12x) +\\ +&\quad + a_4\cdot(16x^4-48x^2+12) +\\ +&\quad\;\;\vdots +\\ +&\quad + a_n(2^nx^n + \dots) +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Koeffizientenvergleich} +führt auf ein Gleichungssystem +\begin{center} +\begin{tabular}{|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} +\hline +a_0&a_1&a_2&a_3&a_4&\dots&\\ +\hline + 1& 0& 0& 0& 0&\dots&p_0\\ + 0& 2& 0& 0& 0&\dots&p_1\\ +-2& 0& 4& 0& 0&\dots&p_2\\ + 0&-12& 0& 8& 0&\dots&p_3\\ +12& 0&-48& 0& 16&\dots&p_4\\ +\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ +\hline +\end{tabular} +\end{center} +Dreiecksmatrix, Diagonalelement +$\ne 0$ +$\Rightarrow$ +$\exists$ eindeutige Lösung +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/loesung.tex b/vorlesungen/slides/hermite/loesung.tex new file mode 100644 index 0000000..7d4741f --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/hermite/loesung.tex @@ -0,0 +1,56 @@ +% +% loesung.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Lösung} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Frage} +Für welche Polynome $P(t)$ kann man eine Stammfunktion +\[ +\int +P(t)e^{-\frac{t^2}2} +\,dt +\] +in geschlossener Form angeben? +\end{block} +\begin{block}{``Hermite-Antwort''} +\[ +\int H_n(x)e^{-x^2}\,dx +\] +kann genau für $n>0$ in geschlossener Form angegeben werden. +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Allgemein} +\begin{align*} +\int P(x)e^{-x^2}\,dx +&= +\int \sum_{k=0}^n a_kH_k(x)e^{-x^2}\,dx +\\ +&= +\sum_{k=0}^n +a_k +\int +H_k(x)e^{-x^2}\,dx +\\ +&= +a_0\operatorname{erf}(x) + C +\\ +&\hspace*{2mm} + \sum_{k=1}^n a_k\int H_k(x)e^{-x^2}\,dx +\end{align*} +\end{block} +\begin{theorem} +Das Integral von $P(x)e^{-x^2}$ ist genau dann elementar darstellbar, wenn +$a_0=0$ +\end{theorem} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex b/vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex new file mode 100644 index 0000000..bcd30f2 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex @@ -0,0 +1,88 @@ +% +% normalhermite.tex -- integrability of hermite polynomials +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Hermite-Polynome} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Definition (Rodrigues-Formel)} +\[ +H_n(x) += +(-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2} +\] +\end{block} +\vspace{-10pt} +\begin{block}{Orthogonalität} +$H_n(x)$ sind orthogonale Polynome bezüglich $w(x)=e^{-x^2}$, d.~h. +\begin{align*} +\langle H_n,H_m\rangle_w +&= +\int H_n(x)H_m(x)e^{-x^2}\,dx +\\ +&= +\biggl\{ +\renewcommand{\arraycolsep}{1pt} +\begin{array}{l@{\quad}l} +1&\text{falls $n=m$}\\ +0&\text{sonst} +\end{array} +\biggr\} += +\delta_{mn} +\end{align*} +\end{block} +\vspace{-10pt} +\begin{block}{Rekursion: Auf-/Absteigeoperatoren} +Rekursionsformel: +\[ +H_n(x) += +2x\cdot H_{n-1}(x) - H_{n-1}'(x) +\] +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Stammfunktion} +\begin{align*} +\int H_n(x) e^{-x^2}\,dx +&= +\int \bigl({\color{red}2x}H_{n-1}(x) +\\ +&\qquad -H_{n-1}'(x)\bigr) e^{-x^2}\,dx +\\ +{\color{gray}(e^{-x^2}=-2x)} +&= +{\color{red}-}\int {\color{red}(e^{-x^2})'} H_{n-1}(x)\,dx +\\ +&\qquad +- +\int H_{n-1}'(x) e^{-x^2}\,dx +\\ +\text{\color{gray}(Produktregel)} +&= +\int (e^{-x^2}H_{n-1}(x))'\,dx +\\ +\text{\color{gray}(Ableitung)} +&= +e^{-x^2}H_{n-1}(x) +\end{align*} +ausser für $n=0$: +\[ +\int +H_0(x)e^{-x^2}\,dx += +\int +e^{-x^2}\,dx +\] +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/normalintegrale.tex b/vorlesungen/slides/hermite/normalintegrale.tex new file mode 100644 index 0000000..88abbe8 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/hermite/normalintegrale.tex @@ -0,0 +1,54 @@ +% +% normalintegrale.tex -- +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Integranden $P(t)e^{-t^2}$} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Frage} +Für welche Polynome $P(t)$ kann man eine Stammfunktion +\[ +\int +P(t)e^{-t^2} +\,dt +\] +in geschlossener Form angeben? +\end{block} +\begin{block}{Allgemeine Antwort} +Satz von Liouville und +Risch- Algorithmus können entscheiden, ob es eine elementare Stammfunktion gibt +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Negativbeispiel} +$P(t) = 1$, das Normalverteilungsintegral +\[ +F(x) += +\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-t^2}\,dt +\] +ist nicht elementar darstellbar. +\end{block} +\begin{block}{Positivbeispiel} +$P(t)=t$. Wegen +\begin{align*} +\frac{d}{dx}e^{-x^2} +&= +-xe^{-x^2} +\intertext{ist} +\int te^{-t^2}\,dt +&= +-e^{-x^2}+C +\end{align*} +elementar darstellbar. +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/skalarprodukt.tex b/vorlesungen/slides/hermite/skalarprodukt.tex new file mode 100644 index 0000000..32b933f --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/hermite/skalarprodukt.tex @@ -0,0 +1,72 @@ +% +% skalarprodukt.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Skalarprodukt} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Orthogonale Zerlegung} +Orthogonale $H_k$ normalisieren: +\[ +\tilde{H}_k(x) = \frac{1}{\|H_k\|_w} H_k(x) +\] +mit Gewichtsfunktion $w(x)=e^{-x^2}$ +\end{block} +\begin{block}{``Hermite''-Analyse} +\begin{align*} +P(x) +&= +\sum_{k=1}^\infty a_k H_k(x) += +\sum_{k=1}^\infty \tilde{a}_k \tilde{H}_k(x) +\\ +\tilde{a}_k +&= +\| H_k\|_w\, a_k +\\ +a_k +&= +\frac{1}{\|H_k\|} +\langle \tilde{H}_k, P\rangle_w += +\frac{1}{\|H_k\|^2} +\langle H_k, P\rangle_w +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Integrationsproblem} +Bedingung: +\begin{align*} +a_0=0 +\qquad\Leftrightarrow\qquad +\langle H_0,P\rangle_w +&= +0 +\\ +\int_{-\infty}^\infty +P(t) w(t) \,dt += +\int_{-\infty}^\infty +P(t) e^{-t^2} \,dt +&= +0 +\end{align*} +\end{block} +\begin{theorem} +Das Integral von $P(t)e^{-t^2}$ ist in geschlossener Form darstellbar +genau dann, wenn +\[ +\int_{-\infty}^\infty P(t)e^{-t^2}\,dt = 0 +\] +\end{theorem} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup -- cgit v1.2.1 From 1b887f44b5ec310f00184c916623d59abcf6e14d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Sun, 22 May 2022 15:21:28 +0200 Subject: typo --- vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'vorlesungen/slides/hermite') diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex b/vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex index bcd30f2..16a314c 100644 --- a/vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex +++ b/vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex @@ -57,7 +57,7 @@ H_n(x) \\ &\qquad -H_{n-1}'(x)\bigr) e^{-x^2}\,dx \\ -{\color{gray}(e^{-x^2}=-2x)} +{\color{gray}((e^{-x^2})'=-2x)} &= {\color{red}-}\int {\color{red}(e^{-x^2})'} H_{n-1}(x)\,dx \\ -- cgit v1.2.1 From 83d215597b5df724022de2a08ae1dfa1e8d59497 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 2 Jun 2022 23:01:38 +0200 Subject: phases --- vorlesungen/slides/hermite/hermiteentwicklung.tex | 15 +++++++----- vorlesungen/slides/hermite/loesung.tex | 19 +++++++++++---- vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex | 29 +++++++++++++++++------ vorlesungen/slides/hermite/normalintegrale.tex | 9 ++++--- vorlesungen/slides/hermite/skalarprodukt.tex | 22 ++++++++++++----- 5 files changed, 67 insertions(+), 27 deletions(-) (limited to 'vorlesungen/slides/hermite') diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/hermiteentwicklung.tex b/vorlesungen/slides/hermite/hermiteentwicklung.tex index e1ced30..5f6e1c9 100644 --- a/vorlesungen/slides/hermite/hermiteentwicklung.tex +++ b/vorlesungen/slides/hermite/hermiteentwicklung.tex @@ -17,6 +17,7 @@ P(x) = p_0 + p_1x + p_2x^2 + \dots + p_nx^n \] +\uncover<2->{% als Linearkombination von Hermite-Polynome schreiben: \begin{align*} P(x) @@ -38,10 +39,11 @@ a_0\cdot 1 &\quad\;\;\vdots \\ &\quad + a_n(2^nx^n + \dots) -\end{align*} +\end{align*}} \end{block} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<3->{% \begin{block}{Koeffizientenvergleich} führt auf ein Gleichungssystem \begin{center} @@ -58,11 +60,12 @@ a_0&a_1&a_2&a_3&a_4&\dots&\\ \hline \end{tabular} \end{center} -Dreiecksmatrix, Diagonalelement -$\ne 0$ -$\Rightarrow$ -$\exists$ eindeutige Lösung -\end{block} +\uncover<4->{% +Dreiecksmatrix}\uncover<5->{, Diagonalelement +$\ne 0$} +\uncover<6->{$\Rightarrow$ +$\exists$ eindeutige Lösung} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/loesung.tex b/vorlesungen/slides/hermite/loesung.tex index 7d4741f..68ee32e 100644 --- a/vorlesungen/slides/hermite/loesung.tex +++ b/vorlesungen/slides/hermite/loesung.tex @@ -20,36 +20,45 @@ P(t)e^{-\frac{t^2}2} \] in geschlossener Form angeben? \end{block} +\uncover<2->{% \begin{block}{``Hermite-Antwort''} \[ \int H_n(x)e^{-x^2}\,dx \] kann genau für $n>0$ in geschlossener Form angegeben werden. -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<3->{% \begin{block}{Allgemein} \begin{align*} \int P(x)e^{-x^2}\,dx -&= -\int \sum_{k=0}^n a_kH_k(x)e^{-x^2}\,dx +&\uncover<4->{= +\int \sum_{k=0}^n a_kH_k(x)e^{-x^2}\,dx} \\ +\uncover<5->{ &= \sum_{k=0}^n a_k \int H_k(x)e^{-x^2}\,dx +} \\ +\uncover<6->{ &= a_0\operatorname{erf}(x) + C +} \\ +\uncover<6->{ &\hspace*{2mm} + \sum_{k=1}^n a_k\int H_k(x)e^{-x^2}\,dx +} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} +\uncover<7->{% \begin{theorem} Das Integral von $P(x)e^{-x^2}$ ist genau dann elementar darstellbar, wenn $a_0=0$ -\end{theorem} +\end{theorem}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex b/vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex index 16a314c..98721dc 100644 --- a/vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex +++ b/vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex @@ -19,6 +19,7 @@ H_n(x) \] \end{block} \vspace{-10pt} +\uncover<2->{% \begin{block}{Orthogonalität} $H_n(x)$ sind orthogonale Polynome bezüglich $w(x)=e^{-x^2}$, d.~h. \begin{align*} @@ -37,8 +38,9 @@ $H_n(x)$ sind orthogonale Polynome bezüglich $w(x)=e^{-x^2}$, d.~h. = \delta_{mn} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \vspace{-10pt} +\uncover<3->{% \begin{block}{Rekursion: Auf-/Absteigeoperatoren} Rekursionsformel: \[ @@ -46,33 +48,46 @@ H_n(x) = 2x\cdot H_{n-1}(x) - H_{n-1}'(x) \] -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<4->{% \begin{block}{Stammfunktion} \begin{align*} -\int H_n(x) e^{-x^2}\,dx -&= -\int \bigl({\color{red}2x}H_{n-1}(x) +\uncover<4->{ +\int H_n(x) e^{-x^2}\,dx} +&\uncover<5->{= +\int \bigl({\color{red}2x}H_{n-1}(x)} \\ +\uncover<5->{ &\qquad -H_{n-1}'(x)\bigr) e^{-x^2}\,dx +} \\ +\uncover<6->{ {\color{gray}((e^{-x^2})'=-2x)} &= {\color{red}-}\int {\color{red}(e^{-x^2})'} H_{n-1}(x)\,dx +} \\ +\uncover<6->{ &\qquad - \int H_{n-1}'(x) e^{-x^2}\,dx +} \\ +\uncover<7->{ \text{\color{gray}(Produktregel)} &= \int (e^{-x^2}H_{n-1}(x))'\,dx +} \\ +\uncover<8->{ \text{\color{gray}(Ableitung)} &= e^{-x^2}H_{n-1}(x) +} \end{align*} +\uncover<9->{% ausser für $n=0$: \[ \int @@ -80,8 +95,8 @@ H_0(x)e^{-x^2}\,dx = \int e^{-x^2}\,dx -\] -\end{block} +\]} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/normalintegrale.tex b/vorlesungen/slides/hermite/normalintegrale.tex index 88abbe8..32333cd 100644 --- a/vorlesungen/slides/hermite/normalintegrale.tex +++ b/vorlesungen/slides/hermite/normalintegrale.tex @@ -20,12 +20,14 @@ P(t)e^{-t^2} \] in geschlossener Form angeben? \end{block} +\uncover<4->{% \begin{block}{Allgemeine Antwort} Satz von Liouville und Risch- Algorithmus können entscheiden, ob es eine elementare Stammfunktion gibt -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<2->{% \begin{block}{Negativbeispiel} $P(t) = 1$, das Normalverteilungsintegral \[ @@ -34,7 +36,8 @@ F(x) \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-t^2}\,dt \] ist nicht elementar darstellbar. -\end{block} +\end{block}} +\uncover<3->{% \begin{block}{Positivbeispiel} $P(t)=t$. Wegen \begin{align*} @@ -47,7 +50,7 @@ $P(t)=t$. Wegen -e^{-x^2}+C \end{align*} elementar darstellbar. -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/skalarprodukt.tex b/vorlesungen/slides/hermite/skalarprodukt.tex index 32b933f..a51e9f6 100644 --- a/vorlesungen/slides/hermite/skalarprodukt.tex +++ b/vorlesungen/slides/hermite/skalarprodukt.tex @@ -18,6 +18,7 @@ Orthogonale $H_k$ normalisieren: \] mit Gewichtsfunktion $w(x)=e^{-x^2}$ \end{block} +\uncover<2->{% \begin{block}{``Hermite''-Analyse} \begin{align*} P(x) @@ -26,46 +27,55 @@ P(x) = \sum_{k=1}^\infty \tilde{a}_k \tilde{H}_k(x) \\ +\uncover<3->{ \tilde{a}_k &= \| H_k\|_w\, a_k +} \\ +\uncover<4->{ a_k &= \frac{1}{\|H_k\|} \langle \tilde{H}_k, P\rangle_w -= +}\uncover<5->{= \frac{1}{\|H_k\|^2} \langle H_k, P\rangle_w +} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<6->{% \begin{block}{Integrationsproblem} Bedingung: \begin{align*} a_0=0 +\uncover<7->{% \qquad\Leftrightarrow\qquad \langle H_0,P\rangle_w &= -0 +0} \\ +\uncover<8->{% \int_{-\infty}^\infty P(t) w(t) \,dt +}\uncover<9->{% = \int_{-\infty}^\infty P(t) e^{-t^2} \,dt &= -0 +0} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} +\uncover<10->{% \begin{theorem} Das Integral von $P(t)e^{-t^2}$ ist in geschlossener Form darstellbar genau dann, wenn \[ \int_{-\infty}^\infty P(t)e^{-t^2}\,dt = 0 \] -\end{theorem} +\end{theorem}} \end{column} \end{columns} \end{frame} -- cgit v1.2.1