From f144be56b0c7ec03f74c46928b1354a959a59246 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Sun, 22 May 2022 13:36:59 +0200 Subject: add hermite application presentation --- vorlesungen/18_hermiteintegrierbar/Makefile | 33 ++++++++ .../MathSem-18-hermiteintegrierbar.tex | 14 ++++ vorlesungen/18_hermiteintegrierbar/common.tex | 17 +++++ .../hermiteintegrierbar-handout.tex | 11 +++ vorlesungen/18_hermiteintegrierbar/slides.tex | 11 +++ vorlesungen/slides/hermite/Makefile.inc | 5 ++ vorlesungen/slides/hermite/hermiteentwicklung.tex | 69 +++++++++++++++++ vorlesungen/slides/hermite/loesung.tex | 56 ++++++++++++++ vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex | 88 ++++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/hermite/normalintegrale.tex | 54 +++++++++++++ vorlesungen/slides/hermite/skalarprodukt.tex | 72 ++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/test.tex | 6 +- 12 files changed, 435 insertions(+), 1 deletion(-) create mode 100644 vorlesungen/18_hermiteintegrierbar/Makefile create mode 100644 vorlesungen/18_hermiteintegrierbar/MathSem-18-hermiteintegrierbar.tex create mode 100644 vorlesungen/18_hermiteintegrierbar/common.tex create mode 100644 vorlesungen/18_hermiteintegrierbar/hermiteintegrierbar-handout.tex create mode 100644 vorlesungen/18_hermiteintegrierbar/slides.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/hermite/hermiteentwicklung.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/hermite/loesung.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/hermite/normalintegrale.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/hermite/skalarprodukt.tex (limited to 'vorlesungen') diff --git a/vorlesungen/18_hermiteintegrierbar/Makefile b/vorlesungen/18_hermiteintegrierbar/Makefile new file mode 100644 index 0000000..a2dfb87 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/18_hermiteintegrierbar/Makefile @@ -0,0 +1,33 @@ +# +# Makefile -- hermiteintegrierbar +# +# (c) 2017 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +# +all: hermiteintegrierbar-handout.pdf MathSem-18-hermiteintegrierbar.pdf + +include ../slides/Makefile.inc + +SOURCES = common.tex slides.tex $(slides) + +MathSem-18-hermiteintegrierbar.pdf: MathSem-18-hermiteintegrierbar.tex $(SOURCES) + pdflatex MathSem-18-hermiteintegrierbar.tex + +hermiteintegrierbar-handout.pdf: hermiteintegrierbar-handout.tex $(SOURCES) + pdflatex hermiteintegrierbar-handout.tex + +thumbnail: thumbnail.jpg # fix1.jpg + +thumbnail.pdf: MathSem-18-hermiteintegrierbar.pdf + pdfjam --outfile thumbnail.pdf --papersize '{16cm,9cm}' \ + MathSem-18-hermiteintegrierbar.pdf 1 +thumbnail.jpg: thumbnail.pdf + convert -density 300 thumbnail.pdf \ + -resize 1920x1080 -units PixelsPerInch thumbnail.jpg + +fix1.pdf: MathSem-18-hermiteintegrierbar.pdf + pdfjam --outfile fix1.pdf --papersize '{16cm,9cm}' \ + MathSem-18-hermiteintegrierbar.pdf 1 +fix1.jpg: fix1.pdf + convert -density 300 fix1.pdf \ + -resize 1920x1080 -units PixelsPerInch fix1.jpg + diff --git a/vorlesungen/18_hermiteintegrierbar/MathSem-18-hermiteintegrierbar.tex b/vorlesungen/18_hermiteintegrierbar/MathSem-18-hermiteintegrierbar.tex new file mode 100644 index 0000000..7a3a647 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/18_hermiteintegrierbar/MathSem-18-hermiteintegrierbar.tex @@ -0,0 +1,14 @@ +% +% MathSem-18-hermiteintegrierbar.tex -- Präsentation +% +% (c) 2017 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\documentclass[aspectratio=169]{beamer} +\input{common.tex} +\setboolean{presentation}{true} +\begin{document} +\begin{frame} +\titlepage +\end{frame} +\input{slides.tex} +\end{document} diff --git a/vorlesungen/18_hermiteintegrierbar/common.tex b/vorlesungen/18_hermiteintegrierbar/common.tex new file mode 100644 index 0000000..8b1c71f --- /dev/null +++ b/vorlesungen/18_hermiteintegrierbar/common.tex @@ -0,0 +1,17 @@ +% +% common.tex -- gemeinsame definition +% +% (c) 2017 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\input{../common/packages.tex} +\input{../common/common.tex} +\mode{% +\usetheme[hideothersubsections,hidetitle]{Hannover} +} +\beamertemplatenavigationsymbolsempty +\title[$\int P(t)e^{-t^2}\,dt$]{Elementare Stammfunktion für +$\displaystyle\int P(t)e^{-t^2}\,dt$?} +\author[A.~Müller]{Prof. Dr. Andreas Müller} +\date[]{} +\newboolean{presentation} + diff --git a/vorlesungen/18_hermiteintegrierbar/hermiteintegrierbar-handout.tex b/vorlesungen/18_hermiteintegrierbar/hermiteintegrierbar-handout.tex new file mode 100644 index 0000000..a466024 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/18_hermiteintegrierbar/hermiteintegrierbar-handout.tex @@ -0,0 +1,11 @@ +% +% hermiteintegrierbar-handout.tex -- Handout XXX +% +% (c) 2017 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\documentclass[handout,aspectratio=169]{beamer} +\input{common.tex} +\setboolean{presentation}{false} +\begin{document} +\input{slides.tex} +\end{document} diff --git a/vorlesungen/18_hermiteintegrierbar/slides.tex b/vorlesungen/18_hermiteintegrierbar/slides.tex new file mode 100644 index 0000000..cb3bbea --- /dev/null +++ b/vorlesungen/18_hermiteintegrierbar/slides.tex @@ -0,0 +1,11 @@ +% +% slides.tex -- XXX +% +% (c) 2017 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\folie{hermite/normalintegrale.tex} +\folie{hermite/normalhermite.tex} +\folie{hermite/hermiteentwicklung.tex} +\folie{hermite/loesung.tex} +\folie{hermite/skalarprodukt.tex} + diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/hermite/Makefile.inc index 5c55467..58c21f2 100644 --- a/vorlesungen/slides/hermite/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/hermite/Makefile.inc @@ -4,4 +4,9 @@ # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # chapterhermite = \ + ../slides/hermite/normalintegrale.tex \ + ../slides/hermite/normalhermite.tex \ + ../slides/hermite/hermiteentwicklung.tex \ + ../slides/hermite/loesung.tex \ + ../slides/hermite/skalarprodukt.tex \ ../slides/hermite/test.tex diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/hermiteentwicklung.tex b/vorlesungen/slides/hermite/hermiteentwicklung.tex new file mode 100644 index 0000000..e1ced30 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/hermite/hermiteentwicklung.tex @@ -0,0 +1,69 @@ +% +% hermiteentwicklung.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Beliebige Polynome} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Polynom} +\[ +P(x) += +p_0 + p_1x + p_2x^2 + \dots + p_nx^n +\] +als Linearkombination von Hermite-Polynome schreiben: +\begin{align*} +P(x) +&= +a_0H_0(x)% + a_1H_1(x) ++ \dots + a_nH_n(x) +\\ +&= +a_0\cdot 1 +\\ +&\quad + a_1\cdot 2x +\\ +&\quad + a_2\cdot(4x^2-2) +\\ +&\quad + a_3\cdot(8x^3-12x) +\\ +&\quad + a_4\cdot(16x^4-48x^2+12) +\\ +&\quad\;\;\vdots +\\ +&\quad + a_n(2^nx^n + \dots) +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Koeffizientenvergleich} +führt auf ein Gleichungssystem +\begin{center} +\begin{tabular}{|>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}r<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|} +\hline +a_0&a_1&a_2&a_3&a_4&\dots&\\ +\hline + 1& 0& 0& 0& 0&\dots&p_0\\ + 0& 2& 0& 0& 0&\dots&p_1\\ +-2& 0& 4& 0& 0&\dots&p_2\\ + 0&-12& 0& 8& 0&\dots&p_3\\ +12& 0&-48& 0& 16&\dots&p_4\\ +\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ +\hline +\end{tabular} +\end{center} +Dreiecksmatrix, Diagonalelement +$\ne 0$ +$\Rightarrow$ +$\exists$ eindeutige Lösung +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/loesung.tex b/vorlesungen/slides/hermite/loesung.tex new file mode 100644 index 0000000..7d4741f --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/hermite/loesung.tex @@ -0,0 +1,56 @@ +% +% loesung.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Lösung} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Frage} +Für welche Polynome $P(t)$ kann man eine Stammfunktion +\[ +\int +P(t)e^{-\frac{t^2}2} +\,dt +\] +in geschlossener Form angeben? +\end{block} +\begin{block}{``Hermite-Antwort''} +\[ +\int H_n(x)e^{-x^2}\,dx +\] +kann genau für $n>0$ in geschlossener Form angegeben werden. +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Allgemein} +\begin{align*} +\int P(x)e^{-x^2}\,dx +&= +\int \sum_{k=0}^n a_kH_k(x)e^{-x^2}\,dx +\\ +&= +\sum_{k=0}^n +a_k +\int +H_k(x)e^{-x^2}\,dx +\\ +&= +a_0\operatorname{erf}(x) + C +\\ +&\hspace*{2mm} + \sum_{k=1}^n a_k\int H_k(x)e^{-x^2}\,dx +\end{align*} +\end{block} +\begin{theorem} +Das Integral von $P(x)e^{-x^2}$ ist genau dann elementar darstellbar, wenn +$a_0=0$ +\end{theorem} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex b/vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex new file mode 100644 index 0000000..bcd30f2 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex @@ -0,0 +1,88 @@ +% +% normalhermite.tex -- integrability of hermite polynomials +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Hermite-Polynome} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Definition (Rodrigues-Formel)} +\[ +H_n(x) += +(-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2} +\] +\end{block} +\vspace{-10pt} +\begin{block}{Orthogonalität} +$H_n(x)$ sind orthogonale Polynome bezüglich $w(x)=e^{-x^2}$, d.~h. +\begin{align*} +\langle H_n,H_m\rangle_w +&= +\int H_n(x)H_m(x)e^{-x^2}\,dx +\\ +&= +\biggl\{ +\renewcommand{\arraycolsep}{1pt} +\begin{array}{l@{\quad}l} +1&\text{falls $n=m$}\\ +0&\text{sonst} +\end{array} +\biggr\} += +\delta_{mn} +\end{align*} +\end{block} +\vspace{-10pt} +\begin{block}{Rekursion: Auf-/Absteigeoperatoren} +Rekursionsformel: +\[ +H_n(x) += +2x\cdot H_{n-1}(x) - H_{n-1}'(x) +\] +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Stammfunktion} +\begin{align*} +\int H_n(x) e^{-x^2}\,dx +&= +\int \bigl({\color{red}2x}H_{n-1}(x) +\\ +&\qquad -H_{n-1}'(x)\bigr) e^{-x^2}\,dx +\\ +{\color{gray}(e^{-x^2}=-2x)} +&= +{\color{red}-}\int {\color{red}(e^{-x^2})'} H_{n-1}(x)\,dx +\\ +&\qquad +- +\int H_{n-1}'(x) e^{-x^2}\,dx +\\ +\text{\color{gray}(Produktregel)} +&= +\int (e^{-x^2}H_{n-1}(x))'\,dx +\\ +\text{\color{gray}(Ableitung)} +&= +e^{-x^2}H_{n-1}(x) +\end{align*} +ausser für $n=0$: +\[ +\int +H_0(x)e^{-x^2}\,dx += +\int +e^{-x^2}\,dx +\] +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/normalintegrale.tex b/vorlesungen/slides/hermite/normalintegrale.tex new file mode 100644 index 0000000..88abbe8 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/hermite/normalintegrale.tex @@ -0,0 +1,54 @@ +% +% normalintegrale.tex -- +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Integranden $P(t)e^{-t^2}$} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Frage} +Für welche Polynome $P(t)$ kann man eine Stammfunktion +\[ +\int +P(t)e^{-t^2} +\,dt +\] +in geschlossener Form angeben? +\end{block} +\begin{block}{Allgemeine Antwort} +Satz von Liouville und +Risch- Algorithmus können entscheiden, ob es eine elementare Stammfunktion gibt +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Negativbeispiel} +$P(t) = 1$, das Normalverteilungsintegral +\[ +F(x) += +\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-t^2}\,dt +\] +ist nicht elementar darstellbar. +\end{block} +\begin{block}{Positivbeispiel} +$P(t)=t$. Wegen +\begin{align*} +\frac{d}{dx}e^{-x^2} +&= +-xe^{-x^2} +\intertext{ist} +\int te^{-t^2}\,dt +&= +-e^{-x^2}+C +\end{align*} +elementar darstellbar. +\end{block} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/skalarprodukt.tex b/vorlesungen/slides/hermite/skalarprodukt.tex new file mode 100644 index 0000000..32b933f --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/hermite/skalarprodukt.tex @@ -0,0 +1,72 @@ +% +% skalarprodukt.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Skalarprodukt} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Orthogonale Zerlegung} +Orthogonale $H_k$ normalisieren: +\[ +\tilde{H}_k(x) = \frac{1}{\|H_k\|_w} H_k(x) +\] +mit Gewichtsfunktion $w(x)=e^{-x^2}$ +\end{block} +\begin{block}{``Hermite''-Analyse} +\begin{align*} +P(x) +&= +\sum_{k=1}^\infty a_k H_k(x) += +\sum_{k=1}^\infty \tilde{a}_k \tilde{H}_k(x) +\\ +\tilde{a}_k +&= +\| H_k\|_w\, a_k +\\ +a_k +&= +\frac{1}{\|H_k\|} +\langle \tilde{H}_k, P\rangle_w += +\frac{1}{\|H_k\|^2} +\langle H_k, P\rangle_w +\end{align*} +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{block}{Integrationsproblem} +Bedingung: +\begin{align*} +a_0=0 +\qquad\Leftrightarrow\qquad +\langle H_0,P\rangle_w +&= +0 +\\ +\int_{-\infty}^\infty +P(t) w(t) \,dt += +\int_{-\infty}^\infty +P(t) e^{-t^2} \,dt +&= +0 +\end{align*} +\end{block} +\begin{theorem} +Das Integral von $P(t)e^{-t^2}$ ist in geschlossener Form darstellbar +genau dann, wenn +\[ +\int_{-\infty}^\infty P(t)e^{-t^2}\,dt = 0 +\] +\end{theorem} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/test.tex b/vorlesungen/slides/test.tex index 6aa09f8..ca4ccc9 100644 --- a/vorlesungen/slides/test.tex +++ b/vorlesungen/slides/test.tex @@ -3,4 +3,8 @@ % % (c) 2019 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\folie{0/intro.tex} +\folie{hermite/normalintegrale.tex} +\folie{hermite/normalhermite.tex} +\folie{hermite/hermiteentwicklung.tex} +\folie{hermite/loesung.tex} +\folie{hermite/skalarprodukt.tex} -- cgit v1.2.1 From 1b887f44b5ec310f00184c916623d59abcf6e14d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Sun, 22 May 2022 15:21:28 +0200 Subject: typo --- vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'vorlesungen') diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex b/vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex index bcd30f2..16a314c 100644 --- a/vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex +++ b/vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex @@ -57,7 +57,7 @@ H_n(x) \\ &\qquad -H_{n-1}'(x)\bigr) e^{-x^2}\,dx \\ -{\color{gray}(e^{-x^2}=-2x)} +{\color{gray}((e^{-x^2})'=-2x)} &= {\color{red}-}\int {\color{red}(e^{-x^2})'} H_{n-1}(x)\,dx \\ -- cgit v1.2.1 From c49717a11a534d1621f819c7a114924047046a04 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 30 May 2022 11:38:12 +0200 Subject: new slides --- vorlesungen/12_dreieck/common.tex | 2 +- vorlesungen/12_dreieck/slides.tex | 4 ++ vorlesungen/slides/dreieck/Makefile.inc | 5 ++ vorlesungen/slides/dreieck/beta.tex | 70 ++++++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/dreieck/betaplot.tex | 38 +++++++++++++ vorlesungen/slides/dreieck/chapter.tex | 3 + vorlesungen/slides/dreieck/dichte.tex | 67 +++++++++++++++++++++++ vorlesungen/slides/dreieck/minmax.tex | 22 +++++++- vorlesungen/slides/dreieck/orderplot.tex | 16 ++++++ vorlesungen/slides/dreieck/ordnungsstatistik.tex | 69 ++++++++++++++++++++++- vorlesungen/slides/dreieck/stichprobe.tex | 20 ++++--- 11 files changed, 303 insertions(+), 13 deletions(-) create mode 100644 vorlesungen/slides/dreieck/beta.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/dreieck/betaplot.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/dreieck/dichte.tex create mode 100644 vorlesungen/slides/dreieck/orderplot.tex (limited to 'vorlesungen') diff --git a/vorlesungen/12_dreieck/common.tex b/vorlesungen/12_dreieck/common.tex index 9414e42..1be1b4f 100644 --- a/vorlesungen/12_dreieck/common.tex +++ b/vorlesungen/12_dreieck/common.tex @@ -9,7 +9,7 @@ \usetheme[hideothersubsections,hidetitle]{Hannover} } \beamertemplatenavigationsymbolsempty -\title[Dreieckstest]{Dreieckstest} +\title[Ordnungsstatistik]{Ordnungsstatistik und Beta-Funktion} \author[A.~Müller]{Prof. Dr. Andreas Müller} \date[]{30.~Mai 2022} \newboolean{presentation} diff --git a/vorlesungen/12_dreieck/slides.tex b/vorlesungen/12_dreieck/slides.tex index 211a105..19b7417 100644 --- a/vorlesungen/12_dreieck/slides.tex +++ b/vorlesungen/12_dreieck/slides.tex @@ -6,3 +6,7 @@ \folie{dreieck/stichprobe.tex} \folie{dreieck/minmax.tex} \folie{dreieck/ordnungsstatistik.tex} +\folie{dreieck/dichte.tex} +\folie{dreieck/orderplot.tex} +\folie{dreieck/beta.tex} +\folie{dreieck/betaplot.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/dreieck/Makefile.inc b/vorlesungen/slides/dreieck/Makefile.inc index 0575397..bbc19b6 100644 --- a/vorlesungen/slides/dreieck/Makefile.inc +++ b/vorlesungen/slides/dreieck/Makefile.inc @@ -4,6 +4,11 @@ # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # chapterdreieck = \ + ../slides/dreieck/stichprobe.tex \ ../slides/dreieck/minmax.tex \ ../slides/dreieck/ordnungsstatistik.tex \ + ../slides/dreieck/orderplot.tex \ + ../slides/dreieck/dichte.tex \ + ../slides/dreieck/beta.tex \ + ../slides/dreieck/betaplot.tex \ ../slides/dreieck/test.tex diff --git a/vorlesungen/slides/dreieck/beta.tex b/vorlesungen/slides/dreieck/beta.tex new file mode 100644 index 0000000..fc3606a --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/dreieck/beta.tex @@ -0,0 +1,70 @@ +% +% beta.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Beta-Verteilung} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.40\textwidth} +\begin{block}{Ordnungsstatistik} +\begin{align*} +\varphi(x) +&= +{\color{blue}N} x^{k-1} (1-x)^{n-k} +\\ +&\uncover<8->{ += +\beta_{k,n-k+1}(x) +} +\end{align*} +\end{block} +\uncover<8->{% +\begin{block}{Risch-Algorithmus} +Die Beta-Verteilungen haben ausser in Spezialfällen +keine Stammfunktion in geschlossener Form. +\end{block}} +\end{column} +\begin{column}{0.56\textwidth} +\uncover<2->{% +\begin{definition} +Beta-Verteilung +\[ +\beta_{a,b}(x) += +\begin{cases} +\displaystyle +\uncover<7->{ +{\color{blue} +\frac{1}{B(a,b)} +} +} +x^{a-1}(1-x)^{b-1} +&0\le x\le 1 +\\ +0&\text{sonst} +\end{cases} +\] +\end{definition}} +\uncover<3->{% +\begin{block}{Normierung} +\begin{align*} +{\color{blue}\frac{1}{{N}}} +&\uncover<4->{= +\int_{-\infty}^\infty \beta_{a,b}(x)\,dx} +\\ +&\uncover<5->{= +\int_{0}^1 x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,dx} +\\ +&\uncover<6->{= +B(a,b)} +\end{align*} +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/dreieck/betaplot.tex b/vorlesungen/slides/dreieck/betaplot.tex new file mode 100644 index 0000000..ee932e8 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/dreieck/betaplot.tex @@ -0,0 +1,38 @@ +% +% betaplot.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Beta-Verteilungen} +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[>=latex] + +\only<1>{ +\begin{scope} + \clip (-7,-3.2) rectangle (7,3.2); + \node at (0,-6.5) {\includegraphics[width=13.5cm]{../../buch/chapters/040-rekursion/images/beta.pdf}}; +\end{scope} +} + +\only<2>{ +\begin{scope} + \clip (-7,-3.2) rectangle (7,3.2); + \node at (0,-0) {\includegraphics[width=13.5cm]{../../buch/chapters/040-rekursion/images/beta.pdf}}; +\end{scope} +} + +\only<3>{ +\begin{scope} + \clip (-7,-3.2) rectangle (7,3.2); + \node at (0,6.5) {\includegraphics[width=13.5cm]{../../buch/chapters/040-rekursion/images/beta.pdf}}; +\end{scope} +} + +\end{tikzpicture} +\end{center} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/dreieck/chapter.tex b/vorlesungen/slides/dreieck/chapter.tex index 2c91eb5..0f58c4c 100644 --- a/vorlesungen/slides/dreieck/chapter.tex +++ b/vorlesungen/slides/dreieck/chapter.tex @@ -6,3 +6,6 @@ \folie{dreieck/test.tex} \folie{dreieck/minmax.tex} \folie{dreieck/ordnungsstatistik.tex} +\folie{dreieck/dichte.tex} +\folie{dreieck/beta.tex} +\folie{dreieck/betaplot.tex} diff --git a/vorlesungen/slides/dreieck/dichte.tex b/vorlesungen/slides/dreieck/dichte.tex new file mode 100644 index 0000000..168523a --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/dreieck/dichte.tex @@ -0,0 +1,67 @@ +% +% dichte.tex -- Wahrscheinlichkeitsdichte +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Wahrscheinlichkeitsdichte} +\vspace{-20pt} +\begin{columns}[t,onlytextwidth] +\begin{column}{0.40\textwidth} +\begin{block}{Definition} +\[ +\varphi_{X_{k:n}}(x) += +\frac{d}{dx} F_{X_{k:n}}(x) +\] +\end{block} +\end{column} +\begin{column}{0.60\textwidth} +\uncover<4->{% +\begin{block}{Gleichverteilung} +\[ +{\color{darkgreen}F(x)}=\begin{cases} +0&x \le 0\\ +x&0\le x \le 1,\\ +1&x\ge 1 +\end{cases} +\quad +\uncover<5->{ +{\color{red}\varphi(x)} += +\begin{cases} +1&0\le x \le 1\\ +0&\text{sonst} +\end{cases}} +\] +\end{block}} +\end{column} +\end{columns} +\uncover<2->{% +\begin{block}{Ordnungsstatistik} +nach einiger Rechnung: +\begin{align*} +\varphi_{X_{k:n}}(x) +&= +{\color<3->{red}\varphi_X(x)}\,k\binom{n}{k}{\color<3->{darkgreen}F_X(x)}^{k-1} +(1-{\color<3->{darkgreen}F_X(x)})^{n-k} +\intertext{\uncover<4->{für Gleichverteilung}} +\uncover<6->{ +\varphi_{X_{k:n}}(x) +&= +\begin{cases} +\displaystyle +{\color<7->{blue}k\binom{n}{k}}{\color{darkgreen}x}^{k-1}(1-{\color{darkgreen}x})^{n-k} +&0\le x \le 1\\ +0&\text{sonst} +\end{cases} +\qquad\uncover<7->{\text{({\color{blue}Normierung})}} +} +\end{align*} +\end{block}} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/dreieck/minmax.tex b/vorlesungen/slides/dreieck/minmax.tex index 9ef8d1a..ff3a231 100644 --- a/vorlesungen/slides/dreieck/minmax.tex +++ b/vorlesungen/slides/dreieck/minmax.tex @@ -17,48 +17,66 @@ Verteilungsfunktion von Z=\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n) \] \begin{align*} +\uncover<3->{ F_Z(x) &= -P(Z\le x) +P(Z\le x)} \\ +\uncover<4->{ &= P(X_1\le x\wedge\dots\wedge X_n\le x) +} \\ +\uncover<5->{ &= P(X_1\le x)\cdot \ldots\cdot P(X_n\le x) +} \\ +\uncover<6->{ &= F_X(x)^n +} \end{align*} \end{block} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<2->{% \begin{block}{Minimum} Verteilungsfunktion von \[ Z=\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n) \] \begin{align*} +\uncover<7->{ F_Z(x) &= P(Z\le x) +} \\ +\uncover<8->{ &=P(\overline{ X_1\le x\wedge\dots\wedge X_n \le x }) +} \\ +\uncover<9->{ &= 1-P( X_1> x\wedge\dots\wedge X_n > x ) +} \\ +\uncover<10->{ &= 1-(P(X_1>x)\cdot\ldots\cdot P(X_n>x)) +} \\ +\uncover<11->{ &= 1-(1-F_X(x))^n +} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/dreieck/orderplot.tex b/vorlesungen/slides/dreieck/orderplot.tex new file mode 100644 index 0000000..7cf10c6 --- /dev/null +++ b/vorlesungen/slides/dreieck/orderplot.tex @@ -0,0 +1,16 @@ +% +% orderplot.tex -- slide template +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\bgroup +\begin{frame}[t] +\setlength{\abovedisplayskip}{5pt} +\setlength{\belowdisplayskip}{5pt} +\frametitle{Ordnungstatistik} +\vspace*{-18pt} +\begin{center} +\includegraphics[width=10cm]{../../buch/chapters/040-rekursion/images/order.pdf} +\end{center} +\end{frame} +\egroup diff --git a/vorlesungen/slides/dreieck/ordnungsstatistik.tex b/vorlesungen/slides/dreieck/ordnungsstatistik.tex index 6346953..c968e79 100644 --- a/vorlesungen/slides/dreieck/ordnungsstatistik.tex +++ b/vorlesungen/slides/dreieck/ordnungsstatistik.tex @@ -8,11 +8,76 @@ \setlength{\abovedisplayskip}{5pt} \setlength{\belowdisplayskip}{5pt} \frametitle{Ordnungstatistik} +\vspace{-10pt} +\begin{block}{Angeordnete Stichprobe} +\[ +X_{1:n} +\le +X_{2:n} +\le +\dots +\le +X_{(n-1):n} +\le +X_{n:n} +\] +$X_{k:n} = \mathstrut$der $k$-te von $n$ Werten +\end{block} \vspace{-20pt} \begin{columns}[t,onlytextwidth] -\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{column}{0.44\textwidth} +\uncover<2->{% +\begin{block}{Verteilungsfunktion} +\begin{align*} +F_{X_{k:n}}(x) +&= +P(X_{k:n} \le x) +\\ +&\uncover<3->{= +P\bigl( +|\{i\;|\; {\color<4>{red}X_i\le x}\}| \ge k +\bigr)} +\\ +&\uncover<5->{= +P(\text{Anzahl $A_i$}\ge k)} +\\ +&\uncover<9->{= +P(K\ge k)} +\\ +\uncover<6->{ +F_{X_i}(x)&= P(X_i\le x)}\uncover<7->{ = P(A_i)}\uncover<10->{ = p} +} +\end{align*} +\uncover<4->{$A_i=\{X_i\le x\}$}\uncover<7->{ ist ein Beroulli- Experiment +\uncover<10->{mit Eintretens- wahrscheinlichkeit $p$} +\end{block}} \end{column} -\begin{column}{0.48\textwidth} +\begin{column}{0.52\textwidth} +\uncover<8->{% +\begin{block}{Wiederholtes Bernoulli-Experiment} +$K=\mathstrut$Anzahl $k$, für die $A$ eingetreten +ist\only<11->{, ist binomialverteilt:} +\begin{align*} +\uncover<12->{P(K=k) +&= +\phantom{\sum_{i=k}^n\mathstrut} +\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} +} +\\ +\uncover<13->{ +P(K\ge k) +&= +\sum_{i=k}^n +\binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i} +} +\\ +\uncover<14->{ +&= +\sum_{i=k}^n +\binom{n}{i} F_X(x)^i (1-F_X(x))^{n-i} +} +\end{align*} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/dreieck/stichprobe.tex b/vorlesungen/slides/dreieck/stichprobe.tex index da3a20e..4b2eff0 100644 --- a/vorlesungen/slides/dreieck/stichprobe.tex +++ b/vorlesungen/slides/dreieck/stichprobe.tex @@ -12,21 +12,22 @@ \begin{columns}[t,onlytextwidth] \begin{column}{0.48\textwidth} \begin{block}{Zufallsvariable} -Gegeben eine Zufallsvariable $X$ mit +Gegeben eine Zufallsvariable $X$ \uncover<5->{mit Verteilungsfunktion \[ F_X(x) = P(X\le x) -\] -und +\]} +\uncover<6->{und Wahrscheinlichkeitsdichte \[ \varphi_X(x) = \frac{d}{dx} F_X(x) -\] +\]} \end{block} +\uncover<7->{% \begin{block}{Gleichverteilung} \[ F(x) = \begin{cases} @@ -34,6 +35,7 @@ F(x) = \begin{cases} x&\qquad 0\le x \le 1\\ 1&\qquad 1{ \qquad\Rightarrow\qquad \varphi(x) = @@ -41,19 +43,21 @@ x&\qquad 0\le x \le 1\\ 1&\qquad 0\le x \le 1\\ 0&\qquad\text{sonst}. \end{cases} +} \] -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<2->{% \begin{block}{Stichprobe} $n$ Zufallsvariablen $X_1,\dots,X_n$ \begin{itemize} -\item +\item<3-> alle $X_i$ haben die gleiche Verteilung wie $X$ -\item +\item<4-> die $X_i$ sind unabhängig \end{itemize} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} -- cgit v1.2.1 From 83d215597b5df724022de2a08ae1dfa1e8d59497 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 2 Jun 2022 23:01:38 +0200 Subject: phases --- vorlesungen/slides/hermite/hermiteentwicklung.tex | 15 +++++++----- vorlesungen/slides/hermite/loesung.tex | 19 +++++++++++---- vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex | 29 +++++++++++++++++------ vorlesungen/slides/hermite/normalintegrale.tex | 9 ++++--- vorlesungen/slides/hermite/skalarprodukt.tex | 22 ++++++++++++----- 5 files changed, 67 insertions(+), 27 deletions(-) (limited to 'vorlesungen') diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/hermiteentwicklung.tex b/vorlesungen/slides/hermite/hermiteentwicklung.tex index e1ced30..5f6e1c9 100644 --- a/vorlesungen/slides/hermite/hermiteentwicklung.tex +++ b/vorlesungen/slides/hermite/hermiteentwicklung.tex @@ -17,6 +17,7 @@ P(x) = p_0 + p_1x + p_2x^2 + \dots + p_nx^n \] +\uncover<2->{% als Linearkombination von Hermite-Polynome schreiben: \begin{align*} P(x) @@ -38,10 +39,11 @@ a_0\cdot 1 &\quad\;\;\vdots \\ &\quad + a_n(2^nx^n + \dots) -\end{align*} +\end{align*}} \end{block} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<3->{% \begin{block}{Koeffizientenvergleich} führt auf ein Gleichungssystem \begin{center} @@ -58,11 +60,12 @@ a_0&a_1&a_2&a_3&a_4&\dots&\\ \hline \end{tabular} \end{center} -Dreiecksmatrix, Diagonalelement -$\ne 0$ -$\Rightarrow$ -$\exists$ eindeutige Lösung -\end{block} +\uncover<4->{% +Dreiecksmatrix}\uncover<5->{, Diagonalelement +$\ne 0$} +\uncover<6->{$\Rightarrow$ +$\exists$ eindeutige Lösung} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/loesung.tex b/vorlesungen/slides/hermite/loesung.tex index 7d4741f..68ee32e 100644 --- a/vorlesungen/slides/hermite/loesung.tex +++ b/vorlesungen/slides/hermite/loesung.tex @@ -20,36 +20,45 @@ P(t)e^{-\frac{t^2}2} \] in geschlossener Form angeben? \end{block} +\uncover<2->{% \begin{block}{``Hermite-Antwort''} \[ \int H_n(x)e^{-x^2}\,dx \] kann genau für $n>0$ in geschlossener Form angegeben werden. -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<3->{% \begin{block}{Allgemein} \begin{align*} \int P(x)e^{-x^2}\,dx -&= -\int \sum_{k=0}^n a_kH_k(x)e^{-x^2}\,dx +&\uncover<4->{= +\int \sum_{k=0}^n a_kH_k(x)e^{-x^2}\,dx} \\ +\uncover<5->{ &= \sum_{k=0}^n a_k \int H_k(x)e^{-x^2}\,dx +} \\ +\uncover<6->{ &= a_0\operatorname{erf}(x) + C +} \\ +\uncover<6->{ &\hspace*{2mm} + \sum_{k=1}^n a_k\int H_k(x)e^{-x^2}\,dx +} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} +\uncover<7->{% \begin{theorem} Das Integral von $P(x)e^{-x^2}$ ist genau dann elementar darstellbar, wenn $a_0=0$ -\end{theorem} +\end{theorem}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex b/vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex index 16a314c..98721dc 100644 --- a/vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex +++ b/vorlesungen/slides/hermite/normalhermite.tex @@ -19,6 +19,7 @@ H_n(x) \] \end{block} \vspace{-10pt} +\uncover<2->{% \begin{block}{Orthogonalität} $H_n(x)$ sind orthogonale Polynome bezüglich $w(x)=e^{-x^2}$, d.~h. \begin{align*} @@ -37,8 +38,9 @@ $H_n(x)$ sind orthogonale Polynome bezüglich $w(x)=e^{-x^2}$, d.~h. = \delta_{mn} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \vspace{-10pt} +\uncover<3->{% \begin{block}{Rekursion: Auf-/Absteigeoperatoren} Rekursionsformel: \[ @@ -46,33 +48,46 @@ H_n(x) = 2x\cdot H_{n-1}(x) - H_{n-1}'(x) \] -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<4->{% \begin{block}{Stammfunktion} \begin{align*} -\int H_n(x) e^{-x^2}\,dx -&= -\int \bigl({\color{red}2x}H_{n-1}(x) +\uncover<4->{ +\int H_n(x) e^{-x^2}\,dx} +&\uncover<5->{= +\int \bigl({\color{red}2x}H_{n-1}(x)} \\ +\uncover<5->{ &\qquad -H_{n-1}'(x)\bigr) e^{-x^2}\,dx +} \\ +\uncover<6->{ {\color{gray}((e^{-x^2})'=-2x)} &= {\color{red}-}\int {\color{red}(e^{-x^2})'} H_{n-1}(x)\,dx +} \\ +\uncover<6->{ &\qquad - \int H_{n-1}'(x) e^{-x^2}\,dx +} \\ +\uncover<7->{ \text{\color{gray}(Produktregel)} &= \int (e^{-x^2}H_{n-1}(x))'\,dx +} \\ +\uncover<8->{ \text{\color{gray}(Ableitung)} &= e^{-x^2}H_{n-1}(x) +} \end{align*} +\uncover<9->{% ausser für $n=0$: \[ \int @@ -80,8 +95,8 @@ H_0(x)e^{-x^2}\,dx = \int e^{-x^2}\,dx -\] -\end{block} +\]} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/normalintegrale.tex b/vorlesungen/slides/hermite/normalintegrale.tex index 88abbe8..32333cd 100644 --- a/vorlesungen/slides/hermite/normalintegrale.tex +++ b/vorlesungen/slides/hermite/normalintegrale.tex @@ -20,12 +20,14 @@ P(t)e^{-t^2} \] in geschlossener Form angeben? \end{block} +\uncover<4->{% \begin{block}{Allgemeine Antwort} Satz von Liouville und Risch- Algorithmus können entscheiden, ob es eine elementare Stammfunktion gibt -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<2->{% \begin{block}{Negativbeispiel} $P(t) = 1$, das Normalverteilungsintegral \[ @@ -34,7 +36,8 @@ F(x) \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-t^2}\,dt \] ist nicht elementar darstellbar. -\end{block} +\end{block}} +\uncover<3->{% \begin{block}{Positivbeispiel} $P(t)=t$. Wegen \begin{align*} @@ -47,7 +50,7 @@ $P(t)=t$. Wegen -e^{-x^2}+C \end{align*} elementar darstellbar. -\end{block} +\end{block}} \end{column} \end{columns} \end{frame} diff --git a/vorlesungen/slides/hermite/skalarprodukt.tex b/vorlesungen/slides/hermite/skalarprodukt.tex index 32b933f..a51e9f6 100644 --- a/vorlesungen/slides/hermite/skalarprodukt.tex +++ b/vorlesungen/slides/hermite/skalarprodukt.tex @@ -18,6 +18,7 @@ Orthogonale $H_k$ normalisieren: \] mit Gewichtsfunktion $w(x)=e^{-x^2}$ \end{block} +\uncover<2->{% \begin{block}{``Hermite''-Analyse} \begin{align*} P(x) @@ -26,46 +27,55 @@ P(x) = \sum_{k=1}^\infty \tilde{a}_k \tilde{H}_k(x) \\ +\uncover<3->{ \tilde{a}_k &= \| H_k\|_w\, a_k +} \\ +\uncover<4->{ a_k &= \frac{1}{\|H_k\|} \langle \tilde{H}_k, P\rangle_w -= +}\uncover<5->{= \frac{1}{\|H_k\|^2} \langle H_k, P\rangle_w +} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} \end{column} \begin{column}{0.48\textwidth} +\uncover<6->{% \begin{block}{Integrationsproblem} Bedingung: \begin{align*} a_0=0 +\uncover<7->{% \qquad\Leftrightarrow\qquad \langle H_0,P\rangle_w &= -0 +0} \\ +\uncover<8->{% \int_{-\infty}^\infty P(t) w(t) \,dt +}\uncover<9->{% = \int_{-\infty}^\infty P(t) e^{-t^2} \,dt &= -0 +0} \end{align*} -\end{block} +\end{block}} +\uncover<10->{% \begin{theorem} Das Integral von $P(t)e^{-t^2}$ ist in geschlossener Form darstellbar genau dann, wenn \[ \int_{-\infty}^\infty P(t)e^{-t^2}\,dt = 0 \] -\end{theorem} +\end{theorem}} \end{column} \end{columns} \end{frame} -- cgit v1.2.1