Finde die Lösungen der Gleichung $x^x=27$ mit Hilfe der Lambert $W$-Funktion.

\begin{loesung}
Wegen der speziellen Form $27=3^3$ der rechten Seite kann man
zwar die Lösung $x=3$ der Gleichung sofort erraten, für andere 
Werte der rechten Seite wird es dagegen schwieriger, so dass man
keine andere Wahl hat, als die folgende Umformung zu verwenden.

Wir schreiben zunächst die Gleichung mit Hilfe der Exponentialfunktion als
\[
e^{x\log x} = 27
\qquad\Rightarrow\qquad
x\log x = \log 27
\]
und substituieren $t=\log x$, also $x=e^t$. 
So entsteht die Gleichung
\[
te^t = \log 27.
\]
Auf der linken Seite steht ein Ausdruck, der mit der Lambert $W$-Funktion
invertiert werden kann, es ist also
\[
t = W(\log 27)
\qquad\Rightarrow\qquad
x=e^{W(\log 27)}.
\]
Für $W(\log 27)$ findet man
\[
W(\log 27) = 1.098612
\qquad\Rightarrow\qquad
x=3.
\qedhere
\]
\end{loesung}