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% chapter.tex -- Kapitel zur Funktionen, die als Lösungen von Differential-
%                gleichungen definiert sind
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% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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\chapter{Differentialgleichungen
\label{buch:chapter:differential}}
\lhead{Differentialgleichungen}
\rhead{}
Allgemeine Sätze über die Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen
gewöhnlicher Differentialgleichungen garantieren für fast jeder 
einigermassen vernünftige Gleichung mindestens für kurze Zeit
eine eindeutige Lösung für fast jede Anfangsbedingung.
Die Konstruktion solcher Lösungen stellt sich jedoch als deutlich
schwieriger heraus.

Für einzelne Kategorien von Differentialgleichungen sind 
gut funktionierende Lösungsverfahren gefunden worden, zum Beispiel
für lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.
Damit konnten auch Gleichungen gelöst werden, die sich zum Beispiel
durch eine Variablentransformation auf eine lineare Differentialgleichung
mit konstanten Koeffizienten reduzieren lassen, wie die Eulersche
Differentialgleichung.

Die Methode der Separation der Variablen liefert führt die Lösung
einer Differentialgleichung erster Ordnung auf die Bestimmung 
zweier Stammfunktionen und deren Invertierung zurück.
Dieses Verfahren ist jedoch nicht auf Vektordifferentialgleichungen
oder auf Differentialgleichungen höherer Ordnung verallgemeinerungsfähig.

Daneben gibt es eine Reihe von ``Spezialfällen'' wie die
Clairaut-Differentialgleichung oder die damit verwandte
Lagrangesche Differentialgleichung, deren Lösung eine sehr
spezielle Form haben.

Sehr viele Differentialgleichungen in den Anwendungen können aber
mit keinem der genannten Verfahren gelöst werden.
Hier bleibt nichts anderes übrig, als neue spezielle Funktionen
zu definieren, die Lösungen dieser Differentialgleichungen sind.
Dabei ist man bestrebt, möglichst universell einsetzbare Funktionen
zu definieren, die ein breites Anwendungsfeld haben.

In den folgenden Abschnitten wird zunächst gezeigt, dass viele
der bereits bekannten speziellen Funktionen ebenfalls als Lösungen
gewöhnlicher Differentialgleichungen erhalten werden können.
Die numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen ist
oft keine effizientes Vorgehen zur Bestimmung von einzelnen Werten,
daher wird in
Abschnitt~\ref{buch:differentialgleichungen:section:potenzreihenmethode}
eine universelle Methode vorgestellt, mit der eine Potenzreihenentwicklung
gefunden werden kann.
Eine Potenzreihendarstellung ermöglicht nicht nur die Berechnung
einzelner Werte, sondern auch beliebiger Ableitungen und die
analytische Untersuchung der Funktion mit den Methoden der
komplexen Analysis.
Als Beispiel für dieses Verfahren werden in
Abschnitt~\ref{buch:differntialgleichungen:section:bessel}
die Bessel-Funktionen erster Art vorgestellt.

\input{chapters/050-differential/beispiele.tex}
\input{chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex}
\input{chapters/050-differential/bessel.tex}
\input{chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex}

\section*{Übungsaufgaben}
\rhead{Übungsaufgaben}
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