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% differentialalgebren.tex
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% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
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\section{Differentialkörper und der Satz von Liouville
\label{buch:integrale:section:dkoerper}}
\rhead{Differentialkörper und der Satz von Liouville}
Das Problem der Darstellbarkeit eines Integrals in geschlossener
Form verlangt zunächst einmal nach einer Definition dessen, was man
als ``geschlossene Form'' akzeptieren will.
Die sogenannten {\em elementaren Funktionen} von
Abschnitt~\ref{buch:integrale:section:elementar}
bilden dafür den theoretischen Rahmen.
Das Problem ist dann die Frage zu beantworten, ob ein Integral eine
Stammfunktion hat, die eine elementare Funktion ist.
Der Satz von Liouville von Abschnitt~\ref{buch:integrale:section:liouville}
löst das Problem.

\subsection{Eine Analogie
\label{buch:integrale:section:analogie}}
% XXX Analogie: Formel für Polynom-Nullstellen 
% XXX           Stammfunktion als elementare Funktion
Das Analysis-Problem, eine Stammfunktion zu finden, ist analog zum
wohlbekannten algebraischen Problem, Nullstellen von Polynomen zu finden.
Wir entwickeln diese Analogie in etwas mehr Detail, um zu sehen, ob man
aus dem algebraischen Problem etwas über das Problem der Analysis
lernen kann.

Für ein Polynom $p(X) = a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_1X+a_0\in\mathbb{C}[X]$
mit Koeffizienten $a_k\in\mathbb{C}$ ist es sehr einfach, für jede beliebige
komplexe Zahl $z\in\mathbb{C}$ den Wert $p(z)$ des Polynoms auszurechnen.
Ein paar wenige Rechenregeln genügen dazu, man kann leicht einem Kind 
beibringen, mit einem Taschenrechner so einen Wert auszurechnen.

Ähnlich sieht es mit der Ableitungsoperation aus. 
Einige wenige Ableitungsregeln, die man in der Analysis~I lernt,
erlauben, auf mehr oder weniger mechanische Art und Weise, jede
beliebige Funktion abzuleiten.
Man kann auch leicht einen Computer dazu programmieren, solche Ableitungen
symbolisch zu berechnen.

Aus dem Fundamentalsatz der Algebra, der von Gauss vollständig bewiesen
wurde, ist bekannt, dass jedes Polynom mit Koeffizienten in $\mathbb{C}$
genau so viele Lösungen in $\mathbb{C}$, wie der Grad des Polynoms angibt.
Dies ist aber ein Existenzsatz, er sagt nichts darüber aus, wie man diese
Lösungen finden kann.
In Spezialfällen, wie zum Beispiel für quadratische Polynome, gibt
es spezialsierte Lösungsverfahren, mit denen man Lösungen angeben kann.
Natürlich existieren numerische Methoden wie zum Beispiel das
Newton-Verfahren, mit dem man Nullstellen von Polynomen beliebig genau
bestimmen kann.

Der Fundamentalsatz der Integralrechnung besagt, dass jede stetige 
Funktion eine Stammfunktion hat, die bis auf eine Konstante eindeutig
bestimmt ist.
Auch dieser Existenzsatz gibt keinerlei Hinweise darauf, wie man die
Stammfunktion finden kann.
In der Analysis-Vorlesung lernt man viele Tricks, die in einer
beindruckenden Zahl von Spezialfällen ermöglichen, ein passende
Funktion anzugeben.
Man lernt auch numerische Verfahren kennen, mit denen sich Werte der
Stammfunktion, also bestimmte Integrale, mit beliebiger Genauigkeit
finden kann.

Die numerische Lösung des Nullstellenproblems ist insofern unbefriedigend,
als sie nur schwer eine Diskussion der Abhängigkeit der Nullstellen von
den Koeffizienten des Polynoms ermöglichen.
Eine Formel wie die Lösungsformel für die quadratische Gleichung 
stellt genau für solche Fälle ein ideales Werkzeug bereit.
Was man sich also wünscht ist nicht nur einfach eine Lösung, sondern eine
einfache Formel zur Bestimmung aller Lösungen.
Im Zusammenhang mit algebraischen Gleichungen erwartet man eine Formel,
in der nur arithmetische Operationen und Wurzeln vorkommen.
Für quadratische Gleichungen ist so eine Formel seit dem Altertum bekannt,
Formeln für die kubische Gleichung und die Gleichung vierten Grades wurden
im 16.~Jahrhundert von Cardano bzw.~Ferrari gefunden.
Erst viel später haben Abel und Ruffini gezeigt, dass so eine allgemeine
Formel für Polynome höheren Grades als 4 nicht existiert.
Die Galois-Theorie, die auf den Ideen von Évariste Galois beruht, 
stellt eine vollständige Theorie unter anderem für die Lösbarkeit
von Gleichungen durch Wurzelausdrücke dar.

Numerische Integralwerte haben ebenfalls den Nachteil, dass damit
Diskussionen wie die Abhängigkeit von Parametern eines Integranden
nur schwer möglich sind.
Was man sich daher wünscht ist eine Formel für die Stammfunktion,
die Werte als Zusammensetzung gut bekannter Funktionen wie der Exponential-
und Logarithmus-Funktionen oder der trigonometrischen Funktionen
sowie Wurzeln, Potenzen und den arithmetischen Operationen.
Man sagt, man möchte die Stammfunktion in ``geschlossener Form'' 
dargestellt haben.
Tatsächlich ist dieses Problem auch zu Beginn des 19.~Jahrhunderts
von Joseph Liouville genauer untersucht worden.
Er hat zunächst eine Klasse von ``elementaren Funktionen'' definiert,
die als Darstellungen einer Stammfunktion in Frage kommen.
Der Satz von Liouville besagt dann, dass nur Funktionen mit einer
ganz speziellen Form eine elementare Stammfunktion haben.
Damit wird es möglich, zu entscheiden, ob ein Integrand wie $e^{-x^2}$ 
eine elementare Stammfunktion hat.
Seit dieser Zeit weiss man zum Beispiel, dass die Fehlerfunktion nicht
mit den bekannten Funktionen dargestellt werden kann.

Mit dem Aufkommen der Computer und vor allem der Computer-Algebra-System (CAS)
wurde die Frage nach der Bestimmung einer Stammfunktion erneut aktuell.
Die ebenfalls weiter entwickelte abstrakte Algebra hat ermöglicht, die
Ideen von Liouville in eine erweiterte, sogenannte differentielle 
Galois-Theorie zu verpacken, die eine vollständige Lösung des Problems
darstellt.
Robert Henry Risch hat in den Sechzigerjahren auf dieser Basis
einen Algorithmus entwickelt, mit dem es möglich wird, zu entscheiden,
ob eine Funktion eine elementare Stammfunktion hat und diese
gegebenenfalls auch zu finden.
Moderne CAS implementieren diesen Algorithmus
in Teilen, besonders weit zu gehen scheint das quelloffene System
Axiom.

Der Risch-Algorithmus hat allerdings eine Achillesferse: er benötigt
eine Method zu entscheiden, ob zwei Ausdrücke übereinstimmen.
Dies ist jedoch ein im Allgemeinen nicht entscheidbares Problem.
Moderne CAS treiben einigen Aufwand, um die
Gleichheit von Ausdrücken zu entscheiden, sie können das Problem
aber grundsätzlich nicht vollständig lösen.
Damit kann der Risch-Algorithmus in praktischen Anwendungen das
Stammfunktionsproblem ebenfalls nur mit Einschränkungen lösen,
die durch die Fähigkeiten des Ausdrucksvergleichs in einem CAS
gesetzt werden.

Im Folgenden sollen elementare Funktionen definiert werden, es sollen
die Grundideen der differentiellen Galois-Theorie zusammengetragen werden
und der Satz von Liouvill vorgestellt werden.
An Hand der Fehler-Funktion soll dann gezeigt werden, wie man jetzt
einsehen kann, dass die Fehlerfunktion nicht elementar darstellbar ist.
Im nächsten Abschnitt dann soll der Risch-Algorithmus skizziert werden.

\subsection{Elementare Funktionen
\label{buch:integrale:section:elementar}}
Es soll die Frage beantwortet werden, welche Stammfunktionen sich
in ``geschlossener Form'' oder durch ``wohlbekannte Funktionen''
ausdrücken lassen.
Welche Funktionen dabei als ``wohlbekannt'' gelten dürfen ist
ziemlich willkürlich.
Sicher möchte man Potenzen und Wurzeln, Logarithmus und Exponentialfunktion,
aber auch die trigonometrischen Funktionen dazu zählen dürfen.
Ausserdem will man beliebig mit den arithmetischen Operationen
rechnen.
So entsteht die Menge der Funktionen, die man ``elementar'' nennen
will.

In der Menge der elementaren Funktionen möchte man jetzt
Stammfunktionen ausgewählter Funktionen suchen.
Dazu muss man von jeder Funktion ihre Ableitung kennen.
Die Ableitungsoperation macht aus der Funktionenmenge eine
differentielle Algebra.
Der Satz von Liouville (Satz~\ref{buch:integrale:satz:liouville1}) 
liefert Bedingungen, die erfüllt sein müssen, wenn eine Funktion
eine elementare Stammfunktion hat.
Sind diese Bedingungen nicht erfüllbar, ist auch keine 
elementare Stammfunktion möglich.

In den folgenden Abschnitten soll die differentielle Algebra
der elementaren Funktionen konstruiert werden.

\subsubsection{Körper}
Die einfachsten Funktionen sind die die Konstanten, für die wir
für die nachfolgenden Betrachtungen fast immer die komplexen Zahlen
$\mathbb{C}$
zu Grunde legen wollen.
Dabei ist vor allem wichtig, dass sich darin alle arithmetischen
Operationen durchführen lassen mit der einzigen Ausnahme, dass
nicht durch $0$ dividiert werden darf.
Man nennt $\mathbb{C}$ daher ein {\em Körper}.
\index{Körper}%
\label{buch:integrale:def:koerper}

\subsubsection{Polynome und rationale Funktionen}
Die Polynome einer Variablen beschreiben eine Menge von
Funktionen, in der Addition, Subtraktion, Multiplikation
von Funktionen und Multiplikation mit komplexen Zahlen
uneingeschränkt möglich ist.
Wir bezeichen wie früher die Menge der Polynome in $z$ mit
$\mathbb{C}[z]$.

Die Division ist erst möglich, wenn man beliebige Brüche
zulässt, deren Zähler und Nenner Polynome sind.
Die Menge
\[
\mathbb{C}(z)
=
\biggl\{
\frac{p(z)}{q(z)}
\;\bigg|\;
p,q\in \mathbb{C}[z]
\biggr\}
\]
heisst die Menge der {\em rationalen Funktionen}.
\label{buch:integrale:def:rationalefunktion}
\index{Funktion, rationale}%
\index{rationale Funktion}%
In ihr sind jetzt alle arithmetischen Operationen ausführbar
ausser natürlich die Division durch die Nullfunktion.
Die rationalen Funktionen bilden also wieder eine Körper.

Die Tatsache, dass die rationalen Funktionen einen Körper
bilden bedeutet auch, dass die Konstruktion erneut durchgeführt
werden kann.
Ausgehend von einem beliebigen Körper $K$ können wieder zunächst
die Polynome $K[X]$ und anschliesen die rationalen Funktionen $K[X]$
in der neuen Variablen, jetzt aber mit Koeffizienten in $K$
gebildet werden.
So entstehen Funktionen von mehreren Variablen und, indem
wir für die neue Variable $X$ zum Beispiel die im übernächsten
Abschnitt betrachtete Wurzel $X=\sqrt{z}$
einsetzen, rationale Funktionen in $z$ und $\sqrt{z}$.

Solche Funktionenkörper werden im folgenden mit geschweiften
Buchstaben $\mathscr{D}$ bezeichnet.
\index{Funktionenkörper}%

\subsubsection{Ableitungsoperation}
In allen Untersuchungen soll immer die Ableitungsoperation
mit berücksichtigt werden.
In unserer Betrachtungsweise spielt es keine Rolle, dass die
Ableitung aus einem Grenzwert entsteht, es sind nur die algebraischen
Eigenschaften wichtig.
Diese sind in der folgenden Definition zusammengefasst.

\begin{definition}
\label{buch:integrale:def:derivation}
Ein {\em Ableitungsoperator} oder eine {\em Derivation} einer Algebra
$\mathscr{D}$ von Funktionen ist eine lineare Abbildung
\[
\frac{d}{dz}
\colon \mathscr{D} \to \mathscr{D}
:
f \mapsto \frac{df}{dz} = f',
\]
die zusätzlich die Produktregel
\begin{equation}
\frac{d}{dz} (fg)
=
\frac{df}{dz} \cdot g + f \cdot \frac{dg}{dz}
\qquad\Leftrightarrow\qquad
(fg)' = f' g + fg'
\label{buch:integrale:eqn:produktregel}
\end{equation}
\index{Produktregel}%
erfüllt.
Die Funktion $f'\in \mathscr{D}$ heisst auch die {\em Ableitung}
von $f\in\mathscr{D}$.
\index{Derivation}%
\index{Ableitungsoperator}%
\index{Ableitung}%
\end{definition}

Die Produktregel hat zum Beispiel auch die bekannten Quotientenregel
zur Folge.
Dazu betrachten wir das Produkt $f= (f/g)\cdot g$ und leiten es mit
Hilfe der Produktregel ab:
\[
\frac{d}{dz}f
=
\frac{d}{dz}
\biggl(
\frac{f}{g}\cdot g
\biggr)
=
{\color{darkred}
\frac{d}{dz}
\biggl(
\frac{f}{g}
\biggr)}
\cdot g
+
\frac{f}{g}\cdot \frac{d}{dz}g.
\]
Jetzt lösen wir nach der {\color{darkred}roten} Ableitung des Quotienten
auf und erhalten
\begin{equation}
\biggl(\frac{f}{g}\biggr)'
=
\frac{d}{dz}\biggl(\frac{f}{g}\biggr)
=
\frac1g\biggl(
\frac{d}{dz}f - \frac{f}{g}\cdot \frac{d}{dz}g
\biggr)
=
\frac{1}{g}
\biggl(
f'-\frac{fg'}{g}
\biggr)
=
\frac{f'g-fg'}{g^2}.
\label{buch:integrale:eqn:quotientenregel}
\end{equation}
Dies ist die Quotientenregel.

Aus der Produktregel folgt natürlich sofort auch die Potenzregel
für die Ableitung der $n$ten Potenz einer Funktion $f\in\mathscr{D}$, 
sie lautet:
\begin{equation}
\frac{d}{dz} f^n
= 
\underbrace{
f'f^{n-1} + ff'f^{n-2} + f^2f'f^{n-3}+\dots f^{n-1}f'
}_{\displaystyle \text{$n$ Terme}}
=
nf^{n-1}f'.
\label{buch:integrale:eqn:potenzregel}
\end{equation}
In dieser Form versteckt sich natürlich auch die Kettenregel, die
Potenzfunktion ist die äussere Funktion, $f$ die innere, $f'$ ist also
die Ableitung er inneren Funktion, wie in der Kettenregel verlangt.
Falls $f$ ein Element von $\mathscr{D}$ ist mit der Eigenschaft
$df/dz=1$, dann entsteht die übliche Produktregel.

\begin{definition}
Eine Algebra $\mathscr{D}$ von Funktionen mit einem Ableitungsoperator 
$d/dz$ heisst eine {\em differentielle Algebra}.
\index{differentielle Algebra}%
\index{Algebra, differentielle}%
In einer differentiellen Algebra gelten die üblichen
Ableitungsregeln.
\end{definition}

Die Potenzregel war in der Form~\eqref{buch:integrale:eqn:potenzregel}
geschrieben worden, nicht als die Ableitung von $z$.
Der Grund dafür ist, dass wir gar nicht voraussetzen wollen, dass in
unserer differentiellen Algebra eine Funktion existiert, die die
Rolle von $z$ hat.
Dies ist gar nicht nötig, wie das folgende Beispiel zeigt.

\begin{beispiel}
Als Funktionenmenge $\mathscr{D}$ nehmen wir rationale Funktionen
in zwei Variablen, die wir $\cos x $ und $\sin x$ nennen.
Diese Menge bezeichnen wir mit
$\mathscr{D}=\mathbb{Q}(\cos x,\sin x)$
Der Ableitungsoperator ist 
\begin{align*}
\frac{d}{dx} \cos x &= -\sin x
\\
\frac{d}{dx} \sin x &= \phantom{-}\cos x.
\end{align*}
Die Funktionen von $\mathbb{Q}(\cos x,\sin x)$ sind also Brüche,
deren Zähler und Nenner Polynome in $\cos x$ und $\sin x$ sind.
Aus den Produkt- und Quotientenregeln und den Ableitungsregeln für
$\cos x$ und $\sin x$ folgt, dass die Ableitung einer Funktion in
$\mathscr{D}$ wieder in $\mathscr{D}$ ist, $\mathscr{D}$ ist eine
differentielle Algebra.
\end{beispiel}

Die konstanten Funktionen spielen eine besondere Rolle.
Da wir bei der Ableitung nicht von der Vorstellung einer
Funktion mit einem variablen Argument ausgehen wollten und 
die Ableitung nicht als Grenzwert definieren wollten, müssen
wir auch bei der Definition der ``Konstanten'' einen neuen
Weg gehen.
In der Analysis sind die Konstanten genau die Funktionen,
deren Ableitung $0$ ist.

\begin{definition}
\label{buch:integrale:def:konstante}
Ein Element $f\in \mathscr{D}$ mit $df/dz=f'=0$ heissen
{\em Konstante} in $\mathscr{D}$.
\index{Konstante}%
\end{definition}

Die in der Potenzregel~\eqref{buch:integrale:eqn:potenzregel}
vermisste Funktion $z$ kann man ähnlich zu den Konstanten
zu definieren versuchen.
$z$ müsste ein Element von $\mathscr{D}$ mit $z' = 1$ sein.
Allerdings gibt es viele solche Elemente, ist $c$ eine Konstanten
und $z'=1$, dann ist auch $(z+c)'=1$, $(z+c)$ hat also für
die Zwecke unserer Untersuchung die gleichen Eigenschaften wie
$z$.
Dies deckt sich natürlich auch mit der Erwartung, dass Stammfunktionen
nur bis auf eine Konstante bestimmt sind.
Eine differentielle Algebra muss allerdings kein Element $z$ mit der
Eigenschaft $z'=1$ enthalten.

\begin{beispiel}
In $\mathscr{D}=\mathbb{Q}(\cos x,\sin x)$ gibt es kein Element $x$.
Ein solches wäre von der Form
\[
x = \frac{p(\cos x,\sin x)}{q(\cos x,\sin x)}.
\]
Eine solche goniometrische Beziehung würde für $x=\frac{\pi}4$ bedeuten,
dass
\[
\frac{\pi}4
=
\frac{p(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)}{q(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)}.
\]
Auf der rechten Seite steht ein Quotient von Polynome, in dessen
Argument nur rationale Zahlen und $\sqrt{2}$ steht.
So ein Ausdruck kann immer in die Form
\[
\pi
=
4\frac{a\sqrt{2}+b}{c\sqrt{2}+d}
=
\frac{4(a\sqrt{2}+b)(c\sqrt{2}-d)}{2c^2+d^2}
=
r\sqrt{2}+s
\]
gebracht werden.
Die Zahl auf der rechten Seite ist zwar irrational, aber sie ist Nullstelle
des quadratischen Polynoms
\[
p(x)
=
(x-r\sqrt{2}-s)(x+r\sqrt{2}-s)
=
x^2
-2sx
-2r^2+s^2
\]
mit rationalen Koeffizienten, wie man mit der Lösungsformel für die
quadratische Gleichung nachprüfen kann.
Es ist bekannt, dass $\pi$ als transzendente Zahl nicht Nullstelle
eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist.
Dieser Widerspruch zeigt, dass $x$ nicht in $\mathbb{Q}(\cos x, \sin x)$
vorkommen kann.
\end{beispiel}

In einer differentiellen Algebra kann jetzt die Frage nach der
Existenz einer Stammfunktion gestellt werden.

\begin{aufgabe}
\label{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion}
Gegeben eine differentielle Algebra $\mathscr{D}$ und ein Element
$f\in\mathscr{D}$, entscheide, ob es ein Element $F\in\mathscr{D}$ 
gibt mit der Eigenschaft $F'=f$.
Ein solches $F\in\mathscr{D}$ heisst {\em Stammfunktion} von $f$.
\end{aufgabe}

\begin{satz}
In einer differentiellen Algebra $\mathscr{D}$ mit $z\in\mathscr{D}$
hat die Potenzfunktion $f=z^n$ für $n\in\mathbb{N}\setminus\{-1\}$
ein Stammfunktion, nämlich 
\[
F = \frac{1}{n+1} z^{n+1}.
\]
\label{buch:integrale:satz:potenzstammfunktion}
\end{satz}

\begin{proof}[Beweis]
Tatsächlich kann man dies sofort nachrechnen, muss allerdings die
Fälle $n+1 >0$ und $n+1<0$ unterscheiden, da die Potenzregel
\eqref{buch:integrale:eqn:potenzregel} nur für natürliche Exponenten
gilt.
Man erhält
\begin{align*}
n+1&>0\colon
&
\frac{d}{dz}\frac{1}{n+1}z^{n+1}
&=
\frac{1}{n+1}(n+1)z^{n+1-1}
=
z^n,
\\
n+1&<0\colon
&
\frac{d}{dz}\frac{1}{n+1}\frac{1}{z^{-(n+1)}}
&=
\frac{1}{n+1}\frac{1'z^{-(n+1)}-1(-(n+1))z^{-n-1-1}}{z^{-2n-2}}
\\
&&
&=
\frac{1}{n+1}
\frac{(n+1)z^n{-n-2}}{z^{-2n-2}}
\\
&&
&=
\frac{1}{z^{-n}}=z^n.
\end{align*}
Man beachte, dass in dieser Rechnung nichts anderes als die
algebraischen Eigenschaften der Produkt- und Quotientenregel
verwendet wurden.
\end{proof}

\subsubsection{Wurzeln}
Die Wurzelfunktionen sollen natürlich als elementare Funktionen
erlaubt sein.
Es ist bekannt, dass $\sqrt{z}\not\in \mathscr{D}=\mathbb{C}(z)$
ist, ein solches Element müsste also erst noch hinzugefügt werden.
Dabei muss auch seine Ableitung definiert werden.
Auch dabei dürfen wir nicht auf eine Grenzwertüberlegung zurückgreifen,
vielmehr müssen wir die Ableitung auf vollständig algebraische
Weise bestimmen.

Wir schreiben $f=\sqrt{z}$ und leiten die Gleichung $f^2=z$ nach $z$ ab.
Dabei ergibt sich nach der Potenzregel
\[
\frac{d}{dz}f^2 = 2f'f = \frac{d}{dz}z=1
\qquad\Rightarrow\qquad f' = \frac{1}{2f}.
\]
Diese Rechnung lässt sich auch auf $n$-Wurzeln $g=\root{n}\of{z}$ mit
der Gleichung $g^n = z$ verallgemeinern.
Die Ableitung der $n$-ten Wurzel ist
\begin{equation}
\frac{d}{dz}g^n
=
ng^{n-1} = \frac{d}{dz}z=1
\qquad\Rightarrow\qquad
\frac{d}{dz}g = \frac{1}{ng^{n-1}}.
\end{equation}
Es ist also möglich, eine differentielle Algebra $\mathscr{D}$ mit einer
$n$-ten Wurzel $g$ zu einer grösseren differentiellen Algebra $\mathscr{D}(g)$
zu erweitern, in der wieder alle Regeln für das Rechnen mit Ableitungen
erfüllt sind.

\subsubsection{Algebraische Elemente}
Die Charakterisierung der Wurzelfunktionen passt zwar zum verlangten
algebraischen Vorgehen, ist aber zu spezielle und nicht gut für die
nachfolgenden Untersuchengen geeignet.
Etwas allgemeiner ist der Begriff der algebraischen Elemente.

\begin{definition}
\label{buch:integrale:def:algebraisches-element}
Seien $K\subset L$ zwei Körper.
Ein Element $\alpha \in L$ heisst {\em algebraisch} über $K$,
wenn $\alpha$ Nullstelle eines Polynoms $p\in K[X]$ mit Koeffizienten
in $K$ ist.
\index{algebraisch}%
\end{definition}

Jedes Element $\alpha\in K$ ist algebraisch, da $\alpha$ Nullstelle
von $X-\alpha\in K[X]$ ist.
Die $n$tem Wurzeln eines Elemente $\alpha\in K$ sind ebenfalls algebraisch,
da sie Nullstellen des Polynoms $p(X) = X^n - \alpha$ sind.
Allerdings ist nicht klar, dass diese Wurzeln überhaupt existieren.
Nach dem Satz von Abel~\ref{buch:potenzen:satz:abel} gibt es aber
Nullstellen von Polynomen, die sich nicht als Wurzelausdrücke schreiben
lassen.
Der Begriff der algebraischen Elemente ist also allgemeiner als der
Begriff der Wurzel.

\begin{definition}
\label{buch:integrale:def:algebraisch-abgeschlossen}
Ein Körper $K$ heisst {\em algebraisch abgeschlossen}, wenn jedes Polynom mit
Koeffizienten in $K$ eine Nullstelle in $K$ hat.
\end{definition}

Der Körper $\mathbb{C}$ ist nach dem
Fundamentalsatz~\label{buch:potenzen:satz:fundamentalsatz}
der Algebra algebraisch abgeschlossen.
Da wir aber mit Funktionen arbeiten, müssen wir auch Wurzeln
von Funktionen finden können.
Dies ist nicht selbstverständlich, wie das folgende Beispiel zeigt.

\begin{beispiel}
Es gibt keine stetige Funktion $f\colon \mathbb{C}\to\mathbb{C}$, die
die Gleichung $f(z)^2 = z$ und $f(1)=1$ erfüllt.
Für die Argumente $z(t)= e^{it}$ folgt, dass $f(z(t)) = e^{it/2}$ sein
muss.
Setzt man aber $t=\pm \pi$ ein, ergeben sich die Werte
$f(z(\pm\pi))=e^{\pm i\pi/2}=\pm 1$, die beiden Grenzwerte
für $t\to\pm\pi$ sind also verschieden.
\end{beispiel}

Die Mathematik hat verschiedene ``Tricks'' entwickelt, wie mit diesem
Problem umgegangen werden kann: Funktionskeime, Garben, Riemannsche
Flächen.
Sie sind alle gleichermassen gut geeignet, das Problem zu lösen.
Für die vorliegende Aufgabe genügt es aber, dass es tatsächlich
immer ein wie auch immer geartetes Element gibt, welches Nullstelle
des Polynoms ist.

Ist $f$ eine Nullstelle des Polynoms $p(X)$ mit Koeffizienten in
$\mathscr{D}$, dann kann man die Ableitung wie folgt berechnen.
Zunächst leitet man $p(f)$ ab:
\begin{align}
0&=
\frac{d}{dz}(a_nf^n + a_{n-1}f^{n-1}+\ldots+a_1f+a_0)
\notag
\\
&=
a_n'f^n + a_{n-1}'f^{n-1}+\ldots+a_1'f+a_0'
+
na_nf^{n-1}f'
+
(n-1)a_nf^{n-2}f'
+
\ldots
+
a_2ff'
+
a_1f'
\notag
\\
&=
a_n'f^n + a_{n-1}'f^{n-1}+\ldots+a_1'f+a_0'
+
(
na_nf^{n-1}
+
(n-1)a_nf^{n-2}
+
\ldots
+
a_2f
+
a_1
)f'
\notag
\\
\Rightarrow
\qquad
f'&=\frac{
a_n'f^n + a_{n-1}'f^{n-1}+\dots+a_1'f+a_0'
}{
na_nf^{n-1}
+
(n-1)a_nf^{n-2}
+
\dots
+
a_1
}.
\label{buch:integrale:eqn:algabl}
\end{align}
Das einzige, was dabei schief gehen könnte ist, dass der Nenner ebenfalls
verschwindet.
Dieses Problem kann man dadurch lösen, dass man als Polynom das
sogenannte Minimalpolynom verwendet.

\begin{definition}
Das {\em Minimalpolynome} $m(X)$ eines algebraischen Elementes $\alpha$ ist
das Polynom kleinsten Grades, welches $m(\alpha)=0$ erfüllt.
\end{definition}

Da das Minimalpolynom den kleinstmöglichen Grad hat, kann der Nenner
von~\eqref{buch:integrale:eqn:algabl},
der noch kleineren Grad hat, unmöglich verschwinden.
Das Minimalpolynom ist auch im wesentlichen eindeutig.
Gäbe es nämlich zwei verschiedene Minimalpolynome $m_1$ und $m_2$,
dann müsste $\alpha$ auch eine Nullstelle des grössten gemeinsamen
Teilers $m_3=\operatorname{ggT}(m_1,m_2)$ sein.
Wären die beiden Polynome wesentlich verschieden, dann hätte $m_3$
kleineren Grad, im Widerspruch zur Definition des Minimalpolynoms.
Also unterscheiden sich die beiden Polynome $m_1$ und $m_2$ nur um
einen skalaren Faktor.

\subsubsection{Konjugation, Spur und Norm}
% Konjugation, Spur und Norm
Das Minimalpolynom eines algebraischen Elementes ist nicht
eindeutig bestimmt.
Zum Beispiel ist $\sqrt{2}$ algebraisch über $\mathbb{Q}$, das
Minimalpolynom ist $m(X)=X^2-2\in\mathbb{Q}[X]$. 
Es hat aber noch eine zweite Nullstelle $-\sqrt{2}$.
Mit rein algebraischen Mitteln sind die beiden Nullstellen $\pm\sqrt{2}$
nicht zu unterscheiden, erst die Verwendung der Vergleichsrelation
ermöglicht, sie zu unterscheiden.

Dasselbe gilt für die imaginäre Einheit $i$, die das Minimalpolynom
$m(X)=X^2+1\in\mathbb{R}[X]$ hat.
Hier gibt es nicht einmal mehr eine Vergleichsrelation, mit der man
die beiden Nullstellen unterscheiden könnte.
In der Tat ändert sich aus algebraischer Sicht nichts, wenn man in
allen Formeln $i$ durch $-i$ ersetzt.

Etwas komplizierter wird es bei $\root{3}\of{2}$.
Das Polynom $m=x^3-2\in\mathbb{Q}[X]$ hat $\root{3}\of{2}$ als
Nullstelle und dies ist auch tatsächlich das Minimalpolynom.
Das Polynom hat noch zwei weitere Nullstellen
\[
\alpha_+ = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\root{3}\of{2}
\qquad\text{und}\qquad
\alpha_- = \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\root{3}\of{2}.
\]
Die beiden Lösungen gehen durch die Vertauschung von $i$ und $-i$ 
auseinander hervor.
Betrachtet man dasselbe Polynom aber als Polynom in $\mathbb{R}[X]$,
dann ist es nicht mehr das Minimalpolynom von $\root{3}\of{2}$, da
$X-\root{3}\of{2}\in\mathbb{R}[X]$ kleineren Grad und $\root{3}\of{2}$
als Nullstelle hat.
Indem man
\[
m(X)/(X-\root{3}\of{2})=X^2+\root{3}\of{2}X+\root{3}\of{2}^2=m_2(X)
\]
rechnet, bekommt man das Minimalpolynom der beiden Nullstellen $\alpha_+$
und $\alpha_-$.
Wir lernen aus diesen Beispielen, dass das Minimalpolynom vom Grundkörper
abhängig ist (Die Faktorisierung $(X-\root{3}\of{2})\cdot m_2(X)$ von
$m(X)$ ist in $\mathbb{Q}[X]$ nicht möglich) und dass wir keine 
algebraische Möglichkeit haben, die verschiedenen Nullstellen des
Minimalpolynoms zu unterscheiden.

Die beiden Nullstellen $\alpha_+$ und $\alpha_-$ des Polynoms $m_2(X)$
erlauben, $m_2(X)=(X-\alpha_+)(X-\alpha_-)$ zu faktorisieren.
Durch Ausmultiplizieren
\[
(X-\alpha_+)(X-\alpha_-)
=
X^2 -(\alpha_++\alpha_-)X+\alpha_+\alpha_-
\]
und Koeffizientenvergleich mit $m_2(X)$ findet man die symmetrischen 
Formeln
\[
\alpha_+ + \alpha_- = \root{3}\of{2}
\qquad\text{und}\qquad
\alpha_+ \alpha_ = \root{3}\of{2}.
\]
Diese Ausdrücke sind nicht mehr abhängig von einer speziellen Wahl
der Nullstellen.

Das Problem verschärft sich nocheinmal, wenn wir Funktionen betrachten.
Das Polynom $m(X)=X^3-z$ ist das Minimalpolynom der Funktion $\root{3}\of{z}$.
Die komplexe Zahl $z=re^{i\varphi}$ hat aber drei die algebraisch nicht
unterscheidbaren Nullstellen 
\[
\alpha_0(z)=\root{3}\of{r}e^{i\varphi/3},
\quad
\alpha_1(z)=\root{3}\of{r}e^{i\varphi/3+2\pi/3}
\qquad\text{und}\qquad
\alpha_2(z)=\root{3}\of{r}e^{i\varphi/3+4\pi/3}.
\]
Aus der Faktorisierung $ (X-\alpha_0(z)) (X-\alpha_1(z)) (X-\alpha_2(z))$
und dem Koeffizientenvergleich mit dem Minimalpolynom kann man wieder
schliessen, dass die Relationen
\[
\alpha_0(z) + \alpha_1(z) + \alpha_2(z)=0
\qquad\text{und}\qquad
\alpha_0(z)  \alpha_1(z) \alpha_2(z) = z
\]
gelten.

Wir können also oft keine Aussagen über individuelle Nullstellen
eines Minimalpolynoms machen, sondern nur über deren Summe oder
Produkt.

\begin{definition}
\index{buch:integrale:def:spur-und-norm}
Sie $m(X)\in K[X]$ das Minimalpolynom eines über $K$ algebraischen
Elements und
\[
m(X) = a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \ldots + a_1X + a_0.
\]
Dann heissen
\[
\operatorname{Tr}(\alpha) = -a_{n-1}
\qquad\text{und}\qquad
\operatorname{Norm}(\alpha) = (-1)^n a_0
\]
die {\em Spur} und die {\em Norm} des Elementes $\alpha$.
\index{Spur eines algebraischen Elementes}%
\index{Norm eines algebraischen Elementes}%
\end{definition}

Die Spur und die Norm können als Spur und Determinante einer Matrix
verstanden werden, diese allgemeineren Definitionen, die man in der
Fachliteratur, z.~B.~in~\cite{buch:lang} nachlesen kann, führen aber
für unsere Zwecke zu weit.

\begin{hilfssatz}
Die Ableitungen von Spur und Norm sind
\[
\operatorname{Tr}(\alpha)'
=
\operatorname{Tr}(\alpha')
\qquad\text{und}\qquad
\operatorname{Norm}(\alpha)'
=
\operatorname{Tr}(\alpha)'
\]
XXX Wirklich?
\end{hilfssatz}

\subsubsection{Logarithmen und Exponentialfunktionen}
Die Funktion $z^{-1}$ musste im
Satz~\ref{buch:integrale:satz:potenzstammfunktion}
ausgeschlossen werden, sie hat keine Stammfunktion in $\mathbb{C}(z)$.
Aus der Analysis ist bekannt, dass die Logarithmusfunktion $\log z$ 
eine Stammfunktion ist.
Der Logarithmus von $z$ aber auch der Logarithmus $\log f(z)$
einer beliebigen Funktion $f(z)$ oder die Exponentialfunktion $e^{f(z)}$
sollen ebenfalls elementare Funktionen sein.
Da wir aber auch hier nicht auf die analytischen Eigenschaften zurückgreifen
wollen, brauchen wir ein rein algebraische Definition.

\begin{definition}
\label{buch:integrale:def:logexp}
Sei $\mathscr{D}$ ein differentielle Algebra und $f\in\mathscr{D}$.
Ein Element $\vartheta\in\mathscr{D}$ heisst ein {\em Logarithmus}
von $f$, geschrieben $\vartheta = \log f$, wenn $f\vartheta' = f'$ gilt.
$\vartheta$ heisst eine Exponentialfunktion von $f$ wenn
$\vartheta'=\vartheta f'$ gilt.
\end{definition}

Die Formel für die Exponentialfunktion ist etwas vertrauter, sie ist
die bekannte Kettenregel
\begin{equation}
\vartheta'
=
\frac{d}{dz} e^f
=
e^f \cdot \frac{d}{dz} f
=
\vartheta \cdot f'.
\label{buch:integrale:eqn:exponentialableitung}
\end{equation}
Da wir uns vorstellen, dass Logarithmen Umkehrfunktionen von 
Exponentialfunktionen sein sollen, 
muss die definierende Gleichung genau wie
\eqref{buch:integrale:eqn:exponentialableitung}
aussehen, allerdings mit vertauschten Plätzen von $f$ und $\vartheta$,
also 
\begin{equation}
\vartheta' = \vartheta\cdot f'
\qquad
\rightarrow
\qquad
f' = f\cdot \vartheta'
\;\Leftrightarrow\;
\vartheta' = (\log f)' = \frac{f'}{f}.
\label{buch:integrale:eqn:logarithmischeableitung}
\end{equation}
Dies ist die aus der Analysis bekannte Formel für die logarithmische
Ableitung.

Der Logarithmus von $f$ und die Exponentialfunktion von $f$ sollen
also ebenfalls als elementare Funktionen betrachtet werden.

\subsubsection{Die trigonometrischen Funktionen}
Die bekannten trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen
sollten natürlich auch elementare Funktionen sein.
Dabei kommt uns zur Hilfe, dass sie sich mit Hilfe der Exponentialfunktion
als
\[
\cos f = \frac{e^{if}+e^{-if}}2
\qquad\text{und}\qquad
\sin f = \frac{e^{if}-e^{-if}}{2i}
\]
schreiben lassen.
Eine differentielle Algebra, die die Exponentialfunktionen von $if$ und
$-if$ enthält, enthält also automatisch auch die trigonometrischen
Funktionen.
Im Folgenden ist es daher nicht mehr nötig, die trigonometrischen
Funktionen speziell zu untersuchen.

\subsubsection{Elementare Funktionen}
Damit sind wir nun in der Lage, den Begriff der elementaren Funktion
genau zu fassen.

\begin{definition}
\label{buch:integrale:def:einfache-elementare-funktion}
Sie $\mathscr{D}$ eine differentielle Algebra über $\mathbb{C}$ und
$\mathscr{D}(\vartheta)$ eine Erweiterung von $\mathscr{D}$ um eine
neue Funktion $\vartheta$, dann heissen $\vartheta$ und die Elemente
von $\mathscr{D}(\vartheta)$ einfach elementar, wenn eine der folgenden
Bedingungen erfüllt ist:
\begin{enumerate}
\item $\vartheta$ ist algebraisch über $\mathscr{D}$, d.~h.~$\vartheta$
ist eine ``Wurzel''.
\item $\vartheta$ ist ein Logarithmus einer Funktion in $\mathscr{D}$,
d.~h.~es gibt $f\in \mathscr{D}$ mit $f'=f\vartheta'$
(Definition~\ref{buch:integrale:def:logexp}).
\item $\vartheta$ ist eine Exponentialfunktion einer Funktion in $\mathscr{D}$,
d.~h.~es bit $f\in\mathscr{D}$ mit $\vartheta'=\vartheta f'$
(Definition~\ref{buch:integrale:def:logexp}).
\end{enumerate}
\end{definition}

Einfache elementare Funktionen entstehen also ausgehend von einer 
differentiellen Algebra, indem man genau einmal eine Wurzel, einen
Logarithmus oder eine Exponentialfunktion hinzufügt.
So etwas wie die zusammengesetzte Funktion $e^{\sqrt{z}}$ ist
damit noch nicht möglich.
Daher erlauben wir, dass man die gesuchten Funktionen in mehreren
Schritten aufbauen kann.

\begin{definition}
Sei $\mathscr{F}$ eine differentielle Algebra, die die differentielle
Algebra $\mathscr{D}$ enthält, also $\mathscr{D}\subset\mathscr{F}$.
$\mathscr{F}$ und die Elemente von $\mathscr{F}$ heissen einfach,
wenn es endlich viele Elemente $\vartheta_1,\dots,\vartheta_n$ gibt
derart, dass
\[
\renewcommand{\arraycolsep}{2pt}
\begin{array}{ccccccccccccc}
\mathscr{D}
&\subset&
\mathscr{D}(\vartheta_1)
&\subset&
\mathscr{D}(\vartheta_1,\vartheta_2)
&\subset&
\;
\cdots
\;
&\subset&
\mathscr{D}(\vartheta_1,\vartheta_2,\dots,\vartheta_{n-1})
&\subset&
\mathscr{D}(\vartheta_1,\vartheta_2,\dots,\vartheta_{n-1},\vartheta_n)
&=&
\mathscr{F}
\\
\|
&&
\|
&&
\|
&&
&&
\|
&&
\|
&&
\\
\mathscr{F}_0
&\subset&
\mathscr{F}_1
&\subset&
\mathscr{F}_2
&\subset&
\cdots
&\subset&
\mathscr{F}_{n-1}
&\subset&
\mathscr{F}_{n\mathstrut}
&&
\end{array}
\]
gilt so, dass jedes $\vartheta_{i+1}$ einfach ist über 
$\mathscr{F}_i=\mathscr{D}(\vartheta_1,\dots,\vartheta_i)$.
\end{definition}

In Worten bedeutet dies, dass man den Funktionen von $\mathscr{D}$ 
nacheinander Wurzeln, Logarithmen oder Exponentialfunktionen einzelner
Funktionen hinzufügt.
Die Aufgabe~\ref{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion} kann
jetzt so formuliert werden.

\begin{aufgabe}
\label{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion-dalg}
Gegeben ist eine Differentielle Algebra $\mathscr{D}$ und eine
Funktion $f\in \mathscr{D}$.
Gibt es eine Folge $\vartheta_1,\dots,\vartheta_n$ und eine Funktion
$F\in\mathscr{D}(\vartheta_1,\dots,\vartheta_n)$ derart, dass
$F'=f$.
\end{aufgabe}

Das folgende Beispiel zeigt, wie man möglicherweise mehrere 
Erweiterungsschritte vornehmen muss, um zu einer Stammfunktion
zu kommen.
Es illustriert auch die zentrale Rolle, die der Partialbruchzerlegung
in der weiteren Entwicklung zukommen wird.

\begin{beispiel}
\label{buch:integrale:beispiel:nichteinfacheelementarefunktion}
Es soll eine Stammfunktion der Funktion
\[
f(z)
=
\frac{z}{(az+b)(cz+d)}
\in
\mathbb{C}(z)
\]
gefunden werden.
In der Analysis lernt man, dass solche Integrale mit der
Partialbruchzerlegung 
\[
\frac{z}{(az+b)(cz+d)}
=
\frac{A_1}{az+b}+\frac{A_2}{cz+d}
=
\frac{A_1cz+A_1d+A_2az+A_2b}{(az+b)(cz+d)}
\quad\Rightarrow\quad
\left\{
\renewcommand{\arraycolsep}{2pt}
\begin{array}{rcrcr}
cA_1&+&aA_2&=&1\\
dA_1&+&bA_2&=&0
\end{array}
\right.
\]
bestimmt werden.
Die Lösung des Gleichungssystems ergibt
$A_1=b/(bc-ad)$ und $A_2=d/(ad-bc)$.
Die Stammfunktion kann dann aus
\begin{align*}
\int f(z)\,dz
&=
\int\frac{A_1}{az+b}\,dz
+
\int\frac{A_2}{cz+d}\,dz
=
\frac{A_1}{a}\int\frac{a}{az+b}\,dz
+
\frac{A_2}{c}\int\frac{c}{cz+d}\,dz
\end{align*}
bestimmt werden.
In den Integralen auf der rechten Seite ist der Zähler jeweils die
Ableitung des Nenners, der Integrand hat also die Form $g'/g$.
Genau diese Form tritt in der Definition eines Logarithmus auf.
Die Stammfunktion ist jetzt
\[
F(z)
=
\int f(z)\,dz
=
\frac{A_1}{a}\log(az+b)
+
\frac{A_2}{c}\log(cz+d)
=
\frac{b\log(az+b)}{a(bc-ad)}
+
\frac{d\log(cz+d)}{c(ad-bc)}.
\]
Die beiden Logarithmen kann man nicht durch rein rationale Operationen
ineinander überführen.
Sie müssen daher beide der Algebra $\mathscr{D}$ hinzugefügt werden.
\[
\left.
\begin{aligned}
\vartheta_1&=\log(az+b)\\
\vartheta_2&=\log(cz+d)
\end{aligned}
\quad
\right\}
\qquad\Rightarrow\qquad
F(z) \in \mathscr{F}=\mathscr{D}(\vartheta_1,\vartheta_2).
\]
Die Stammfunktion $F(z)$ ist also keine einfache elementare Funktion,
aber $F$ ist immer noch eine elementare Funktion.
\end{beispiel}

\subsection{Partialbruchzerlegung
\label{buch:integrale:section:partialbruchzerlegung}}
Die Konstruktionen des letzten Abschnitts haben gezeigt,
wie man die Funktionen, die man als Stammfunktionen einer Funktion
zulassen möchte, schrittweise konstruieren kann.
Die Aufgabe~\ref{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion-dalg}
ist eine rein algebraische Formulierung der ursprünglichen
Aufgabe~\ref{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion}.
Schliesslich hat das Beispiel auf
Seite~\pageref{buch:integrale:beispiel:nichteinfacheelementarefunktion}
gezeigt, dass es im allgemeinen mehrere Schritte braucht, um zu einer
elementaren Stammfunktion zu gelangen.
Die Lösung setzt sich aus den Termen der Partialbruchzerlegung.
In diesem Abschnitt soll diese genauer studiert werden.

In diesem Abschnitt gehen wir immer von einer differentiellen
Algebra über den komplexen Zahlen aus und verlangen, dass die
Konstanten in allen betrachteten differentiellen Algebren
$\mathbb{C}$ sind.

\subsubsection{Monome}
Die beiden Funktionen $\vartheta-1=\log(az+b)$ und $\vartheta_2=(cz+d)$,
die im Beispiel hinzugefügt werden mussten, verhalten sich ich algebraischer
Hinsicht wie ein Monom: man kann es nicht faktorisieren oder bereits
bekannte Summanden aufspalten.
Solchen Funktionen kommt eine besondere Bedeutung zu.

\begin{definition}
\label{buch:integrale:def:monom}
Die Funktion $\vartheta$ heisst ein Monom, wenn $\vartheta$ nicht
algebraisch ist über $\mathscr{D}$ und $\mathscr{D}(\vartheta)$ die
gleichen Konstanten enthält wie $\mathscr{D}$.
\end{definition}

\begin{beispiel}
Als Beispiel beginnen wir mit den komplexen Zahlen $\mathbb{C}$
und fügen die Funktion $\vartheta_1=z$ hinzu und erhalten
$\mathscr{D}=\mathbb{C}(z)$.
Die Funktionen $z^k$ sind für alle $k$ linear unabhängig, d.~h.~es
gibt keinen Ausdruck
\[
a_nz^n + a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_1z+a_0=0.
\]
Dies ist gleichbedeutend damit, dass $z$ nicht algebraisch ist.
Das Monom $z$ ist also auch ein Monom im Sinne der
Definition~\ref{buch:integrale:def:monom}.
\end{beispiel}

\begin{beispiel}
Wir beginnen wieder mit $\mathbb{C}$ und fügen die Funktion
$e^z$ hinzu.
Gäbe es eine Beziehung
\[
b_m(e^z)^m + b_{m-1}(e^z)^{m-1}+\dots+b_1e^z + b_0=0
\]
mit komplexen Koeffizienten $b_i\in\mathbb{C}$,
dann würde daraus durch Einsetzen von $z=1$ die Relation
\[
b_me^m + b_{m-1}e^{m-1} + \dots + b_1e + b_0=0,
\]
die zeigen würde, dass $e$ eine algebraische Zahl ist.
Es ist aber bekannt, dass $e$ transzendent ist.
Dieser Widersprich zeigt, dass $e^z$ ein Monom ist.
\end{beispiel}

\begin{beispiel}
Jetzt fügen wir die Exponentialfunktion $\vartheta_2=e^z$
der differentiellen Algebra $\mathscr{D}=\mathbb{C}(z)$ hinzu
und erhalten $\mathscr{F}_1=\mathscr{D}(e^z) = \mathbb{C}(z,e^z)$.
Gäbe es das Minimalpolynom 
\begin{equation}
b_m(z)(e^z)^m + b_{m-1}(z)(e^z)^{m-1}+\dots+b_1(z)e^z + b_0(z)=0
\label{buch:integrale:beweis:exp-analytisch}
\end{equation}
mit Koeffizienten $b_i\in\mathbb{C}(z)$, dann könnte man mit dem
gemeinsamen Nenner der Koeffizienten durchmultiplizieren und erhielte
eine Relation~\eqref{buch:integrale:beweis:exp-analytisch} mit
Koeffizienten in $\mathbb{C}[z]$.
Dividiert man durch $e^{mz}$ erhält man
\[
b_m(z) + b_{m-1}(z)\frac{1}{e^z} + \dots + b_1(z)\frac{1}{(e^z)^{m-1}} + b_0(z)\frac{1}{(e^z)^m}=0.
\]
Aus der Analysis weiss man, dass die Exponentialfunktion schneller
anwächst als jedes Polynom, alle Terme auf der rechten Seite
konvergieren daher gegen 0 für $z\to\infty$.
Das bedeutet, dass $b_m(z)\to0$ für $z\to \infty$.
Das Polynom~\eqref{buch:integrale:beweis:exp-analytisch} wäre also gar
nicht das Minimalpolynom.
Dieser Widerspruch zeigt, dass $e^z$ nicht algebraisch ist über
$\mathbb{C}(z)$ und damit ein Monom ist\footnote{Etwas unbefriedigend
an diesem Argument ist, dass man hier wieder rein analytische statt
algebraische Eigenschaften von $e^z$ verwendet.
Gäbe es aber eine minimale Relation wie
\eqref{buch:integrale:beweis:exp-analytisch}
mit Polynomkoeffizienten, dann wäre sie von der Form
\[
P(z,e^z)=p(z)(e^z)^m + q(z,e^z)=0,
\]
wobei Grad von $e^z$ in $q$ höchstens $m-1$ ist.
Die Ableitung wäre dann
\[
Q(z,e^z)
=
mp(z)(e^z)^m + p'(z)(e^z)^m + r(z,e^z)
=
(mp(z) + p'(z))(e^z)^m + r(z,e^z)
=0,
\]
wobei der Grad von $e^z$ in $r$ wieder höchstens $m-1$ ist.
Bildet man $mP(z,e^z) - Q(z,e^z) = 0$ ensteht eine Relation,
in der der Grad des Koeffizienten von $(e^z)^m$ um eins abgenommen hat.
Wiederholt man dies $m$ mal, verschwindet der Term $(e^z)^m$, die
Relation~\eqref{buch:integrale:beweis:exp-analytisch}
war also gar nicht minimal.
Dieser Widerspruch zeigt wieder, dass $e^z$ nicht algebraisch ist,
verwendet aber nur die algebraischen Eigenschaften der differentiellen
Algebra.
}.
\end{beispiel}

\begin{beispiel}
Wir hätten auch in $\mathbb{Q}$ arbeiten können und $\mathbb{Q}$
erst die Exponentialfunktion $e^z$ und dann den Logarithmus $z$ von $e^z$
hinzufügen können.
Es gibt aber noch weitere Logarithmen von $e^z$ zum Beispiel $z+2\pi i$.
Offenbar ist $\psi=z+2\pi i\not\in \mathbb{Q}(z,e^z)$, wir könnten also
auch noch $\psi$ hinzufügen.
Zwar ist $\psi$ auch nicht algebraisch, aber wenn wir $\psi$ hinzufügen,
dann wird aber die Menge der Konstanten grösser, sie umfasst jetzt
$\mathbb{Q}(2\pi i)$.
Die Bedingung in der Definition~\ref{buch:integrale:def:monom},
dass die Menge der Konstanten nicht grösser werden darf, ist also
verletzt.

Hätte man mit $\mathbb{Q}(e^z, z+2\pi i)$ begonnen, wäre $z$ aus
dem gleichen Grund kein Monom, aber $z+2\pi i$ wäre eines im Sinne
der Definition~\ref{buch:integrale:def:monom}.
In allen Rechnungen könnte man $\psi=z+2\pi i$ nicht weiter aufteilen,
da $\pi$ oder seine Potenzen keine Elemente von $\mathbb{Q}(e^z)$ sind.
\end{beispiel}

Da wir im Folgenden davon ausgehen, dass die Konstanten unserer
differentiellen Körper immer $\mathbb{C}$ sind, wird es jeweils
genügen zu untersuchen, ob eine neu hinzuzufügende Funktion algebraisch
ist oder nicht.

\subsubsection{Ableitungen von Polynomen und rationalen Funktionen von Monomen}
Fügt man einer differentiellen Algebra ein Monom hinzu, dann lässt
sich etwas mehr über Ableitungen von Polynomen oder Brüchen in diesen
Monomen sagen.
Diese Eigenschaften werden später bei der Auflösung der Partialbruchzerlegung
nützlich sein.

\begin{satz}
\label{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad}
Sei
\[
P
=
A_nX^n + A_{n-1}X^{n-1} + \dots A_1X+A_0
\in\mathscr{D}[X]
\]
ein Polynom mit Koeffizienten in einer differentiellen Algebra $\mathscr{D}$
und $\vartheta$ ein Monom über $\mathscr{D}$.
Dann gilt
\begin{enumerate}
\item
\label{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad-log}
Falls $\vartheta=\log f$ ist, ist $P(\vartheta)'$ ein
Polynom vom Grad $n$ in $\vartheta$, wenn der Leitkoeffizient $A_n$
nicht konstant ist, andernfalls ein Polynom vom Grad $n-1$.
\item
\label{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad-exp}
Falls $\vartheta = \exp f$ ist, dann ist $P(\vartheta)'$ ein Polynom
in $\vartheta$ vom Grad $n$.
\end{enumerate}
\end{satz}

Der Satz macht also genaue Aussagen darüber, wie sich der Grad eines
Polynoms in $\vartheta$ beim Ableiten ändert.

\begin{proof}[Beweis]
Für Exponentialfunktion ist $\vartheta'=\vartheta f'$, die Ableitung
fügt also einfach einen Faktor $f'$ hinzu.
Terme der Form $A_k\vartheta^k$ haben die Ableitung
\[
(A_k\vartheta^k)
=
A'_k\vartheta^k + A_kk\vartheta^{k-1}\vartheta'
=
A'_k\vartheta^k + A_kk\vartheta^{k-1}\vartheta f'
=
(A'_k + kA_k f)\vartheta^k.
\]
Damit wird die Ableitung des Polynoms
\begin{equation}
P(\vartheta)'
=
\underbrace{(A'_n+nA_nf')\vartheta^n}_{\displaystyle=(A_n\vartheta^n)'}
+
(A'_{n-1}+(n-1)A_{n-1}f')\vartheta^{n-1}
+ \dots + 
(A'_1+A_1f')\vartheta + A_0'.
\label{buch:integrale:ableitung:polynom}
\end{equation}
Der Grad der Ableitung kann sich also nur ändern, wenn $A_n'+nA_nf'=0$ ist.
Dies bedeutet aber wegen
\(
(A_n\vartheta^n)'
=
0
\), dass  $A_n\vartheta^n=c$ eine Konstante ist.
Da alle Konstanten bereits in $\mathscr{D}$ sind, folgt, dass
\[
\vartheta^n=\frac{c}{A_n}
\qquad\Rightarrow\qquad
\vartheta^n - \frac{c}{A_n}=0,
\]
also wäre $\vartheta$ algebraisch über $\mathscr{D}$, also auch kein Monom.
Dieser Widerspruch zeigt, dass der Leitkoeffizient nicht verschwinden kann.

Für die erste Aussage ist die Ableitung der einzelnen Terme des Polynoms
\[
(A_k\vartheta^k)'
=
A_k'\vartheta^k + A_kk\vartheta^{k-1}\vartheta'
=
A_k'\vartheta^k + A_kk\vartheta^{k-1}\frac{f'}{f}
=
\biggl(A_k'\vartheta + kA_k\frac{f'}{f}\biggr)\vartheta^{k-1}.
\]
Die Ableitung des Polynoms ist daher
\[
P(\vartheta)'
=
A_n'\vartheta^n + \biggl(nA_n\frac{f'}{f}+ A'_{n-1}\biggr)\vartheta^{n-1}+\dots
\]
Wenn $A_n$ keine Konstante ist, ist $A_n'\ne 0$ und der Grad von
$P(\vartheta)'$ ist $n$.
Wenn $A_n$ eine Konstante ist, müssen wir noch zeigen, dass der nächste
Koeffizient nicht verschwinden kann.
Wäre der zweite Koeffizient $=0$, dann wäre die Ableitung
\[
(nA_n\vartheta+A_{n-1})'
=
nA_n\vartheta'+A'_{n-1}
=
nA_n\frac{f'}{f}+A'_{n-1}
=
0,
\]
d.h. $nA_n\vartheta+A_{n-1}=c$ wäre eine Konstante.
Da alle Konstanten schon in $\mathscr{D}$ sind, müsste auch
\[
\vartheta = \frac{c-A_{n-1}}{nA_n} \in \mathscr{D}
\]
sein, wieder wäre $\vartheta$ kein Monom.
\end{proof}

Der nächste Satz gibt Auskunft über den führenden Term in
$(\log P(\vartheta))' = P(\vartheta)'/P(\vartheta)$.

\begin{satz}
\label{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-grad}
Sei $P$ ein Polynom vom Grad $n$ wie in
\label{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung}
welches zusätzlich normiert ist, also $A_n=1$.
\begin{enumerate}
\item
\label{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-log}
Ist $\vartheta=\log f$, dann ist
$(\log P(\vartheta))' = P(\vartheta)'/P(\vartheta)$ und $P(\vartheta)'$
hat Grad $n-1$.
\item
\label{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-exp}
Ist $\vartheta=\exp f$, dann gibt es ein Polynom $N(\vartheta)$ so, dass
$(\log P(\vartheta))'
=
P(\vartheta)'/P(\vartheta)
=
N(\vartheta)/P(\vartheta)+nf'$
ist.
Falls $P(\vartheta)=\vartheta$ ist $N=0$, andernfalls ist $N(\vartheta)$
ein Polynom vom Grad $<n$.
\end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}[Beweis]
Die Gleichung $(\log P(\vartheta))'=P(\vartheta)'/P(\vartheta)$ ist die
Definition eines Logarithmus, es geht also vor allem um die Frage
des Grades von $P(\vartheta)'$.
Da der Leitkoeffizient als $1$ und damit konstant vorausgesetzt wurde,
folgt die Behauptung \ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-log}
aus 
Aussage \ref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad-log}
von Satz~\ref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad}.

Für Aussage \ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-exp}
beachten wir wieder die
Ableitungsformel~\eqref{buch:integrale:ableitung:polynom}
und berücksichtigen, dass $A_n=1$ eine Konstante ist.
Da $A_n'=0$ ist, wird
\begin{align*}
P(\vartheta)'
&=
nA_n\vartheta^n f' + \text{Terme niedrigeren Grades in $\vartheta$}.
\intertext{Das Polynom $nf'P(\vartheta)$ hat den gleichen Term vom
Grad $n$, man kann also $P(\vartheta)'$ auch schreiben als}
&=
nf'
P(\vartheta)
+
\underbrace{
\text{Terme niedrigeren Grades in $\vartheta$}}_{\displaystyle=N(\vartheta)}.
\end{align*}
Division durch $P(\vartheta)$ ergibt die versprochene Formel.

Im Fall $P(\vartheta)=\vartheta$ ist $n=1$ und
$(\log P(\vartheta))'=P(\vartheta)'/P(\vartheta)
=
\vartheta f'/\vartheta
=
nf'$ und somit $N(\vartheta)=0$.
\end{proof}

\subsubsection{Partialbruchzerlegungen}
Der vorangegangene Abschnitt hat gezeigt, dass sich Monome im Sinne
der Definition~\ref{buch:integrale:def:monom} algebraisch wie eine
unabhängige Variable verhalten.
Für die Berechnung von Integralen rationaler Funktionen in einer
Variablen $x$ verwendet
man die Partialbruchzerlegung, um Brüche mit einfachen Nennern zu
erhalten.
Es liegt daher nahe, dieselbe Idee auch auf die 
Monome $\vartheta_i$ zu verwenden.
Dazu muss man die Brüche besser verstehen, die in einer Partialbruchzerlegung
vorkommen können.

Eine Partialbruchzerlegung in der Variablen $X$ setzt sich zusammen
aus Brüchen der Form
\begin{equation}
g(X)
=
\frac{P(X)}{Q(X)^r},
\label{buch:integrale:eqn:partialbruch-quotient}
\end{equation}
wobei das Nennerpolynom $Q(X)$ ist ein normiertes irreduzibles Polynom
vom Grad $q$ und $P(X)$ ein beliebiges Polynom vom Grad $p<q$.

Ist der Grad von $P(X)$
im Quotienten 
\eqref{buch:integrale:eqn:partialbruch-quotient}
grösser als $q$, dann kann man $P(X)$ um Vielfache von Potenzen von
$Q(X)$ reduzieren und eine Summe von Termen der Art
\eqref{buch:integrale:eqn:partialbruch-quotient}
erhalten, deren Nenner alle Grad $< q$ haben.
Die Anzahl neu enstehender Terme ist dabei ums grösser, je grösser
der Grad des Zählers ist.
Dies ist der Inhalt des folgenden Satzes.

\begin{satz}
\label{buch:integrale:satz:partialbruch-reduktion}
Sei $Q(X)$ ein irreduzibles Polynom vom Grad $q$ und $P(X)$ ein beliebiges
Polynom vom Grad $p < (k+1)q$.
Dann gibt es Polynome $P_i(X)$, $i=0,\dots,k$, vom Grad $<q$ derart,
dass
\begin{equation}
\frac{P(X)}{Q(X)^r}
=
\sum_{i=0}^k \frac{P_i(X)}{Q(X)^{r-i}}.
\label{buch:integrale:satz:partialbruch-aufgeloest}
\end{equation}
\end{satz}

\begin{proof}[Beweis]
Für $k=0$ ist $p<q$ und es muss nichts weiter gezeigt werden.

Sei jetzt also $k>0$ das kleinste $k$ so, dass $p<(k+1)q$.
Insbesondere ist dann $kq\le p$.
Nach dem euklidischen Satz für die Division von $P(X)$ durch $Q(X)^k$
gibt es ein Polynom $P_k(X)$ vom Grad $\le p-qk$ derart, dass
\[
P(X) = P_k(X)Q(X)^k + R_k(X)
\]
mit einem Rest $R_k(X)$ vom Grad $<kq$.
Es folgt
\[
\frac{ P(X)}{Q(X)^r}
=
\frac{P_k(X)}{Q(X)^{r-k}}
+
\frac{R_k(X)}{Q(X)^r}.
\]
Der zweite Term ist wieder von der im Satz beschriebenen Art, allerdings
mit einem Wert von $k$, der um $1$ kleiner ist.
Durch rekursive Anwendung der gleichen Prozedur in $k$ weiteren Schritten
erhält man die Form
Das gleiche Argument kann jetzt auf das Polynom $R_k(X)$ anstelle
von $P(X)$ angewendet werden,  erhalt man den Ausdruck
\eqref{buch:integrale:satz:partialbruch-aufgeloest}.
\end{proof}

In der differentiellen Algebra $\mathscr{D}(\vartheta)$ muss man jetzt
auch Bescheid wissen über die Partialbruchzerlegung von Ableitungen solcher
Terme.

\begin{satz}
\label{buch:integrale:satz:partialbruch-monom}
Sei $\vartheta$ ein Monom über $\mathscr{D}$ und
seien $P(\vartheta),Q(\vartheta)\in\mathscr{D}[\vartheta]$ Polynome,
wobei $Q(\vartheta)$ ein irreduzibles normiertes Polynom vom Grad $q$
ist und $P(\vartheta)$ ein beliebiges Polynom vom Grad $p<q$.
Dann ist die Ableitung
\begin{equation}
g(\vartheta)'
=
\biggl(
\frac{P(\vartheta)}{Q(\vartheta)^r}
\biggr)'
=
-r\frac{P(\vartheta)Q(\vartheta)'}{Q(\vartheta)^{r+1}}
+
\frac{P(\vartheta)'}{Q(\vartheta)^r}.
\label{buch:integrale:eqn:partialbruch-ableitung}
\end{equation}
Falls $\vartheta=\exp f$ eine Exponentialfunktion ist und
$Q(\vartheta)=\vartheta$, dann hat die Partialbruchzerlegung von $g(X)'$
die Form
\begin{equation}
g(\vartheta)'
=
\frac{
{P(\vartheta)'-rP(\vartheta)f}
}{
\vartheta^{r}
}.
\label{buch:integrale:eqn:partialbruch-ableitung-fall0}
\end{equation}
Für $Q(\vartheta)\ne \vartheta$ oder $\vartheta$ keine Exponentialfunktion
hat die Partialbruchzerlegung von $g(X)'$ die Form
\[
g(\vartheta)'
=
\frac{R(\vartheta)}{Q(\vartheta)^{r+1}}+\frac{S(\vartheta)}{Q(\vartheta)^r}
\qquad\text{mit $R(\vartheta)\ne 0$}.
\]
\end{satz}

\begin{proof}[Beweis]
Schreibt man den Quotienten $g(\vartheta)$ als
$g(\vartheta)=P(\vartheta)Q(\vartheta)^{-r}$, dann folgt aus
Produkt- und Potenzregel
\[
g(\vartheta)'
=
P(\vartheta)'Q(\vartheta)^{-r}
+
P(\vartheta)\bigl(Q(\vartheta)^{-r}\bigr)'
=
\frac{P(\vartheta)'}{Q(\vartheta)^{r}}
-r\frac{P(\vartheta)Q(\vartheta)'}{Q(\vartheta)^{r+1}},
\]
dies ist
\eqref{buch:integrale:eqn:partialbruch-ableitung}.
Auf die Ableitungen von $P(\vartheta)$ und $Q(\vartheta)$ können 
jetzt die Sätze
\ref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad},
\ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-grad}
und
\ref{buch:integrale:satz:partialbruch-monom}
angewendet werden.
Es sind jweils zwei Dinge zu prüfen: es dürfen in der Partialbruchzerlegung
im Nenner keine Potenzen $<r$ vorkommen und wegen $R\ne 0$ muss der Nenner
$Q(\vartheta)^{r+1}$ vorkommen.

Falls $\vartheta=\log f$ ist, ist $Q(\vartheta)'$ ein Polynom vom
Grad $q-1$ nach Satz~\eqref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad}
\ref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad-log}
und $P(\vartheta)'$ ist ein Polynom vom Grad höchstens $p$.
Der Zähler $P(\vartheta)Q(\vartheta)'$ im zweiten Term ist nicht
durch $Q(\vartheta)$ teilbar, denn weil $Q(\vartheta)$ irreduzibel
ist, müsste $Q(\vartheta)$ entweder $P(\vartheta)$ oder $Q(\vartheta)'$
teilen, aber beide haben zu geringen Grad.

Falls $\vartheta=\exp f$ ist, ist $Q(\vartheta)'$ ein Polynom vom
Grad $q$ und $P(\vartheta)'$ ist eine Polynom vom Grad $p$.
Der Grad von $P(\vartheta)Q(\vartheta)'$ ist $<2q$, daher 
werden nach
Satz~\ref{buch:integrale:satz:partialbruch-reduktion}
keine Nenner mit kleinerem Exponenten als $r$ auftreten.
Es ist noch zu prüfen, ob $Q(\vartheta)$ den Nenner des zweiten Termes
von~\eqref{buch:integrale:eqn:partialbruch-ableitung} teilt.
Nehmen wir $Q(\vartheta)\mid P(\vartheta)Q(\vartheta)'$ an, dann muss
$Q(\vartheta)\mid Q(\vartheta)'$ sein.
Für
\[
Q(\vartheta) = \vartheta^q + q_{q-1}\vartheta^{q-1} + \dots
\]
ist die Ableitung
\[
Q(\vartheta)'
=
q\vartheta^q f'
+
\dots
\]
und damit
\[
\frac{Q(\vartheta)'}{Q(\vartheta)}
=
qf'.
\]
Andererseits ist in der 
Aussage~\label{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-exp}
von
Satz~\ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-grad}
angewendet auf das Polynom $Q(\vartheta)$ das Polynom $N(\vartheta)=0$,
und daher muss $Q(\vartheta)=\vartheta$ und $q=1$ sein.
Dies ist der einzige Ausnahmefall, in die Partialbruchzerlegung die Form
\eqref{buch:integrale:eqn:partialbruch-ableitung-fall0}
annimmt.
\end{proof}

Der Satz besagt also, dass in fast allen Fällen die einzelnen Terme
der Partialbruchzerlegung der Ableitungen wieder von der gleichen
Form sind.

\subsection{Der Satz von Liouville
\label{buch:integrale:section:liouville}}
Die Funktion
\[
f(z) = \frac{(z+1)^2}{(z-1)^3} \in \mathbb{C}(z) = \mathscr{D}
\]
kann mit Hilfe der Partialbruchzerlegung
\[
f(z)
=
\frac{1}{z-1}
+
\frac{4}{(z-1)^2}
+
\frac{4}{(z-1)^3}
\]
integriert werden.
Die Integranden $(z-1)^{-k}$ mit $k>1$ können mit der Potenzregel
integriert werden, aber für eine Stammfunktion $1/(z-1)$ muss
der Logarithmus $\log(z-1)$ hinzugefügt werden.
Die Stammfunktion 
\[
\int f(z)\,dz
=
\int
\frac{1}{z-1}
\,dz
+
\int
\frac{4}{(z-1)^2}
\,dz
+
\int
\frac{4}{(z-1)^3}
\,dz
=
\log(z-1)
-
\underbrace{\frac{4z-2}{(z-1)^2}}_{\displaystyle\in\mathscr{D}}
\in \mathscr{D}(\log(z-1)) = \mathscr{F}
\]
hat eine sehr spezielle Form.
Sie besteht aus einem Term in $\mathscr{D}$ und einem Logarithmus
einer Funktion von $\mathscr{D}$, also einem Monom über $\mathscr{D}$.

\subsubsection{Einfach elementare Stammfunktionen}
Der in diesem Abschnitt zu beweisende Satz von Liouville zeigt,
dass die im einführenden Beispiel konstruierte Form der Stammfunktion
eine allgemeine Eigenschaft elementar integrierbarer
Funktionen ist.
Zunächst aber soll dieses Bespiel etwas verallgemeinert werden.

\begin{satz}[Liouville-Vorstufe für Monome]
\label{buch:integrale:satz:liouville-vorstufe-1}
Sei $\vartheta$ ein Monom über $\mathscr{D}$ und $g\in\mathscr{D}(\vartheta)$
mit $g'\in\mathscr{D}$.
Dann hat $g$ die Form $v_0 + c_1\vartheta$ mit $v_0\in\mathscr{D}$ und
$c_1\in\mathbb{C}$.
\end{satz}

\begin{proof}[Beweis]
In Anlehnung an das einführende Beispiel nehmen wir an, dass die
Stammfunktion $g\in\mathscr{D}[\vartheta]$ für ein Monom $\vartheta$
über $\mathscr{D}$ ist.
Dann hat $g$ die Partialbruchzerlegung
\[
g
=
H(\vartheta)
+
\sum_{j\le r(i)} \frac{P_{ij}(\vartheta)}{Q_i(\vartheta)^j}
\]
mit irreduziblen normierten Polynomen $Q_i(\vartheta)$ und
Polynomen $P_{ij}(\vartheta)$ vom Grad kleiner als $\deg Q_i(\vartheta)$.
Ausserdem ist $H(\vartheta)$ ein Polynom.
Die Ableitung von $g$ muss jetzt aber wieder in $\mathscr{D}$ sein.
Zu ihrer Berechnung können die Sätze
\ref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad},
\ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-grad}
und
\ref{buch:integrale:satz:partialbruch-monom}
verwendet werden.
Diese besagen, dass in der Partialbruchzerlegung die Exponenten der
Nenner die Quotienten in der Summe nicht kleiner werden.
Die Ableitung $g'\in\mathscr{D}$ darf aber gar keine Nenner mit
$\vartheta$ enthalten, also dürfen die Quotienten gar nicht erst
vorkommen.
$g=H(\vartheta)$ muss also ein Polynom in $\vartheta$ sein.
Die Ableitung des Polynoms darf wegen $g'\in\mathscr{d}$ das Monom
$\vartheta$ ebenfalls nicht mehr enthalten, daher kann es höchstens vom
Grad $1$ sein.
Nach Satz~\ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-grad}
muss ausserdem der Leitkoeffizient von $g$ eine Konstante sein,
das Polynom hat also genau die behauptete Form.
\end{proof}

\begin{satz}[Liouville-Vorstufe für algebraische Elemente]
\label{buch:integrale:satz:liouville-vorstufe-2}
Sei $\vartheta$ algebraische über $\mathscr{D}$ und
$g\in\mathscr{D}(\vartheta)$ mit $g'\in\mathscr{D}$.
\end{satz}

\subsubsection{Elementare Stammfunktionen}
Nach den Vorbereitungen über einfach elementare Stammfunktionen 
in den Sätzen~\label{buch:integrale:satz:liouville-vorstufe-1}
und
\label{buch:integrale:satz:liouville-vorstufe-2} sind wir jetzt
in der Lage, den allgemeinen Satz von Liouville zu formulieren
und zu beweisen.

\begin{satz}[Liouville]
Sei $\mathscr{D}$ ein Differentialkörper, $\mathscr{F}$ einfach über
$\mathscr{D}$ mit gleichem Konstantenkörper $\mathbb{C}$.
Wenn $g\in \mathscr{F}$ eine Stammfunktion von $f\in\mathscr{D}$ ist,
also $g'=f$, dann gibt es Zahlen $c_i\in\mathbb{C}$ und
$v_0,v_i\in\mathscr{D}$ derart, dass
\begin{equation}
g = v_0 + \sum_{i=1}^k c_i \log v_i
\qquad\Rightarrow\qquad
g' = v_0' + \sum_{i=1}^k c_i \frac{v_i'}{v_i} = f
\label{buch:integrale:satz:liouville-fform}
\end{equation}
gilt.
\end{satz}

Der Satz hat zur Folge, dass eine elementare Stammfunktion für $f$ 
nur dann existieren kann, wenn sich $f$ in der speziellen Form
\eqref{buch:integrale:satz:liouville-fform}
schreiben lässt.
Die Aufgabe~\ref{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion-dalg}
lässt sich damit jetzt lösen.


\begin{proof}[Beweis]
Wenn die Stammfunktion $g\in\mathscr{D}$ ist, dann hat $g$ die Form
\eqref{buch:integrale:satz:liouville-fform} mit $v_0=g$, die Summe
wird nicht benötigt.

Wir verwenden Induktion nach der Anzahl der Elemente, die zu $\mathscr{D}$
hinzugefügt werden müssen, um einen Differentialkörper 
$\mathscr{F}=\mathscr{D}(\vartheta_1,\dots,\vartheta_n)$ zu konstruieren,
der $g$ enthält.
Da $f\in\mathscr{D}\subset\mathscr{D}(\vartheta_1)$ ist, können wir die
Induktionsannahme auf die Erweiterung
\[
\mathscr{D}(\vartheta_1)\subset\mathscr{D}(\vartheta_1,\vartheta_2)
\subset\cdots\subset \mathscr{D}(\vartheta_1,\cdots,\vartheta_n)=\mathscr{F}
\]
anwenden, die durch Hinzufügen von nur $n-1$ Elemente
$\vartheta_2,\dots,\vartheta_n$ aus $\mathscr{D}(\vartheta_1)$ den
Differentialkörper $\mathscr{F}$ erreicht, der $g$ enthält.
Sie besagt, dass sich $g$ schreiben lässt als
\[
g = w_0 + \sum_{i=1}^{k_1} c_i\log w_i
\qquad\text{mit $c_i\in\mathbb{C}$ und $w_0,w_i\in\mathscr{D}(\vartheta_1)$.}
\]
Wir müssen jetzt zeigen, dass sich dieser Ausdruck umformen lässt 
in den Ausdruck der Form~\eqref{buch:integrale:satz:liouville-fform}.

Der Term $w_0\in\mathscr{D}(\vartheta_1)$ hat eine Partialbruchzerlegung
\[
H(\vartheta_1)
+
\sum_{j\le r(l)} \frac{P_{lj}(\vartheta_1)}{Q_l(\vartheta_1)^j}
\]
in der Variablen $\vartheta_1$.

Da $w_i\in\mathscr{D}(\vartheta_1)$ ist, kann man Zähler und Nenner
von $w_i$ als Produkt irreduzibler normierter Polynome schreiben:
\[
w_i
=
\frac{h_i Z_{i1}(\vartheta_1)^{s_{i1}}\cdots Z_{im(i)}^{s_{im(i)}}
}{
N_{i1}(\vartheta_1)^{t_{i1}}\cdots N_{in(i)}(\vartheta_1)^{t_{in(i)}}
}
\]
Der Logarithmus hat die Form
\begin{align*}
\log w_i
&= \log h_i + 
s_{i1}
\log Z_{i1}(\vartheta_1)
+
\cdots
+
s_{im(i)}
\log Z_{im(i)}
-
t_{i1}
\log
N_{i1}(\vartheta_1)
-
\cdots
-
t_{in(i)}
\log
N_{in(i)}(\vartheta_1).
\end{align*}
$g$ kann also geschrieben werden als eine Summe von Polynomen, Brüchen,
wie sie in der Partialbruchzerlegung vorkommen, Logarithmen von irreduziblen
normierten Polynomen und Logarithmen von Elementen von $\mathscr{D}$.

Die Ableitung $g'$ muss jetzt aber wieder in $\mathscr{D}$ sein, beim
Ableiten müssen also alle Terme verschwinden, die $\vartheta_1$ enthalten.
Dabei spielt es eine Rolle, ob $\vartheta_1$ ein Monom oder algebraisch ist.
\begin{enumerate}
\item
Wenn $\vartheta_1$ ein Monom ist, dann kann man wie im Beweis des
Satzes~\ref{buch:integrale:satz:liouville-vorstufe-1} argumentieren,
dass die Brüchterme gar nicht vorkommen und
$H(\vartheta_1)=v_0+c_1\vartheta_1$ sein muss.
Die Ableitung Termen der Form $\log Z(\vartheta_1)$ ist ein Bruchterm
mit dem irreduziblen Nenner $Z(\vartheta_1)$, die ebenfalls verschwinden
müssen.
Ist $\vartheta_1$ eine Exponentialfunktion, dann ist
$\vartheta_1' \in \mathscr{D}(\vartheta_1)\setminus\mathscr{D}$, also muss
$c_1=0$ sein.
Ist  $\vartheta_1$ ein Logarithmus, also $\vartheta_1=\log v_1$, dann
kommen nur noch Terme der in 
\eqref{buch:integrale:satz:liouville-fform}
erlaubten Form vor.

\item
Wenn $\vartheta_1$ algebraisch vom Grad $m$ ist, dann ist
\[
g' = w_0' + \sum_{i=1}^{k_1} d_i\frac{w_i'}{w_i} = f.
\]
Weder $w_0$ noch $\log w_i$ sind in $\mathscr{D}(\vartheta_1)$.
Aber wenn man $\vartheta_1$ durch die $m$ konjugierten Elemente
ersetzt und alle summiert, dann ist
\[
mf
=
\operatorname{Tr}(w_0) + \sum_{i=1}^{k_1} d_i \log\operatorname{Norm}(w_i).
\]
Da die Spur und die Norm in $\mathscr{D}$ sind, folgt, dass
\[
f
=
\underbrace{\frac{1}{m}
\operatorname{Tr}(w_0)}_{\displaystyle= v_0}
+
\sum_{i=1}^{k_1} \underbrace{\frac{d_i}{m}}_{\displaystyle=c_i}
\log
\underbrace{ \operatorname{Norm}(w_i)}_{\displaystyle=v_i}
=
v_0 + \sum_{i=1}^{k_1} c_i\log v_i
\]
die verlangte Form hat.
\qedhere
\end{enumerate}
\end{proof}

\subsection{Die Fehlerfunktion ist keine elementare Funktion
\label{buch:integrale:section:fehlernichtelementar}}
% \url{https://youtu.be/bIdPQTVF5n4}
Mit Hilfe des Satzes von Liouville kann man jetzt beweisen, dass 
die Fehlerfunktion keine elementare Funktion ist.
Dazu braucht man die folgende spezielle Form des Satzes.

\begin{satz}
\label{buch:integrale:satz:elementarestammfunktion}
Wenn $f(x)$ und $g(x)$ rationale Funktionen von $x$ sind, dann
ist die Stammfunktion von $f(x)e^{g(x)}$ genau dann eine 
elementare Funktion, wenn es eine rationale Funktion gibt, die
Lösung der Differentialgleichung
\[
r'(x) + g'(x)r(x)=f(x)
\]
ist.
\end{satz}

\begin{satz}
Die Funktion $x\mapsto e^{-x^2}$ hat keine elementare Stammfunktion.
\label{buch:iintegrale:satz:expx2}
\end{satz}

\begin{proof}[Beweis]
Unter Anwendung des Satzes~\ref{buch:integrale:satz:elementarestammfunktion}
auf $f(x)=1$ und $g(x)=-x^2$ folgt, $e^{-x^2}$ genau dann eine rationale 
Stammfunktion hat, wenn es eine rationale Funktion $r(x)$ gibt, die
Lösung der Differentialgleichung
\begin{equation}
r'(x) -2xr(x)=1
\label{buch:integrale:expx2dgl}
\end{equation}
ist.

Zunächst halten wir fest, dass $r(x)$ kein Polynom sein kann.
Wäre nämlich 
\[
r(x)
=
a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n
=
\sum_{k=0}^n a_kx^k
\quad\Rightarrow\quad
r'(x)
=
a_1 + 2a_2x + \dots + na_nx^{n-1}
=
\sum_{k=1}^n
ka_kx^{k-1}
\]
ein Polynom, dann ergäbe sich beim Einsetzen in die Differentialgleichung
\begin{align*}
1
&=
r'(x)-2xr(x)
\\
&=
a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 + \dots + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + na_nx^{n-1}
\\
&\qquad
-
2a_0x -2a_1x^2 -2a_2x^3 - \dots - 2a_{n-1}x^n - 2a_nx^{n+1}
\\
&
\hspace{0.7pt}
\renewcommand{\arraycolsep}{1.8pt}
\begin{array}{crcrcrcrcrcrcrcr}
=&a_1&+&2a_2x&+&3a_3x^2&+&\dots&+&(n-1)a_{n-1}x^{n-2}&+&na_{n  }x^{n-1}& &           & & \\
 &   &-&2a_0x&-&2a_1x^2&-&\dots&-&    2a_{n-3}x^{n-2}&-&2a_{n-2}x^{n-1}&-&2a_{n-1}x^n&-&2a_nx^{n+1}
\end{array}
\\
&=
a_1
+
(2a_2-2a_0)x
+
(3a_3-2a_1)x^2
%+
%(4a_4-2a_2)x^3
+
\dots
+
(na_n-2a_{n-2})x^{n-1}
-
2a_{n-1}x^n
-
2a_nx^{n+1}.
\end{align*}
Koeffizientenvergleich zeigt, dass $a_1=1$ sein muss.
Aus den letzten zwei Termen liest man ebenfalls mittels Koeffizientenvergleich
ab, dass $a_n=0$ und $a_{n-1}=0$ sein müssen.
Aus den Koeffizienten $(ka_k-2a_{k-2})=0$ folgt, dass
$a_{k-2}=\frac{k}{2}a_k$ für alle $k>1$ sein muss, diese Koeffizienten
verschwinden also auch, inklusive $a_1=0$.
Dies ist allerdings im Widerspruch zu $a_1=1$.
Es folgt, dass $r(x)$ kein Polynom sein kann.

Der Nenner der rationalen Funktion $r(x)$ hat also mindestens eine Nullstelle
$\alpha$, man kann daher $r(x)$ auch schreiben als
\[
r(x) = \frac{s(x)}{(x-\alpha)^n},
\]
wobei die rationale Funktion $s(x)$ keine Nullstellen und keine Pole hat.
Einsetzen in die Differentialgleichung ergibt:
\[
1
=
r'(x) -2xr(x)
=
\frac{s'(x)}{(x-\alpha)^n}
-n
\frac{s(x)}{(x-\alpha)^{n+1}}
-
\frac{2xs(x)}{(x-\alpha)^n}.
\]
Multiplizieren mit $(x-\alpha)^{n+1}$ gibt
\[
(x-\alpha)^{n+1}
=
s'(x)(x-\alpha)
-
ns(x)
-
2xs(x)(x-\alpha)
\]
Setzt man $x=\alpha$ ein, verschwinden alle Terme ausser dem mittleren
auf der rechten Seite, es bleibt
\[
ns(\alpha) = 0.
\]
Dies widerspricht aber der Wahl der rationalen Funktion $s(x)$, für die
$\alpha$ keine Nullstelle ist.

Somit kann es keine rationale Funktion $r(x)$ geben, die eine Lösung der
Differentialgleichung~\eqref{buch:integrale:expx2dgl} ist und
die Funktion $e^{-x^2}$ hat keine elementare Stammfunktion.
\end{proof}

Der Satz~\ref{buch:iintegrale:satz:expx2} rechtfertigt die Einführung 
der Fehlerfunktion $\operatorname{erf}(x)$ als neue spezielle Funktion,
mit deren Hilfe die Funktion $e^{-x^2}$ integriert werden kann.



