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% orthogonal.tex
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% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
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\section{Orthogonalität
\label{buch:integral:section:orthogonale-polynome}}
\rhead{Orthogonale Polynome}
Die Fourier-Theorie basiert auf der Idee, Funktionen durch 
Funktionenreihen mit Summanden zu bilden, die im Sinne eines
Skalarproduktes orthogonal sind, welches mit Hilfe eines Integrals
definiert sind.
Solche Funktionenfamilien treten jedoch auch als Lösungen von
Differentialgleichungen.
Besonders interessant wird die Situation, wenn die Funktionen 
Polynome sind.

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% Skalarprodukt
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\subsection{Skalarprodukt}
Der reelle Vektorraum $\mathbb{R}^n$ trägt das Skalarprodukt
\[
\langle\;\,,\;\rangle
\colon
\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}
:
(x,y)\mapsto \langle x, y\rangle = \sum_{k=1}^n x_iy_k,
\]
welches viele interessante Anwendungen ermöglicht.
Eine orthonormierte Basis macht es zum Beispiel besonders leicht,
eine Zerlegung eines Vektors in dieser Basis zu finden.
In diesem Abschnitt soll zunächst an die Eigenschaften erinnert
werden, die zu einem nützlichen 

\subsubsection{Eigenschaften eines Skalarproduktes}
Das Skalarprodukt erlaubt auch, die Länge eines Vektors $v$
als $|v| = \sqrt{\langle v,v\rangle}$ zu definieren.
Dies funktioniert natürlich nur, wenn die Wurzel auch immer
definiert ist, d.~h.~das Skalarprodukt eines Vektors mit sich
selbst darf nicht negativ sein.
Dazu dient die folgende Definition.

\begin{definition}
Sei $V$ ein reeller Vektorraum.
Eine bilineare Abbildung
\[
\langle\;\,,\;\rangle
\colon
V\times V
\to
\mathbb{R}
:
(u,v) \mapsto \langle u,v\rangle.
\]
heisst {\em positiv definit}, wenn für alle Vektoren $v \in V$ mit
$v\ne 0 \Rightarrow \langle v,v\rangle > 0$ 
Die {\em Norm} eines Vektors $v$ ist
$|v|=\sqrt{\langle v,v\rangle}$.
\end{definition}

Damit man mit dem Skalarprodukt sinnvoll rechnen kann, ist ausserdem
erforderlich, dass es eine einfache Beziehung zwischen 
$\langle x,y\rangle$ und $\langle y,x\rangle$ gibt.

\begin{definition}
Ein {\em Skalarprodukt} auf einem reellen Vektorraum $V$ ist eine
positiv definite, symmetrische bilineare Abbildung
\[
\langle\;\,,\;\rangle
\colon
V\times V
\to
\mathbb{R}
:
(u,v) \mapsto \langle u,v\rangle.
\]
\end{definition}

Das Skalarprodukt $\langle u,v\rangle=u^tv$ auf dem Vektorraum 
$\mathbb{R}^n$ erfüllt die Definition ganz offensichtlich,
sie führt auf die Komponentendarstellung
\[
\langle u,v\rangle = u^tv = \sum_{k=1}^n u_iv_i.
\]
Weitere Skalarprodukte ergeben ergeben sich mit jeder symmetrischen,
positiv definiten Matrix $G$ und der Definition
$\langle u,v\rangle_G=u^tGv$.
Ein einfacher Spezialfall tritt auf, wenn $G$ eine Diagonalmatrix
$\operatorname{diag}(w_1,\dots,w_n)$
mit positiven Einträgen $w_i>0$ auf der Diagonalen ist.
In diesem Fall schreiben wir
\[
\langle u,v\rangle_w
=
u^t\operatorname{diag}(w_1,\dots,w_n)v
=
\sum_{k=1}^n u_iv_i\,w_i
\]
und nennen $\langle \;\,,\;\rangle_w$ das {\em gewichtete Skalarprodukt}
mit {\em Gewichten $w_i$}.

\subsubsection{Skalarprodukte auf Funktionenräumen}
Das Integral ermöglicht jetzt, ein Skalarprodukt auf dem reellen
Vektorraum der stetigen Funktionen auf einem Intervall zu definieren.

\begin{definition}
Sei $V$ der reelle Vektorraum $C([a,b])$ der reellwertigen, stetigen
Funktion auf dem Intervall $[a,b]$.
Dann ist 
\[
\langle\;\,,\;\rangle
\colon
C([a,b]) \times C([a,b]) \to \mathbb{R}
:
(f,g) \mapsto \langle f,g\rangle = \int_a^b f(x)g(x)\,dx.
\]
ein Skalarprodukt.
\end{definition}

Die Definition ist offensichtlich symmetrisch in $f$ und $g$ und
aus den Eigenschaften des Integrals ist klar, dass das Produkt
bilinear ist:
\begin{align*}
\langle \lambda_1 f_1+\lambda_2f_2,g\rangle
&=
\int_a^b (\lambda_1f_(x) +\lambda_2f_2(x))g(x)\,dx
=
\lambda_1\int_a^b f_1(x) g(x)\,dx
+
\lambda_2\int_a^b f_2(x) g(x)\,dx
\\
&=
\lambda_1\langle f_1,g\rangle
+
\lambda_2\langle f_2,g\rangle.
\end{align*}
Ausserdem ist es positiv definit, denn wenn $f(x_0) \ne 0$ ist,
dann gibt es wegen der Stetigkeit von $f$ eine Umgebung
$U=[x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon]$, derart, dass $|f(x)| > \frac12|f(x_0)|$
ist für alle $x\in U$.
Somit ist das Integral
\[
\langle f,f\rangle
=
\int_a^b |f(x)|^2\,dx
\ge
\int_{x_0-\varepsilon}^{x_0+\varepsilon} |f(x)|^2\,dx
\ge
\int_{x_0-\varepsilon}^{x_0+\varepsilon} \frac14|f(x_0)|^2\,dx
=
\frac{1}{4}|f(x_0)|^2\cdot 2\varepsilon
=
\frac{|f(x_0)|\varepsilon}{2}
>0,
\]
was beweist, dass $\langle\;,\;\rangle$ positiv definit und damit
ein Skalarprodukt ist.

Die Definition kann noch etwas verallgemeinert werden, indem 
die Funktionswerte nicht überall auf dem Definitionsbereich 
gleich gewichtet werden. 

\begin{definition}
Sei $w\colon [a,b]\to \mathbb{R}^+$ eine positive, stetige Funktion,
dann ist
\[
\langle\;\,,\;\rangle_w
\colon
C([a,b]) \times C([a,b]) \to \mathbb{R}
:
(f,g) \mapsto \langle f,g\rangle_w = \int_a^b f(x)g(x)\,w(x)\,dx.
\]
das {\em gewichtete Skalarprodukt} mit {\em Gewichtsfunktion $w(x)$}.
\end{definition}

\subsubsection{Gram-Schmidt-Orthonormalisierung}
In einem reellen Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt $\langle\;\,,\;\rangle$
kann aus einer beleibigen Basis $b_1,\dots,b_n$ mit Hilfe des 
Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahrens immer eine
orthonormierte Basis $\tilde{b}_1,\dots,\tilde{b}_n$ Basis
gewonnen werden.
Es stellt sicher, dass für alle $k\le n$ gilt
\[
\langle b_1,\dots,b_k\rangle
=
\langle \tilde{b}_1,\dots,\tilde{b}_k\rangle.
\]
Zur Vereinfachung der Formeln schreiben wir $v^0=v/|v|$ für einen zu
$v$ parallelen Einheitsvektor.
Die Vektoren $\tilde{b}_i$ können mit Hilfe der Formeln
\begin{align*}
\tilde{b}_1
&=
(b_1)^0
\\
\tilde{b}_2
&=
\bigl(
b_2
-
\langle \tilde{b}_1,b_2\rangle \tilde{b}_1
\bigr)^0
\\
\tilde{b}_3
&=
\bigl(
b_3
-
\langle \tilde{b}_1,b_3\rangle \tilde{b}_1
-
\langle \tilde{b}_2,b_3\rangle \tilde{b}_2
\bigr)^0
\\
&\;\vdots
\\
\tilde{b}_n
&=
\bigl(
b_n
-
\langle \tilde{b}_1,b_n\rangle \tilde{b}_1
-
\langle \tilde{b}_2,b_n\rangle \tilde{b}_2
-\dots
-
\langle \tilde{b}_{n-1},b_n\rangle \tilde{b}_{n-1}
\bigr)^0
\end{align*}
iterativ berechnet werden.
Dieses Verfahren lässt sich auch auf Funktionenräume anwenden.

Die Normierung ist nicht unbedingt nötig und manchmal unangenehm,
da die Norm unschöne Quadratwurzeln einführt.
Falls es genügt, eine orthogonale Basis zu finden, kann darauf
verzichtet werden, bei der Orthogonalisierung muss aber berücksichtigt
werden, dass die Vektoren $\tilde{b}_i$ jetzt nicht mehr Einheitslänge
haben.
Die Formeln
\begin{align*}
\tilde{b}_0
&=
b_0
\\
\tilde{b}_1
&=
b_1
-
\frac{\langle b_1,\tilde{b}_0\rangle}{\langle \tilde{b}_0,\tilde{b}_0\rangle}\tilde{b}_0
\\
\tilde{b}_2
&=
b_2
-
\frac{\langle b_2,\tilde{b}_0\rangle}{\langle \tilde{b}_0,\tilde{b}_0\rangle}\tilde{b}_0
-
\frac{\langle b_2,\tilde{b}_1\rangle}{\langle \tilde{b}_1,\tilde{b}_1\rangle}\tilde{b}_1
\\
&\;\vdots
\\
\tilde{b}_n
&=
b_n
-
\frac{\langle b_n,\tilde{b}_0\rangle}{\langle \tilde{b}_0,\tilde{b}_0\rangle}\tilde{b}_0
-
\frac{\langle b_n,\tilde{b}_1\rangle}{\langle \tilde{b}_1,\tilde{b}_1\rangle}\tilde{b}_1
-
\dots
-
\frac{\langle b_n,\tilde{b}_{n-1}\rangle}{\langle \tilde{b}_{n-1},\tilde{b}_{n-1}\rangle}\tilde{b}_{n-1}.
\end{align*}
berücksichtigen dies.


%
% Orthogonale Polynome
%
\subsection{Orthogonale Polynome
\label{buch:integral:subsection:orthogonale-polynome}}
Die Polynome $1,x,x^2,\dots,x^n$ bilden eine Basis des Vektorraums
der Polynome vom Grad $\le n$.
Bezüglich des Skalarproduktes
\[
\langle p,q\rangle
=
\int_{-1}^1 p(x)q(x)\,dx
\]
sind sie jedoch nicht orthogonal, denn es ist
\[
\langle x^i,x^j\rangle
=
\int_{-1}^1 x^{i+j}\,dx
=
\biggl[\frac{x^{i+j+1}}{i+j+1}\biggr]_{-1}^1
=
\begin{cases}
\displaystyle
\frac{2}{i+j+1}&\qquad\text{$i+j$ gerade}\\
              0&\qquad\text{$i+j$ ungerade}.
\end{cases}
\]
Wir können daher das Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren
anwenden, um eine orthogonale Basis von Polynomen zu finden, was
wir im Folgenden tun wollen.

% XXX Orthogonalisierungsproblem so formulieren, dass klar wird,
% XXX dass man ein "Normierungskriterium braucht.

Da wir auf die Normierung verzichten, brauchen wir ein anderes
Kriterium, welches die Polynome eindeutig festlegen kann.
Wir bezeichnen das Polynom vom Grad $n$, das bei diesem Prozess
entsteht, mit $P_n(x)$ und legen willkürlich aber traditionskonform
fest, dass $P_n(1)=1$ sein soll.

Das Skalarprodukt berechnet ein Integral eines Produktes von zwei
Polynomen über das symmetrische Interval $[-1,1]$.
Ist die eine gerade und die andere ungerade, dann ist das
Produkt eine ungerade Funktion und das Skalarprodukt verschwindet.
Sind beide Funktionen gerade oder ungerade, dann ist das Produkt
gerade und das Skalarprodukt ist im Allgmeinen von $0$ verschieden.
Dies zeigt, dass es tatsächlich etwas zu Orthogonalisieren gibt.

Die ersten beiden Funktionen sind das konstante Polynom $1$ und
das Polynome $x$.
Nach obiger Beobachtung ist das Skalarprodukt $\langle 1,x\rangle=0$,
also ist $P_1(x)=x$.

\begin{lemma}
Die Polynome $P_{2n}(x)$ sind gerade, die Polynome $P_{2n+1}(x)$ sind
ungerade Funktionen von $x$.
\end{lemma}

\begin{proof}[Beweis]
Wir verwenden vollständige Induktion nach $n$.
Wir wissen bereits, dass $P_0(x)=1$ und $P_1(x)=x$ die verlangten
Symmetrieeigenschaften haben.
Im Sinne der Induktionsannahme nehmen wir daher an, dass die
Symmetrieeigenschaften für $P_k(x)$, $k<n$, bereits bewiesen sind.
$P_n(x)$ entsteht jetzt durch Orthogonalisierung nach der Formel
\[
P_n(x)
=
x^n
-
\langle P_{n-1},x^n\rangle P_{n-1}(x)
-
\langle P_{n-2},x^n\rangle P_{n-2}(x)
-\dots-
\langle P_1,x^n\rangle P_1(x)
-
\langle P_0,x^n\rangle P_0(x).
\]
Die Skalarprodukte
$\langle P_{n-1},x^n\rangle$,
$\langle P_{n-3},x^n\rangle$, $\dots$ verschwinden alle, so dass
$P_n(x)$ eine Linearkombination der Funktionen $x^n$, $P_{n-2}(x)$,
$P_{n-4}(x)$ ist, die die gleiche Parität wie $x^n$ haben.
Also hat auch $P_n(x)$ die gleiche Parität, was das Lemma beweist.
\end{proof}

Die Ortogonalisierung von $x^2$ liefert daher
\[
p(x) = x^2
-
\frac{\langle x^2,P_0\rangle}{\langle P_0,P_0\rangle} P_0(x)
=
x^2 - \frac{\int_{-1}^1x^2\,dx}{\int_{-1}^11\,dx}
=
x^2 - \frac{\frac{2}{3}}{2}=x^2-\frac13
\]
Dieses Polynom erfüllt die Standardisierungsbedingung noch 
nicht den $p(1)=\frac23$.
Daraus leiten wir ab, dass
\[
P_2(x) = \frac12(3x^2-1)
\]
ist.

Für $P_3(x)$ brauchen wir nur die Skalaprodukte
\[
\left.
\begin{aligned}
\langle x^3,P_1\rangle
&=
\int_{-1}^1  x^3\cdot x\,dx
=
\biggl[\frac15x^5\biggr]_{-1}^1
=
\frac25
\qquad
\\
\langle P_1,P_1\rangle
&=
\int_{-1}^1 x^2\,dx
=
\frac23
\end{aligned}
\right\}
\qquad
\Rightarrow
\qquad
p(x) = x^3 - \frac{\frac25}{\frac23}x=x^3-\frac{3}{5}x
\]
Die richtige Standardisierung ergibt sich,
indem man durch $p(1)=\frac25$ dividiert, also
\[
P_2(x) = \frac12(5x^3-3x).
\]

Die Berechnung weiterer Polynome verlangt, dass Skalarprodukte
$\langle x^n,P_k\rangle$ berechnet werden müssen, was wegen
der zunehmend komplizierten Form von $P_k$ etwas mühsam ist.
Wir berechnen den Fall $P_4$.
Dazu muss das Polynom $x^4$ um eine Linearkombination von
$P_2$ und $P_0(x)=1$ korrigiert werden.
Die Skalarprodukte sind
\begin{align*}
\langle x^4, P_0\rangle
&=
\int_{-1}^1 x^4\,dx = \frac25
\\
\langle P_0,P_0\rangle
&=
\int_{-1}^1 \,dx = 2
\\
\langle x^4,P_2\rangle
&=
\int_{-1}^1 \frac32x^6-\frac12 x^4\,dx
=
\biggl[\frac{3}{14}x^7-\frac{1}{10}x^5\biggr]_{-1}^1
=
\frac6{14}-\frac15
=
\frac8{35}
\\
\langle P_2,P_2\rangle
&=
\int_{-1}^1 \frac14(3x^2-1)^2\,dx
=
\int_{-1}^1 \frac14(9x^4-6x^2+1)\,dx
=
\frac14(\frac{18}{5}-4+2)
=\frac25.
\end{align*}
Daraus folgt für $p(x)$
\begin{align*}
p(x)
&=
x^4
-
\frac{\langle x^4,P_2\rangle}{\langle P_2,P_2\rangle}P_2(x)
-
\frac{\langle x^4,P_0\rangle}{\langle P_0,P_0\rangle}P_0(x)
\\
&=
x^4
-\frac47 P_2(x) - \frac15 P_0(x)
\\
&=
x^4 - \frac{6}{7}x^2 + \frac{3}{35}
\end{align*}
mit $p(1)=\frac{8}{35}$, so dass man
\[
P_4(x) =
\frac18(35x^4-30x^2+3)
\]
setzen muss.

\begin{table}
\centering
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}l<{$}|}
\hline
n&P_n(x)\\
\hline
 0&1
\\
 1&x
\\
 2&\frac12(3x^2-1)
\\
 3&\frac12(5x^3-3x)
\\
 4&\frac18(35x^4-30x^2+3)
\\
 5&\frac18(63x^5-70x^3+15x)
\\
 6&\frac1{16}(231x^6-315x^4+105x^2-5)
\\
 7&\frac1{16}(429x^7-693x^5+315x^3-35x)
\\
 8&\frac1{128}(6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35)
\\
 9&\frac1{128}(12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x)
\\
10&\frac1{256}(46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63)
\\
\hline
\end{tabular}
\caption{Die Legendre-Polynome $P_n(x)$ für $n=0,1,\dots,10$ sind
orthogonale Polynome vom Grad $n$, die den Wert $P_n(1)=1$ haben.
\label{buch:integral:table:legendre-polynome}}
\end{table}

Die so konstruierten Polynome heissen die {\em Legendre-Polynome}.
Durch weitere Durchführung des Verfahrens liefert die Polynome in
Tabelle~\ref{buch:integral:table:legendre-polynome}.


%%
%% Differentialgleichungen
%%
%\subsection{Orthogonale Polynome und Differentialgleichungen}
%\subsubsection{Legendre-Differentialgleichung}
%\subsubsection{Legendre-Polyome}
%\subsubsection{Legendre-Funktionen zweiter Art}
%Siehe Wikipedia-Artikel \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Legendre-Polynom}

\input{chapters/060-integral/legendredgl.tex}

\input{chapters/060-integral/gaussquadratur.tex}