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% risch.tex
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% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
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\section{Der Risch-Algorithmus
\label{buch:integral:section:risch}}
\rhead{Risch-Algorithmus}
Die Lösung des Integrationsproblem für $\mathbb{Q}(x)$ und für
$\mathbb{Q}(x,y)$ mit $y=\!\sqrt{ax^2+bx+c}$ hat gezeigt, dass
ein Differentialkörper genau die richtige Bühne für dieses Unterfangen
sein dürfte.
Die Stammfunktionen konnten in einem Erweiterungskörper gefunden
werden, der ein paar Logarithmen hinzugefügt worden sind.
Tatsächlich lässt sich in diesem Rahmen sogar ein Algorithmus
formulieren, der in einem noch zu definierenden Sinn ``elementare''
Funktionen als Stammfunktionen finden kann oder beweisen kann, dass
eine solche nicht existiert.
Dieser Abschnitt soll einen Überblick darüber geben.

\input{chapters/060-integral/logexp.tex}
\input{chapters/060-integral/elementar.tex}