Für Funktionen auf dem Interval $(-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2)$ ist
\[
\langle f,g\rangle
=
\frac12\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} f(x)g(x)\cos x\,dx
\]
ein Skalarprodukt.
Bestimmen Sie bezüglich dieses Skalarproduktes orthogonale Polynome
bis zum Grad $2$.

\begin{hinweis}
Verwenden Sie
\begin{align*}
\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} 1\cos x\,dx
&=
1,
&
\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} x^2\cos x\,dx
&=
\frac{\pi^2-8}{2},
&
\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} x^4\cos x\,dx
&=
\frac{\pi^4-48\pi^2+384}{8}.
\end{align*}
\end{hinweis}

\begin{loesung}
Wir müssen den Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsprozess für die
Polynome $f_0(x)=1$, $f_1(x)=x$ und $f_2(x)=x^2$ durchführen.
Zunächst halten wir fest, dass
\[
\langle f_0,f_0\rangle
=
\frac12
\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} \cos x\,dx
=
1,
\]
das Polynom $g_0(x)=f_0(x)$ ist hat also Norm $1$.

Ein dazu orthogonales Polynom ist
\(
f_1(x) - \langle g_0,f_1\rangle g_0(x),
\)
wir müssen also das Skalarprodukt
\[
\langle g_0,f_1\rangle
=
\frac{1}{2}
\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}
x\cos x\,dx
\]
bestimmen.
Es verschwindet, weil die Funktion $x\cos x$ ungerade ist.
Somit ist die Funktion $f_1(x)=x$ orthogonal zu $f_0(x)=1$, um sie auch zu
normieren berechnen wir das Integral
\[
\| f_1\|^2
=
\frac12\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} x^2\cos x\,dx
=
\frac{\pi^2-8}{4},
\]
und 
\[
g_1(x)
=
\frac{2}{\sqrt{\pi^2-8}} x.
\]

Zur Berechnung von $g_2$ müssen wir die Skalarprodukte
\begin{align*}
\langle g_0,f_2\rangle
&=
\frac{1}{2}
\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}
x^2
\cos x
\,dx
=
\frac{\pi^2-8}{4}
\\
\langle g_1,f_2\rangle
&=
\frac{1}{2}
\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}
\frac{2}{\sqrt{\pi^2-8}}
x
\cdot x^2
\cos x
\,dx
=
0
\end{align*}
bestimmen.
Damit wird das dritte Polynom
\[
f_2(x)
- g_0(x)\langle g_0,f_2\rangle
- g_1(x)\langle g_1,f_2\rangle
=
x^2 - \frac{\pi^2-8}{4},
\]
welches bereits orthogonal ist zu $g_0$ und $g_1$.
Wir können auch noch erreichen, obwohl das nicht verlangt war,
dass es normiert ist, indem wir die Norm berechnen:
\[
\left\| x^2-\frac{\pi^2-8}{4} \right\|^2
=
\frac12
\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}
\biggl(x^2-\frac{\pi^2-8}{4}\biggr)^2
\cos x\,dx
=
20-2\pi^2
\]
woraus sich
\[
g_2(x)
=
\frac{1}{\sqrt{20-2\pi^2}}
\biggl(
x^2 - \frac{\pi^2-8}{4}
\biggr).
\]
Damit haben wir die ersten drei bezüglich des obigen Skalarproduktes
orthogonalen Polynome
\begin{align*}
g_0(x)&=1,
&
g_1(x)&=\frac{2x}{\sqrt{\pi^2-8}},
&
g_2(x)&=\frac{1}{\sqrt{20-2\pi^2}}\biggl(x^2-\frac{\pi^2-8}{4}\biggr)
\end{align*}
gefunden.
\end{loesung}
