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% chapter.tex -- Kapitel zur Funktionentheorie
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% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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\chapter{Funktionentheorie
\label{buch:chapter:funktionentheorie}}
\lhead{Funktionentheorie}
\rhead{}
Jede stetige reelle Funktion $f\colon I\to\mathbb{R}$ auf einem
Intervall kann beliebig genau durch Polynome, also durch
differenzierbare approximiert werden.
Für komplex differenzierbare Funktionen sieht die Situation
völlig anders aus.
Bereits die Funktion $z\mapsto \overline{z}$ kann in einer offenen
Teilmenge von $\mathbb{C}$ nicht durch Polynome in der Variablen $z$
approximiert werden.
Es stellt sich heraus, dass komplex differenzierbare Funktionen
immer eine konvergente Taylor-Reihe besitzen.
In Abschnitt~\ref{buch:funktionentheorie:section:analytisch} wird
ein Beispiel einer beliebig oft stetig differenzierbaren rellen
Funktion angegeben, die nur in $0$ verschwindet, deren Taylor-Reihe
in $0$ die Nullfunktion ist.

Wenn man also weiss, dass die Lösung eines Problems nicht nur eine
relle Funktion ist, sondern eine komplex differenzierbare Funktion,
dann unterliegt diese sehr viel strengeren Einschränkungen.
Mit der zugehörigen Potenzreihe können Funktionswerte leicht berechnet
werden, mit dem Cauchy-Integral können Singularitäten studiert werden
und mit der analytischen Fortsetzung kann man Lösungen über Singularitäten
auf der rellen Achse hinaus fortsetzen.

\input{chapters/080-funktionentheorie/holomorph.tex}
\input{chapters/080-funktionentheorie/analytisch.tex}
\input{chapters/080-funktionentheorie/cauchy.tex}
\input{chapters/080-funktionentheorie/fortsetzung.tex}

\section{TODO}
\begin{itemize}
\item Aurgument-Prinzip
\end{itemize}

%\section*{Übungsaufgaben}
%\rhead{Übungsaufgaben}
%\aufgabetoplevel{chapters/020-exponential/uebungsaufgaben}
%\begin{uebungsaufgaben}
%\uebungsaufgabe{0}
%\uebungsaufgabe{1}
%\end{uebungsaufgaben}

