%
% teil2.tex -- Umsetzung in C Programmen
%
% (c) 2022 Fabian Dünki, Hochschule Rapperswil
%
\section{Umsetzung
\label{0f1:section:teil2}}
\rhead{Umsetzung}
Zur Umsetzung wurden drei verschiedene Ansätze gewählt. Dabei wurde der Schwerpunkt auf die Funktionalität und eine gute Lesbarkeit des Codes gelegt.
Die Unterprogramme wurde jeweils, wie die GNU Scientific Library, in C geschrieben. Die Zwischenresultate wurden vom Hauptprogramm in einem CSV-File gespeichert. Anschliessen wurde mit der Matplot-Libray in Python die Resultate geplottet.

\subsection{Potenzreihe
\label{0f1:subsection:potenzreihe}}
Die naheliegendste Lösung ist die Programmierung der Potenzreihe. Allerdings ist ein Problem dieser Umsetzung \ref{0f1:listing:potenzreihe}, dass die Fakultät im Nenner schnell grosse Werte annimmt und so der Bruch gegen Null strebt. Spätesten ab $k=167$ stösst diese Umsetzung  \eqref{0f1:umsetzung:0f1:eq} an ihre Grenzen, da die Fakultät von $168$ eine Bereichsüberschreitung des \textit{double} Bereiches darstellt. \cite{0f1:double}

\begin{align}
    \label{0f1:umsetzung:0f1:eq}
    \mathstrut_0F_1(;c;z)
    &=
    \sum_{k=0}^\infty
    \frac{z^k}{(c)_k \cdot k!}
    &= 
    \frac{1}{c}
    +\frac{z^1}{(c+1) \cdot 1}
    + \cdots
    + \frac{z^{20}}{c(c+1)(c+2)\cdots(c+19) \cdot 2.4 \cdot 10^{18}}
\end{align}

\lstinputlisting[style=C,float,caption={Potenzreihe.},label={0f1:listing:potenzreihe}, firstline=59]{papers/0f1/listings/potenzreihe.c}

\subsection{Kettenbruch
\label{0f1:subsection:kettenbruch}}
Ein endlicher Kettenbruch ist ein Bruch der Form
\begin{equation*}
a_0 + \cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{b_3}{a_3+\cdots}}}
\end{equation*}
in welchem $a_0, a_1,\dots,a_n$ und $b_1,b_2,\dots,b_n$ ganze Zahlen darstellen.

Die Kurzschreibweise für einen allgemeinen Kettenbruch ist 
\begin{equation*}
	a_0 + \frac{a_1|}{|b_1} + \frac{a_2|}{|b_2} + \frac{a_3|}{|b_3} + \cdots
\end{equation*}
und ist somit verknüpfbar mit der Potenzreihe.
\cite{0f1:wiki-kettenbruch}

Angewendet auf die Funktion $\mathstrut_0F_1$ bedeutet dies:
\begin{equation*}
	\mathstrut_0F_1(;c;z) = 1 + \frac{z}{c\cdot1!} + \frac{z^2}{c(c+1)\cdot2!} + \frac{z^3}{c(c+1)(c+2)\cdot3!} + \cdots
\end{equation*}
\cite{0f1:wiki-fraction}

Nach allen Umformungen ergibt sich folgender, irregulärer Kettenbruch \eqref{0f1:math:kettenbruch:0f1:eq}
\begin{equation}
	\label{0f1:math:kettenbruch:0f1:eq}
	\mathstrut_0F_1(;c;z) = 1 + \cfrac{\cfrac{z}{c}}{1+\cfrac{-\cfrac{z}{2(c+1)}}{1+\cfrac{z}{2(c+1)}+\cfrac{-\cfrac{z}{3(c+2)}}{1+\cfrac{z}{5(c+4)} + \cdots}}},
\end{equation}
der als Code \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ} umgesetzt wurde. 
\cite{0f1:wolfram-0f1}

\lstinputlisting[style=C,float,caption={Rekursionsformel für Kettenbruch.},label={0f1:listing:kettenbruchIterativ},  firstline=8]{papers/0f1/listings/kettenbruchIterativ.c}

\subsection{Rekursionsformel
\label{0f1:subsection:rekursionsformel}}
Wesentlich stabiler zur Berechnung eines Kettenbruches ist die Rekursionsformel. Nachfolgend wird die verkürzte Herleitung vom Kettenbruch zur Rekursionsformel aufgezeigt. Eine vollständige Schritt für Schritt Herleitung ist im Seminarbuch Numerik, im Kapitel Kettenbrüche zu finden. \cite{0f1:kettenbrueche})

\subsubsection{Verkürzte Herleitung}
Ein Näherungsbruch in der Form
\begin{align*}
	\cfrac{A_k}{B_k} = a_k + \cfrac{b_{k + 1}}{a_{k + 1} + \cfrac{p}{q}}
\end{align*}
lässt sich zu
\begin{align*}
	\cfrac{A_k}{B_k} = \cfrac{b_{k+1}}{a_{k+1} + \cfrac{p}{q}} = \frac{b_{k+1} \cdot q}{a_{k+1} \cdot q + p}
\end{align*}
umformen.
Dies lässt sich auch durch die folgende Matrizenschreibweise ausdrücken:
\begin{equation*}
	\begin{pmatrix}
		A_k\\
		B_k
	\end{pmatrix}
	= 		\begin{pmatrix}
		b_{k+1} \cdot q\\
		a_{k+1} \cdot q + p
	\end{pmatrix}
	=\begin{pmatrix}
		0&	b_{k+1}\\
		1&	a_{k+1}
	\end{pmatrix}
	\begin{pmatrix}
		p \\
		q
	\end{pmatrix}.
	%\label{0f1:math:rekursionsformel:herleitung}
\end{equation*}

Wendet man dies nun auf den Kettenbruch in der Form
\begin{equation*}
	\frac{A_k}{B_k} = a_0 + \cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{\cdots}{\cdots+\cfrac{b_{k-1}}{a_{k-1} + \cfrac{b_k}{a_k}}}}}
\end{equation*}
an, ergibt sich folgende Matrixdarstellungen:

\begin{align*}
	\begin{pmatrix}
		A_k\\
		B_k
	\end{pmatrix}
	&=
	\begin{pmatrix}
		1& a_0\\
		0& 1
	\end{pmatrix}
	\begin{pmatrix}
		0& b_1\\
		1& a_1
	\end{pmatrix}
	\cdots
	\begin{pmatrix}
		0& b_{k-1}\\
		1& a_{k-1}
	\end{pmatrix}
	\begin{pmatrix}
		b_k\\
		a_k
	\end{pmatrix}
\end{align*}

Nach vollständiger Induktion ergibt sich für den Schritt $k$, die Matrix
\begin{equation}
	\label{0f1:math:matrix:ende:eq}
	 \begin{pmatrix}
		A_{k}\\
		B_{k}			
	\end{pmatrix} 
	=
		\begin{pmatrix}
		A_{k-2}& A_{k-1}\\
		B_{k-2}& B_{k-1}			
	\end{pmatrix}
		\begin{pmatrix}
		b_k\\
		a_k
	\end{pmatrix}.
\end{equation}

Und Schlussendlich kann der Näherungsbruch
\[
\frac{Ak}{Bk}
\] 
berechnet werden.


\subsubsection{Lösung}
Die Berechnung von $A_k, B_k$ \eqref{0f1:math:matrix:ende:eq} kann man auch ohne die Matrizenschreibweise aufschreiben: \cite{0f1:wiki-fraction}
\begin{itemize}
\item Startbedingungen:
\begin{align*}
A_{-1} &= 0		&		A_0 &= a_0 \\
B_{-1} &= 1		&		B_0 &= 1 
\end{align*}
\item Schritt $k\to k+1$:
\[
\begin{aligned}
k &\rightarrow k + 1:
&
A_{k+1} &= A_{k-1} \cdot b_k + A_k \cdot a_k \\
&&
B_{k+1} &= B_{k-1} \cdot b_k + B_k \cdot a_k
\end{aligned}
\]
\item
Näherungsbruch: \qquad$\displaystyle\frac{A_k}{B_k}$
\end{itemize}

Ein grosser Vorteil dieser Umsetzung \ref{0f1:listing:kettenbruchRekursion} ist, dass im Vergleich zum Code \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ} eine Division gespart werden kann und somit weniger Rundungsfehler entstehen können.

%Code
\lstinputlisting[style=C,float,caption={Iterativ umgesetzter Kettenbruch.},label={0f1:listing:kettenbruchRekursion},  firstline=8]{papers/0f1/listings/kettenbruchRekursion.c}