\section{Einleitung}

% Lineare filter

% Filter, Signalverarbeitung


Der womöglich wichtigste Filtertyp ist das Tiefpassfilter.
Dieses soll im Durchlassbereich unter der Grenzfrequenz $\Omega_p$ unverstärkt durchlassen und alle anderen Frequenzen vollständig auslöschen.

% Bei der Implementierung von Filtern

In der Elektrotechnik führen Schaltungen mit linearen Bauelementen wie Kondensatoren, Spulen und Widerständen immer zu linearen zeitinvarianten Systemen (LTI-System von englich \textit{time-invariant system}).
Die Übertragungsfunktion im Frequenzbereich $|H(\Omega)|$ eines solchen Systems ist dabei immer eine rationale Funktion, also eine Division von zwei Polynomen.
Die Polynome habe dabei immer reelle oder komplex-konjugierte Nullstellen.


\begin{equation} \label{ellfilter:eq:h_omega}
    | H(\Omega)|^2 = \frac{1}{1 + \varepsilon_p^2 F_N^2(w)}, \quad w=\frac{\Omega}{\Omega_p}
\end{equation}

$\Omega = 2 \pi f$ ist die analoge Frequenz


% Linear filter
Damit das Filter implementierbar und stabil ist, muss $H(\Omega)^2$ eine rationale Funktion sein, deren Nullstellen und Pole auf der linken Halbebene liegen.

$N \in \mathbb{N} $ gibt dabei die Ordnung des Filters vor, also die maximale Anzahl Pole oder Nullstellen.

Damit ein Filter die Passband Kondition erfüllt muss $|F_N(w)| \leq 1 \forall |w| \leq 1$ und für $|w| \geq 1$ sollte die Funktion möglichst schnell divergieren.
Eine einfaches Polynom, dass das erfüllt, erhalten wir wenn $F_N(w) = w^N$.
Tatsächlich erhalten wir damit das Butterworth Filter, wie in Abbildung \ref{ellfilter:fig:butterworth} ersichtlich.
\begin{figure}
    \centering
    \input{papers/ellfilter/python/F_N_butterworth.pgf}
    \caption{$F_N$ für Butterworth filter. Der grüne Bereich definiert die erlaubten Werte für alle $F_N$-Funktionen.}
    \label{ellfilter:fig:butterworth}
\end{figure}

wenn $F_N(w)$ eine rationale Funktion ist, ist auch $H(\Omega)$ eine rationale Funktion und daher ein lineares Filter. %proof?

\begin{align}
    F_N(w) & =
    \begin{cases}
        w^N                            & \text{Butterworth} \\
        T_N(w)                         & \text{Tschebyscheff, Typ 1}  \\
        [k_1 T_N (k^{-1} w^{-1})]^{-1} & \text{Tschebyscheff, Typ 2}  \\
        R_N(w, \xi)                    & \text{Elliptisch (Cauer)}    \\
    \end{cases}
\end{align}

Mit der Ausnahme vom Butterworth filter sind alle Filter nach speziellen Funktionen benannt.
Alle diese Filter sind optimal für unterschiedliche Anwendungsgebiete.
Das Butterworth-Filter, zum Beispiel, ist maximal flach im Durchlassbereich.
Das Tschebyscheff-1 Filter sind maximal steil für eine definierte Welligkeit im Durchlassbereich, währendem es im Sperrbereich monoton abfallend ist.
Es scheint so als sind gewisse Eigenschaften dieser speziellen Funktionen verantwortlich für die Optimalität dieser Filter.
