\section{Elliptische rationale Funktionen}

Kommen wir nun zum eigentlichen Teil dieses Papers, den elliptischen rationalen Funktionen \ref{ellfilter:bib:orfanidis}
\begin{align}
    R_N(\xi, w) &= \cd \left(N~f_1(\xi)~\cd^{-1}(w, 1/\xi), f_2(\xi)\right) \label{ellfilter:eq:elliptic}\\
                &= \cd \left(N~\frac{K_1}{K}~\cd^{-1}(w, k), k_1)\right) , \quad k= 1/\xi, k_1 = 1/f(\xi) \\
                &= \cd \left(N~K_1~z , k_1 \right), \quad w= \cd(z K, k)
\end{align}
Beim Betrachten dieser Definition, fällt die Ähnlichkeit zur trigonometrische Darstellung der Tschebyschef-Polynome \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} auf.
Anstelle vom Kosinus kommt hier die $\cd$-Funktion zum Einsatz.
Die Ordnungszahl $N$ kommt auch als Faktor for.
Zusätzlich werden noch zwei verschiedene elliptische Moduli $k$ und $k_1$ gebraucht.
Bei $k = k_1 = 0$ wird der $\cd$ zum Kosinus und wir erhalten in diesem Spezialfall die Tschebyschef-Polynome.

Durch das Konzept vom fundamentalen Rechteck, siehe Abbildung \ref{buch:elliptisch:fig:ellall} können für alle inversen Jacobi elliptischen Funktionen die Positionen der Null- und Polstellen anhand eines Diagramms ermittelt werden.
Die $\cd^{-1}(w, k)$-Funktion ist um $K$ verschoben zur $\sn^{-1}(w, k)$-Funktion, wie ersichtlich in Abbildung \ref{ellfilter:fig:cd}.
\begin{figure}
    \centering
    \input{papers/ellfilter/tikz/cd.tikz.tex}
    \caption{
        $z$-Ebene der Funktion $z = \cd^{-1}(w, k)$.
        Die Funktion ist in der realen Achse $4K$-periodisch und in der imaginären Achse $2jK^\prime$-periodisch.
    }
    \label{ellfilter:fig:cd}
\end{figure}
Auffallend an der $w = \cd(z, k)$-Funktion ist, dass sich $w$ auf der reellen Achse wie der Kosinus immer zwischen $-1$ und $1$ bewegt, während bei $\mathrm{Im(z) = K^\prime}$ die Werte zwischen $\pm 1/k$ und $\pm \infty$ verlaufen.
Die Idee des elliptischen Filter ist es, diese zwei Equirippel-Zonen abzufahren, wie ersichtlich in Abbildung \ref{ellfilter:fig:cd2}, welche Analog zu Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos2} gesehen werden kann.
\begin{figure}
    \centering
    \input{papers/ellfilter/tikz/cd2.tikz.tex}
    \caption{
        $z_1$-Ebene der elliptischen rationalen Funktionen.
        Je grösser die Ordnung $N$ gewählt wird, desto mehr Nullstellen werden passiert.
    }
    \label{ellfilter:fig:cd2}
\end{figure}
Das elliptische Filter hat im Gegensatz zum Tschebyscheff-Filter drei Zonen.
Im Durchlassbereich werden wie beim Tschebyscheff-Filter die Nullstellen durchlaufen.
Statt dass $z_1$ für alle $w>1$ in die imaginäre Richtung geht, bewegen wir uns im Sperrbereich wieder in reeller Richtung, wo Pole durchlaufen werden.
Aus dieser Sicht kann der Sperrbereich vom Tschebyscheff-Filter als unendlich langer Übergangsbereich angesehen werden.
% Falls es möglich ist diese Werte abzufahren im Stil der Tschebyscheff-Polynome, kann ein Filter gebaut werden, dass Equirippel-Verhalten im Durchlass- und Sperrbereich aufweist.
Da sich die Funktion im Übergangsbereich nur zur nächsten Reihe bewegt ist der Übergangsbereich monoton steigend.
Theoretisch könnte eine gleiches Durchlass- und Sperrbereichverhalten erreicht werden, wenn die Funktion auf eine andere Reihe ansteigen würde.
Dies würde jedoch zu Oszillationen zwischen $1$ und $1/k$ im Übergangsbereich führen.
Abbildung \ref{ellfilter:fig:elliptic_freq} zeigt eine elliptisch rationale Funktion und die Frequenzantwort des daraus resultierenden Filters.
\begin{figure}
    \centering
    \input{papers/ellfilter/python/elliptic.pgf}
    \caption{$F_N$ und die resultierende Frequenzantwort eines elliptischen Filters.}
    \label{ellfilter:fig:elliptic_freq}
\end{figure}

\subsection{Gradgleichung}

Damit die Pol- und Nullstellen genau in dieser Konstellation durchfahren werden, müssen die elliptischen Moduli des inneren und äusseren $\cd$ aufeinander abgestimmt werden.
In der reellen Richtung müssen sich die Periodizitäten $K$ und $K_1$ um den Faktor $N$ unterscheiden, während die imagiäre Periodizitäten $K^\prime$ und $K^\prime_1$ gleich bleiben müssen.
Zur Erinnerung, $K$ und $K^\prime$ sind durch elliptische Integrale definiert und vom Modul $k$ abhängig wie ersichtlich in Abbildung \ref{ellfilter:fig:kprime}.
\begin{figure}
    \centering
    \input{papers/ellfilter/python/k.pgf}
    \caption{Die Periodizitäten in realer und imaginärer Richtung in Abhängigkeit vom elliptischen Modul $k$.}
    \label{ellfilter:fig:kprime}
\end{figure}
$K$ und $K^\prime$ sind durch die Ortskurve $K + jK^\prime$ aneinander Gebunden und benötigen den Zusatzfaktor $K_1/K$ in \eqref{ellfilter:eq:elliptic}, um die genanten Forderungen einzuhalten.
Abbildung \ref{ellfilter:fig:degree_eq} zeigt das Problem geometrisch auf, wobei zwei Punkte auf der Ortskurve gesucht sind.
\begin{figure}
    \centering
    \input{papers/ellfilter/tikz/elliptic_transform2.tikz}
    \caption{Die Gradgleichung als geometrisches Problem ($N=3$).}
    \label{ellfilter:fig:degree_eq}
\end{figure}
Algebraisch kann so die Gradgleichung
\begin{equation}
    N \frac{K^\prime}{K} = \frac{K^\prime_1}{K_1}
\end{equation}
aufgestellt werden, dessen Lösung ist gegeben durch
\begin{equation} %TODO check
k_1 = k^N \prod_{i=1}^L \sn^4 \Bigg( \frac{2i - 1}{N} K, k \Bigg),
\quad \text{wobei} \quad
N = 2L+r.
\end{equation}
Die Herleitung ist sehr umfassend und wird in \ref{ellfilter:bib:orfanidis} im Detail angeschaut.

% \begin{figure}
%     \centering
%     \input{papers/ellfilter/tikz/elliptic_transform1.tikz}
%     \caption{Die Gradgleichung als geometrisches Problem.}
% \end{figure}

\subsection{Darstellung als rationale Funktion}

Bei den Tschebyscheff-Polynomen haben wir gesehen, dass die Trigonometrische Formel zu einfachen Polynomen umgewandelt werden kann.
Im Gegensatz zum $\cos^{-1}$ hat der $\cd^{-1}$ nicht nur Nullstellen sondern auch Pole.
Somit entstehen bei den elliptischen rationalen Funktionen, wie es der name auch deutet, rationale Funktionen, also ein Bruch von zwei Polynomen.

Da Transformationen einer rationalen Funktionen mit Grundrechenarten, wie es in \eqref{ellfilter:eq:h_omega} der Fall ist, immer noch rationale Funktionen ergeben, stellt dies kein Problem für die Implementierung dar.
