\section{Jacobische elliptische Funktionen}

%TODO $z$ or $u$ for parameter?

Für das elliptische Filter wird statt der, für das Tschebyscheff-Filter benutzen Kreis-Trigonometrie die elliptischen Funktionen gebraucht.
Der Begriff elliptische Funktion wird für sehr viele Funktionen gebraucht, daher ist es hier wichtig zu erwähnen, dass es ausschliesslich um die Jacobischen elliptischen Funktionen geht.

Im Wesentlichen erweitern die Jacobi elliptischen Funktionen die trigonometrische Funktionen für Ellipsen.
Zum Beispiel gibt es analog zum Sinus den elliptischen $\sn(z, k)$.
Im Gegensatz zum den trigonometrischen Funktionen haben die elliptischen Funktionen zwei parameter.
Zum einen gibt es den \textit{elliptische Modul} $k$, der die Exzentrizität der Ellipse parametrisiert.
Zum andern das Winkelargument $z$.
Im Kreis ist der Radius für alle Winkel konstant, bei Ellipsen ändert sich das.
Dies hat zur Folge, dass bei einer Ellipse die Kreisbodenstrecke nicht linear zum Winkel verläuft.
Darum kann hier nicht der gewohnte Winkel verwendet werden.
Das Winkelargument $z$ kann durch das elliptische Integral erster Art
\begin{equation}
    z
    =
    F(\phi, k)
    =
    \int_{0}^{\phi}
    \frac{
        d\theta
    }{
        \sqrt{
            1-k^2 \sin^2 \theta
        }
    }
    =
    \int_{0}^{\phi}
    \frac{
        dt
    }{
        \sqrt{
            (1-t^2)(1-k^2 t^2)
        }
    } %TODO which is right? are both functions from phi?
\end{equation}
mit dem Winkel $\phi$ in Verbindung liegt.

Dabei wird das vollständige und unvollständige Elliptische integral unterschieden.
Beim vollständigen Integral
\begin{equation}
    K(k)
    =
    \int_{0}^{\pi / 2}
    \frac{
        d\theta
    }{
        \sqrt{
            1-k^2 \sin^2 \theta
        }
    }
\end{equation}
wird über ein viertel Ellipsenbogen integriert also bis $\phi=\pi/2$ und liefert das Winkelargument für eine Vierteldrehung.
Die Zahl wird oft auch abgekürzt mit $K = K(k)$ und ist für das elliptische Filter sehr relevant.
Alle elliptishen Funktionen sind somit $4K$-periodisch.

Neben dem $\sn$ gibt es zwei weitere basis-elliptische Funktionen $\cn$ und $\dn$.
Dazu kommen noch weitere abgeleitete Funktionen, die durch Quotienten und Kehrwerte dieser Funktionen zustande kommen.
Insgesamt sind es die zwölf Funktionen
\begin{equation*}
    \sn \quad
    \ns \quad
    \scelliptic \quad
    \sd \quad
    \cn \quad
    \nc \quad
    \cs \quad
    \cd \quad
    \dn \quad
    \nd \quad
    \ds \quad
    \dc.
\end{equation*}

Die Jacobischen elliptischen Funktionen können mit der inversen Funktion des kompletten elliptischen Integrals erster Art
\begin{equation}
    \phi = F^{-1}(z, k)
\end{equation}
definiert werden. Dabei ist zu beachten dass nur das $z$ Argument der Funktion invertiert wird, also
\begin{equation}
    z = F(\phi, k)
    \Leftrightarrow
    \phi = F^{-1}(z, k).
\end{equation}
Mithilfe von $F^{-1}$ kann zum Beispiel $sn^{-1}$ mit dem Elliptischen integral dargestellt werden:
\begin{equation}
    \sin(\phi)
    =
    \sin \left( F^{-1}(z, k) \right)
    =
    \sn(z, k)
    =
    w
\end{equation}

\begin{equation}
    \phi
    =
     F^{-1}(z, k)
     =
     \sin^{-1} \big( \sn (z, k ) \big)
     =
    \sin^{-1} ( w )
\end{equation}

\begin{equation}
    F(\phi, k)
    =
    z
    =
    F( \sin^{-1} \big( \sn (z, k ) \big) , k)
    =
    F( \sin^{-1} ( w ), k)
\end{equation}

\begin{equation}
    \sn^{-1}(w, k)
    =
    F(\phi, k),
    \quad
    \phi = \sin^{-1}(w)
\end{equation}

\begin{align}
    \sn^{-1}(w, k)
        & =
    \int_{0}^{\phi}
    \frac{
        d\theta
    }{
        \sqrt{
            1-k^2 \sin^2 \theta
        }
    },
    \quad
    \phi = \sin^{-1}(w)
    \\
        & =
    \int_{0}^{w}
    \frac{
        dt
    }{
        \sqrt{
            (1-t^2)(1-k^2 t^2)
        }
    }
\end{align}

Beim $\cos^{-1}(x)$ haben wir gesehen, dass die analytische Fortsetzung bei $x < -1$ und $x > 1$ rechtwinklig in die Komplexen zahlen wandert.
Wenn man das gleiche mit $\sn^{-1}(w, k)$ macht, erkennt man zwei interessante Stellen.
Die erste ist die gleiche wie beim $\cos^{-1}(x)$ nämlich bei $t = \pm 1$.
Der erste Term unter der Wurzel wird dann negativ, während der zweite noch positiv ist, da $k \leq 1$.
\begin{equation}
    \frac{
        1
    }{
        \sqrt{
            (1-t^2)(1-k^2 t^2)
        }
    }
    \in \mathbb{R}
    \quad \forall \quad
    -1 \leq t \leq 1
\end{equation}
Die zweite stelle passiert wenn beide Faktoren unter der Wurzel negativ werden, was bei $t = 1/k$ der Fall ist.




Funktion in relle und komplexe Richtung periodisch

In der reellen Richtung ist sie $4K(k)$-periodisch und in der imaginären Richtung $4K^\prime(k)$-periodisch.



%TODO sn^{-1} grafik

\begin{figure}
    \centering
    \input{papers/ellfilter/tikz/sn.tikz.tex}
    \caption{
        $z$-Ebene der Funktion $z = \sn^{-1}(w, k)$.
        Die Funktion ist in der realen Achse $4K$-periodisch und in der imaginären Achse $2jK^\prime$-periodisch.
    }
    % \label{ellfilter:fig:cd2}
\end{figure}