\section{Tschebyscheff-Filter}

Als Einstieg betrachten wir das Tschebyscheff-Filter, welches sehr verwandt ist mit dem elliptischen Filter.
Genauer ausgedrückt erhält man die Tschebyscheff-1 und -2 Filter bei Grenzwerten von Parametern beim elliptischen Filter.
Der Name des Filters deutet schon an, dass die Tschebyscheff-Polynome $T_N$ (siehe auch Kapitel \label{buch:polynome:section:tschebyscheff}) für das Filter relevant sind:
\begin{align}
    T_{0}(x)&=1\\
    T_{1}(x)&=x\\
    T_{2}(x)&=2x^{2}-1\\
    T_{3}(x)&=4x^{3}-3x\\
    T_{n+1}(x)&=2x~T_{n}(x)-T_{n-1}(x).
\end{align}
Bemerkenswert ist, dass die Polynome im Intervall $[-1, 1]$ mit der trigonometrischen Funktion
\begin{align} \label{ellfilter:eq:chebychef_polynomials}
    T_N(w) &= \cos \left( N \cos^{-1}(w) \right) \\
           &= \cos \left(N~z \right), \quad w= \cos(z)
\end{align}
übereinstimmen.
Der Zusammenhang lässt sich mit den Doppel- und Mehrfachwinkelfunktionen der trigonometrischen Funktionen erklären.
Abbildung \ref{ellfilter:fig:chebychef_polynomials} zeigt einige Tschebyscheff-Polynome.
\begin{figure}
    \centering
    \input{papers/ellfilter/python/F_N_chebychev2.pgf}
    \caption{Die Tschebyscheff-Polynome $C_N$.}
    \label{ellfilter:fig:chebychef_polynomials}
\end{figure}
Da der Kosinus begrenzt zwischen $-1$ und $1$ ist, sind auch die Tschebyscheff-Polynome begrenzt.
Geht man aber über das Intervall $[-1, 1]$ hinaus, divergieren die Funktionen mit zunehmender Ordnung immer steiler gegen $\pm \infty$.
Diese Eigenschaft ist sehr nützlich für ein Filter.
Wenn wir die Tschebyscheff-Polynome quadrieren, passen sie perfekt in die Forderungen für Filterfunktionen, wie es Abbildung \ref{ellfiter:fig:chebychef} demonstriert.
\begin{figure}
    \centering
    \input{papers/ellfilter/python/F_N_chebychev.pgf}
    \caption{Die Tschebyscheff-Polynome füllen den erlaubten Bereich besser, und erhalten dadurch eine steilere Flanke im Sperrbereich.}
    \label{ellfiter:fig:chebychef}
\end{figure}

Die analytische Fortsetzung von \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} über das Intervall $[-1,1]$ hinaus stimmt mit den Polynomen überein, wie es zu erwarten ist.
Die genauere Betrachtung wird uns helfen die elliptischen Filter besser zu verstehen.

Starten wir mit der Funktion, die in \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} als erstes auf $w$ angewendet wird, dem Arcuscosinus.
Die invertierte Funktion des Kosinus kann als bestimmtes Integral dargestellt werden:
\begin{align}
    \cos^{-1}(x)
    &=
    \int_{x}^{1}
    \frac{
        dz
    }{
        \sqrt{
            1-z^2
        }
    }\\
    &=
    \int_{0}^{x}
    \frac{
        -1
    }{
        \sqrt{
            1-z^2
        }
    }
    ~dz
    + \frac{\pi}{2}.
\end{align}
Der Integrand oder auch die Ableitung von $\cos^{-1}(x)$
\begin{equation}
    \frac{
        -1
    }{
        \sqrt{
            1-z^2
        }
    }
\end{equation}
bestimmt dabei die Richtung, in welche die Funktion verläuft.
Der reelle Arcuscosinus is bekanntlich nur für $|z| \leq 1$ definiert.
Hier bleibt der Wert unter der Wurzel positiv und das Integral liefert reelle Werte.
Doch wenn $|z|$ über 1 hinausgeht, wird der Term unter der Wurzel negativ.
Durch die Quadratwurzel entstehen für den Integranden zwei rein komplexe Lösungen.
Der Wert des Arcuscosinus verlässt also bei $z= \pm 1$ den reellen Zahlenstrahl und knickt in die komplexe Ebene ab.
Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos} zeigt den Arcuscosinus in der komplexen Ebene.
\begin{figure}
    \centering
    \input{papers/ellfilter/tikz/arccos.tikz.tex}
    \caption{Die Funktion $z = \cos^{-1}(w)$ dargestellt in der komplexen ebene.}
    \label{ellfilter:fig:arccos}
\end{figure}
Wegen der Periodizität des Kosinus ist auch der Arcuscosinus $2\pi$-periodisch.
Das Einzeichnen von Pol- und Nullstellen ist hilfreich für die Betrachtung der Funktion.


In \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} wird $z$ mit dem Ordnungsfaktor $N$ multipliziert und durch die Kosinusfunktion zurück transformiert.
Die Skalierung hat zur folge, dass bei der Rücktransformation durch den Kosinus mehrere Nullstellen durchlaufen werden.
Somit passiert $\cos( N~\cos^{-1}(w))$ im Intervall $[-1, 1]$ $N$ Nullstellen, wie dargestellt in Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos2}.
\begin{figure}
    \centering
    \input{papers/ellfilter/tikz/arccos2.tikz.tex}
    \caption{
        $z_1=N \cos^{-1}(w)$-Ebene der Tschebyscheff-Funktion.
        Die eingefärbten Pfade sind Verläufe von $w\in(-\infty, \infty)$ für $N = 4$.
        Je grösser die Ordnung $N$ gewählt wird, desto mehr Nullstellen werden passiert die zu Equirippel-Verhalten führen.
        Die vertikalen Segmente der Funktion sorgen für das Ansteigen der Funktion gegen $\infty$ nach der Grenzfrequenz.
        Die eingezeichneten Nullstellen sind vom zurücktransformierenden Kosinus.
    }
    \label{ellfilter:fig:arccos2}
\end{figure}
Durch die spezielle Anordnung der Nullstellen hat die Funktion auf der reellen Achse Equirippel-Verhalten und ist dennoch ein Polynom, was sich perfekt für linear Filter eignet.
Equirippel bedeutet, dass alle lokalen Maxima der Betragsfunktion gleich gross sind.
