\section{Tschebyscheff-Filter}

Als Einstieg betrachent Wir das Tschebyscheff-Filter, welches sehr verwand ist mit dem elliptischen Filter.
Genauer ausgedrückt sind die Tschebyscheff-1 und -2 Filter Spezialfälle davon.

Der Name des Filters deutet schon an, dass die Tschebyscheff-Polynome $T_N$ für das Filter relevant sind:
\begin{align}
    T_{0}(x)&=1\\
    T_{1}(x)&=x\\
    T_{2}(x)&=2x^{2}-1\\
    T_{3}(x)&=4x^{3}-3x\\
    T_{n+1}(x)&=2x~T_{n}(x)-T_{n-1}(x).
\end{align}
Bemerkenswert ist, dass die Polynome im Intervall $[-1, 1]$ mit der trigonometrischen Funktion
\begin{align} \label{ellfilter:eq:chebychef_polynomials}
    T_N(w) &= \cos \left( N \cos^{-1}(w) \right) \\
           &= \cos \left(N~z \right), \quad w= \cos(z)
\end{align}
übereinstimmt.
Der Zusammenhang lässt sich mit den Doppel- und Mehrfachwinkelfunktionen der trigonometrischen Funktionen erklären.
Abbildung \ref{ellfilter:fig:chebychef_polynomials} zeigt einige Tschebyscheff-Polynome.
\begin{figure}
    \centering
    \input{papers/ellfilter/python/F_N_chebychev2.pgf}
    \caption{Die Tschebyscheff-Polynome $C_N$.}
    \label{ellfilter:fig:chebychef_polynomials}
\end{figure}
Da der Kosinus begrenzt zwischen $-1$ und $1$ ist, sind auch die Tschebyscheff-Polynome begrenzt.
Geht man aber über das Intervall $[-1, 1]$ hinaus, divergieren die Funktionen mit zunehmender Ordnung immer steiler gegen $\pm \infty$.
Diese Eigenschaft ist sehr nützlich für ein Filter.
Wenn wir die Tschebyscheff-Polynome quadrieren, passen sie perfekt in die Voraussetzungen für Filterfunktionen, wie es Abbildung \ref{ellfiter:fig:chebychef} demonstriert.
\begin{figure}
    \centering
    \input{papers/ellfilter/python/F_N_chebychev.pgf}
    \caption{Die Tschebyscheff-Polynome füllen den erlaubten Bereich besser, und erhalten dadurch eine steilere Flanke im Sperrbereich.}
    \label{ellfiter:fig:chebychef}
\end{figure}


Die analytische Fortsetzung von \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} über das Intervall $[-1,1]$ hinaus stimmt mit den Polynomen überein, wie es zu erwarten ist.
Die genauere Betrachtung wird uns dann helfen die elliptischen Filter besser zu verstehen.

Starten wir mit der Funktion, die als erstes auf $w$ angewendet wird, dem Arcuscosinus.
Die invertierte Funktion des Kosinus kann als definites Integral dargestellt werden:
\begin{align}
    \cos^{-1}(x)
    &=
    \int_{x}^{1}
    \frac{
        dz
    }{
        \sqrt{
            1-z^2
        }
    }\\
    &=
    \int_{0}^{x}
    \frac{
        -1
    }{
        \sqrt{
            1-z^2
        }
    }
    ~dz
    + \frac{\pi}{2}
\end{align}
Der Integrand oder auch die Ableitung
\begin{equation}
    \frac{
        -1
    }{
        \sqrt{
            1-z^2
        }
    }
\end{equation}
bestimmt dabei die Richtung, in der die Funktion verläuft.
Der reelle Arcuscosinus is bekanntlich nur für $|z| \leq 1$ definiert.
Hier bleibt der Wert unter der Wurzel positiv und das Integral liefert reelle Werte.
Doch wenn $|z|$ über 1 hinausgeht, wird der Term unter der Wurzel negativ.
Durch die Quadratwurzel entstehen für den Integranden zwei rein komplexe Lösungen.
Der Wert des Arcuscosinus verlässt also bei $z= \pm 1$ den reellen Zahlenstrahl und knickt in die komplexe Ebene ab.
Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos} zeigt den $\arccos$ in der komplexen Ebene.
\begin{figure}
    \centering
    \input{papers/ellfilter/tikz/arccos.tikz.tex}
    \caption{Die Funktion $z = \cos^{-1}(w)$ dargestellt in der komplexen ebene.}
    \label{ellfilter:fig:arccos}
\end{figure}
Wegen der Periodizität des Kosinus ist auch der Arcuscosinus $2\pi$-periodisch und es entstehen periodische Nullstellen.
% \begin{equation}
%     \frac{
%         1
%     }{
%         \sqrt{
%             1-z^2
%         }
%     }
%     \in \mathbb{R}
%     \quad
%     \forall
%     \quad
%     -1  \leq z \leq 1
% \end{equation}
% \begin{equation}
%     \frac{
%         1
%     }{
%         \sqrt{
%             1-z^2
%         }
%     }
%     = i \xi \quad | \quad \xi \in \mathbb{R}
%     \quad
%     \forall
%     \quad
%     z \leq -1 \cup z \geq 1
% \end{equation}

Die Tschebyscheff-Polynome skalieren diese Nullstellen mit dem Ordnungsfaktor $N$, wie dargestellt in Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos2}.
\begin{figure}
    \centering
    \input{papers/ellfilter/tikz/arccos2.tikz.tex}
    \caption{
        $z_1=N \cos^{-1}(w)$-Ebene der Tschebyscheff-Funktion.
        Die eingefärbten Pfade sind Verläufe von $w~\forall~[-\infty, \infty]$ für verschiedene Ordnungen $N$.
        Je grösser die Ordnung $N$ gewählt wird, desto mehr Nullstellen werden passiert.
    }
    \label{ellfilter:fig:arccos2}
\end{figure}
Somit passert $\cos( N~\cos^{-1}(w))$ im Intervall $[-1, 1]$ $N$ Nullstellen.
Durch die spezielle Anordnung der Nullstellen hat die Funktion Equirippel-Verhalten und ist dennoch ein Polynom, was sich perfekt für linear Filter eignet.
