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% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
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% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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\section{FM
\label{fm:section:teil1}}
\rhead{FM}
\subsection{Frequenzmodulation}
(skript Nat ab Seite 60)
Als weiterer Parameter, um ein sinusförmiges Trägersignal \(x_c = A_c \cdot \cos(\omega_c t + \varphi)\) zu modulieren,
bietet sich neben der Amplitude \(A_c\) auch der Phasenwinkel \(\varphi\) oder die momentane Frequenzabweichung \(\frac{d\varphi}{dt}\) an.
Bei der Phasenmodulation (Englisch: phase modulation, PM) erzeugt das Nachrichtensignal \(m(t)\) eine Phasenabweichung \(\varphi(t)\)
des modulierten Trägersignals im Vergleich zum nicht-modulierten Träger.
Sie ist proportional zum Nachrichtensignal \(m(t)\) durch eine Skalierung mit der Phasenhubkonstanten (Englisch: phase deviation constant) 
\[
    k_p [rad],
\]
welche die Amplitude des Nachrichtensignals auf die Phasenabweichung des
modulierten Trägersignals abbildet: \(\varphi(t) = k_p \cdot m(t)\).
Damit ergibt sich für das phasenmodulierte Trägersignal:
\[
    x_{PM} (t) = A_c \cdot \cos (\omega_c t + k_p \cdot m(t))
\]
Die modulierte Phase \(\varphi(t)\) verändert dabei auch die Momentanfrequenz (Englisch: instantaneous frequency) \(\omega_i\)
, welche wie folgt berechnet wird:
\[
    f_i = 2\pi \omega_i (t) = \omega_c + \frac{d\varphi(t)}{dt}
\]
Bei der Frequenzmodulation (Englisch: frequency modulation, FM) ist die Abweichung der momentanen
Kreisfrequenz \(\omega_i\) von der Trägerkreisfrequenz \(\omega_c\) proportional zum Nachrichtensignal \(m(t)\).
Sie ergibt sich, indem \(m(t)\) mit der (Kreis-)Frequenzhubkonstanten (Englisch: frequency deviation constant) \(k_f [rad/s] \)skaliert wird: 
\[
    \omega_i (t) = \omega_c + k_f \cdot m(t).
\]
Diese sich zeitlich verändernde Abweichung von der Kreisfrequenz \(\omega_c\)
verursacht gleichzeitig auch Schwankungen der Phase \(\varphi(t)\),
welche wie folgt berechnet wird:
\[
    \varphi (t) =
    \int_{-\infty}^t \omega_i (\tau ) - \omega_c\, d\tau =
    \int_{-\infty}^t k_f \cdot m(t)\,d\tau
\]
%\intertext{Somit ergibt sich für das frequenzmodulierte Trägersignal: }
\[
    x_{FM} (t) = A_c \cdot \cos \left( \omega_c t +  \int_{-\infty}^t k_f  \cdot m ( \tau) \,d\tau \right) 
\]
Die Phase \(\varphi(t)\) hat dabei einen kontinuierlichen Verlauf, d.h. das FM-modulierte Signal \(x_{FM}(t)\) weist keine Stellen auf,
 wo sich die Phase sprunghaft ändert. Aus diesem Grund spricht man bei frequenzmodulierten
 Signalen - speziell auch bei digitalen FM-Signalen - von einer Modulation mit kontinuierlicher Phase (Englisch: continuous phase modulation).
Wie aus diesen Ausführungen hervorgeht, sind Phasenmodulation und Frequenzmodulation äquivalente Modulationsverfahren.
Beide variieren sowohl die Phase \(\varphi\) wie auch die Momentanfrequenz \(\omega_i.\)
Dadurch kannman leider nicht - wie vielleicht erhofft - je mit einem eigenen Nachrichtensignal ein gemeinsames Trägersignal unabhängig PM- und FM-modulieren,
 ohne dass sich diese Modulationen für den Empfänger untrennbar vermischen würden.
Um die mathematische Behandlung der nicht-linearen Winkelmodulation etwas zu verkürzen, ist es aufgrund dieser Äquivalenzen gerechtfertigt,
dass PM und FM gemeinsam behandelt werden. 
Da beide nur durch die Operation differenzieren getrennt wird, sind diese zwei Modulationen so miteinenader Verwandt das ich nur auf die Frequenzmodulation eingehe.
Jeweils vor der Modulation bzw. nach der Demodulation kann dann noch eine Differentiation oder 
Integration durchgeführt wird, um von der einen Modulationsart zur anderen zu gelangen.
\citeauthor{fm:NAT}

\subsection{Frequenzbereich}
%Nun
%TODO
%Hier Beschreiben ich FM und FM im Frequenzspektrum.
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%voluptatem sequi nesciunt
%\begin{equation}
%\int_a^b x^2\, dx
%=
%\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b
%=
%\frac{b^3-a^3}3.
%\label{fm:equation1}
%\end{equation}
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%\subsection{De finibus bonorum et malorum
%\label{fm:subsection:finibus}}
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%\ref{fm:section:folgerung}.
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