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% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
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% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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\section{FM
\label{fm:section:teil1}}
\rhead{FM}
\subsection{Frequenzmodulation}
(skript Nat ab Seite 60)
Als weiterer Parameter, um ein sinusförmiges Trägersignal \(x_c = A_c \cdot \cos(\omega_c t + \varphi)\) zu modulieren,
bietet sich neben der Amplitude \(A_c\) auch der Phasenwinkel \(\varphi\) oder die momentane Frequenzabweichung \(\frac{d\varphi}{dt}\) an.
Da beide nur durch die Operation differenzieren getrennt wird, sind diese zwei Modulationen so miteinenader Verwandt das ich nur auf die Frequenzmodulation eingehe.
Bei der Phasenmodulation (Englisch: phase modulation, PM) erzeugt das Nachrichtensignal \(m(t)\) eine Phasenabweichung \(\varphi(t)\)
des modulierten Trägersignals im Vergleich zum nicht-modulierten Träger.
Sie ist proportional zum Nachrichtensignal \(m(t)\) durch eine Skalierung mit der Phasenhubkonstanten (Englisch: phase deviation constant) 
\[
    k_p [rad],
\]
welche die Amplitude des Nachrichtensignals auf die Phasenabweichung des
modulierten Trägersignals abbildet: φ(t) = k p · m(t). Damit ergibt sich für das phasenmodulierte Trägersignal:
\[
    x_PM (t) = A_c \cdot \cos (\omega_c t + k_p \cdot m(t))
\]
Die modulierte Phase \(\varphi(t)\) verändert dabei auch die Momentanfrequenz (Englisch: instantaneous frequency) \(\omega_i\)
, welche wie folgt berechnet wird:
\[
    f_i = 2\pi
    \omega_i (t) = \omega_c + \frac{d\varphi(t)}{dt}
\]
Bei der Frequenzmodulation (Englisch: frequency modulation, FM) ist die Abweichung der momentanen
Kreisfrequenz \(\omega_i\) von der Trägerkreisfrequenz \(\omega_c\) proportional zum Nachrichtensignal \(m(t)\).
 Sie ergibt sich, indem \(m(t)\) mit der (Kreis-)Frequenzhubkonstanten (Englisch: frequency deviation constant) \(k_f [rad/s] \)skaliert wird: 
 \[
    \omega_i (t) = \omega_c + k_f \cdot m(t).
\]
Diese sich zeitlich verändernde Abweichung von der Kreisfrequenz \(\omega_c\)
verursacht gleichzeitig auch Schwankungen der Phase \(\varphi(t)\),
welche wie folgt berechnet wird:
\[
    \varphi (t) =
    \int_{-\infty}^0
%ω i (τ ) − ω c dτ =
%Somit ergibt sich für das frequenzmodulierte Trägersignal:
%
%Z t
%−∞
%x FM (t) = A c · cos  ω c t + k f
%k f · m(t) dτ
%Z t
%−∞
%
%m(τ ) dτ 
\]

%Die Phase φ(t) hat dabei einen kontinuierlichen Verlauf, d.h. das FM-modulierte Signal x FM (t) weist keine
%Stellen auf, wo sich die Phase sprunghaft ändert. Aus diesem Grund spricht man bei frequenzmodulierten
%Signalen – speziell auch bei digitalen FM-Signalen – von einer Modulation mit kontinuierlicher Phase (Eng-
%lisch: continuous phase modulation).
%Wie aus diesen Ausführungen hervorgeht, sind Phasenmodulation und Frequenzmodulation äquivalente Mo-
%dulationsverfahren. Beide variieren sowohl die Phase φ wie auch die Momentanfrequenz ω i . Dadurch kann
%man leider nicht – wie vielleicht erhofft – je mit einem eigenen Nachrichtensignal ein gemeinsames Trägersi-
%gnal unabhängig PM- und FM-modulieren, ohne dass sich diese Modulationen für den Empfänger untrennbar
%vermischen würden.
%
%Um die mathematische Behandlung der nicht-linearen Winkelmodulation etwas zu verkürzen, ist es aufgrund
%dieser Äquivalenzen gerechtfertigt, dass PM und FM gemeinsam behandelt werden. Jeweils vor der Modu-
%lation bzw. nach der Demodulation kann dann noch eine Differentiation oder Integration durchgeführt wird,
%um von der einen Modulationsart zur anderen zu gelangen.
%\subsection{Frequenzbereich}
%Nun
%TODO
%Hier Beschreiben ich FM und FM im Frequenzspektrum.
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%dicta sunt explicabo.
%Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit
%aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione
%voluptatem sequi nesciunt
%\begin{equation}
%\int_a^b x^2\, dx
%=
%\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b
%=
%\frac{b^3-a^3}3.
%\label{fm:equation1}
%\end{equation}
%Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet,
%consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora
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%
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%fugiat quo voluptas nulla pariatur?
%
%\subsection{De finibus bonorum et malorum
%\label{fm:subsection:finibus}}
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%dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
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%\ref{fm:section:loesung}.
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%\ref{fm:section:folgerung}.
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%molestiae non recusandae.
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%asperiores repellat.
