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% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 
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% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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\section{FM und Besselfunktion 
\label{fm:section:proof}}
\rhead{Herleitung}
Die momentane Trägerkreisfrequenz \(\omega_i\) wie schon in (ref) beschrieben ist, bringt die Vorigen Kapittel beschreiben. (Ableitung \(\frac{d \varphi(t)}{dt}\) mit sich).
Diese wiederum kann durch \(\beta\sin(\omega_mt)\) ausgedrückt werden, wobei es das Modulierende Signal \(m(t)\) ist.
Somit haben wir unser \(x_c\) welches 
\[
\cos(\omega_c t+\beta\sin(\omega_mt))
\]
ist.

\subsection{Herleitung}
Das Ziel ist es unser moduliertes Signal mit der Besselfunktion so auszudrücken:
\begin{align}
    x_c(t)
    = 
    \cos(\omega_ct+\beta\sin(\omega_mt))
    &=
    \sum_{k= -\infty}^\infty J_{k}(\beta) \cos((\omega_c+k\omega_m)t)
    \label{fm:eq:proof}
\end{align}
\subsubsection{Hilfsmittel}
Doch dazu brauchen wir die Hilfe der Additionsthoerme 
\begin{align}
    \cos(A + B) 
    &= 
    \cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B)
    \label{fm:eq:addth1}
    \\
    2\cos (A)\cos (B)
    &=
    \cos(A-B)+\cos(A+B)
    \label{fm:eq:addth2}
    \\
    2\sin(A)\sin(B)
    &=
    \cos(A-B)-\cos(A+B)
    \label{fm:eq:addth3}
\end{align}
und die drei Besselfunktions indentitäten,
\begin{align}
    \cos(\beta\sin\phi)
    &=
    J_0(\beta) + 2\sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \cos(2k\phi)
    \label{fm:eq:besselid1}
    \\
    \sin(\beta\sin\phi)
    &=
    J_0(\beta) + 2\sum_{k=1}^\infty J_{2k+1}(\beta) \cos((2k+1)\phi)
    \label{fm:eq:besselid2}
    \\
    J_{-n}(\beta) &= (-1)^n J_n(\beta)
    \label{fm:eq:besselid3}
\end{align}
welche man im Kapitel (ref), ref, ref findet.

\subsubsection{Anwenden des Additionstheorem}
Mit dem \eqref{fm:eq:addth1} wird aus dem modulierten Signal
\[
    x_c(t) 
    =
    \cos(\omega_c t + \beta\sin(\omega_mt))
    =
    \cos(\omega_c t)\cos(\beta\sin(\omega_m t))-\sin(\omega_c)\sin(\beta\sin(\omega_m t)).
    \label{fm:eq:start}
\]
\subsubsection{Cos-Teil}
Zu beginn wird der Cos-Teil
\[
    \cos(\omega_c)\cos(\beta\sin(\omega_mt))  
\]
mit hilfe der Besselindentität \eqref{fm:eq:besselid1} zum
\begin{align*}
    \cos(\omega_c t) \cdot \bigg[\, J_0(\beta) + 2\sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \cos( 2k \omega_m t)\, \bigg]
    &=\\
    J_0(\beta)\cos(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) 
    \underbrace{2\cos(\omega_c t)\cos(2k\omega_m t)}_{\text{Additionstheorem}}
\end{align*}
wobei mit dem Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth2} \(A = \omega_c t\) und \(B = 2k\omega_m t \) zum
\[
    J_0(\beta)\cdot \cos(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \{ \cos((\omega_c - 2k \omega_m) t)+\cos((\omega_c + 2k \omega_m) t) \}
\]
wird.
Wenn dabei \(2k\) durch alle geraden Zahlen von \(-\infty \to \infty\) mit \(n\) substituiert erhält man den vereinfachten Term
\[
    \sum_{n\, \text{gerade}} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t),
    \label{fm:eq:gerade}
\]
dabei gehen nun die Terme von \(-\infty \to \infty\), dabei bleibt n Ganzzahlig.

\subsubsection{Sin-Teil}
Nun zum zweiten Teil des Term \eqref{fm:eq:start}, den Sin-Teil
\[
    \sin(\omega_c)\sin(\beta\sin(\omega_m t)).
\]
Dieser wird mit der \eqref{fm:eq:besselid2} Besselindentität zu
\begin{align*}
    \sin(\omega_c t) \cdot \bigg[ J_0(\beta) + 2 \sum_{k=1}^\infty J_{ 2k + 1}(\beta) \cos(( 2k + 1) \omega_m t) \bigg]
    &=\\
    J_0(\beta) \cdot \sin(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k+1}(\beta) \underbrace{2\sin(\omega_c t)\cos((2k+1)\omega_m t)}_{\text{Additionstheorem}}.
\end{align*}
Auch hier wird ein Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth3} gebraucht, dabei ist \(A = \omega_c t\) und \(B = (2k+1)\omega_m t \), 
somit wird daraus
\[
    J_0(\beta) \cdot \sin(\omega_c) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k+1}(\beta) \{ \underbrace{\cos((\omega_c-(2k+1)\omega_m) t)}_{\text{neg.Teil}} - \cos((\omega_c+(2k+1)\omega_m) t) \}
\]dieser Term.
Wenn dabei \(2k +1\) durch alle ungeraden Zahlen von \(-\infty \to \infty\) mit \(n\) substituiert.
Zusätzlich dabei noch die letzte Besselindentität \eqref{fm:eq:besselid3} brauchen, ist bei allen ungeraden negativen \(n : J_{-n}(\beta) = -1\cdot J_n(\beta)\).
Somit wird neg.Teil zum Term \(-\cos((\omega_c+(2k+1)\omega_m) t)\) und die Summe vereinfacht sich zu
\[
     \sum_{n\, \text{ungerade}} -1 \cdot J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t).
     \label{fm:eq:ungerade}
\]
Substituiert man nun noch \(n \text{mit} -n \) so fällt das \(-1\) weg.

\subsubsection{Summe Zusammenführen}
Beide Teile \eqref{fm:eq:gerade} Gerade 
\[
    \sum_{n\, \text{gerade}} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t)
\]und \eqref{fm:eq:ungerade} Ungerade 
\[
    \sum_{n\, \text{ungerade}} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t)
\]
ergeben zusammen
\[
    \cos(\omega_ct+\beta\sin(\omega_mt))
    =
    \sum_{k= -\infty}^\infty J_{k}(\beta) \cos((\omega_c+k\omega_m)t).
\]
Somit ist \eqref{fm:eq:proof} bewiesen.
\newpage

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\subsection{Bessel und Frequenzspektrum}
Um sich das ganze noch einwenig Bildlicher vorzustellenhier einmal die Besselfunktion \(J_{k}(\beta)\) in geplottet.
\begin{figure}
	\centering
%	\input{./PyPython animation/bessel.pgf}
	\caption{Bessle Funktion \(J_{k}(\beta)\)}
	\label{fig:bessel}
\end{figure}
TODO Grafik einfügen,
\newline
Nun einmal das Modulierte FM signal im Frequenzspektrum mit den einzelen Summen dargestellt

TODO
Hier wird beschrieben wie die Bessel Funktion der FM im Frequenzspektrum hilft, wieso diese gebrauch wird und ihre Vorteile.
\begin{itemize}
    \item Zuerest einmal die Herleitung von FM zu der Besselfunktion
    \item Im Frequenzspektrum darstellen mit Farben, ersichtlich machen. 
    \item Parameter tuing der Trägerfrequenz, Modulierende frequenz und Beta. 
\end{itemize}


%\subsection{De finibus bonorum et malorum
%\label{fm:subsection:bonorum}}