%
% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 
%
% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
%
\section{Frequenzmodulation und Bessel-Funktionen
\label{fm:section:proof}}
\rhead{Herleitung}
Die momentane Trägerkreisfrequenz \(\omega_i\), wie schon in (ref) beschrieben ist, bringt die Ableitung \(\frac{d \varphi(t)}{dt}\) mit sich.
Diese wiederum kann durch \(\beta\sin(\omega_mt)\) ausgedrückt werden, wobei es das modulierende Signal \(m(t)\) ist.
Somit haben wir unser Signal
\[
x_c(t)
=
\cos(\omega_c t+\beta\sin(\omega_mt)),
\]
welches nun als Superposition von harmonischen Schwingungen
geschrieben werden soll, damit man das Frequenzspektrum ablesen 
kann.

\begin{satz}
\label{fm:satz:spektrum}
Das frequenzmodulierte Signal $x_c(t)$ lässt sich schreiben als
\begin{align}
    x_c(t)
    = 
    \cos(\omega_ct+\beta\sin(\omega_mt))
    &=
    \sum_{k= -\infty}^\infty J_{k}(\beta) \cos((\omega_c+k\omega_m)t).
    \label{fm:eq:proof}
\end{align}
\end{satz}

\subsection{Herleitung}
Zum Beweise von Satz~\ref{fm:satz:spektrum} werden zunächst einige
Hilfsmittel gebraucht, deren Anwendung später die Darstellung
\eqref{fm:eq:proof} liefert.

\subsubsection{Hilfsmittel}
Wir brauchen die Hilfe der Additionstheoreme 
\begin{align}
    \cos(A + B) 
    &= 
    \cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B)
    \label{fm:eq:addth1}
    \\
    2\cos (A)\cos (B)
    &=
    \cos(A-B)+\cos(A+B)
    \label{fm:eq:addth2}
    \\
    2\sin(A)\sin(B)
    &=
    \cos(A-B)-\cos(A+B)
    \label{fm:eq:addth3}
\end{align}
und die drei Bessel-Funktionsidentitäten,
\begin{align}
    \cos(\beta\sin\phi)
    &=
    J_0(\beta) + 2\sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \cos(2k\phi)
    \label{fm:eq:besselid1}
    \\
    \sin(\beta\sin\phi)
    &=
    2\sum_{k=0}^\infty J_{2k+1}(\beta) \cos((2k+1)\phi)
    \label{fm:eq:besselid2}
    \\
    J_{-n}(\beta) &= (-1)^n J_n(\beta)
    \label{fm:eq:besselid3}
\end{align}
welche man im Kapitel~\ref{buch:chapter:fourier}
als Gleichungen
\eqref{buch:fourier:eqn:expinphireal},
\eqref{buch:fourier:eqn:expinphiimaginary},
und \eqref{buch:fourier:eqn:symetrie} findet.

\subsubsection{Anwenden des Additionstheorem}
Mit dem \eqref{fm:eq:addth1} wird aus dem modulierten Signal
\[
    x_c(t) 
    =
    \cos(\omega_c t + \beta\sin(\omega_mt))
    =
    \underbrace{
	\cos(\omega_c t)\cos(\beta\sin(\omega_m t))
    }_{\displaystyle=c(t)}
     -
    \underbrace{
	\sin(\omega_ct)\sin(\beta\sin(\omega_m t))
    }_{\displaystyle=s(t)}.
    \label{fm:eq:start}
\]
Die beiden Terme auf der rechten Seite werden jetzt unabhängig 
voneinander analysiert.

\subsubsection{Cosinus-Teil}
Zu Beginn wird der Cosinus-Teil
\begin{align}
    c(t) 
    &=
    \cos(\omega_c t)\cdot\cos(\beta\sin(\omega_mt))  
\notag
\intertext{mit Hilfe der Bessel-Indentität \eqref{fm:eq:besselid1} zum}
    &=
    \cos(\omega_c t) \cdot \bigg[ J_0(\beta)
    +
    2\sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \cos( 2k \omega_m t)\, \bigg]
\notag
    \\
    &=
    J_0(\beta) \cdot \cos(\omega_c t)
    +
    \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta)
	\underbrace{
		2\cos(\omega_c t)\cos(2k\omega_m t)
	}_{\displaystyle\text{Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth2}}},
\notag
\intertext{wobei mit dem Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth2}
\(A = \omega_c t\) und \(B = 2k\omega_m t \) ersetzt wurden.
Nun kann die Summe in zwei Summen }
    &=
    J_0(\beta) \cdot \cos(\omega_c t)
    +
    \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \cos((\omega_c - 2k \omega_m) t)
    +
    \cos((\omega_c + 2k \omega_m) t) \}
    \\
    &=
    \sum_{k=1}^{\infty} J_{2k}(\beta) \cos((\omega_c - 2k \omega_m) t) 
    +
    J_0(\beta)\cdot \cos(\omega_c t) 
    +
    \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta)\cos((\omega_c + 2k \omega_m) t) 
\notag
\intertext{aufgeteilt werden.
Damit man die beiden Summen in eine zusammenfassen kann, müssen
die Kosinus-Terme in die gleiche Form gebracht werden.
Dazu kann man $k$ durch $-k$ ersetzen, dann muss in der ersten Summe
aber von $-1$ bis $-\infty$ summiert werden.
Ausserdem ist nach Bessel-Indentität \eqref{fm:eq:besselid3}
für gerade Ordnung der Besselfunktion $J_{-2k}(\beta)=J_{2k}(\beta)$,
so dass die Summe
}
    &=
    \sum_{k=-\infty}^{-1}
	J_{2k}(\beta)
	\cos\bigl((\omega_c + 2k \omega_m) t\bigr) 
    +
    J_0(\beta)\cdot \cos\bigl((\omega_c + 0\omega_m) t\bigr)
    +
    \sum_{k=1}^\infty
	J_{2k}(\beta)
	\cos\bigl((\omega_c + 2k \omega_m) t\bigr) 
\notag
\\
    &=
    \sum_{k=-\infty}^\infty
	J_{2k}(\beta)
	\bigl(\cos(\omega_c + 2k\omega_m)t\bigr).
\notag
\intertext{Dies kann vereinfacht als}
    &=
    \sum_{\text{$n$ gerade}}
	J_{n}(\beta)
	\cos\bigl((\omega_c + n \omega_m) t\bigr)
    \label{fm:eq:gerade}
\end{align}
geschrieben werden.

\subsubsection{Sinus-Teil}
Nun zum zweiten Teil der Summe \eqref{fm:eq:start}, den Sinus-Teil
\begin{align}
    s(t) 
    &=
    -\sin(\omega_c t)\cdot\sin\bigl(\beta\sin(\omega_m t)\bigr).
\notag
\intertext{Dieser wird mit der \eqref{fm:eq:besselid2} Bessel-Indentität zu}
    &=
    -\sin(\omega_c t) \cdot \bigg[
	2 \sum_{k=0}^\infty
	J_{ 2k + 1}(\beta)
	\cos\bigl(( 2k + 1) \omega_m t\bigr)
    \bigg]
    \\
    &=
    \sum_{k=0}^\infty
	-1 \cdot J_{2k+1}(\beta)
	2\sin(\omega_c t)
	\cos\bigl((2k+1)\omega_m t\bigr).
\notag
\intertext{\(2k + 1\) durchläuft alle ungeraden positiven Ganzzahlen.
Nach der Bessel-Identität \eqref{fm:eq:besselid3} ist
\(J_{-(2k+1)}(\beta) = -1\cdot J_{2k+1}(\beta)\).
Damit kann die Summe schreiben als eine Summe über die ungeraden Zahlen $n$:
}
    &=
    \sum_{\text{$n>0$ ungerade}}^\infty
	J_{-n}(\beta)
	\underbrace{
		2\sin(\omega_c t)\cos(n \omega_m t)
	}_{\displaystyle\text{Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth3}}}.
\notag
\intertext{Auch hier wird ein Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth3}
gebraucht, dabei ist \(A = \omega_c t\) und \(B = n \omega_m t \), 
und es entsteht:}
    &=
    \sum_{\text{$n>0$ ungerade}}
	J_{-n}(\beta)
	\{
	\cos\bigl((\omega_c - n\omega_m) t\bigr)
	-
	\cos\bigl((\omega_c + n\omega_m) t\bigr)
	\}.
\notag
\intertext{Wieder ersetzen wir $n$ durch $-n$ in der ersten Summe,
um die gleichen Kosinus-Terme zu erhalten:}
    &=
    \sum_{\text{$n<0$ ungerade}}
	J_{n}(\beta)
	\cos\bigl((\omega_c + n \omega_m) t\bigr)
    -
    \sum_{\text{$n>0$ ungerade}}
	J_{-n}(\beta)
	\cos\bigl((\omega_c + n\omega_m) t\bigr)
\notag
\\
    &=
    \sum_{\text{$n<0$ ungerade}}
	J_{n}(\beta)
	\cos\bigl((\omega_c + n \omega_m) t\bigr)
    +
    \sum_{\text{$n>0$ ungerade}}
	J_{n}(\beta)
	\cos\bigl((\omega_c + n\omega_m) t\bigr)
\notag
\intertext{
In der zweiten Gleichung haben wir wieder die
Bessel-Identität $J_{-n}(\beta)=-J_{n}(\beta)$
verwendet, die für $n$ ungerade gilt.
Jetzt kann man die beiden Summen wieder zusammenfassen in
eine einzige, die über alle positiven und negativen ungeraden
Zahl läuft:}
    &=
    \sum_{\text{$n$ ungerade}}
	J_{n}(\beta)
	\cos\bigl((\omega_c + n \omega_m) t\bigr).
\label{fm:eq:ungerade}
\end{align}

\subsubsection{Summe Zusammenführen}
Beide Teile \eqref{fm:eq:gerade} für die geraden Terme 
\begin{align*}
c(t)
&=
    \sum_{n\, \text{gerade}}
	J_{n}(\beta)
	\cos\bigl((\omega_c + n\omega_m) t\bigr)
\intertext{und \eqref{fm:eq:ungerade} für die ungeraden Terme }
s(t)
&=
    \sum_{n\, \text{ungerade}}
	J_{n}(\beta)
	\cos\bigl((\omega_c + n\omega_m) t\bigr)
\intertext{ergeben zusammen}
x_c(t)
&=c(t)+s(t)
\\
&=
    \cos\bigl(\omega_ct+\beta\sin(\omega_mt)\bigr)
    =
    \sum_{k= -\infty}^\infty
	J_{n}(\beta)
	\cos\bigl((\omega_c+ n\omega_m)t\bigr).
\end{align*}
Somit ist \eqref{fm:eq:proof} bewiesen.

\subsection{Bessel und Frequenzspektrum}
Unser FM-signal Fourientransformiert \eqref{fm:FM:fourie} wird zusammengestzt aus den einzelen Reihenteilen mit der gewichtung der Besselfunktion.


Nochmals zur erinnerung sah unser Träger Signal anfangs so aus:
\(x_c(t) = A_c \cdot \cos(\omega_c(t)+\varphi)\), dabei modulierten wir den parameter \( \varphi = \beta\sin(\omega_mt) \).
Davon sahen wir das sich ursprünglich unser Signal\(m_{FM}(t) = \cos(\omega_m t)\) war. 
Wie das Beat zusammenhängt sieht man im Abschnitt ( ref). 
Wird es weiter transformiert zur Summe, so erhält man ein
\[
    x_{FM} = 
    \sum_{k= -\infty}^\infty J_{n}(\beta) \cos((\omega_c+ n\omega_m)t).
\]
Diese Summe nun Fourier Transformiert ergibt
\[
    x_{FM} = 
    \sum_{k= -\infty}^\infty J_{n}(\beta) \cdot \frac{1}{2} \biggl(  e^{j(\omega_c+ n\omega_m)t}\;+\; e^{-j(\omega_c+ n\omega_m)t}\biggr).
\]
Dies ergibt wiederum zwei dirac impulse im Frequenzbereich, aber pro Summand mit der Gewichtung der Besselfunktion indices und deren \(\beta\). 
Gegeneüber \textit{AM} hat sich \textit{FM} zu einer Summe mit gewichtungen der Besselfunktion verändert.
Überall wo die Besselfunktion gegn 0 tendiert können wir diese Summand vernachlässigen.
Um dies zu sehn plotten wir einmal \(J_{n}(\beta)\):
\begin{figure}
	\centering
	\input{papers/fm/Python animation/bessel.pgf}
	\caption{Bessle Funktion \(J_{n}(\beta)\)}
	\label{fig:bessel}
\end{figure}
Hier sieht man gut das für kleine \( \beta \lessgtr \) nur die ersten Summanden \( n\) zuständig sind.
So kann man mit dem \(\beta\) gut bestimmen bis wo die Summe berchnet werden soll. 

Für ein Beispiel nehmen wir  \(\beta = ... \omega_m = ... \)
Dann sieht unser \(x_{FM}\) so aus:
\begin{figure}
	\centering
	
	\caption{Beispiel eines FM Übertragenen Signal}
	\label{fig:bessel}
\end{figure}
Nun verändern wir die drei Parameter \(\beta \omega_c \omega_m \) und sehen was sich verändern wird
\subsubsection{Beta}
Da \(\beta\) in keiner abhängigkeit zo den anderen parameter steht, und jegliglich die anzahl der nötigen Summanden bestimmt.
So wird es auch diese Anzahl bestimmen was man hier sehen kann.
\subsubsection{omega c}
Dieser ist unser Trägerfrequenz auf die unser Signal aufmoduliert wurde, diese bestimmt die Frequenz in welchem sich das signal befindet
\subsubsection{omega m}
Dieser parametr hat unsere bandbreite auf welchem unser Moduliertes Signal \(x_{AM}\) befindet bestimmt, auch im FM wird es wieder die Bandbreite bestimmen, was wir hier sehen.

Nun einmal das Modulierte FM signal mit dem \(\beta =  \omega_m =  \) berechnet:



TODO
Hier wird beschrieben wie die Bessel Funktion der FM im Frequenzspektrum hilft, wieso diese gebrauch wird und ihre Vorteile.
\begin{itemize}
    \item Zuerest einmal die Herleitung von FM zu der Bessel-Funktion
    \item Im Frequenzspektrum darstellen mit Farben, ersichtlich machen. 
    \item Parameter tuing der Trägerfrequenz, Modulierende frequenz und Beta. 
\end{itemize}
\newpage


%\subsection{De finibus bonorum et malorum
%\label{fm:subsection:bonorum}}



