\section{Anwendung \label{kra:section:anwendung}}
\rhead{Anwendung}
\newcommand{\dt}[0]{\frac{d}{dt}}

Die Matrix-Riccati Differentialgleichung findet unter anderem Anwendung in der Regelungstechnik beim RQ- und RQG-Regler oder aber auch beim Kalman-Filter.
Im folgenden Abschnitt möchten wir uns an einem Beispiel anschauen wie wir mit Hilfe der Matrix-Riccati-Differentialgleichung (\ref{kra:equation:matrixriccati}) ein Feder-Masse-System untersuchen können \cite{kra:riccati}.

\subsection{Feder-Masse-System}
Die einfachste Form eines Feder-Masse-Systems ist dargestellt in Abbildung~\ref{kra:fig:simple_mass_spring}.
Es besteht aus einer reibungsfrei gelagerten Masse $m$, welche an eine Feder mit der Federkonstante $k$ gekoppelt ist.
Die im System wirkenden Kräfte teilen sich auf in die auf dem hookeschen Gesetz basierenden Rückstellkraft $F_R = k \Delta_x$ und der auf dem Aktionsprinzip basierenden Kraft $F_a = am = \ddot{x} m$.
Das Kräftegleichgewicht fordert $F_R = F_a$ woraus folgt, dass

\begin{equation*}
    k \Delta_x = \ddot{x} m \Leftrightarrow \ddot{x} = \frac{k \Delta_x}{m}.
\end{equation*}
Die Funktion die diese Differentialgleichung löst, ist die harmonische Schwingung
\begin{equation}
    x(t) = A \cos(\omega_0 t + \varphi), \quad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}.
\end{equation}
\begin{figure}
    \centering
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    \includegraphics{papers/kra/images/simple.pdf}
    %\input{papers/kra/images/simple_mass_spring.tex}
    \caption{Einfaches Feder-Masse-System.}
    \label{kra:fig:simple_mass_spring}
\end{figure}
\begin{figure}
    \centering
    \input{papers/kra/images/multi_mass_spring.tex}
    \caption{Feder-Masse-System mit zwei Massen und drei Federn.}
    \label{kra:fig:multi_mass_spring}
\end{figure}

\subsection{Hamilton-Funktion}
Die Bewegung der Masse $m$ kann mit Hilfe der hamiltonschen Mechanik im Phasenraum untersucht werden.
Die hamiltonschen Gleichungen verwenden dafür die verallgemeinerten Ortskoordinaten
$q = (q_{1}, q_{2}, ..., q_{n})$ und die verallgemeinerten Impulskoordinaten $p = (p_{1}, p_{2}, ..., p_{n})$, wobei der Impuls definiert ist als $p_k = m_k \cdot v_k$.
Liegen keine zeitabhängigen Zwangsbedingungen vor, so entspricht die Hamilton-Funktion der Gesamtenergie des Systems \cite{kra:hamilton}.
Im Falle des einfachen Feder-Masse-Systems, Abbildung \ref{kra:fig:simple_mass_spring}, setzt sich die Hamilton-Funktion aus kinetischer und potentieller Energie zusammen.
\begin{equation}
    \label{kra:equation:harmonischer_oszillator}
    \begin{split}
        H(q, p) &= T(p) + V(q) = E \\
        &= \underbrace{\frac{p^2}{2m}}_{\displaystyle{E_{kin}}} + \underbrace{\frac{k q^2}{2}}_{\displaystyle{E_{pot}}}
    \end{split}
\end{equation}
Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen liefern \cite{kra:kanonischegleichungen}
\begin{equation}
    \label{kra:equation:bewegungsgleichung}
    \dot{q_{k}} = \frac{\partial H}{\partial p_k}
    \qquad
    \dot{p_{k}} = -\frac{\partial H}{\partial q_k},
\end{equation}
daraus folgt
\[
    \dot{q} = \frac{p}{m}
    \qquad
    \dot{p} = -kq.
\]
In Matrixschreibweise erhalten wir also
\[
    \begin{pmatrix}
        \dot{q} \\
        \dot{p}
    \end{pmatrix}
    =
    \begin{pmatrix}
        0  & \frac{1}{m} \\
        -k & 0
    \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}
        q \\
        p
    \end{pmatrix}
    .
\]
Für das erweiterte Federmassesystem, Abbildung \ref{kra:fig:multi_mass_spring}, können wir analog vorgehen.
Die kinetische Energie setzt sich nun aus den kinetischen Energien der einzelnen Massen $m_1$ und $m_2$ zusammen.
Die potentielle Energie erhalten wir aus der Summe der kinetischen Energien der einzelnen Federn mit den Federkonstanten $k_1$, $k_c$ und $k_2$.
\begin{align*}
    \begin{split}
        T   &= T_1 + T_2 \\
        &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2}
    \end{split}
    \\
    \begin{split}
        V   &= V_1 + V_c + V_2 \\
        &= \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2}.
    \end{split}
\end{align*}
Die Hamilton-Funktion ist also
\begin{align*}
    \begin{split}
        H   &= T + V \\
            &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2}
    \end{split}
\end{align*}
Die Bewegungsgleichungen \eqref{kra:equation:bewegungsgleichung} liefern
\begin{align*}
    \frac{\partial H}{\partial p_k}  & = \dot{q_k}
    \Rightarrow
    \left\{
    \begin{alignedat}{2}
        \dot{q_1}   &= \frac{2p_1}{2m_1}    &&= \frac{p_1}{m_1}\\
        \dot{q_2}   &= \frac{2p_2}{2m_2}    &&= \frac{p_2}{m_2}
    \end{alignedat}
    \right.
    \\
    -\frac{\partial H}{\partial q_k} & = \dot{p_k}
    \Rightarrow
    \left\{
    \begin{alignedat}{2}
        \dot{p_1}   &= -(\frac{2k_1q_1}{2} - \frac{2k_c(q_2-q_1)}{2})  &&= -q_1(k_1+k_c) + q_2k_c \\
        \dot{p_1}   &= -(\frac{2k_c(q_2-q_1)}{2} - \frac{2k_2q_2}{2})  &&= q_1k_c - (k_c + k_2).
    \end{alignedat}
    \right.
\end{align*}
In Matrixschreibweise erhalten wir
\begin{equation}
    \label{kra:equation:hamilton-multispringmass}
    \begin{pmatrix}
        \dot{q_1} \\
        \dot{q_2} \\
        \dot{p_1} \\
        \dot{p_2} \\
    \end{pmatrix}
    =
    \begin{pmatrix}
        0            & 0            & \frac{1}{2m_1} & 0              \\
        0            & 0            & 0              & \frac{1}{2m_2} \\
        -(k_1 + k_c) & k_c          & 0              & 0              \\
        k_c          & -(k_c + k_2) & 0              & 0              \\
    \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}
        q_1 \\
        q_2 \\
        p_1 \\
        p_2 \\
    \end{pmatrix}
    \Leftrightarrow
    \dt
    \begin{pmatrix}
        Q \\
        P \\
    \end{pmatrix}
    =
    \underbrace{
        \begin{pmatrix}
            0 & M \\
            K & 0
        \end{pmatrix}
    }_{G}
    \begin{pmatrix}
        Q \\
        P \\
    \end{pmatrix}.
\end{equation}

\subsection{Phasenraum}
Der Phasenraum erlaubt die eindeutige Beschreibung aller möglichen Bewegungszustände eines mechanischen Systems durch einen Punkt.
Die Phasenraumdarstellung eignet sich somit sehr gut für die systematische Untersuchung der Feder-Masse-Systeme.

\subsubsection{Harmonischer Oszillator}
Die Hamiltonfunktion des harmonischen Oszillators \eqref{kra:equation:harmonischer_oszillator} führt auf eine Lösung der Form
\begin{equation*}
    q(t) = A \cos(\omega_0 T + \Phi), \quad p(t) = -m \omega_0 A \sin(\omega_0 t + \Phi),
\end{equation*}
die Phasenraumtrajektorien bilden also Ellipsen mit Zentrum $q=0, p=0$ und Halbachsen $A$ und $m \omega A$.
Abbildung~\ref{kra:fig:phasenraum} zeigt Phasenraumtrajektorien mit den Energien $E_{x \in \{A, B, C, D\}}$ und verschiedenen Werten von $\omega$.
\begin{figure}
    \centering
    \input{papers/kra/images/phase_space.tex}
    \caption{Phasenraumdarstellung des einfachen Feder-Masse-Systems.}
    \label{kra:fig:phasenraum}
\end{figure}

\subsubsection{Erweitertes Feder-Masse-System}
Wir interessieren uns nun dafür, wie der Phasenwinkel $U = PQ^{-1}$ von der Zeit abhängt,
wir suchen also die Grösse $\Theta = \dt U$.
Ersetzten wir in der Gleichung \eqref{kra:equation:hamilton-multispringmass} die Matrix $G$ mit $\tilde{G}$ so erhalten wir
\begin{equation}
    \dt
    \begin{pmatrix}
        Q \\
        P
    \end{pmatrix}
    =
    \underbrace{
        \begin{pmatrix}
            A & B \\
            C & D
        \end{pmatrix}
    }_{\displaystyle{\tilde{G}}}
    \begin{pmatrix}
        Q \\
        P
    \end{pmatrix}.
\end{equation}
Ausgeschrieben folgt
\begin{align*}
    \dot{Q} = AQ + BP \\
    \dot{P} = CQ + DP
\end{align*}
\begin{equation}
    \begin{split}
        \dt U   &= \dot{P} Q^{-1} + P \dt Q^{-1} \\
        &= (CQ + DP) Q^{-1} - P (Q^{-1} \dot{Q} Q^{-1}) \\
        &= C\underbrace{QQ^{-1}}_\text{$I$} + D\underbrace{PQ^{-1}}_\text{$U$} - P(Q^{-1} (AQ + BP) Q^{-1}) \\
        &= C + DU - \underbrace{PQ^{-1}}_\text{$U$}(A\underbrace{QQ^{-1}}_\text{$I$} + B\underbrace{PQ^{-1}}_\text{$U$}) \\
        &= C  + DU - UA - UBU
    \end{split}
\end{equation}
was uns auf die Matrix-Riccati Gleichung \eqref{kra:equation:matrixriccati} führt.

% @TODO Einfluss auf anfangsbedingungen, plots?
% @TODO Fazit ?
