\section{Lösungsmethoden} \label{kra:section:loesung}
\rhead{Lösungsmethoden}

\subsection{Riccatische Differentialgleichung} \label{kra:loesung:riccati}
Eine allgemeine analytische Lösung der Riccati Differentialgleichung ist nicht möglich.
Es gibt aber Spezialfälle, in denen sich die Gleichung vereinfachen lässt und so eine analytische Lösung gefunden werden kann.
Diese wollen wir im folgenden Abschnitt genauer anschauen.

\subsubsection{Fall 1: Konstante Koeffizienten}
Sind die Koeffizienten $f(x), g(x), h(x)$ Konstanten, so lässt sich die DGL separieren und reduziert sich auf die Lösung des Integrals \ref{kra:equation:case1_int}.
\begin{equation}
    y' = fy^2 + gy + h 
\end{equation}
\begin{equation}
    \frac{dy}{dx} = fy^2 + gy + h
\end{equation}
\begin{equation} \label{kra:equation:case1_int}
    \int \frac{dy}{fy^2 + gy + h} = \int dx
\end{equation}

\subsubsection{Fall 2: Bekannte spezielle Lösung}
Kennt man eine spezielle Lösung $y_p$ so kann die riccatische DGL mit Hilfe einer Substitution auf eine lineare Gleichung reduziert werden.
Wir wählen als Substitution
\begin{equation} \label{kra:equation:substitution}
    z = \frac{1}{y - y_p} 
\end{equation}
durch Umstellen von \ref{kra:equation:substitution} folgt
\begin{equation}
    y = y_p + \frac{1}{z^2} \label{kra:equation:backsubstitution}
\end{equation}
\begin{equation}
    y' = y_p' - \frac{1}{z^2}z'
\end{equation}
mit Einsetzten in die DGL \ref{kra:equation:riccati} folgt 
\begin{equation}
    y_p' - \frac{1}{z^2}z' = f(x)(y_p + \frac{1}{z}) + g(x)(y_p + \frac{1}{z})^2 + h(x)
\end{equation}
\begin{equation}
    -z^{2}y_p' + z' = -z^2\underbrace{(y_{p}f(x) + g(x)y_p^2 + h(x))}_{y_p'} - z(f(x) + 2y_{p}g(x)) - g(x)
\end{equation}
was uns direkt auf eine lineare Differentialgleichung 1.Ordnung führt.
\begin{equation}
    z' = -z(f(x) + 2y_{p}g(x)) - g(x)
\end{equation}
Diese kann nun mit den Methoden zur Lösung von linearen Differentialgleichungen 1.Ordnung gelöst werden.
Durch die Rücksubstitution \ref{kra:equation:backsubstitution} erhält man dann die Lösung von \ref{kra:equation:riccati}.

\subsection{Matrix-Riccati Differentialgleichung} \label{kra:loesung:riccati}
% Lösung matrix riccati
Die Lösung der Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} erhalten wir nach \cite{kra:kalmanisae} folgendermassen
\begin{equation}
    \label{kra:matrixriccati-solution}
    \begin{pmatrix}
        X(t) \\
        Y(t)
    \end{pmatrix}
    =
    \Phi(t_0, t)
    \begin{pmatrix}
        I(t) \\
        U_0(t)
    \end{pmatrix}
    =
    \begin{pmatrix}
        \Phi_{11}(t_0, t) & \Phi_{12}(t_0, t) \\
        \Phi_{21}(t_0, t) & \Phi_{22}(t_0, t)
    \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}
        I(t) \\
        U_0(t)
    \end{pmatrix}
\end{equation}
\begin{equation}
    U(t) =
    \begin{pmatrix}
        \Phi_{21}(t_0, t) + \Phi_{22}(t_0, t)
    \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}
        \Phi_{11}(t_0, t) + \Phi_{12}(t_0, t)
    \end{pmatrix}
    ^{-1}
\end{equation}
wobei $\Phi(t, t_0)$ die sogenannte Zustandsübergangsmatrix ist.
\begin{equation}
    \Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)}
\end{equation}
