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% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
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% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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\section{Lösungsmethode 2: Transformationsmethode
\label{kreismembran:section:teil3}}
\rhead{Lösungsmethode 2: Transformationsmethode}
Die Hankel-Transformation kann hier zur Lösung der Differentialgleichung verwendet werden. Es müssen jedoch einige Änderungen an dem Problem vorgenommen werden, damit es mit den Annahmen übereinstimmt, die für die Verwendung der Hankel-Transformation erforderlich sind. Das heisst, dass die Funktion $u$ nur von der Entfernung zum Ausgangspunkt abhängt. 

\subsubsection{Transformation und Reduktion auf eine algebraische Gleichung\label{subsub:transf_reduktion}}
Führt man also das Konzept einer unendlichen und achsensymmetrischen Membran ein:
\begin{align}
	\frac{\partial^2u}{\partial t^2}
	=
	c^2  \left(\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}
	+
	\frac{1}{r}
	\frac{\partial u}{\partial r} \right), \quad 0<r<\infty, \quad t>0   \label{eq:PDE_inf_membane} \\
		u(r,0)=f(r), \quad u_t(r,0) = g(r), \quad \text{für} \quad 0<r<\infty.
	\label{eq:PDE_inf_membane_RB}
\end{align}


Mit Anwendung der Hankel-Transformation nullter Ordnung in Abhängigkeit von $r$ auf die Gleichungen \eqref{eq:PDE_inf_membane} und \eqref{eq:PDE_inf_membane_RB}:

\begin{align}
	\tilde{u}(\kappa,t)=\int_{0}^{\infty}r J_0(\kappa r)u(r,t) \; dr,
\end{align}
bekommt man:

\begin{equation*}
	\frac{d^2 \tilde{u}}{dt^2} + c^2\kappa^2\tilde{u}=0,
\end{equation*}

\begin{equation*}
	\tilde{u}(\kappa,0)=\tilde{f}(\kappa), \quad 
	\tilde{u}_t(\kappa,0)=\tilde{g}(\kappa).
\end{equation*}
Die allgemeine Lösung für diese Gleichung lautet, wie in Abschnitt \eqref{eq:cos_sin_überlagerung} gesehen, wie folgt

\begin{equation*}
	\tilde{u}(\kappa,t)=\tilde{f}(\kappa)\cos(c\kappa t) + \frac{1}{c\kappa}\tilde{g}(\kappa)\sin(c\kappa t).
\end{equation*}
Wendet man nun die inverse Hankel-Transformation an, so erhält man die formale Lösung

\begin{align}
	u(r,t)=\int_{0}^{\infty}\kappa\tilde{f}(\kappa)\cos(c\kappa t) J_0(\kappa r) \; d\kappa +\frac{1}{c}\int_{0}^{\infty}\tilde{g}(\kappa)\sin(c\kappa t)J_0(\kappa r) \; d\kappa.
	\label{eq:formale_lösung}
\end{align}

\subsubsection{Erfüllung der Anfangsbedingungen\label{subsub:erfüllung_AB}}
Es wird im Folgenden davon ausgegangen, dass sich die Membran verformt und zum Zeitpunkt $t=0$ freigegeben wird

\begin{equation*}
	u(r,0)=f(r)=Aa(r^2 + a^2)^{-\frac{1}{2}}, \quad u_t(r,0)=g(r)=0
\end{equation*}
so dass $\tilde{g}(\kappa)\equiv 0$ und
\begin{equation*}
	\tilde{f}(\kappa)=Aa\int_{0}^{\infty}r(a^2 + r^2)^{-\frac{1}{2}} J_0 (\kappa r) \; dr=\frac{Aa}{\kappa}e^{-a\kappa}.
\end{equation*}

\noindent Die formale Lösung  \eqref{eq:formale_lösung} lautet also
\begin{align}
	u(r,t)=Aa\int_{0}^{\infty}e^{-a\kappa} J_0(\kappa r)\cos(c\kappa t) \; dk=AaRe\int_{0}^{\infty}e^{-\kappa(a+ict)} J_0(\kappa r) \; dk.
	\label{form_lösung2_step1}
\end{align}

\noindent Aus der Laplace-Transformation und unter Verwendung der Skalierungseigenschaft \cite{noauthor_laplace_nodate} ergibt sich, dass
\begin{align*}
	\int_{0}^{\infty}e^{-px} J_0(\kappa x) \; dx = \frac{1}{\sqrt{\kappa^2 + p^2}},
\end{align*}	

\noindent \eqref{form_lösung2_step1} kann somit vereinfacht werden in:
\begin{equation*}
	u(r,t)=AaRe\left\{r^2+\left(a+ict\right)^2\right\}^{-\frac{1}{2}}.
\end{equation*}

\noindent Nimmt man jedoch die allgemeine Lösung durch Überlagerung, 

\begin{align}
	u(r, t) = \displaystyle\sum_{m=1}^{\infty} J_0 (k_{m}r)[a_{m}\cos(c \kappa_{m} t)+b_{m}\sin(c \kappa_{m} t)]
	\label{eq:lösung_unendliche_generelle}
\end{align}
kann man die Lösungsmethoden 1 und 2 vergleichen.

\subsection{Vergleich der Analytischen Lösungen
\label{kreismembran:vergleich}}
Bei der Analyse der Gleichungen \eqref{eq:lösung_endliche_generelle} und \eqref{eq:lösung_unendliche_generelle} fällt sofort auf, dass die Gleichung \eqref{eq:lösung_unendliche_generelle} nicht mehr von $m$ und $n$ abhängt, sondern nur noch von $n$ \cite{nishanth_p_vibrations_2018}. 
Das macht Sinn, denn $n$ beschreibt die Anzahl der Knotenlinien, welche unter der Annahme einer rotationssymmetrischen Lösung nicht vorhanden sein können. Tatsächlich werden $a_{m0}$, $b_{m0}$ und $\kappa_{m0}$ in $a_m$, $b_m$ bzw. $\kappa_m$ umbenannt. Die beiden Termen $\cos(n\varphi)$ und $\sin(n\varphi)$ verschwinden ebenfalls, da für $n=0$ der $\cos(n\varphi)$ gleich 1 und der $\sin(n \varphi)$ gleich 0 ist.
Die Funktion hängt also nicht mehr von der Bessel-Funktionen $n$-ter Ordnung ab, sondern nur von der nullter Ordnung.