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% definition.tex 
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% (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule
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\section{Herleitung%
  % \section{Einleitung
  % \section{Definition
  \label{laguerre:section:definition}}
\rhead{Definition}%
In einem ersten Schritt möchten wir die Laguerre-Polynome
aus der Laguerre-\-Differentialgleichung herleiten.
Zudem werden wir die Lösung auf die assoziierten Laguerre-Polynome ausweiten.
Im Anschluss soll dann noch die Orthogonalität dieser Polynome bewiesen werden.

\subsection{Assoziierte Laguerre-Differentialgleichung}
Die assoziierte Laguerre-Differentialgleichung ist gegeben durch
\begin{align}
x y''(x) + (\nu + 1 - x) y'(x) + n y(x)
=
0
, \quad
n \in \mathbb{N}
, \quad
x \in \mathbb{R}
\label{laguerre:dgl}
.
\end{align}
Spannenderweise wurde die assoziierte Laguerre-Differentialgleichung
zuerst von Yacovlevich Sonine (1849 - 1915) beschrieben,
aber aufgrund ihrer Ähnlichkeit nach Laguerre benannt.
Die klassische Laguerre-Diffentialgleichung erhält man, wenn $\nu = 0$.

\subsection{Potenzreihenansatz%
\label{laguerre:subsection:potenzreihenansatz}}
Hier wird die assoziierte Laguerre-Differentialgleichung verwendet,
weil die Lösung mit derselben Methode berechnet werden kann.
Zusätzlich erhält man aber die Lösung für den allgmeinen Fall.
Wir stellen die Vermutung auf,
dass die Lösungen orthogonale Polynome sind.
Die Orthogonalität der Lösung werden wir im
Abschnitt~\ref{laguerre:subsection:orthogonal} beweisen.
Zur Lösung von \eqref{laguerre:dgl} verwenden wir aufgrund
der getroffenen Vermutungen einen Potenzreihenansatz.
Der Potenzreihenansatz ist gegeben als
% Da wir bereits wissen, 
% dass die Lösung orthogonale Polynome sind,
% erscheint dieser Ansatz sinnvoll. 
\begin{align*}
y(x)
 & =
\sum_{k=0}^\infty a_k x^k
% \\
.
\end{align*}
Für die 1. und 2. Ableitungen erhalten wir
\begin{align*}
y'(x)
 & =
\sum_{k=1}^\infty k a_k x^{k-1}
=
\sum_{k=0}^\infty (k+1) a_{k+1} x^k
\\
y''(x)
 & =
\sum_{k=2}^\infty k (k-1) a_k x^{k-2}
=
\sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^{k-1}
.
\end{align*}

\subsection{Lösen der Laguerre-Differentialgleichung}
Setzt man nun den Potenzreihenansatz in
\eqref{laguerre:dgl}
%die Differentialgleichung 
ein,
% erhält man
resultiert
\begin{align*}
\sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^k
+
(\nu + 1)\sum_{k=0}^\infty (k+1) a_{k+1} x^k
-
\sum_{k=0}^\infty k a_k x^k
+
n \sum_{k=0}^\infty a_k x^k
 & =
0    \\
\sum_{k=1}^\infty
\left[ (k+1) k a_{k+1} + (\nu + 1)(k+1) a_{k+1} - k a_k + n a_k \right] x^k
 & =
0.
\end{align*}
Daraus lässt sich die Rekursionsbeziehung
\begin{align}
a_{k+1}
 & =
\frac{k-n}{(k+1) (k + \nu + 1)} a_k
\label{laguerre:rekursion}
\end{align}
ableiten.
Für ein konstantes $n$ erhalten wir als Potenzreihenlösung ein Polynom vom Grad
$n$,
denn für $k=n$ wird $a_{n+1} = 0$ und damit auch $a_{n+2}=a_{n+3}=\ldots=0$.
Aus %der Rekursionsbeziehung 
\eqref{laguerre:rekursion} ist zudem ersichtlich,
dass $a_0 \neq 0$ beliebig gewählt werden kann.
Wählen wir nun $a_0 = 1$, dann folgt für die Koeffizienten
% $a_1, a_2, a_3$
\begin{align*}
a_1
=
-\frac{n}{1 \cdot (\nu + 1)}
, &  &
a_2
=
\frac{(n-1)n}{1 \cdot 2 \cdot (\nu + 1)(\nu + 2)}
, &  &
a_3
=
-\frac{(n-2)(n-1)n}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot (\nu + 1)(\nu + 2)(\nu + 3)}
\end{align*}
und allgemein
\begin{align*}
k
  & \leq
n:
  &
a_k
  & =
(-1)^k \frac{n!}{(n-k)!} \frac{1}{k!(\nu + 1)_k}
=
\frac{(-1)^k}{(\nu + 1)_k} \binom{n}{k}
\\
k & >n:
  &
a_k
  & =
0
.
\end{align*}
Die Koeffizienten wechseln also für $k \leq n$ das Vorzeichen.
Somit erhalten wir für $\nu = 0$ die Laguerre-Polynome
\begin{align}
L_n(x)
=
\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!} \binom{n}{k} x^k
\label{laguerre:polynom}
\end{align}
und mit $\nu \in \mathbb{R}$ die assoziierten Laguerre-Polynome
\begin{align}
L_n^\nu(x)
=
\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{(\nu + 1)_k} \binom{n}{k} x^k.
\label{laguerre:allg_polynom}
\end{align}
Die Laguerre-Polynome von Grad $0$ bis $7$ sind in
Abbildung~\ref{laguerre:fig:polyeval} dargestellt.
\begin{figure}
\centering
% \scalebox{0.8}{\input{papers/laguerre/images/laguerre_poly.pgf}}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{papers/laguerre/images/laguerre_poly.pdf}
\caption{Laguerre-Polynome vom Grad $0$ bis $7$}
\label{laguerre:fig:polyeval}
\end{figure}

\subsection{Analytische Fortsetzung}
Durch die analytische Fortsetzung können wir zudem noch die zweite Lösung der
Differentialgleichung erhalten.
Laut \eqref{buch:funktionentheorie:singularitäten:eqn:w1} hat die Lösung
die Form
\begin{align*}
\Xi_n(x)
=
L_n(x) \log(x) + \sum_{k=1}^\infty d_k x^k
.
\end{align*}
Eine Herleitung dazu lässt sich im
Abschnitt \ref{buch:funktionentheorie:subsection:dglsing}
im ersten Teil des Buches finden.
Nach einigen aufwändigen Rechnungen,
% die am besten ein Computeralgebrasystem übernimmt,
die den Rahmen dieses Kapitels sprengen würden,
erhalten wir
\begin{align*}
\Xi_n
=
L_n(x) \log(x)
+
\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k!} \binom{n}{k}
(\alpha_{n-k} - \alpha_n - 2 \alpha_k)x^k
+
(-1)^n \sum_{k=1}^\infty \frac{(k-1)!n!}{((n+k)!)^2} x^{n+k},
\end{align*}
wobei $\alpha_0 = 0$ und $\alpha_k =\sum_{i=1}^k i^{-1}$,
$\forall k \in \mathbb{N}$.
% https://www.math.kit.edu/iana1/lehre/hm3phys2012w/media/laguerre.pdf
% http://www.physics.okayama-u.ac.jp/jeschke_homepage/E4/kapitel4.pdf