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% gamma.tex 
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% (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule
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\section{Anwendung: Berechnung der Gamma-Funktion
  \label{laguerre:section:quad-gamma}}
Die Gauss-Laguerre-Quadratur kann nun verwendet werden,
um exponentiell abfallende Funktionen im Definitionsbereich $(0, \infty)$ zu
berechnen.
Dabei bietet sich z.B. die Gamma-Funkion bestens an, wie wir in den folgenden
Abschnitten sehen werden.

\subsection{Gamma-Funktion}
Die Gamma-Funktion ist eine Erweiterung der Fakultät auf die reale und komplexe
Zahlenmenge.
Die Definition~\ref{buch:rekursion:def:gamma} beschreibt die Gamma-Funktion als
Integral der Form
\begin{align}
\Gamma(z)
 & =
\int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} dt
,
\quad
\text{wobei Realteil von $z$ grösser als $0$}
,
\label{laguerre:gamma}
\end{align}
Der Term $e^{-t}$ ist genau die Gewichtsfunktion der Laguerre-Integration und
der Definitionsbereich passt ebenfalls genau für dieses Verfahren.
Zu erwähnen ist auch, dass für die verallgemeinerte Laguerre-Integration die
Gewichtsfunktion $t^\nu e^{-t}$ genau dem Integranden für $\nu=z-1$ entspricht.

\subsubsection{Funktionalgleichung}
Die Funktionalgleichung der Gamma-Funktion besagt
\begin{align}
z \Gamma(z) = \Gamma(z+1).
\label{laguerre:gamma_funktional}
\end{align}
Mittels dieser Gleichung kann der Wert von $\Gamma(z)$ an einer bestimmten,
geeigneten Stelle evaluiert werden und dann zurückverschoben werden,
um das gewünschte Resultat zu erhalten.

In Abbildung~\ref{laguerre:fig:integrand} ist der Integrand $t^z$ für
unterschiedliche Werte von $z$ dargestellt.
Man erkennt, dass für kleine $z$ sich ein singulärer Integrand ergibt,
was dazu führt, dass die Genauigkeit sich verschlechtert.
Die Genauigkeit verschlechtert sich aber auch zunehmends für grosse $z$,
da in diesem Fall der Integrand sehr schnell anwächst.
\begin{figure}
\centering
\scalebox{0.8}{\input{papers/laguerre/images/integrands.pgf}}
\caption{Integrand $t^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$}
\label{laguerre:fig:integrand}
\end{figure}

\subsection{Berechnung mittels Gauss-Laguerre-Quadratur}

Fehlerterm:
\begin{align*}
R_n
=
(z - 2n)_{2n} \frac{(n!)^2}{(2n)!} \xi^{z-2n-1}
\end{align*}

\subsubsection{Finden der optimalen Berechnungsstelle}
Nun stellt sich die Frage,
ob die Approximation mittels Gauss-Laguerre-Quadratur verbessert werden kann,
wenn man das Problem an einer geeigneten Stelle evaluiert und
dann mit der Funktionalgleichung zurückverschiebt.
Dazu wollen wir den Fehlerterm in
Gleichung~\eqref{laguerre:lagurre:lag_error} anpassen und dann minimieren.
Zunächst wollen wir dies nur für $z\in \mathbb{R}$ und $0<z<1$ definieren.
Zudem nehmen wir an, dass die optimale Stelle $x^* \in \mathbb{R}$, $z < x^*$
ist.
Dann fügen wir einen Verschiebungsterm um $m$ Stellen ein, daraus folgt
\begin{align*}
R_n
=
\frac{(z - 2n)_{2n}}{(z - m)_m} \frac{(n!)^2}{(2n)!} \xi^{z + m - 2n - 1}
.
\end{align*}

{
\large \color{red}
TODO:
Geeignete Minimierung für Fehler finden, so dass sie mit den emprisich
bestimmen optimalen Punkten übereinstimmen.
}

\subsection{Resultate}