\section{Approximieren der Gamma-Funktion}

\begin{frame}{Anwenden der Gauss-Laguerre-Quadratur auf $\Gamma(z)$}

\begin{align*}
\Gamma(z)
 & =
\int_0^\infty x^{z-1} e^{-x} \, dx
\uncover<2->{
\approx
\sum_{i=1}^{n} f(x_i) A_i
}
\uncover<3->{
=
\sum_{i=1}^{n} x^{z-1} A_i
}
\\\\
\uncover<4->{
 & \text{wobei }
A_i = \frac{x_i}{(n+1)^2 \left[ L_{n+1}(x_i) \right]^2}
\text{ und $x_i$ die Nullstellen von $L_n(x)$}
}
\end{align*}

\end{frame}

\begin{frame}{Fehlerabschätzung}
\begin{align*}
R_n(\xi)
 & =
\frac{(n!)^2}{(2n)!} f^{(2n)}(\xi)
\\
 & =
(z - 2n)_{2n} \frac{(n!)^2}{(2n)!} \xi^{z - 2n - 1}
,\quad
0 < \xi < \infty
\end{align*}

% \textbf{Probleme:}
\begin{itemize}
\item Funktion ist unbeschränkt
\item Maximum von $R_n$ gibt oberes Limit des Fehlers an
\uncover<2->{\item[$\Rightarrow$] Schwierig ein Maximum von $R_n(\xi)$ zu finden}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Einfacher Ansatz}

\begin{figure}[h]
\centering
% \scalebox{0.91}{\input{../images/rel_error_simple.pgf}}
% \resizebox{!}{0.72\textheight}{\input{../images/rel_error_simple.pgf}}
\includegraphics[width=0.77\textwidth]{../images/rel_error_simple.pdf}
\caption{Relativer Fehler des einfachen Ansatzes für verschiedene reelle Werte
von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome}
\end{figure}

\end{frame}

\begin{frame}{Wieso sind die Resultate so schlecht?}

\textbf{Beobachtungen}
\begin{itemize}
\item Wenn $z \in \mathbb{Z}$ relativer Fehler $\rightarrow 0$
\item Gewisse Periodizität zu erkennen
\item Für grosse und kleine $z$ ergibt sich ein schlechter relativer Fehler
\item Es gibt Intervalle $[a,a+1]$ mit minimalem relativem Fehler
\item $a$ ist abhängig von $n$
\end{itemize}

\uncover<2->{
\textbf{Ursache?}
\begin{itemize}
\item Vermutung: Integrand ist problematisch
}
\uncover<3->{
\item[$\Rightarrow$] Analysieren von $f(x)$ und dem Integranden
}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{$f(x) = x^z$}
\begin{figure}[h]
\centering
% \scalebox{0.91}{\input{../images/integrand.pgf}}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{../images/integrand.pdf}
% \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Integrand $x^z e^{-x}$}
\begin{figure}[h]
\centering
% \scalebox{0.91}{\input{../images/integrand_exp.pgf}}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{../images/integrand_exp.pdf}
% \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Neuer Ansatz?}

\textbf{Vermutung}
\begin{itemize}
\item Es gibt Intervalle $[a(n), a(n)+1]$ in denen der relative Fehler minimal
ist
\item $a(n) > 0$
\end{itemize}

\uncover<2->{
\textbf{Idee}
\begin{itemize}
\item[$\Rightarrow$] Berechnen von $\Gamma(z)$ im geeigneten Intervall und dann
mit Funktionalgleichung zurückverschieben
\end{itemize}
}

\uncover<3->{
\textbf{Wie finden wir $\boldsymbol{a(n)}$?}
\begin{itemize}
\item Minimieren des Fehlerterms mit zusätzlichem Verschiebungsterm
}
\uncover<4->{$\Rightarrow$ Schwierig das Maximum des Fehlerterms zu bestimmen}
\uncover<5->{\item Empirisch $a(n)$ bestimmen}
\uncover<6->{$\Rightarrow$ Sinnvoll,
da Gauss-Quadratur nur für kleine $n$ praktischen Nutzen hat}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Verschiebungsterm}
\begin{columns}
\begin{column}{0.625\textwidth}
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=1\textwidth]{../images/targets.pdf}
\caption{Optimaler Verschiebungsterm $m^*$ in Abhängigkeit von $z$ und $n$}
\end{figure}
\end{column}
\begin{column}{0.375\textwidth}
\begin{align*}
\Gamma(z)
\approx
\frac{1}{(z-m)_{m}} \sum_{i=1}^{n} x_i^{z + m - 1} A_i
\end{align*}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{Schätzen von $m^*$}
\begin{columns}
\begin{column}{0.65\textwidth}
\begin{figure}
\centering
\vspace{-12pt}
% \scalebox{0.7}{\input{../images/estimates.pgf}}
\includegraphics[width=1.0\textwidth]{../images/estimates.pdf}
% \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$}
\end{figure}
\end{column}
\begin{column}{0.34\textwidth}
\begin{align*}
\hat{m}
&=
\alpha n + \beta
\\
&\approx
1.34154 n + 0.848786
\\
m^*
&=
\lceil \hat{m} - \operatorname{Re}z \rceil
\end{align*}
\end{column}
\end{columns}

\end{frame}

\begin{frame}{}
\begin{figure}[h]
\centering
% \scalebox{0.6}{\input{../images/rel_error_shifted.pgf}}
\includegraphics{../images/rel_error_shifted.pdf}
\caption{Relativer Fehler mit $n=8$, unterschiedlichen Verschiebungstermen $m$ und $z\in(0, 1)$}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\begin{figure}[h]
\centering
% \scalebox{0.6}{\input{../images/rel_error_range.pgf}}
\includegraphics{../images/rel_error_range.pdf}
\caption{Relativer Fehler mit $n=8$, Verschiebungsterm $m^*$ und $z\in(-5, 5)$}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Vergleich mit Lanczos-Methode}
Maximaler relativer Fehler für $n=6$
\begin{itemize}
    \item Lanczos-Methode $< 10^{-12}$
    \item Unsere Methode $\approx 10^{-6}$ 
\end{itemize}
\end{frame}