\section{Laguerre-Polynome}

\begin{frame}{Laguerre-Differentialgleichung}

\begin{itemize}
\item Benannt nach Edmond Nicolas Laguerre (1834-1886)
\item Aus Artikel von 1879,
in dem er $\int_0^\infty \exp(-x)/x \, dx$ analysierte
\end{itemize}

\begin{align*}
x y''(x) + (1 - x) y'(x) + n y(x)
 & =
0
, \quad
n \in \mathbb{N}_0
, \quad
x \in \mathbb{R}
\end{align*}

\end{frame}

\begin{frame}{Lösen der Differentialgleichung}

\begin{align*}
x y''(x) + (1 - x) y'(x) + n y(x)
 & =
0
\\
\end{align*}

\uncover<2->{
\centering
\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay]
%% use here too
\path[draw=mainColor, very thick,->](0, 1.1) to
node[anchor=west]{Potenzreihenansatz} (0, -0.8);
\end{tikzpicture}
}

\begin{align*}
\uncover<3->{
L_n(x)
 & =
\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!} \binom{n}{k} x^k
}
\end{align*}
\uncover<4->{
\begin{itemize}
    \item Die Lösungen der DGL sind die Laguerre-Polynome
\end{itemize}
}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{figure}[h]
\centering
\scalebox{0.66}{\input{../images/laguerre_polynomes.pgf}}
\caption{Laguerre-Polynome vom Grad $0$ bis $7$}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Orthogonalität}
\begin{itemize}[<+->]
\item Beweis: Umformen in Sturm-Liouville-Problem (siehe Paper)
\begin{alignat*}{5}
((p(x) &y'(x)))' + q(x) &y(x) 
&=
\lambda &w(x) &y(x)
\\
((x e^{-x} &y'(x)))' + 0 &y(x)
&=
n &e^{-x} &y(x)
\end{alignat*}
\item Definitionsbereich $(0, \infty)$
\item Gewichtsfunktion $w(x) = e^{-x}$
\end{itemize}

\uncover<4->{
\begin{align*}
\int_0^\infty e^{-x} L_n(x) L_m(x) \, dx
=
0
,\quad
n, m \in \mathbb{N}
\end{align*}
}
\end{frame}