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% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
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% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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\section{Problem\label{parzyl:section:teil0}}
\rhead{Teil 0}

\subsection{Laplace Gleichung}
Die partielle Differentialgleichung
\begin{equation}
    \Delta f = 0
\end{equation}
ist als Laplace Gleichung bekannt.
Sie ist eine spezielle Form der poisson Gleichung
\begin{equation}
    \Delta f = g
\end{equation}
mit g als beliebige Funktion.
In der Physik hat die Laplace Gleichung in verschieden Gebieten
verwendet, zum Beispiel im Elektromagnetismus.
Das Gaussche Gesetz in den Maxwellgleichungen 
\begin{equation}
     \nabla \cdot E = \frac{\varrho}{\epsilon_0}
\label{parzyl:eq:max1}
\end{equation}
besagt das die Divergenz eines Elektrischen Feldes an einem 
Punkt gleich der Ladung an diesem Punkt ist.
Das elektrische Feld ist hierbei der Gradient des elektrischen
Potentials
\begin{equation}
    \nabla \phi = E.
\end{equation}
Eingesetzt in \eqref{parzyl:eq:max1} resultiert
\begin{equation}
    \nabla \cdot \nabla \phi = \Delta \phi = \frac{\varrho}{\epsilon_0},
\end{equation}
was eine Possion gleichung ist.
An Ladungsfreien Stellen, ist der rechte Teil der Gleichung $0$. 
\subsection{Parabolische Zylinderkoordinaten
\label{parzyl:subsection:finibus}}
Im parabloischen Zylinderkoordinatensystem bilden parabolische Zylinder die Koordinatenflächen.
Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt mit
\begin{align}
    x & = \sigma \tau \\
    y & = \frac{1}{2}\left(\tau^2 - \sigma^2\right) \\
    z & = z.
\end{align}
Wird $\tau$ oder $\sigma$ konstant gesetzt reultieren die Parabeln
\begin{equation}
    y = \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{\sigma^2} - \sigma^2 \right)
\end{equation}
und 
\begin{equation}
    y = \frac{1}{2} \left( -\frac{x^2}{\tau^2} + \tau^2 \right).
\end{equation}

\subsection{Differnetialgleichung}
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erat, sed diam voluptua \cite{parzyl:bibtex}.
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