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% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 
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% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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\section{Anwendung in der Physik 
\label{parzyl:section:teil2}}
\rhead{Anwendung in der Physik}

Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld einer semi-infiniten Platte, wie in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte} gezeigt, finden will.
\begin{figure}
	\centering
	\begin{minipage}{.7\textwidth}
		 \centering
		\includegraphics[width=\textwidth]{papers/parzyl/images/halfplane.pdf}
		\caption{Semi-infinite Leiterplatte}
		\label{parzyl:fig:leiterplatte}
	\end{minipage}%
	\begin{minipage}{.25\textwidth}
		\centering
	\includegraphics[width=\textwidth]{papers/parzyl/img/Plane_2D.png}
	\caption{Semi-infinite Leiterplatte dargestellt in 2D}
	\label{parzyl:fig:leiterplatte_2d}
	\end{minipage}
\end{figure}
Das dies so ist kann im Zweidimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Halbgerade, was man in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte_2d} sieht.


Jede komplexe Funktion $F(z)$ kann geschrieben werden als
\begin{equation}
	F(s) = U(x,y) + iV(x,y) \quad s = x + iy \qquad s \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}.
\end{equation}  
Dabei müssen, falls die Funktion differenzierbar ist, die Cauchy-Riemann Differentialgleichungen 
\begin{equation}
	\frac{\partial U(x,y)}{\partial x} 
	=
	\frac{\partial V(x,y)}{\partial y} 
	\qquad
	\frac{\partial V(x,y)}{\partial x}
	=
	-\frac{\partial U(x,y)}{\partial y}
\end{equation}
gelten.
Aus dieser Bedingung folgt 
\begin{equation}
	\label{parzyl_e_feld_zweite_ab}
	\underbrace{
	\frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial x^2}
	+ 
	\frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial y^2}
	=
	0
	}_{\displaystyle{\nabla^2U(x,y)=0}}
	\qquad
	\underbrace{
	\frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial x^2}
	+
	\frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial y^2}
	=
	0
	}_{\displaystyle{\nabla^2V(x,y) = 0}}.
\end{equation}
Zusätzlich kann auch gezeigt werden, dass die Funktion $F(z)$ eine winkeltreue Abbildung ist.

 
Der Zusammenhang zum elektrischen Feld ist jetzt, dass das Potential an einem quellenfreien Punkt gegeben ist als 
\begin{equation}
	\nabla^2\phi(x,y) = 0.
\end{equation}
Dies ist eine Bedingung, welche differenzierbare Funktionen, wie in Gleichung \eqref{parzyl_e_feld_zweite_ab} gezeigt wird, bereits besitzen. 


Nun kann zum Beispiel $U(x,y)$ als das Potential angeschaut werden
\begin{equation}
	\phi(x,y) = U(x,y).
\end{equation}
Orthogonal zu den Äquipotenzialfläche sind die Feldlinien des elektrische Feld
\begin{equation}
	E(x,y) = V(x,y).
\end{equation}


Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen muss nur noch eine geeignete 
komplexe Funktion $F(s)$ gefunden werden, 
welche eine semi-infinite Platte beschreiben kann.


Die gesuchte Funktion in diesem Fall ist
\begin{equation}
	F(s) 
	= 
	\sqrt{s} 
	= 
	\sqrt{x + iy}.
\end{equation}
Dies kann umgeformt werden zu
\begin{equation}
	F(s) 
	= 
	\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}}_{U(x,y)} 
	+ 
	i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{V(x,y)}
	.
\end{equation}


Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden, 
indem man die Funktion, welche das Potential beschreibt, gleich eine Konstante setzt,
\begin{equation}
	\sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}.
\end{equation}
Die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als
\begin{equation}
	\tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}
\end{equation}
beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom 
kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt.

 
Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst 
\begin{equation}
	x = \sigma \tau,
\end{equation}
\begin{equation}
	y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ),
\end{equation}
so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann.