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% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 
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% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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\section{Eigenschaften
	\label{parzyl:section:Eigenschaften}}
\rhead{Eigenschaften}

\subsection{Potenzreihenentwicklung
	\label{parzyl:potenz}}
%Die parabolischen Zylinderfunktionen, welche in Gleichung \ref{parzyl:eq:solution_dgl} gegeben sind, 
%können auch als Potenzreihen geschrieben werden
Die parabolischen Zylinderfunktionen können auch als Potenzreihen geschrieben werden.
Parabolische Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen 
$A(\alpha)w_1(\alpha, x) + B(\alpha)w_2(\alpha, x)$ aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, x)$ 
und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihen geschrieben
\begin{align}
	w_1(\alpha,x)
	&=  
	e^{-x^2/4} \,
	{}_{1} F_{1}
	(
	\alpha, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) 
	= 
	e^{-\frac{x^2}{4}}
	\sum^{\infty}_{n=0}
	\frac{\left ( \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{1}{2}\right )_{n}}
	\frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\
	&=
	e^{-\frac{x^2}{4}}
	\left ( 
	1 
	+
	\left ( 2\alpha \right )\frac{x^2}{2!}
	+
	\left ( 2\alpha \right )\left ( 2 + 2\alpha \right )\frac{x^4}{4!}  
	+
	\dots
	\right )
\end{align}
und
\begin{align}
	w_2(\alpha,x)
	&=  
	xe^{-x^2/4} \,
	{}_{1} F_{1}
	(
	{\textstyle \frac{1}{2}} 
	+ \alpha, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) 
	= 
	xe^{-\frac{x^2}{4}}
	\sum^{\infty}_{n=0}
	\frac{\left ( \frac{1}{2} + \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{3}{2}\right )_{n}}
	\frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\
	&=
	e^{-\frac{x^2}{4}}
	\left ( 
	x 
	+
	\left ( 1 + 2\alpha \right )\frac{x^3}{3!}
	+
	\left ( 1 + 2\alpha \right )\left ( 3 + 2\alpha \right )\frac{x^5}{5!}  
	+
	\dots
	\right )
\end{align}
sind.


Die Potenzreihen sind in der Regel unendliche Reihen. 
Es gibt allerdings die Möglichkeit, dass für bestimmte $\alpha$ die Terme in der Klammer gleich null werden 
und die Reihe somit eine endliche Anzahl $n$ Summanden hat.
Dies geschieht bei $w_1(\alpha,x)$, falls
\begin{equation}
	\alpha =  -n \qquad n \in \mathbb{N}_0
%	\sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}.
%	c_1 = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}.
\end{equation}
und bei $w_2(\alpha,x)$ falls
\begin{equation}
	\alpha = -\frac{1}{2} - n \qquad n \in \mathbb{N}_0.
\end{equation}
Der Wert von $\alpha$ ist abhängig, ob man $D_n(x)$, $U(a,x)$ oder $V(a,x)$ verwendet.
Bei $D_n(x)$ gilt $\alpha = -{\textstyle \frac{1}{2}} n$ und bei $U(a,z)$ oder $V(a,x)$ gilt 
$\alpha = {\textstyle \frac{1}{2}} a + {\textstyle \frac{1}{4}}$.
\subsection{Ableitung}
Die Ableitungen $\frac{\partial w_1(\alpha, x)}{\partial x}$ und $\frac{\partial w_2(\alpha, x)}{\partial x}$ 
können mit den Eigenschaften der hypergeometrischen Funktionen in Abschnitt 
\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:stammableitung} berechnet werden. 
Zusammen mit der Produktregel ergeben sich die Ableitungen
\begin{equation}
	\frac{\partial w_1(\alpha,x)}{\partial x} = 2\alpha w_2(\alpha + \frac{1}{2}, x) - \frac{1}{2} x w_1(\alpha, x),
\end{equation} 
und
%\begin{equation}
%	\frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z} = w_1(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_2(z,k).
%\end{equation}
\begin{equation}
	\frac{\partial w_2(\alpha,x)}{\partial x} = e^{-x^2/4} \left(
	x^{-1} w_2(\alpha, x) - \frac{x}{2} w_2(\alpha, x) + 2 x^2 \left(\frac{\alpha + 1}{3}\right)
	{}_{1} F_{1} (
	{\textstyle \frac{3}{2}} 
	+ \alpha, {\textstyle \frac{5}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2)
	\right)
\end{equation}
Nach dem selben Vorgehen können weitere Ableitungen berechnet werden.
