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% eigenschaften.tex -- Eigenschaften der Lösungen
% Author: Erik Löffler
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% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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\section{Eigenschaften von Lösungen
\label{sturmliouville:section:solution-properties}}
\rhead{Eigenschaften von Lösungen}

Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines
Sturm-Liouville-Problems diskutiert und aufgezeigt, wie diese Eigenschaften
zustande kommen.

Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in 
Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} betrachtet
wurde, noch etwas genauer angeschaut.
Es wird also im Folgenden
\[
    L_0
    =
    -\frac{d}{dx}p(x)\frac{d}{dx}
\]
zusammen mit den Randbedingungen
\[
    \begin{aligned}
        k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\
        k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0
    \end{aligned}
\]
verwendet.
Wie im Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits 
gezeigt, resultieren die Randbedingungen aus der Anforderung den Operator $L_0$
selbsadjungiert zu machen.
Es wurde allerdings noch nicht darauf eingegangen, welche Eigenschaften dies
für die Lösungen des Sturm-Liouville-Problems zur Folge hat.

\subsubsection{Exkurs zum Spektralsatz}

Um zu verstehen was für Eigenschaften der selbstadjungierte Operator $L_0$ in 
den Lösungen hervorbringt, wird der Spektralsatz benötigt.

Dieser wird in der linearen Algebra oft verwendet um zu zeigen, dass eine Matrix
diagonalisierbar ist, beziehungsweise dass eine Orthonormalbasis existiert.
Dazu wird zunächst gezeigt, dass eine gegebene $n\times n$-Matrix $A$ aus einem
endlichdimensionalem $\mathbb{K}$-Vektorraum selbstadjungiert ist, also dass
\[
    \langle Av, w \rangle
    =
    \langle v, Aw \rangle
\]
für $ v, w \in \mathbb{K}^n$ gilt.
Ist dies der Fall, folgt direkt, dass $A$ auch normal ist.
Dann wird die Aussage des Spektralsatzes
\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki} verwended, welche besagt, dass für
Endomorphismen genau dann eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert,
wenn sie normal sind und nur Eigenwerte aus $\mathbb{K}$ besitzten.

Dies ist allerdings nicht die Einzige Version des Spektralsatzes.
Unter anderen gibt es den Spektralsatz für kompakte Operatoren 
\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki}.
Dieser besagt, dass wenn ein linearer kompakter Operator in
$\mathbb{R}$ selbstadjungiert ist, ein (eventuell endliches)
Orthonormalsystem existiert.

\subsubsection{Anwendung des Spektralsatzes auf $L_0$}

Der Spektralsatz besagt also, dass, weil $L_0$ selbstadjungiert ist, eine
Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert.
Genauer bedeutet dies, dass alle Eigenvektoren, beziehungsweise alle Lösungen
des Sturm-Liouville-Problems orthogonal zueinander sind bezüglich des
Skalarprodukts, in dem $L_0$ selbstadjungiert ist.

Erfüllt also eine Differenzialgleichung die in
Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und 
erfüllen die Randbedingungen der Differentialgleichung die Randbedingungen
des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits geschlossen werden, dass die
Lösungsfunktion des Problems eine Linearkombination aus orthogonalen
Basisfunktionen ist.