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% waermeleitung_beispiel.tex -- Beispiel Wärmeleitung in homogenem Stab.
% Author: Erik Löffler
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% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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\subsection{Wärmeleitung in homogenem Stab}
\rhead{Wärmeleitung in homogenem Stab}

In diesem Abschnitt wird das Problem der Wärmeleitung in einem homogenen Stab
betrachtet, angeschaut wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung
dieses physikalischen Phänomenes auftritt und hergeleitet wie die Fourierreihe
als Lösung des Problems zustande kommt.

Zunächst wird ein eindimensionaler homogener Stab der Länge $l$ und
Wärmeleitkoeffizient $\kappa$ betrachtet, dessen initiale Wärmeverteilung durch
$u(t=0, x)$ gegeben ist.
Es ergibt sich für das Wärmeleitungsproblem die partielle Differentialgleichung
\begin{equation}
    \label{sturmliouville:eq:example-fourier-heat-equation}
    \frac{\partial u(t, x)}{\partial t} =
    \kappa \frac{\partial^{2}u(t, x)}{{\partial x}^{2}},
\end{equation}
wobei der Stab in diesem Fall auf der $x$-Achse im Intervall $[0,l]$ liegt.

Damit die Sturm-Liouville-Theorie auf das
Problem~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-heat-equation} angewendet
werden kann, werden noch Randbedingungen benötigt, welche in Kürze
vorgestellt werden.
Aus physikalischer Sicht geben diese Randbedingungen vor, ob die Enden des
Stabes thermisch isoliert sind oder ob sie auf konstanter Temperatur gehalten
werden.

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% Randbedingungen für Stab mit konstanten Endtemperaturen
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\subsubsection{Randbedingungen für Stab mit Enden auf konstanter Temperatur}

Die Enden des Stabes auf konstanter Temperatur zu halten bedeutet, dass die
Lösungsfunktion $u(t,x)$ bei $x = 0$ und $x = l$ nur die vorgegebene
Temperatur zurückgeben darf. Diese wird einfachheitshalber als $0$ angenomen.
Es folgt nun
\begin{equation}
    \label{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant}
    u(t,0)
    =
    u(t,l)
    =
    0
\end{equation}
als Randbedingungen.

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% Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden
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\subsubsection{Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden}

Bei isolierten Enden des Stabes können grundsätzlich beliebige Temperaturen für
$x = 0$ und $x = l$ auftreten.
Die einzige Einschränkung liefert die initiale Wärmeverteilung $u(0, x)$.
Im Fall des isolierten Stabes ist es nicht erlaubt, dass Wärme vom Stab
an die Umgebung oder von der Umgebung an den Stab abgegeben wird.

Aus der Physik ist bekannt, dass Wärme immer von der höheren zur tieferen
Temperatur fliesst. Um Wärmefluss zu unterdrücken, muss also dafür gesorgt
werden, dass am Rand des Stabes keine Temperaturdifferenz existiert oder 
dass die partiellen Ableitungen von $u(t,x)$ nach $x$ bei $x = 0$ und $x = l$
verschwinden.
Somit folgen
\begin{equation}
    \label{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated}
    \frac{\partial}{\partial x} u(t, 0)
    =
    \frac{\partial}{\partial x} u(t, l)
    =
    0
\end{equation}
als Randbedingungen.

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% Lösung der Differenzialgleichung mittels Separation
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\subsubsection{Lösung der Differenzialgleichung}

Da die Lösungsfunktion $u$ von zwei Variablen abhängig ist, wird die
Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-heat-equation} zunächst
mittels Separation in zwei gewöhnliche Differentialgleichungen überführt.
Dazu wird 
\[
    u(t,x)
    =
    T(t)X(x)
\]
in die partielle
Differenzialgleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-heat-equation}
eingesetzt.
Daraus ergibt sich 
\[
    T^{\prime}(t)X(x)
    =
    \kappa T(t)X^{\prime \prime}(x)
\]
als neue Form.

Nun können alle von $t$ abhängigen Ausdrücke auf die linke Seite, sowie alle
von $x$ abhängigen Ausdrücke auf die rechte Seite gebracht werden und mittels
der neuen Variablen $\mu$ gekoppelt werden:
\[
    \frac{T^{\prime}(t)}{\kappa T(t)}
    =
    \frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)}
    =
    \mu
\]
Durch die Einführung von $\mu$ kann das Problem nun in zwei separate
Differenzialgleichungen aufgeteilt werden:
\begin{equation}
    \label{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x}
    X^{\prime \prime}(x) - \mu X(x)
    =
    0
\end{equation}
\begin{equation}
    \label{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-t}
    T^{\prime}(t) - \kappa \mu T(t)
    =
    0
\end{equation}

%
% Überprüfung Orthogonalität der Lösungen
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Es ist an dieser Stelle zu bemerken, dass die Gleichung in $x$ in 
Sturm-Liouville-Form ist.
Erfüllen die Randbedingungen des Stab-Problems auch die Randbedingungen des
Sturm-Liouville-Problems, kann bereits die Aussage getroffen werden, dass alle
Lösungen für die Gleichung in $x$ orthogonal sein werden.

Da die Bedingungen des Stab-Problems nur Anforderungen an $x$ stellen, können
diese direkt für $X(x)$ übernomen werden.
Es gilt also beispielsweise wegen
\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant},
dass $X(0) = X(l) = 0$.

Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen nun also die Gleichungen
\begin{equation}
\begin{aligned}
	\label{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen}
	k_a X(a) + h_a p(a) X'(a) &= 0 \\
	k_b X(b) + h_b p(b) X'(b) &= 0
\end{aligned}
\end{equation}
erfüllt sein und es muss ausserdem
\begin{equation}
\begin{aligned}
    \label{sturmliouville:eq:example-fourier-coefficient-constraints}
    |k_a|^2 + |h_a|^2 &\neq 0\\
    |k_b|^2 + |h_b|^2 &\neq 0\\
\end{aligned}
\end{equation}
gelten.

Um zu verifizieren, dass die Randbedingungen erfüllt sind, werden also die
Koeffizientenfunktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ benötigt.
Dazu wird die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x}
mit der
Sturm-Liouville-Form~\eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation}
verglichen, was zu 
\[
\begin{aligned} 
    p(x) &= 1 \\
    q(x) &= 0 \\
    w(x) &= 1
\end{aligned}
\]
führt.

Diese können bereits auf die Bedingungen in
Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} geprüft
werden.
Es ist schnell ersichtlich, dass die ersten drei Kriterien erfüllt sind.
Werden nun auch noch die Randbedingungen erfüllt, handelt es sich also um ein
reguläres Sturm-Liouville-Problem.

Es werden nun $p(x)$ und die 
Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant}
des Stab-Problems in \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen}
eigesetzt und man erhält
\[
\begin{aligned}
	k_a y(0) + h_a y'(0) &= h_a y'(0) = 0 \\
	k_b y(l) + h_b y'(l) &= h_b y'(l) = 0.
\end{aligned}
\]
Damit die Gleichungen erfüllt sind, müssen $h_a = 0$ und $h_b = 0$ sein.
Zusätzlich müssen aber die 
Bedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-coefficient-constraints}
erfüllt sein und da $y(0) = 0$ und $y(l) = 0$ sind, können belibige $k_a \neq 0$
und $k_b \neq 0$ gewählt werden.

Somit ist gezeigt, dass die Randbedingungen des Stab-Problems für Enden auf
konstanter Temperatur auch die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen.
Daraus folg zunächst, dass es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem
handelt und weiter, dass alle daraus resultierenden Lösungen orthogonal sind.
Analog dazu kann gezeit werden, dass die Randbedingungen für einen Stab mit
isolierten
Enden~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated}
ebenfalls die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen und
somit auch zu orthogonalen Lösungen führen.

%
%   Lösung von X(x), Teil mu
%

\subsubsection{Lösung der Differentialgleichung in $x$}
Als erstes wird auf die
Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} eingegangen.
Aufgrund der Struktur der Gleichung
\[
    X^{\prime \prime}(x) - \mu X(x)
    =
    0
\]
wird ein trigonometrischer Ansatz gewählt.
Die Lösungen für $X(x)$ sind also von der Form
\[
    X(x)
    =
    A \cos \left( \alpha x\right) + B \sin \left( \beta x\right).
\]

Dieser Ansatz wird nun solange differenziert, bis alle in
Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} enthaltenen
Ableitungen vorhanden sind.
Man erhält also
\[
    X^{\prime}(x)
    =
    - \alpha A \sin \left( \alpha x \right) +
    \beta B \cos \left( \beta x \right)
\]
und
\[
    X^{\prime \prime}(x)
    =
    -\alpha^{2} A \cos \left( \alpha x \right) -
    \beta^{2} B \sin \left( \beta x \right).
\]

Eingesetzt in Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x}
ergibt dies
\[
    -\alpha^{2}A\cos(\alpha x) - \beta^{2}B\sin(\beta x) -
    \mu\left(A\cos(\alpha x) + B\sin(\beta x)\right)
    =
    0
\]
und durch umformen somit
\[
    -\alpha^{2}A\cos(\alpha x) - \beta^{2}B\sin(\beta x)
    =
    \mu A\cos(\alpha x) + \mu B\sin(\beta x).
\]

Mittels Koeffizientenvergleich von
\[
\begin{aligned}
    -\alpha^{2}A\cos(\alpha x)
    &=
    \mu A\cos(\alpha x)
    \\
    -\beta^{2}B\sin(\beta x)
    &=
    \mu B\sin(\beta x)
\end{aligned}
\]
ist schnell ersichtlich, dass $ \mu = -\alpha^{2} = -\beta^{2} $ gelten muss für
$ A \neq 0 $ oder $ B \neq 0 $.
Zur Berechnung von $ \mu $ bleiben also noch  $ \alpha $ und $ \beta $ zu
bestimmen.
Dazu werden nochmals die
Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant} 
und \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated}
benötigt.

Da die Koeffizienten $A$ und $B$, sowie die Parameter $\alpha$ und $\beta$ im
allgemeinen ungleich $0$ sind, müssen die Randbedingungen durch die
trigonometrischen Funktionen erfüllt werden.

Es werden nun die 
Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant}
für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur in die
Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} eingesetzt.

Betrachten wir zunächst die Bedingung für $x = 0$.
Dies fürht zu
\[
    X(0)
    =
    A \cos(0 \alpha) + B \sin(0 \beta)
    =
    0.
\]
Da $\cos(0) \neq 0$ ist, muss in diesem Fall $A = 0$ gelten.
Für den zweiten Summanden ist wegen $\sin(0) = 0$ die Randbedingung erfüllt.

Wird nun die zweite Randbedingung für $x = l$ mit $A = 0$ eingesetzt, ergibt
sich
\[
    X(l)
    =
    0 \cos(\alpha l) + B \sin(\beta l)
    =
    B \sin(\beta l)
    = 0.
\]
$\beta$ muss also so gewählt werden, dass $\sin(\beta l) = 0$ gilt.
Es bleibt noch nach $\beta$ aufzulösen:
\[
\begin{aligned}
    \sin(\beta l) &= 0 \\
    \beta l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N}_0 \\
    \beta &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}_0
\end{aligned}
\]

Es folgt nun wegen $\mu = -\beta^{2}$, dass
\[
    \mu_1 = -\beta^{2} = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}
\]
sein muss.
Ausserdem ist zu bemerken, dass dies auch gleich $-\alpha^{2}$ ist.
Da aber $A = 0$ gilt und der Summand mit $\alpha$ verschwindet, ist dies keine
Verletzung der Randbedingungen.

Durch analoges Vorgehen kann nun auch das Problem mit isolierten Enden gelöst
werden.
Setzt man die 
Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated}
in $X^{\prime}$ ein, beginnend mit $x = 0$, ergibt sich
\[
    X^{\prime}(0)
    =
    -\alpha A \sin(0 \alpha) + \beta B \cos(0 \beta)
    = 0.
\]
In diesem Fall muss $B = 0$ gelten.
Zusammen mit der Bedignung für $x = l$
folgt nun
\[
    X^{\prime}(l)
    =
    - \alpha A \sin(\alpha l) + 0 \beta \cos(\beta l)
    =
    - \alpha A \sin(\alpha l)
    = 0.
\]

Wiederum muss über die $\sin$-Funktion sicher gestellt werden, dass der
Ausdruck den Randbedingungen entspricht.
Es folgt nun
\[
\begin{aligned}
    \sin(\alpha l) &= 0 \\
    \alpha l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N}_0 \\
    \alpha &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}_0
\end{aligned}
\]
und somit
\[
    \mu_2 = -\alpha^{2} = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}.
\]

Es ergibt sich also sowohl für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur
wie auch für den Stab mit isolierten Enden
\begin{equation}
    \label{sturmliouville:eq:example-fourier-mu-solution}
    \mu
    =
    -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}.
\end{equation}

\subsubsection{Fourierreihe als Lösung}

Das Resultat~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-mu-solution} gibt nun
wegen der neuen Variablen $n \in \mathbb{N}_0$ vor, dass es potenziell
unendlich viele Lösungen gibt.
Dies bedeutet auch, dass es nicht ein $A$ und ein $B$ gibt, sondern einen
Koeffizienten für jede Lösungsfunktion.
Wir schreiben deshalb den Lösungsansatz zur Linearkombination
\[
    X(x)
    =
    \sum_{n = 0}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
    +
    \sum_{n = 0}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
\]
aus allen möglichen Lösungen um.

Als nächstes werden noch die Summanden für $n = 0$ aus den Summen herausgezogen.
Da
\[
    \begin{aligned}
        a_0 \cos\left(\frac{0 \pi}{l}\right) &= a_0 \\
        b_0 \sin\left(\frac{0 \pi}{l}\right) &= 0
    \end{aligned}
\]
gilt, endet man somit bei
\[
    X(x)
    =
    a_0
    +
    \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
    +
    \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right).
\]
Dies ist die allgemeine Fourierreihe, welche unsere Stab-Probleme löst.
Wie zuvor bereits erwähnt, wissen wir dass sämtliche Lösungsfunktionen
orthogonal zueinander sind, da es sich hier um die Lösung eines
Sturm-Liouville-Problems handelt.
Es gilt also
\[
\begin{aligned}
    \int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{n \pi}{l}x\right)
    \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
    &= 0 \qquad n \neq m \\
    \int_{-l}^{l}\sin\left(\frac{n \pi}{l}x\right)
    \sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
    &= 0 \qquad n \neq m \\
    \int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{n \pi}{l}x\right)
    \sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
    &= 0.
\end{aligned}
\]

\subsubsection{Berechnung der Fourierkoeffizienten}

%
% Lösung von X(x), Teil: Koeffizienten a_n und b_n mittels skalarprodukt.
%

Um eine eindeutige Lösung für $X(x)$ zu erhalten wird nun die initiale
Wärmeverteilung oder $u(0, x) = X(x)$ für $t = 0$ benötigt.
Es gilt also nun die Gleichung
\begin{equation}
    \label{sturmliouville:eq:example-fourier-initial-conditions}
    u(0, x)
    =
    a_0
    +
    \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
    +
    \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
\end{equation}
nach allen $a_n$ und $b_n$ aufzulösen.
Da aber $a_n$ und $b_n$ jeweils als Faktor zu einer trigonometrischen Funktion
gehört, von der wir wissen, dass sie orthogonal zu allen anderen
trigonometrischen Funktionen der Lösung ist, kann direkt das Skalarprodukt
verwendet werden um die Koeffizienten $a_n$ und $b_n$ zu bestimmen.
Es wird also die Tatsache ausgenutzt, dass die Gleichheit in
\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-initial-conditions} nach Anwendung des
Skalarproduktes immernoch gelten muss und dass das Skalaprodukt mit einer
Basisfunktion sämtliche Summanden auf der rechten Seite auslöscht.

Zur Berechnung von $a_m$ mit $ m \in \mathbb{N} $ wird beidseitig das
Skalarprodukt mit der Basisfunktion $ \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)$
gebildet:
\begin{equation}
    \label{sturmliouville:eq:dot-product-cosine}
    \langle u(0, x), \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) \rangle
    =
    \langle a_0
    +
    \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
    +
    \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right),
    \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)\rangle
\end{equation}

Bevor diese Form in die Integralform umgeschrieben werden kann, muss überlegt
sein, welche Integralgrenzen zu verwenden sind.
In diesem Fall haben die $\sin$ und $\cos$ Terme beispielsweise keine ganze
Periode im Intervall $x \in [0, l]$ für ungerade $n$ und ungerade $m$.
Um die Skalarprodukte aber korrekt zu berechnen, muss über ein ganzzahliges
Vielfaches der Periode der trigonometrischen Funktionen integriert werden.
Dazu werden die Integralgrenzen $-l$ und $l$ verwendet und es werden ausserdem
neue Funktionen $\hat{u}_c(0, x)$ für die Berechnung mit Cosinus und
$\hat{u}_s(0, x)$ für die Berechnung mit Sinus angenomen, welche $u(0, t)$
gerade, respektive ungerade auf $[-l, 0]$ fortsetzen:
\[
\begin{aligned}
    \hat{u}_c(0, x)
    &=
    \begin{cases}
        u(0, -x) & -l \leq x < 0
        \\
        u(0, x) & 0 \leq x \leq l
    \end{cases}
    \\
    \hat{u}_s(0, x)
    &=
    \begin{cases}
        -u(0, -x) & -l \leq x < 0
        \\
        u(0, x) & 0 \leq x \leq l
    \end{cases}.
\end{aligned}
\]

Diese Funktionen wurden gerade so gewählt, dass nun das Resultat der Integrale
um den Faktor zwei skalliert wurde.
Es gilt also
\[
    \int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
    =
    2\int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
\]
und
\[
    \int_{-l}^{l}\hat{u}_s(0, x)\sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
    =
    2\int_{0}^{l}u(0, x)\sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx.
\]

Als nächstes wird nun das
Skalaprodukt~\eqref{sturmliouville:eq:dot-product-cosine} berechnet:
\[
\begin{aligned}
    \int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
    =&
    \int_{-l}^{l} \left[a_0
    +
    \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
    +
    \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)\right]
    \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx
    \\
    2\int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
    =&
    a_0 \int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx
    +
    \sum_{n = 1}^{\infty}\left[a_n\int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
        \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx\right]
    \\
    &+
    \sum_{n = 1}^{\infty}\left[b_n\int_{-l}^{l}\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
        \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx\right].
\end{aligned}
\]

Betrachtet man nun die Summanden auf der rechten Seite stellt man fest, dass
nahezu alle Terme verschwinden, denn
\[
    \int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx
    =
    0,
\]
da hier über ein ganzzahliges Vielfaches der Periode integriert wird,
\[
    \int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
    \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
    =
    0
\]
für $m\neq n$, da Cosinus-Funktionen mit verschiedenen Kreisfrequenzen
orthogonal zueinander stehen und
\[
    \int_{-l}^{l}\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
        \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
    =
    0
\]
da Sinus- und Cosinus-Funktionen ebenfalls orthogonal zueinander sind.

Es bleibt also lediglich der Summand mit $a_m$ stehen, was die Gleichung zu
\[
    2\int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
    =
    a_m\int_{-l}^{l}\cos^2\left(\frac{m\pi}{l}x\right)dx
\]
vereinfacht.

Im nächsten Schritt wird nun das Integral auf der rechten Seite
berechnet und dann nach $a_m$ aufgelöst. Am einnfachsten geht dies, wenn zuerst
mit $u = \frac{m \pi}{l}x$ substituiert wird:
\[
    \begin{aligned}
    2\int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
    &=
    a_m\frac{l}{m\pi}\int_{-m\pi}^{m\pi}\cos^2\left(u\right)du
    \\
    &=
    a_m\frac{l}{m\pi}\left[\frac{u}{2} + 
    \frac{\sin\left(2u\right)}{4}\right]_{u=-m\pi}^{m\pi}
    \\
    &=
    a_m\frac{l}{m\pi}\biggl(\frac{m\pi}{2} + 
    \underbrace{\frac{\sin\left(2m\pi\right)}{4}}_{\displaystyle = 0} - 
    \frac{-m\pi}{2} -
    \underbrace{\frac{\sin\left(-2m\pi\right)}{4}}_{\displaystyle = 0}\biggr)
    \\
    &=
    a_m l
    \\
    a_m
    &=
    \frac{2}{l} \int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
    \end{aligned}
\]

Analog dazu kann durch das Bilden des Skalarproduktes mit 
$ \sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right) $ gezeigt werden, dass
\[
    b_m
    =
    \frac{2}{l} \int_{0}^{l}u(0, x)\sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
\]
gilt.

Etwas anders ist es allerdings bei $a_0$.
Wie zuvor bereits erwähnt, handelt es sich hierbei um den Koeffizienten
zur Basisfunktion $\cos\left(\frac{0 \pi}{l}x\right)$ beziehungsweise der
konstanten Funktion $1$.
Um einen Ausdruck für $a_0$ zu erhalten, wird wiederum auf beiden Seiten
der Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-initial-conditions} das
Skalarprodukt mit der konstanten Basisfunktion $1$ gebildet:
\[
\begin{aligned}
    \int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)dx
    &=
    \int_{-l}^{l} a_0
    +
    \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
    +
    \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)dx
    \\
    2\int_{0}^{l}u(0, x)dx
    &=
    a_0 \int_{-l}^{l}dx
    +
    \sum_{n = 1}^{\infty}\left[a_n\int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
        dx\right] +
    \sum_{n = 1}^{\infty}\left[b_n\int_{-l}^{l}\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
        dx\right].
\end{aligned}
\]

Hier fallen nun alle Terme, die $\sin$ oder $\cos$ beinhalten weg, da jeweils
über ein ganzzahliges Vielfaches der Periode integriert wird.
Es bleibt also noch
\[
    2\int_{0}^{l}u(0, x)dx
    =
    a_0 \int_{-l}^{l}dx,
\]
was sich wie folgt nach $a_0$ auflösen lässt:
\[
\begin{aligned}
    2\int_{0}^{l}u(0, x)dx
    &=
    a_0 \int_{-l}^{l}dx
    \\
    &=
    a_0 \left[x\right]_{x=-l}^{l}
    \\
    &=
    a_0(l - (-l))
    \\
    &=
    a_0 \cdot 2l
    \\
    a_0
    &=
    \frac{1}{l} \int_{0}^{l}u(0, x)dx
\end{aligned}
\]

%
% Lösung von T(t) 
%

\subsubsection{Lösung der Differentialgleichung in $t$}
Zuletzt wird die zweite Gleichung der 
Separation~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-t} betrachtet.
Dazu betrachtet man das charakteristische Polynom
\[
    \lambda - \kappa \mu
    =
    0
\]
der Gleichung
\[
    T^{\prime}(t) - \kappa \mu T(t)
    =
    0
\]
und löst dieses.

Es ist direkt ersichtlich, dass $\lambda = \kappa \mu$ gelten muss, was zur
Lösung
\[
    T(t)
    =
    e^{\kappa \mu t}
\]
führt und mit dem Resultat~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-mu-solution}
\[
    T(t)
    =
    e^{-\frac{n^{2}\pi^{2}\kappa}{l^{2}}t}
\]
ergibt.

Dieses Resultat kann nun mit allen vorhergehenden Resultaten zusammengesetzt
werden um die vollständige Lösung für das Stab-Problem zu erhalten.

\subsubsection{Lösung für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur}
\[
\begin{aligned}
    u(t,x)
    &=
    \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}e^{-\frac{n^{2}\pi^{2}\kappa}{l^{2}}t}
    \sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
    \\
    b_{n}
    &=
    \frac{2}{l}\int_{0}^{l}u(0,x)sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) dx
\end{aligned}
\]

\subsubsection{Lösung für einen Stab mit isolierten Enden}
\[
\begin{aligned}
    u(t,x)
    &=
    a_{0} + \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}e^{-\frac{n^{2}\pi^{2}\kappa}{l^{2}}t}
    \cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
    \\
    a_{0}
    &=
    \frac{1}{l}\int_{0}^{l}u(0,x) dx
    \\
    a_{n}
    &=
    \frac{2}{l}\int_{0}^{l}u(0,x)sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) dx
\end{aligned}
\]
