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% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
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% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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\section{Taylorapproximation
\label{transfer:section:teil1}}
\subsection{Idee}
Die Taylorreihe kann eine glatte Funktion in einer Umgebung durch Polynome beliebig genau annähern. Beschränkt man sich auf einen bestimmten Grad dieser Polynome, spricht man von einer Taylorapproximation. Diese entwickelt sich immer um einen Punkt und kann über die Ableitungen berechnet werden.

\subsection{Definition der Taylorreihe}
Sei $I \subset \mathbb{R}$ ein offenes Intervall, $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ eine glatte Funktion und $a$ ein Element von $I$. Dann ist die unendliche Reihe
\begin{equation}
	T_{f(x ; a)}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n !}(x-a)^{n}=f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)+\frac{f^{\prime \prime}(a)}{2}(x-a)^{2}+\frac{f^{\prime \prime \prime}(a)}{6}(x-a)^{3}+\ldots
\end{equation}
eine Taylorreihe.

\subsection{Beispiel}
In diesem Beispiel wird die Taylorapproximation mit dem Grad 2 des Tangens hyperbolicus um den Punkt Null berechnet.
$$
	\tanh \approx T_{2} \tanh(x ; a)=\tanh(a)+\tanh^{\prime}(a) \cdot(x-a)+\frac{\tanh^{\prime \prime}(a) \cdot(x-a)^{2}}{2}
$$
mit $a = 0$ folgt
$$
	T_{2} \tanh(x ; 0)=\tanh(0)+\tanh^{\prime}(0) \cdot(x)+\frac{\tanh^{\prime \prime}(0) \cdot(x)^{2}}{2} = 0 + x + 0 = x
$$

\begin{figure}
\centering
\begin{tikzpicture}
	\begin{axis}[
		xmin=-2.5, xmax=2.5,
		ymin=-1.5, ymax=1.5,
		axis lines=center,
		axis on top=true,
		domain=-2.5:2.5,
		ylabel=$y$,
		xlabel=$x$,
		]
		
		\addplot [mark=none,draw=red,thick] {tanh(\x)};
		\node [right, red] at (axis cs: 1.4,0.7) {$\tanh(x)$};
		\addplot [mark=none,draw=blue,ultra thick, samples=100, smooth] expression{x-(x^3)/3+ (2*x^5)/15-(17 * x^7)/315};
		\node [right, blue] at (axis cs: -1.8,0.7) {$Taylorapprox.$};
		
		%% Add the asymptotes
		\draw [blue, dotted, thick] (axis cs:-2.5,-1)-- (axis cs:0,-1);
		\draw [blue, dotted, thick] (axis cs:+2.5,+1)-- (axis cs:0,+1);
	\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{Taylorapproximation des Grades 7
\label{motivation:figure:Taylor}}
\end{figure}

\subsection{Problem}
Wie in Abbildung \ref{motivation:figure:Taylor} ersichtlich, ist der Approximationsfehler sogar bei Grad 7 des Polynoms sehr gross. Dies liegt ist unter anderem an der Unbeschränktheit, die solche Polynome besitzen. 
