\section{Analytische Fortsetzung} \label{zeta:section:analytische_fortsetzung}
\rhead{Analytische Fortsetzung}

%TODO missing Text

\subsection{Fortsetzung auf $\Re(s) > 0$} \label{zeta:subsection:auf_bereich_ge_0}
Zuerst definieren die Dirichletsche Etafunktion als
\begin{equation}\label{zeta:equation:eta}
    \eta(s)
    =
    \sum_{n=1}^{\infty}
    \frac{(-1)^{n-1}}{n^s},
\end{equation}
wobei die Reihe bis auf die alternierenden Vorzeichen die selbe wie in der Zetafunktion ist.
Diese Etafunktion konvergiert gemäss dem Leibnitz-Kriterium im Bereich $\Re(s) > 0$, da dann die einzelnen Glieder monoton fallend sind.

Wenn wir es nun schaffen, die sehr ähnliche Zetafunktion durch die Etafunktion auszudrücken, dann haben die gesuchte Fortsetzung.
Zuerst wiederholen wir zweimal die Definition der Zetafunktion \eqref{zeta:equation1}, wobei wir sie einmal durch $2^{s-1}$ teilen
\begin{align}
    \zeta(s)
    &=
    \sum_{n=1}^{\infty}
    \frac{1}{n^s} \label{zeta:align1}
    \\
    \frac{1}{2^{s-1}}
    \zeta(s)
    &=
    \sum_{n=1}^{\infty}
    \frac{2}{(2n)^s}. \label{zeta:align2}
\end{align}
Durch Subtraktion der beiden Gleichungen \eqref{zeta:align1} minus \eqref{zeta:align2}, ergibt sich
\begin{align}
    \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right)
    \zeta(s)
    &=
    \frac{1}{1^s}
    \underbrace{-\frac{2}{2^s} + \frac{1}{2^s}}_{-\frac{1}{2^s}}
    + \frac{1}{3^s}
    \underbrace{-\frac{2}{4^s} + \frac{1}{4^s}}_{-\frac{1}{4^s}}
    \ldots
    \\
    &= \eta(s).
\end{align}
Dies ist die Fortsetzung auf den noch unbekannten Bereich $0 < \Re(s) < 1$
\begin{equation}
    \zeta(s)
    :=
    \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right)^{-1} \eta(s).
\end{equation}

\subsection{Fortsetzung auf ganz $\mathbb{C}$} \label{zeta:subsection:auf_ganz}
Für die Fortsetzung auf den Rest von $\mathbb{C}$, verwenden wir den Zusammenhang von Gamma- und Zetafunktion aus \ref{zeta:section:zusammenhang_mit_gammafunktion}.
Wir beginnen damit, die Gammafunktion für den halben Funktionswert zu berechnen als
\begin{equation}
    \Gamma \left( \frac{s}{2} \right)
    =
    \int_0^{\infty} t^{\frac{s}{2}-1} e^{-t} dt.
\end{equation}
Nun substituieren wir $t$ mit $t = \pi n^2 x$ und $dt=\pi n^2 dx$ und erhalten
\begin{align}
    \Gamma \left( \frac{s}{2} \right)
    &=
    \int_0^{\infty}
    (\pi n^2)^{\frac{s}{2}}
    x^{\frac{s}{2}-1}
    e^{-\pi n^2 x}
    \,dx
    && \text{Division durch } (\pi n^2)^{\frac{s}{2}}
    \\
    \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}} n^s}
    &=
    \int_0^{\infty}
    x^{\frac{s}{2}-1}
    e^{-\pi n^2 x}
    \,dx
    && \text{Zeta durch Summenbildung } \sum_{n=1}^{\infty}
    \\
    \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}}
    \zeta(s)
    &=
    \int_0^{\infty}
    x^{\frac{s}{2}-1}
    \sum_{n=1}^{\infty}
    e^{-\pi n^2 x}
    \,dx. \label{zeta:equation:integral1}
\end{align}
Die Summe kürzen wir ab als $\psi(x) = \sum_{n=1}^{\infty} e^{-\pi n^2 x}$.
%TODO Wieso folgendes -> aus Fourier Signal
Es gilt
\begin{equation}\label{zeta:equation:psi}
    \psi(x)
    =
    - \frac{1}{2}
    + \frac{\psi\left(\frac{1}{x} \right)}{\sqrt{x}}
    + \frac{1}{2 \sqrt{x}}.
\end{equation}

Zunächst teilen wir nun das Integral aus \eqref{zeta:equation:integral1} auf als
\begin{equation}\label{zeta:equation:integral2}
    \int_0^{\infty}
    x^{\frac{s}{2}-1}
    \psi(x)
    \,dx
    =
    \underbrace{
    \int_0^{1}
    x^{\frac{s}{2}-1}
    \psi(x)
    \,dx
    }_{I_1}
    +
    \underbrace{
    \int_1^{\infty}
    x^{\frac{s}{2}-1}
    \psi(x)
    \,dx
    }_{I_2}
    =
    I_1 + I_2,
\end{equation}
wobei wir uns nun auf den ersten Teil $I_1$ konzentrieren werden.
Dabei setzen wir die Definition von $\psi(x)$ aus \eqref{zeta:equation:psi} ein und erhalten
\begin{align}
    I_1
    =
    \int_0^{1}
    x^{\frac{s}{2}-1}
    \psi(x)
    \,dx
    &=
    \int_0^{1}
    x^{\frac{s}{2}-1}
    \left(
    - \frac{1}{2}
    + \frac{\psi\left(\frac{1}{x} \right)}{\sqrt{x}}
    + \frac{1}{2 \sqrt{x}}
    \right)
    \,dx
    \\
    &=
    \int_0^{1}
    x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
    \psi \left( \frac{1}{x} \right)
    + \frac{1}{2}
    \biggl(
    x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
    -
    x^{\frac{s}{2}-1}
    \biggl)
    \,dx
    \\
    &=
    \underbrace{
    \int_0^{1}
    x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
    \psi \left( \frac{1}{x} \right)
    \,dx
    }_{I_3}
    +
    \underbrace{
    \frac{1}{2}
    \int_0^1
    x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
    -
    x^{\frac{s}{2}-1}
    \,dx
    }_{I_4}. \label{zeta:equation:integral3}
\end{align}
Dabei kann das zweite Integral $I_4$ gelöst werden als
\begin{equation}
    I_4
    =
    \frac{1}{2}
    \int_0^1
    x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
    -
    x^{\frac{s}{2}-1}
    \,dx
    =
    \frac{1}{s(s-1)}.
\end{equation}
Das erste Integral $I_3$ aus \eqref{zeta:equation:integral3} mit $\psi \left(\frac{1}{x} \right)$ ist nicht lösbar in dieser Form.
Deshalb substituieren wir $x = \frac{1}{u}$ und $dx = -\frac{1}{u^2}du$.
Die untere Integralgrenze wechselt ebenfalls zu $x_0 = 0 \rightarrow u_0 = \infty$.
Dies ergibt
\begin{align}
    I_3
    =
    \int_{\infty}^{1}
    \left(
    \frac{1}{u}
    \right)^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
    \psi(u)
    \frac{-du}{u^2}
    &=
    \int_{1}^{\infty}
    \left(
    \frac{1}{u}
    \right)^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
    \psi(u)
    \frac{du}{u^2}
    \\
    &=
    \int_{1}^{\infty}
    x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)}
    \psi(x)
    \,dx,
\end{align}
wobei wir durch Multiplikation mit $(-1)$ die Integralgrenzen tauschen dürfen.
Es ist zu beachten das diese Grenzen nun identisch mit den Grenzen des zweiten Integrals von \eqref{zeta:equation:integral2} sind.
Wir setzen beide Lösungen ein in Gleichung \eqref{zeta:equation:integral3} und erhalten
\begin{equation}
    I_1
    =
    \int_0^{1}
    x^{\frac{s}{2}-1}
    \psi(x)
    \,dx
    =
    \int_{1}^{\infty}
    x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)}
    \psi(x)
    \,dx
    +
    \frac{1}{s(s-1)}.
\end{equation}
Dieses Resultat setzen wir wiederum ein in \eqref{zeta:equation:integral2}, um schlussendlich
\begin{align}
    \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}}
    \zeta(s)
    &=
    \int_0^{1}
    x^{\frac{s}{2}-1}
    \psi(x)
    \,dx
    +
    \int_1^{\infty}
    x^{\frac{s}{2}-1}
    \psi(x)
    \,dx
    \nonumber
    \\
    &=
    \frac{1}{s(s-1)}
    +
    \int_{1}^{\infty}
    x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)}
    \psi(x)
    \,dx
    +
    \int_1^{\infty}
    x^{\frac{s}{2}-1}
    \psi(x)
    \,dx
    \\
    &=
    \frac{1}{s(s-1)}
    +
    \int_{1}^{\infty}
    \left(
    x^{-\frac{s}{2}-\frac{1}{2}}
    +
    x^{\frac{s}{2}-1}
    \right)
    \psi(x)
    \,dx
    \\
    &=
    \frac{-1}{s(1-s)}
    +
    \int_{1}^{\infty}
    \left(
    x^{\frac{1-s}{2}}
    +
    x^{\frac{s}{2}}
    \right)
    \frac{\psi(x)}{x}
    \,dx,
\end{align}
zu erhalten.
Wenn wir dieses Resultat genau anschauen, erkennen wir dass sich nichts verändert wenn $s$ mit $1-s$ ersetzt wird.
Somit haben wir die analytische Fortsetzung gefunden als
\begin{equation}\label{zeta:equation:functional}
    \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}}
    \zeta(s)
    =
    \frac{\Gamma \left( \frac{1-s}{2} \right)}{\pi^{\frac{1-s}{2}}}
    \zeta(1-s).
\end{equation}
%TODO Definitionen und Gleichungen klarer unterscheiden
