\section{Fazit} \label{zeta:section:fazit}
\rhead{Fazit}

Ganz zu Beginn dieses Papers wurde die Behauptung erwähnt, dass die Summe aller natürlichen Zahlen $-\frac{1}{12}$ sei.
Diese Summe ist nichts anderes als die Zetafunktion am Wert $s=-1$.
Da wir die analytische Fortsetzung mit der Funktionalgleichung \eqref{zeta:equation:functional} gefunden haben, können wir den Wert $s=-1$ einsetzen und erhalten
\begin{align*}
    \zeta(s)
    &=
    \frac{\Gamma \left( \frac{1-s}{2} \right)}{\pi^{\frac{1-s}{2}}}
    \zeta(1-s)
    \frac{\pi^{\frac{s}{2}}}{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}
    \\
    \zeta(-1)
    &=
    \frac{\Gamma(1)}{\pi}
    \zeta(2)
    \frac{\pi^{-\frac{1}{2}}}{\Gamma \left( -\frac{1}{2} \right)}.
\end{align*}
Also fehlen uns drei Werte, $\zeta(2)$, $\Gamma(1)$ und $\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)$.

Zunächst konzentrieren wir uns auf $\zeta(2)$, welches im konvergenten Bereich der Reihe liegt und auch bekannt ist als das Basler Problem.
Wir lösen das Basler Problem \cite{zeta:online:basel} mithilfe der parsevalschen Gleichung \cite{zeta:online:pars}
\begin{align}
    \int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2 dx
    &=
    2\pi \sum_{n=-\infty}^{\infty} |c_n|^2 \\
    c_n
    &=
    \frac{1}{2\pi}
    \int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx} dx,
\end{align}
welche besagt dass die Summe der quadrierten Fourierkoeffizienten einer Funktion identisch ist mit dem Integral der quadrierten Funktion.
Wenn wir dies für $f(x) = x$ auswerten erhalten wir
\begin{align}
    c_n
    &=
    \begin{cases}
        \frac{(-1)^n}{n} i, & \text{for } n\neq0, \\
        0, & \text{for } n=0
    \end{cases}
    \\
    \int_{-\pi}^{\pi} x^2 dx
    &=
    2\pi \sum_{n=-\infty}^{\infty} |c_n|^2
    =
    4\pi \underbrace{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}}_{\zeta(2)}.
\end{align}
Durch einfaches Umstellen erhalten wir somit die Lösung des Basler Problems als
\begin{equation}
    \zeta(2) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{1}{4\pi}
    \int_{-\pi}^{\pi} x^2 dx
    = \frac{\pi^2}{6}.
\end{equation}

Als nächstes berechnen wir $\Gamma(1)$ und $\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)$ mithilfe der Integraldefinition der Gammafunktion \ref{buch:rekursion:def:gamma}.
Da das Integral für $\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)$ nicht konvergiert, wird die Reflektionsformel aus \ref{buch:funktionentheorie:subsection:gammareflektion} verwendet, welche das konvergierende Integral von  $\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)$ verwendet.
Es ergeben sich die Werte
\begin{align*}
    \Gamma(1)
    &= 1\\
    \Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)
    &= \frac{\pi}{\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)
    \Gamma\left(\frac{3}{2}\right)}
    = -\frac{\sqrt{\pi}}{2}.
\end{align*}

Wenn wir diese Werte in die Funktionalgleichung einsetzen, erhalten wir das gewünschte Ergebnis
\begin{align*}
    \zeta(-1)
    &=
    \frac{\Gamma(1)}{\pi}
    \zeta(2)
    \frac{\pi^{-\frac{1}{2}}}{\Gamma \left( -\frac{1}{2} \right)}
    \\
    &=
    \frac{1}{\pi}
    \frac{\pi^2}{6}
    \frac{\pi^{-\frac{1}{2}}}{
    -\frac{\sqrt{\pi}}{2}}
    \\
    &=
    -\frac{1}{12}.
\end{align*}

Weiter wurde zu Beginn dieses Papers auf die Riemannsche Vermutung hingewiesen, wonach alle nichttrivialen Nullstellen der Zetafunktion auf der $\Re(s)=\frac{1}{2}$ Geraden liegen.
Abbildung \ref{zeta:fig:einzweitel} zeigt die Funktionswerte dieser Geraden.
%TODO colorplot does not work.. Ausserdem zeigt Abbildung \ref{zeta:fig:colorplot} die farbcodierte Zetafunktion für Werte der analytischen Fortsetzung und des originalen Definitionsbereichs.
\begin{figure}
    \centering
    \input{papers/zeta/images/zeta_re_0.5_paper.pgf}
    \caption{Die komplexen Werte der Zetafunktion für die kritische Gerade $\Re(s)=\frac{1}{2}$ im Bereich $\Im(s) = 0\dots40$.
    Klar sichtbar sind die immer wiederkehrenden Nullstellen, wie sie Gegenstand der Riemannschen Vermutung sind.}
    \label{zeta:fig:einzweitel}
\end{figure}
