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%Title Page
\title{Riemannsche Zeta Funktion}
\author{Raphael Unterer}
\institute{Mathematisches Seminar 2022: Spezielle Funktionen}

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\begin{document}

	%Titelseite
	\begin{frame}
		\titlepage
	\end{frame}

	%Inhaltsverzeichnis
% 	\begin{frame}
% 		\frametitle{Inhalt}
% 		\tableofcontents
% 	\end{frame}

	\section{Motivation}

    \begin{frame}
        \frametitle{Summe aller Natürlichen Zahlen}
        \begin{equation*}
            \sum_{n=1}^{\infty} n
            =
            1 + 2 + 3 + \ldots + \infty
            =
            - \frac{1}{12}
        \end{equation*}
    \end{frame}
    \begin{frame}
        \frametitle{Summe aller Natürlichen Zahlen}
        \begin{center}
            \includegraphics[width=0.7\textwidth]{../images/youtube_screenshot.png}
        \end{center}
    \end{frame}
    \begin{frame}
        \frametitle{Riemannsche Zeta Funktion}
        \begin{equation*}
            \zeta(s)
            =
            \sum_{n=1}^{\infty}
            \frac{1}{n^s}
        \end{equation*}
        \pause
        \begin{equation*}
            \zeta(-1)
            =
            \sum_{n=1}^{\infty}
            \frac{1}{n^{-1}}
            =
            \sum_{n=1}^{\infty} n
        \end{equation*}
    \end{frame}
    \begin{frame}
        \frametitle{Originaler Definitionsbereich}
        Wir kennen die divergierende harmonische Reihe
        \begin{equation*}
            \zeta(1)
            =
            \sum_{n=1}^{\infty}
            \frac{1}{n}
            \rightarrow
            \infty,
        \end{equation*}
        und somit ist $\Re(s) > 1$.
    \end{frame}

    \section{Analytische Fortsetzung}
    \begin{frame}
        \frametitle{Plan für die Analytische Fortsetzung von $\zeta(s)$}
        \begin{center}
            \input{../images/continuation_overview.tikz.tex}
        \end{center}
    \end{frame}
    \begin{frame}
        \frametitle{Fortsetzung auf $\Re(s) > 0$}
        Dirichletsche Etafunktion ist
        \begin{equation*}\label{zeta:equation:eta}
            \eta(s)
            =
            \sum_{n=1}^{\infty}
            \frac{(-1)^{n-1}}{n^s},
        \end{equation*}
        und konvergiert im Bereich $\Re(s) > 0$.
    \end{frame}
    \begin{frame}
        \frametitle{Fortsetzung auf $\Re(s) > 0$}
        \begin{align}
            \zeta(s)
            &=
            \RD{
            \sum_{n=1}^{\infty}
            \frac{1}{n^s} \label{zeta:align1}
            }
            \\
            \frac{1}{2^{s-1}}
            \zeta(s)
            &=
            \BL{
            \sum_{n=1}^{\infty}
            \frac{2}{(2n)^s} \label{zeta:align2}
            }
        \end{align}
        \pause
        \eqref{zeta:align1} - \eqref{zeta:align2}:
        \begin{align*}
            \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right)
            \zeta(s)
            &=
            \RD{\frac{1}{1^s}}
            \underbrace{-\BL{\frac{2}{2^s}} + \RD{\frac{1}{2^s}}}_{-\frac{1}{2^s}}
            + \RD{\frac{1}{3^s}}
            \underbrace{-\BL{\frac{2}{4^s}} + \RD{\frac{1}{4^s}}}_{-\frac{1}{4^s}}
            \ldots
            \\
            &= \eta(s)
        \end{align*}
    \end{frame}
    \begin{frame}
        \frametitle{Fortsetzung auf $\Re(s) > 0$}
        Somit haben wir die Fortsetzung gefunden als
        \begin{equation} \label{zeta:equation:fortsetzung1}
            \zeta(s)
            :=
            \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right)^{-1} \eta(s).
        \end{equation}
    \end{frame}
    \begin{frame}
        \frametitle{Spiegelungseigenschaft für $\Re(s) < 0$}
        \begin{equation*}\label{zeta:equation:functional}
            \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}}
            \zeta(s)
            =
            \frac{\Gamma \left( \frac{1-s}{2} \right)}{\pi^{\frac{1-s}{2}}}
            \zeta(1-s).
        \end{equation*}
    \end{frame}
    %TODO maybe explain gamma-fct

    \section{Euler Produkt und Primzahlen}
    \begin{frame}
        \frametitle{Wieso ist die Zeta Funktion so bekannt?}
        \begin{itemize}
            \item Interessante Funktionswerte z.B. $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$
            \item Primzahlenverteilung (Riemannhypothese)
            \item Forschungsgebiet der analytischen Zahlentheorie seit dem 18. Jahrhundert
            \item ...
        \end{itemize}
    \end{frame}
    \begin{frame}
        \frametitle{Euler Produkt: Verbindung von Zeta und Primzahlen}
        \begin{equation*}
            \zeta(s)
            =
            \sum_{n=1}^\infty
            \frac{1}{n^s}
            =
            \prod_{p \in P}
            \frac{1}{1-p^{-s}}
        \end{equation*}
        \pause
        Geometrische Reihe
        \begin{equation*}
            \prod_{p \in P}
            \frac{1}{1-p^{-s}}
            =
            \prod_{p \in P}
            \left(
            1
            +
            \frac{1}{p^s}
            +
            \frac{1}{p^{2s}}
            +
            \frac{1}{p^{3s}}
            +
            \ldots
            \right)
        \end{equation*}
        \pause
        Erste Terme ausmultiplizieren
        \begin{align*}
            \left(
            1
            +
            \RD{\frac{1}{2^s}}
            +
            \GN{\frac{1}{2^{2s}}}
            +
            \frac{1}{2^{3s}}
            +
            \ldots
            \right)
            \left(
            1
            +
            \BL{\frac{1}{3^s}}
            +
            \frac{1}{3^{2s}}
            +
            \frac{1}{3^{3s}}
            +
            \ldots
            \right)
            \left(
            1
            +
            \YE{\frac{1}{5^s}}
            +
            \frac{1}{5^{2s}}
            +
            \frac{1}{5^{3s}}
            +
            \ldots
            \right)
            \ldots
            \\
            =
            1
            +
            \RD{\frac{1}{2^s}}
            +
            \BL{\frac{1}{3^s}}
            +
            \GN{\frac{1}{4^s}}
            +
            \YE{\frac{1}{5^s}}
            +
            \ldots
        \end{align*}
    \end{frame}
    \begin{frame}
        \frametitle{Primzahlfunktion}
        \begin{center}
           \scalebox{0.5}{\input{../images/primzahlfunktion.pgf}}
        \end{center}
    \end{frame}


    \section{Darstellungen}

    \begin{frame}
        \frametitle{Farbcodierung}
        \begin{center}
            \scalebox{0.6}{\input{zeta_color_plot.pgf}}
        \end{center}
    \end{frame}

    \begin{frame}
        \frametitle{Konstanter Realteil $\Re(s)=-1$ und $\Im(s)=0\ldots40$}
        \begin{center}
            \scalebox{0.6}{\input{../images/zeta_re_-1_plot.pgf}}
        \end{center}
    \end{frame}
    \begin{frame}
        \frametitle{Konstanter Realteil $\Re(s)=0$ und $\Im(s)=0\ldots40$}
        \begin{center}
            \scalebox{0.6}{\input{../images/zeta_re_0_plot.pgf}}
        \end{center}
    \end{frame}
    \begin{frame}
        \frametitle{Konstanter Realteil $\Re(s)=0.5$ und $\Im(s)=0\ldots40$}
        \begin{center}
            \scalebox{0.6}{\input{../images/zeta_re_0.5_plot.pgf}}
        \end{center}
    \end{frame}

\end{document}