From 6ff6328031a782e95f6530aab0031ded3090c418 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nao Pross <naopross@thearcway.org>
Date: Mon, 11 May 2020 13:18:03 +0200
Subject: Continue ODE

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@@ -461,7 +461,7 @@ Wenn \(\lim_{n\to\infty}R_n = 0\) dann \(f(x) = T(x,a)\), d.h. die Taylor Rehie
 
 \section{Differentialgleichungen}
 \subsection{Definition}
-Eine Funktion \(y = \varphi(x)\) hei{\ss}t L\"osung der \(n\)-te Ordnung Differentialgleichung
+Eine Funktion \(y = \varphi(x)\) hei{\ss}t \emph{allgemeine} L\"osung der \(n\)-te Ordnung Differentialgleichung
 \[
     F(x, y, y', y'', \dots, y^{(n)}) = 0
 \]
@@ -481,14 +481,33 @@ die \emph{Anfangswerte} oder \emph{Anfangsbedingungen}
 Dann hat man ein \emph{Anfangswertproblem}, der eine \emph{spezifische} L\"osung ergibt.
 
 \subsection{DGL 1. Ordnung}
-Sei \(y' = f(x, y)\)
+Die funktionen \(f\) und \(g\) seien auf demselben Intervall \(I\) stetig. Die Differentialgleichung
+\[
+    y' + f(x)y = g(x)
+\]
+hei{\ss}t \emph{homogen}, wenn \(g\) die Nullfunktion (\(=0\)) auf \(I\) ist, sonst \emph{inhomogen}. \(g\) hei{\ss}t St\"orglied.
 
 \paragraph{Separation} Wenn die DGL die Form \(y' = g(y) f(x)\) hat, dann l\"asst sie sich mit der Umformung
 \begin{gather*}
     \frac{y'}{g(y)} = f(x) \implies \int \frac{\dd{y}}{g(y)} = \int f(x) \di{x} \\
-    y = k
 \end{gather*}
+Ein Speziallfall \(g(y) = y\) hat die allgemeine L\"osung
+\[
+    y = k\exp\left(\int f(x) \di{x} \right) = k \nemathit{e}^{F}
+\]
 
+\paragraph{Substitution Linearterm} Hat die DGL die Form \(y' = f(ax + by + c)\), dann benutzt man die Substitution
+\begin{align*}
+    z  &= ax + by + c \iff y(z) = b(z-c)/ax \\
+    z' &= a + by' \implies z' = a + b y'(z) \text{ separiert!}
+\end{align*}
+Dann soll sie nach \(z\) l\"osen lassen.
+
+\paragraph{Glaichgradigkeit} Hat die DGL die Form \(y' = f(y/x) \quad x \neq 0\), dann benutzt die Substitution
+\begin{align*}
+    z = y/x &\implies y' = z'x + z \\
+    &\implies z' = \frac{1}{x}\left(y'(x) - z\right) \quad\text{separiert!}
+\end{align*}
 
 \subsection{DGL 2. Ordnung}
 
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