\documentclass[margin=small, twocolumn]{hsrzf} \usepackage{hsrstud} \usepackage{cancel} \numberwithin{equation}{subsection} \usepackage{multicol} \usepackage{float} \usepackage{array} \usepackage{booktabs} \usepackage{rotating} \usepackage{enumitem} \usepackage{graphicx} \usepackage{xcolor} \usepackage[ type={CC}, modifier={by-nc-sa}, version={4.0}, ]{doclicense} \usepackage{polyglossia} \setdefaultlanguage[variant=swiss]{german} \title{Analysis 2 Zusammenfassung} \author{Naoki Pross} \date{Fr\"uhlingsstemester 2020} \newcommand{\brpage}[1]{\textcolor{red!70!black}{\small\texttt{S#1}}} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Integration \brpage{493,507}} \subsection{Tricks \brpage{495}} Linearit\"at \brpage{495} \[ \int k(u + v) = k\left(\int u + \int v\right) \] Partialbruchzerlegung \brpage{15,498} \[ \int \frac{f(x)}{P_n(x)} \di{x} = \sum_{k=1}^n \int \frac{A_k}{x-r_k}\di{x} \] Elementartransformation \brpage{496} \[ \int f(\lambda x + \ell) \di{x} = \frac{1}{\lambda} F(\lambda x + \ell) + C \] Partielle Integration \brpage{497} \[ \int u \di{v} = uv - \int v \di{u} \] Potenzenregel \brpage{496} \[ \int u^n \cdot u' = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C \qquad n \neq -1 \] Logaritmusregel \brpage{496} \[ \int \frac{u'}{u} = \ln|u| + C \] Allgemeine Substutution \brpage{497}\\ \(x = g(u)\), und \(\dd{x} = g'(u)\dd{u}\) \[ \int f(x) \di{x} = \int (f\circ g) ~ g' \di{u} = \int \frac{f \circ g}{(g^{-1})'\circ g} \di{u} \] Universalsubstitution \brpage{504} \begin{align*} t &= \tan(x/2) & \sin(x) &= \frac{2t}{1+t^2} \\ \dd{x} &= \frac{2\dd{t}}{1+t^2} & \cos(t) &= \frac{1-t^2}{1+t^2} \end{align*} Womit \[ \int f(\sin(x), \cos(x), \tan(x)) \di{x} = \int g(t) \di{t} \] \subsection{Uneigentliches Integral \brpage{520}} \begin{align*} \int\limits_a^\infty f \di{x} &= \lim_{B \to \infty} \int\limits_a^B f \di{x} \\ \int\limits_{-\infty}^b f \di{x} &= \lim_{A \to -\infty} \int\limits_A^b f \di{x} \\ \int\limits_{-\infty}^\infty f \di{x} &= \lim_{\substack{A \to +\infty \\ B \to -\infty}} \int\limits_A^B f \di{x} \end{align*} Wenn \(f\) im Punkt \(u \in (a,b)\) nicht definiert ist. \begin{equation} \label{eqn:int-with-pole} \int\limits_a^b f \di{x} = \lim_{\epsilon\to +0} \int\limits_a^{u-\epsilon} f \di{x} + \lim_{\delta\to +0} \int\limits_{u+\delta}^b f \di{x} \end{equation} \subsection{Cauchy Hauptwert \brpage{523}} Der C.H. (oder PV f\"ur \emph{Principal Value} auf Englisch) eines uneigentlichen Integrals ist der Wert, wenn in einem Integral wie \eqref{eqn:int-with-pole} beide Grenzwerte mit der gleiche Geschwindigkeit gegen 0 streben. \[ \text{C.H.} \int\limits_a^b f \di{x} = \lim_{\epsilon\to +0} \left( \int\limits_a^{u-\epsilon} f \di{x} + \int\limits_{u+\epsilon}^b f \di{x} \right) \] Zum Beispiel \(x^{-1}\) ist nicht \"uber \(\mathbb{R}\) integrierbar, wegen des Poles bei 0. Aber intuitiv wie die Symmetrie vorschlagt \[ \text{C.H.} \int\limits^\infty_{-\infty} \frac{1}{x} \di{x} = 0 \] \subsection{Majorant-, Minorantenprinzip und Konvergenzkriterien \brpage{521,473,479,481}} Gilt f\"ur die Funktionen \(0 < f(x) \leq g(x)\) mit \(x \in [a,\infty)\) \[ \text{konvergiert } \int\limits_a^\infty g \di{x} \implies \text{ konvergiert } \int\limits_a^\infty f \di{x} \] Die selbe gilt umgekehrt f\"ur Divergenz. Wenn \(0 < h(x) \leq f(x)\) \[ \text{divergiert } \int\limits_a^\infty h \di{x} \implies \text{ divergiert } \int\limits_a^\infty f \di{x} \] \(g\) und \(h\) hei{\ss}en Majorant und Minorant bzw. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Implizite Ableitung \brpage{448}} \begin{alignat*}{3} (af)' &= af' &\quad&& (u(v(x)))' &= u'(v)v' \\ (uv)' &= u'v + uv' &\quad&& \left(\frac{u}{v}\right)' &= \frac{u'v-uv'}{v^2} \\ \left(\sum u_i\right)' &= \sum u'_i &\quad&& (\ln u)' &= \frac{u'}{u} \\ (f^{-1})' &= \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} \end{alignat*} Alle normale differenziazionsregeln f\"ur \(f(x)\) gelten. Allgemeiner f\"ur die implizite Funktion \(F(x,y) = 0\) \[ \dd{y} = y'\dd{x} \qquad \pderiv{F}{x} + \pderiv{F}{y} y' = 0 \] %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Differentialgeometrie} \subsection{Ebene Kurven \brpage{250}} \subsubsection{Darstellungen und Umwanldung} \begin{figure}[h] \centering \includegraphics[width=.9\linewidth]{fig/plane-curve.eps} \caption{Die ebene Kurve \(\vec{\Lambda}(t)\) kann Explizit \(y(x)\) (in diesem Fall nicht), Implizit \(\vec{u}(x,y) = 0\), Polar \(\vec{r}(\varphi)\) oder in Parameterform \((x(t), y(t))\) dargestellt werden.} \label{fig:plane-curve} \end{figure} Sei \(\Lambda: x = \phi(t),\, y = \psi(t), t\in I\) eine glatte Jordankurve. Beispiel in Abb. \ref{fig:plane-curve}. \paragraph{Polar zu Kartesian} \[ r = \sqrt{x^2 + y^2} \qquad \tan\varphi = y/x \] \[ x = r \cos\varphi \qquad y = r \sin\varphi \] \paragraph{Parametrisch zu explizit} Sei \(\dot{\phi} \neq 0\) oder \(\dot{\psi} \neq 0\). Im Falle \(\dot{\phi} \neq 0\), wechselt \(\dot\phi\) in der Umgebung von \(t\) das Vorzeichen nicht, \(\phi\) ist dort streng monoton. Daher gilt \[ t = \phi^{-1}(x) \quad y = \psi(t) = \psi \circ \phi^{-1}(x) = f(x) \] Wenn \(\dot{\psi} \neq 0\) ist dann \(x = \phi \circ \psi^{-1}(y)\) \subsubsection{Bogenl\"ange \brpage{251,514}} \label{sec:arc-length} Weitere Formeln (z.B. polar) findet man in Tab. \ref{tab:plane-curves-big}. \[ \ell = \int\limits_a^b \sqrt{1 + (f')^2} \di{x} = \int\limits_{t_0}^{t_1} |\dot{\vec{c}}| \di{t} \] \subsubsection{Umparametrisierung nach Bogenl\"ange} Sei die Kurve \(\vec{\Lambda}(t), t \in I\) mindestens einmal differenzierbar, und \(\ell\) die Bogenl\"ange (gem\"a{\ss} \S\ref{sec:arc-length}) im Intervall. Die Umparametrisierung \(\vec{\Lambda}(s)\) ist dann \[ s = \ell t \implies \vec{\Lambda}(s) = \vec{\Lambda}(t/\ell) \] Die neue Parametrisierung hat \(\vec{\Lambda}' = 1\) (nach \(s\) differenziert), d.h. die erste Ableitung ist der tangent Einheitsvector! \subsubsection{Tangente und Normalvektor \brpage{251,252}} F\"ur eine ebene Kurve \(\vec{\Lambda}(t)\) \(\tau, t \in I\), der Vektor \(\dot{\vec\Lambda}(\tau)\) ist immer an \(\vec{\Lambda}(\tau)\) tangent. \(\ddot{\vec{\Lambda}}(\tau)\) ist zur Kurve normal. \begin{align*} \dot{\vec{\Lambda}} &= \deriv{y}{x} = \frac{\dot{y}}{\dot{x}} = \frac{r'\sin\varphi + r\cos\varphi}{r'\cos\varphi - r\sin\varphi} \\[.9em] \ddot{\vec{\Lambda}} &= \deriv[2]{y}{x} = \frac{\ddot{y}\dot{x} - \ddot{x}\dot{y}}{\dot{x}^3} \end{align*} Man kann auch die Tangentengleichung und die Normalengleichung zur Zeitpunkt \(\tau\) finden \begin{align*} T: y - \psi(\tau) &= \frac{\dot{\psi}}{\dot{\phi}}(x - \phi(\tau)) \\ N: y - \psi(\tau) &= -\frac{\dot{\phi}}{\dot{\psi}}(x - \phi(\tau)) \end{align*} \subsubsection{Kr\"ummung und Kr\"ummungsradius \brpage{254}} Siehe Tab. \ref{tab:plane-curves-big} f\"ur die Rechnungsformeln und Abb. \ref{fig:plane-curvature} f\"ur eine graphische Deutung. \[ \kappa = \lim_{\Delta s\to 0} \frac{\Delta \theta}{\Delta s} = \deriv{\theta}{s} \qquad R = 1/\kappa \] Eine gerade hat \(\kappa = 0\) und \(R = \infty\). Entsprechend der Orientierung der \(x\)-Achse, entspricht einer \(\kappa > 0\) eine Linkskr\"ummung und \(\kappa < 0\) eine Rechtskr\"ummung. Der Kr\"ummungskreis hat Ma{\ss}zahl \(\rho = 1/|\kappa|\) und Mittelpunkt \(P_c\) gem\"a\ss \[ P_c = \begin{pmatrix} x_c \\ y_c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \frac{1}{\kappa} \vec{\hat{n}} \] Wobei \(\uvec{n} = \vec{\ddot{\Lambda}}^0\) ist der Normalvektor. \subsubsection{Konvexit\"at} Sei die Kurve \(\Lambda\) durch \(f \in C^2\) auf \([a,b]\) gegeben. \begin{itemize} \item \(f\) ist auf \((a,b)\) konvex (bzw. konkav), wenn \(\kappa \geq 0\) (bzw. \(\kappa \leq 0\)) \(\forall x \in (a,b)\). \item \(f\) ist auf \((a,b)\) streng konvex (bzw. konkav), wenn \(\kappa > 0\) (bzw. \(\kappa < 0\)) \(\forall x \in (a,b)\). \item Hat in \(\Lambda\) in \(P\) einen Wendepunkt, dann \(\kappa(P) = 0\). \end{itemize} \subsubsection{Evoluten und Evolventen \brpage{262}} \begin{figure}[h] \centering \includegraphics[width=.8\linewidth]{fig/plane-curvature} \caption{Kr\"ummung und Kr\"ummungskreisradien} \label{fig:plane-curvature} \end{figure} \subsection{Raumkurven \brpage{263}} \subsection{Kurven 2. Ordnung -- Kegelschnitt \brpage{212}} Die Polarform f\"ur die allgemeine Gleichung der Kurver 2. Ordnung ist \begin{equation} \label{eqn:conics-polar} r = \frac{p}{1 + \varepsilon \cos\varphi} \end{equation} Im kartesiche Form \begin{equation} \label{eqn:conics-cartesian} \frac{x^2}{a} + \frac{y^2}{b} = 0 \end{equation} Die Parameter \(a,b\) bzw, \(\varepsilon\) \"andern die Gestalt folgendermaßen \begin{multicols}{2} \begin{itemize} \item \(\varepsilon = 0\) Kreis \item \(|\varepsilon| \in (0;1)\) Ellipse \end{itemize} \columnbreak \begin{itemize} \item \(|\varepsilon| = 1\) Parabel \item \(|\varepsilon| > 1\) Hyperbel \end{itemize} \end{multicols} \subsubsection{Kreis \brpage{204}} {\renewcommand{\arraystretch}{1.1} \begin{tabular}{l >{\(\displaystyle}l<{\)}} Kartesisch & (x - C_x)^2 + (y - C_y)^2 = r^2 \\ Parameter & x = c_x + R\cos t \quad y = c_y + R\sin t \end{tabular}} \subsubsection{Ellipse \brpage{205}} {\renewcommand{\arraystretch}{2} \begin{tabular}{l >{\(\displaystyle}l<{\)}} Kartesisch & \left(\frac{x - C_x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y - C_y}{b}\right)^2 = 1 \\ Parameter & x = a\cos t \quad y = b\sin t \end{tabular}} \subsubsection{Hyperbel \brpage{207}} {\renewcommand{\arraystretch}{2} \begin{tabular}{l >{\(\displaystyle}l<{\)}} Kartesisch & \left(\frac{x - C_x}{a}\right)^2 - \left(\frac{y - C_y}{b}\right)^2 = 1 \\ Parameter & x = a\cosh t \quad y = b\sinh t \end{tabular}} \subsubsection{Parabel \brpage{210}} \begin{tabular}{l >{\(\displaystyle}l<{\)}} Kartesisch & y = ax^2 + bx + c \\ Parameter & x = t \quad y = at^2 + bt + c \end{tabular} \subsection{Kurven 4. Ordnung \brpage{98}} \paragraph{Kardioide / Herzkurve \brpage{99,100}} \[ r = a(1 + \cos\varphi) \] \paragraph{Lemniskate \brpage{101}} \[ r = a \sqrt{2\cos(2\varphi)} \] %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Reihen} \subsection{Bemerkenswerte Rehien \brpage{19,477}} \paragraph{Arithmetische Reihe} Sei \(a_1 \in \mathbb{R}\) und \(d \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\), dann aus der arithmetischen Folge \(\langle a_k \rangle\) mit \(a_k = a_1 + (k-1)d\) erh\"alt man die Reihe \(\langle A_n \rangle\) mit: \begin{align*} A_n &= a_1 + \sum_{k=1}^n (k-1)d = a_1 + d + 2d + \cdots + (n-1)d\\ &= \frac{n}{2}\big( 2a_1 + (n-1)d\big) = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \end{align*} \paragraph{Geometrische Reihe} Sei \(a_1 \in \mathbb{R}\) und \(q \in \mathbb{R} \setminus \{0;1\}\). Aus der geometrischen Folge \(\langle g_k \rangle\) mit \(g_k = a_1 q^k\) erh\"alt man die Reihe \(\langle G_n \rangle\) mit: \[ G_n = a_1 \sum_{k=1}^n q^{k-1} = a_1 \frac{1-q^n}{1-q} \] \paragraph{Harmonische Reihe} Aus der folge \(\langle h_k \rangle\) mit \(h_k = 1/k\) erh\"alt man die Reihe \(\langle H_n \rangle\) mit: \[ H_n = \sum_{k=1}^n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} \] Achtung: \(H = \lim_{n\to\infty} H_n\) konvergiert nicht! \paragraph{Potenzreihe} Siehe \S\ref{sec:powerseries} \subsection{Unendlichen \brpage{470,477}} Sei \(\langle a_n \rangle\) eine Folge die Reihe \(\langle S_n \rangle\), \[ S_n = \sum_{k=1}^n a_k \qquad S = \lim_{n\to\infty} S_n \] \subsubsection{Konvergenz \brpage{472,475}} \paragraph{Absolute \brpage{475}} Die Reihe \(S_n\) hei{\ss}t \emph{absoulut konvergent} wenn \[ \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \left| a_k \right| \text{ konvergiert} \] Wenn eine Reihe absolut konvergent ist, dann \begin{enumerate} \item sie ist auch konvergent. \item die Glieder k\"onnen nach Belieben miteinander vertauscht weden. \item sei \(\displaystyle c_n = \sum_{k=1}^n a_k b_{n-k+1} = a_n b_1 + a_{n-1} b_2 + \cdots + a_1 b_n \) (\(a_n\) und \(b_n\) abs. konvergent gegen \(a\) bzw. \(b\)), dann \[ \sum_{n=1}^\infty c_n = \left(\sum_{n=1}^\infty a_n\right) \left(\sum_{n=1}^\infty b_n\right) \] \end{enumerate} \paragraph{Bedingte} Wenn die Reihe \(S_n\) nicht abs. konvergiert, aber es eine Umordnung gibt, soda{\ss} die umgeordnete Reihe entweder divergent ist oder gegen eine von verschiedene Summe konvergiert. Dann hei{\ss}t die Reihe \emph{bedingt konvergent}. \subsubsection{Konvergenzkriterien \brpage{472}} \paragraph{Cauchy'sches \brpage{475}} \[ \forall \varepsilon > 0 : \forall m,n \in \mathbb{N}, m > n: \left| \sum_{k=n+1}^m a_k \right| < \varepsilon \] \paragraph{Wurzelkriterium von Cauchy \brpage{474}} \[ \alpha = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| a_n \right|} \implies\begin{cases} \alpha < 1 \quad \text{(abs.) konvergent} \\ \alpha > 1 \quad \text{divergent} \end{cases} \] Wenn \(\alpha = 1\) man kann nicht direkt eine Konvergenz / Divergenz schliessen. Hinweise: Seien \(a > 0\) eine Konstante, \(p\) ein Polynom und \(r\) eine rationale Funktion. \begin{align*} \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a} &= 1 & \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n^a} &= 1 \\ \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n!} &= +\infty & \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}} &= e \\ \lim_{n\to\infty} \frac{a^n}{n!} &= 0 & \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{a^n}{n!}} &= 0 \\ \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|p(n)|} &= 1 & \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|r(n)|} &= 1 \end{align*} \paragraph{Quotientenkriterium von d'Alambert \brpage{474}} \[ \alpha = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \implies\begin{cases} \alpha < 1 \quad \text{(abs.) konvergent} \\ \alpha > 1 \quad \text{divergent} \end{cases} \] \paragraph{Leibniz'sches (f\"ur alternierenden Reihen) \brpage{476}} Wenn \(\langle a_n \rangle\) eine alterniende Folge ist, dann gilt \begin{gather*} \langle |a_n| \rangle \text{ ist eine monoton fallende Nullfolge} \\ \implies \langle s_n \rangle \text{ konvergiert} \end{gather*} \paragraph{Integralkriterium \brpage{475}} Sei \(f(x) \geq 0\), \(x \in [1;\infty)\) und \(f\downarrow\). Merkt man dass: \[ \overbrace{\int\limits_1^n f(x) \dd{x}}^{S} \leq \sum_{k=1}^n a_k \leq \overbrace{\int\limits_2^n f(x-1) \dd{x}}^{\text{Auch } S} \] Somit folgt: \[ \text{konvergiert } \int\limits_1^\infty f(x) \dd{x} \implies \text{konvergiert } s \] \paragraph{Majorantenkriterium} \subsection{Potenzreihen \brpage{482}} \label{sec:powerseries} \begin{align*} P &= \sum_{n=0}^\infty a_n (x - x_0)^n \\ &= a_0 + a_1 (x - x_0) + a_2 (x - x_0)^2 + \cdots \end{align*} Sei \(\lim_{n\to\infty} \sqrt{|a_n|} = a \) (Wurzelkriterium) \begin{align*} a = 0 &\implies \text{ abs. konvergent} \\ a > 0 &\implies \forall x \in \mathbb{R}: \begin{cases} |x| < 1/a: \text{ abs. konvergent} \\ |x| > 1/a: \text{ divergent} \end{cases} \end{align*} \subsubsection{Konvergenzradius/-bereich \brpage{482}} Sei \(\langle \sqrt{|a_n|}\rangle\) nicht beschr\"ankt (\(a = \infty\)), so ist \(P\) nur f\"ur \(x=x_0\) konvergent (\(r = 1/\infty = 0^+\)). Sonst existiert der \emph{Konvergenzradius} \(r \in\mathbb{R}^+\): \begin{align*} r &= \limsup_{n\to\infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| & r &= \left( \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{| a_n |} \right)^{-1} \end{align*} Innerhalb des \emph{Konvergenzbereiches} \(\{ x : |x - x_0| < r\} = (x_0-r; x_0+r)\) ist die Reihe absolut konvergent, ausserhalb dessen ist sie divergent. Wenn \(r = \infty\) dann ist die Reihe abs. konvergent. \subsubsection{Funktion darstellen \brpage{763}} Weil innerhalb des Konvergezbereiches die Reihe absolut konvergent ist, muss im Bereich \((x_0 - r; x_0 + r)\) eine stetige Funktion \(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n\) existieren, die gleichm\"assig zu einer anderen Funktion konvergieren (und somit sie darstellen) kann. Wenn eine Funktion \(g: E \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) in \((x_0 - r; x_0 + r) = B \subseteq E\) mit einer Potenzreihe dargestellt werden kann, dann sagt man \(g\) ist \emph{im Gebiet \(B\) reell analytisch}. \subsubsection{Ableitung und Integration} Sei \(P\) eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius \(r > 0\), die eine Funktion \(f\) darstellt. Innerhalb des Konvergenzradius gilt: \begin{align*} f'(x) &= \left(\sum_{n=0}^\infty a_n x^n \right)' = \sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1} \\ \int f \di{x} &= \int \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \di{x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1} x^{n+1} + C \end{align*} H\"ohere Ableitungen: \[ f^{(k)}(x) = \left(\sum_{n=0}^\infty a_n x^n \right)^{(k)} = \sum_{n=k}^\infty \frac{n!}{(n-k)!} a_n x^{n-k} \] \subsubsection{Taylor Polynom und Reihe \brpage{484,765}} Der Taylor-Polynom approximiert eine Funktion um einen Entwicklungspunkt \(a\). \begin{align*} T_n(x, a) &= \sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + R_n\\ &= f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a)^1 + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots \end{align*} Die Restgliede sind \begin{align*} R_n = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-a)^{(n+1)} \qquad (\xi \in (x;a)) \end{align*} Wenn \(\lim_{n\to\infty}R_n = 0\) dann \(f(x) = T(x,a)\), d.h. die Taylor Rehie zu \(f\) identisch ist (Konvergenzradius \(r = \infty\)). Sonst berechnet man der \emph{worst case} Fehler \(\epsilon \geq |R_n|\) und der dazugeh\"orig \(\hat{\xi} = \underset{\xi}{\arg}\max|R_n|\): \begin{align*} \epsilon = \max |R_n| = \max \left[\frac{|f^{(n+1)}(\xi)|}{(n+1)!} |x-a|^{(n+1)}\right] \end{align*} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Differentialgleichungen \brpage{553}} \subsection{Definition} Eine Funktion \(y = \varphi(x)\) hei{\ss}t \emph{allgemeine} L\"osung der implizite \(n\)-te Ordnung Differentialgleichung \[ F(x, y, y', y'', \dots, y^{(n)}) = 0 \] auf dem Intervall \(I\), wenn \begin{itemize} \item \(\varphi\) auf \(I\) \(n\)-mal differenzierbar ist \item \(\forall x \in I: F(x, \varphi, \varphi', \varphi'', \dots, \varphi^{(n)}) = 0\) \end{itemize} Da mehr L\"osungen existieren k\"onnen, es gibt eine Menge von L\"osungen \[ Y = \left\{ y \in C^n : F(x, y, y', \dots, y^{(n)}) = 0 \right\} \] Gegeben seien k\"onnen auch der \emph{Anfangspunkt} \(x_0\), und die \emph{Anfangswerte} oder \emph{Anfangsbedingungen} \(y_0 = y(x_0)\), \(y_1 = y'(x_0)\), \dots, \(y_{n-1} = y^{(n-1)}(x_0) \in \mathbb{R}\). Dann hat man ein \emph{Anfangswertproblem}, die eine L\"osung \(y \in Y\) ergibt. \subsection{Existenz und Eindeutigkeitssatz (Picard-Lindel\"of) \brpage{554,556,560}} Sei die DGL folgenderm\"a{\ss}en umgeformt \[ y^{(n)} = f(x, y, y', \dots, y^{(n-1)}) \] Dann hat die DGL eine eindeutige L\"osung, wenn \[ \exists \frac{\partial f}{\partial x}(x_0) \text{ stetig} \quad \exists \frac{\partial f}{\partial y^{(k)}}(y_{k}) \text{ stetig} \quad 0 \leq k < n \] d.h. die partielle Ableitung nach \(x, y, y', \cdots\) an der Anfangswerte \(x_0, y_0, y_1, \ldots\) existieren und stetig sind. \subsection{Lineare DGL} Linearit\"at hei{\ss}t \[ L(y + z) = L(y) + L(z) \qquad L(\mu y) = \mu L(y) \] Wenn \(u_1(x), u_2(x), \ldots \in Y\), eine lineare DGL \(L(y) = 0\) l\"osen d.h. \(L(u_k) = 0\). Dann sind auch alle lineare Kombinationen L\"osungen \[ \overbrace{\mu_1 L(u_1)}^{\mu_1 \cdot 0} + \mu_2 L(u_2) + \cdots = 0 = L(\overbrace{\mu_1 u_1 + \mu_2 u_2 + \cdots}^{\text{lineare Komb.}}) \] \subsubsection{Homogene, inhomogene und partikul\"are L\"osungen} Seien \(g(x)\) und alle \(a_k(x) \; (0 \leq k \leq n)\) auf den Intervall \(I\) stetig. F\"ur die lineare Differenzialgleichung \[ L(y) = \sum_{k=0}^n a_k y^{(k)} = g(x) \] \begin{itemize} \item Wenn \(g(x) = 0\), hei{\ss}en sie und seine L\"osungen \emph{homogen} \(\iff y_H \in Y_H : L(y_H) = 0\). \item Wenn \(g(x) \neq 0\), dann hei{\ss}en seine L\"osungen \emph{partikul\"are} L\"osungen \(\iff y_P \in Y_p : L(y_p) = g(x)\). \item Wegen Linearit\"at, die Summe von \(\mu y_H \text{ und } y_p\) sind wieder L\"osungen der DGL. Solche L\"osungen nennt man \emph{allgemeine} L\"osungen. \(\iff\) \begin{align*} y_H + y_p = y \in Y : L(y) &= L(y_H + y_p) \\ &= L(y_H) + L(y_p) \\ &= L(y_p) \\ &= g(x) \end{align*} Der L\"osungsmenge ist dann \[Y = \{y_H \in Y_H, y_p \in Y_p: y = y_H + y_p\}\] \end{itemize} \subsection{DGL 1. Ordnung \brpage{554}} \subsubsection{Lineare DGL 1. Ordnung \brpage{556}} Die Allgemeine L\"osung ist \[ Y = \left\{ y_H \in Y_H : y = y_H + y_P \} \] \[ y = e^{-F}\left[k + \int ge^F\di{x}\right] \quad k \in \mathbb{R} \] \subsubsection{Tricks} \paragraph{Separation} Wenn die DGL die Form \(y' + f(x) p(y) = 0\) hat, dann l\"asst sie sich mit der Umformung \[ \frac{y'}{p(y)} = -f(x) \implies \int \frac{\dd{y}}{p(y)} = - \int f(x) \di{x} \] Ein Speziallfall \(p(y) = y\) (homogen lineare DGL) hat die allgemeine L\"osung \[ y = k\exp\left[-\int f(x) \di{x} \right] = k{ e}^{-F} \] \paragraph{Substitution Linearterm} Hat die DGL die Form \(y' = f(ax + by + c)\), dann benutzt man die Substitution \begin{align*} z &= ax + by + c \iff y(z) = b(z-c)/ax \\ z' &= a + by' \implies z' = a + b y'(z) \quad\text{separiert!} \end{align*} Dann soll sie nach \(z\) l\"osen lassen. \paragraph{Gleichgradigkeit} Hat die DGL die Form \(y' = f(y/x) \quad x \neq 0\), dann benutzt die Substitution \begin{align*} z = y/x &\implies y' = z'x + z \\ &\implies z' = \frac{1}{x}\left(y'(x) - z\right) \quad\text{separiert!} \end{align*} \subsection{Lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten \brpage{569}} \[ L(y) = y'' + a_1 y' + a_0 y = g(x) \] \subsubsection{Homogene L\"osung (\(g=0\))} Sei angenommen dass \(y = Ce^{\lambda x}\) eine L\"osung ist \begin{align*} 0 &= C\lambda^2 e^{\lambda x} + a_1 C \lambda e^{\lambda x} + a_0 C e^{\lambda x} \\ 0 &= \lambda^2 + a_1\lambda + a_0 \end{align*} Der \emph{charakteristische Polynom} hat die L\"osungen \[ \lambda_{12} = \frac{1}{2}\left(-a_1 \pm \sqrt{a_1^2 - 4a_0}\right) \] Die homogene L\"osung ist dann \[ y_H = Ae^{\lambda_1 x} + Be^{\lambda_2 x} \quad A,B \in\mathbb{R} \] Falls \(\lambda \in \mathbb{R}\), dann hei{\ss}t er \emph{D\"ampfung}. Sonst ist \(\mathbb{C} \ni \lambda = k \pm j\alpha\), \(\alpha\) nennt man \emph{Frequenz}. Daher hat die L\"osung die Form: \[ Ce^{k\pm\jmath\alpha} = A\exp\left(\frac{a_1}{2}x\right)\cos(\alpha x) + B\exp\left(\frac{a_1}{2}x\right)\sin(\alpha x) \] \subsubsection{Inhomogene L\"osung (\(g \neq 0\))} NB: L\"osungsmethoden f\"ur \(n\)-te Ordnung DGL in \S\ref{sec:inhom-ode-n} k\"onne auch verwendet werden. \paragraph{Methode der unbestimmten Koeffizienten} \paragraph{Faltung} Die Faltung Integral ergibt die partikul\"are Loesung einer 2. Ordunung Differenzialgleichung mit Anfangsbedingungen \(g(x_0) = 0\) und \(g'(x_0) = 1\). \[ y_p = f * g = \int\limits_{x_0}^x g(x + x_0 - t) f(t) \di{t} \] \subsection{Lineare DGL \(n\)-te Ordnung mit konstanten Koeffizienten \brpage{569,567}} \subsubsection{Homogene L\"osung} Sei angenommen dass, die L\"osungen Form \(y = Ce^{\lambda x}\) haben, dann \[ \sum_{k=0}^n a_k y^{(k)} = 0 \implies p(\lambda) = \sum_{k=0}^n a_k \lambda^k = 0 \] die Nullstellen von \(p(\lambda)\) ergeben \(n\) L\"osungen \(C_ke^{\lambda_k x}\). Wie schon diskutiert, alle lineare Kombinationen sind wieder L\"osungen. \[ y_H = \sum_{k=0}^n C_k e^{\lambda_k x} \quad \forall k < n : C_k \in \mathbb{R} \] \subsubsection{Inhomogene oder partikul\"are L\"osung} \label{sec:inhom-ode-n} \paragraph{Variation der Konstanten} \subsection{Systeme von Differenzialgleichungen \brpage{564}} \subsection{Orthogonale Trajektorien} Sei \(f(x, y, c) = 0\) eine Kurvenschar. Man findet eine DGL \(F(x, y, y') = 0\), die die Kurvenschar beschreibt (ohne die freie Variable \(c\)). Dann die DGL \(G = F(x, y, -1/y') = 0\) beschreibt die \emph{orthogonale Trajektorien} zur Kurvenschar. Die l\"osung von \(G\) ergibt die Kurvenschar \(g(x,y,c)\) und wieder \(\forall x,y,c : g(x,y,c) \perp f(x,y,c)\). \begin{thebibliography}{3} \bibitem{hsr} \texttt{An2E} Vorlesungen an der Hochschule f\"ur Technik Rapperswil und der dazugeh\"orige Skript, \textit{Dr. Bernhard Zgraggen}, Fr\"uhlingssemester 2020 \bibitem{bronstein} Taschenbuch der Mathematik, 10. \"uberarbeitete Auflage, 2016 (1977), \textit{Bronstein, Semendjajew, Musiol, M\"uhlig}, \texttt{ISBN 978-3-8085-5789-1} \bibitem{mathe2} Mathematik 2: Lehrbuch für ingenieurwissenschaftliche Studieng\"ange, 2012, 7. Auflage, XII, Springer Berlin, \textit{Albert Fetzer, Heiner Fränkel}, \texttt{ISBN-10 364224114X}, \texttt{ISBN-13 9783642241147} \bibitem{terrytao} Analysis II, Third Edition 2017 (Jan. 2006), Hindustan Book Agency, \textit{Terence Tao}, \texttt{ISBN-10 818593195X}, \texttt{ISBN-13 978-8185931951} \end{thebibliography} \section*{Notation} Rot markierte Zahlen wie zB \brpage{477} sind Hinweise auf die Seiten im ``Bronstein'' \cite{bronstein} \begin{itemize} \item \(C^n\) ist der Menge der glatten \(n\)-mal differenzierb\"aren Funktionen. \item Das Zeichen \(\forall\) bedeutet ``f\"ur alle'' \end{itemize} \section*{License} { \tt An2E-ZF (c) by Naoki Pross \\\\ An2E-ZF is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 Unported License. \\\\ You should have received a copy of the license along with this work. If not, see \\\\ {\small\url{http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/}} } \onecolumn \begin{sidewaystable}[p] \centering \caption{Rechnungen bez. ebene Kurven} \label{tab:plane-curves-big} \renewcommand{\arraystretch}{3} \begin{tabular}{l *{3}{>{\(\displaystyle}l<{\)}} } \toprule \textbf{Ebene Kurven} & \textbf{Kartesich } y = f(x) & \textbf{Polar } \vec{r}(\varphi) & \textbf{Parameter } \vec{c}(t) = \left(x(t), y(y)\right) \\ \midrule Anstieg \brpage{448} & f' & \frac{r'\sin\varphi + r\cos\varphi}{r'\cos\varphi - r\sin\varphi} & \dot{x}/\dot{y} \\ Fl\"ache \brpage{493} & \int\limits_a^b |f(x)| \di{x} & \frac{1}{2}\int\limits_\alpha^\beta r(\varphi)^2 \di{\varphi} & \frac{1}{2}\int\limits_{t_0}^{t_1} x\dot{y} - \dot{x}y \di{t} = \frac{1}{2}\int\limits_{t_0}^{t_1}\det(\vec{c},\dot{\vec{c}}) \di{t} \\ Bogenl\"ange \brpage{251,514} & \int\limits_a^b \sqrt{1 + (f')^2} \di{x} & \int\limits_\alpha^\beta \sqrt{(r')^2 + r^2} \di{\varphi} & \int\limits_{t_0}^{t_1} \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2} \di{t} = \int\limits_{t_0}^{t_1} |\dot{\vec{c}}| \di{t} \\ Kr\"ummung \(\kappa\) \brpage{254} & \frac{f''}{\sqrt{1+(f')^2}^3} & \frac{2(r')^2 - r r'' + r^2}{\sqrt{r^2 + (r')^2}^3} & \frac{\ddot{y}\dot{x} - \ddot{x}\dot{y}}{\sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2}^3} = \frac{\det(\dot{\vec{c}},\ddot{\vec{c}})}{|\dot{\vec{c}}|^3} \\[1em] \midrule Rotationsvolumen um \(x\) \brpage{516} & \pi \left|\int\limits_a^b y^2 \di{x} \right| & \pi \left|\int\limits_{t_0}^{t_1} y \dot{x} \di{t} \right| & \pi \left|\int\limits_\alpha^\beta r^2 \sin^2 \varphi (r'\cos\varphi - r\sin\varphi) \di{\varphi} \right| \\ Rotationsoberfl\"ache um \(x\) \brpage{515} & 2\pi \int\limits_a^b |y| \sqrt{1 + (y')^2} \di{x} & 2\pi \int\limits_\alpha^\beta |r\sin(\varphi)| \sqrt{(r')^2 + r^2} \di{\varphi} & 2\pi \int\limits_{t_0}^{t_1} |y| \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2} \di{t} \\ % Rotationsvolumen um \(y\) \\ % Rotationsoberfl\"ache um \(y\) \\ \bottomrule \end{tabular} \end{sidewaystable} \end{document} % vim: set wrap linebreak ts=4 sw=4 spelllang=de spell :